1.1 充分条件和必要条件-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

训练测评参考答案 １３５　 第１章 　 充要条件 １．１　 充分条件和必要条件 【变式训练】 A 【解析】由a＝b成立,能够推出 a ＝ b 成立; 而由 a ＝ b 成立,也可以推出a＝ －b,因此“a＝ b”是“a ＝ b ”的充分不必要条件．故选 A． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】“若p,则q”的逆命题为“若q,则p”, 即q⇒p,故p 是q的必要条件． ２．A 【解析】由(a－１)(a－２)＝０得a＝１或a＝２, 所以“a＝２”是“(a－１)(a－２)＝０”的充分条件． ３．D 【解析】因为x２－x＜０,所以０＜x＜１．又因 为 １ ３ ＜x ＜ ３ ４ 满足０＜x ＜１,所以p的一个充 分条件为１ ３ ＜x ＜ ３ ４． ４．B 【解析】x２－x＜０⇔０＜x＜１,运用集合的知 识易知选项A中０＜x＜１是p的充要条件;选项 B中－１＜x＜１是p的必要条件;选项C中 １ ２ ＜ x＜ ２ ３ 是p的充分条件;选项D中 １ ２ ＜x＜２ 是 p 的既不充分也不必要条件． ５．D 【解析】对于 A 选项,解不等式 x ＞１,得 x ＜ －１或x ＞１,则“x ＞１”是“x ＞０”成立 的既不充分也不必要条件;对于B选项,解不等式 x２ ＞０,得x ≠０,则“x２ ＞０”是“x ＞０”成立的 必要不充分条件;对于C选项,解不等式１x ≤２ , 即２x－１ x ≥０ ,解得x＜０或x≥ １ ２ ,则“１ x ≤２ ” 是“x＞０”成立的既不充分也不必要条件;对于D 选项,解 不 等 式 x－１ ≥ ０,得 x ≥ １,则 “ x－１ ≥０”是“x ＞０”成立的充分不必要条 件．故选 D． ６．A 【解析】由a∥b,得２×４－(x＋１)(x－１)＝ ０,即x ＝ ±３,所以“x ＝３”是“a∥b”的充分条 件,故选 A． ７．C 【解析】① 中,p⇒q,② 中p⇒q,③ 中p⇒/q． 二、填空题 ８．必要不充分 　　　　　９．必要不充分 １０．(－∞,１] １１．x ＝２(答案不唯一) 三、解答题 １２．解:(１)因为 △ABC 是直角三角形⇒/ △ABC 是 等腰三角形,△ABC是等腰三角形 ⇒/ △ABC是 直角三角形,所以p 既不是q 的充分条件,也不 是q的必要条件． (２)因为四边形的对角线互相平分 ⇒/ 四边形是 矩形,四边形是矩形 ⇒ 四边形的对角线互相平 分,所以p 是q的必要条件,但不是充分条件． １３．解:由x２－８x－２０＞０⇒x ＜－２或x ＞１０,即 命题p 对应的集合为P ＝ {x x＜－２或x ＞ １０},由x２ －２x＋１－m２ ＞０(m ＞０)⇔[x－ (１－m)][x－(１＋m)]＞０(m ＞０)⇔x ＜１－ m 或x＞１＋m(m ＞０),即命题q对应的集合为 Q＝{x x＜１－m或x＞１＋m,m＞０},由p是 q的充分不必要条件知,P 是Q 的真子集．故有 m ＞０, １－m ≥－２, １＋m ＜１０ ì î í ïï ï 或 m ＞０, １－m ＞－２, １＋m ≤１０, ì î í ïï ï 解得０＜m ≤３． 所以实数m 的取值范围是(０,３]． １４．解:p是q的充分条件．因为p:x－２ ≤５的解 集为P＝{x －３≤x≤７};q:x≥－１或x≤５ 就是实数集R．所以P⊆R,也就是p⇒q,故p是 q的充分条件． 【能力提升】 解:因为 ０＜ A ＜ π 时,sinA ∈ (０,１],且 A ∈ ０,π２( ] 时,y ＝sinA 单调递增,A ∈ π ２ ,π[ ) 时, y ＝sinA 单调递减,所以sinA ＞ １ ２⇒∠A ＞ π ６ , 但 ∠A ＞ π ６⇒ /sinA ＞ １ ２． 所以p是q的充分条件, １３６　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 q是p 的必要条件． １．２　 充要条件 【变式训练】 B 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．A ２．B 【解析】异面直线一定不相交,不相交可以平 行,所以“直线a,b不相交”是“直线a,b为异面直 线”的必要不充分条件,故选B． ３．A 【解析】由a２ ＞a得a＞１或a＜０,反之,由 a＞１得a２ ＞a,则“a＞１”是“a２ ＞a”的充分不 必要条件,故选 A． ４．A 【解析】若m ⊈α,n⊆α,且m ∥n,则一定有 m ∥α,但若m ⊈α,n⊆α,且m ∥α,则m 与n有 可能异面,所以 “m ∥n”是“m ∥α”的充分不必 要条件．故选 A． ５．B 【解析】在 △ABC 中,A ＋B ＋C ＝１８０°,若 B ＝６０°,则A＋C ＝１８０°－６０°＝１２０°,故A ＋ C ＝２B,所以 △ABC 三个内角A,B,C 成等差数 列．若 △ABC 三个内角A,B,C 成等差数列,则 A＋C ＝２B,所以A＋B＋C ＝３B ＝１８０°,B ＝ ６０°．故选B． ６．B 【解析】由“x２－５x ＜０”可得“０＜x ＜５”;由 “x－１ ＜１”可得“０＜x ＜２”．由“０＜x ＜５” 不能推出“０＜x＜２”,但由“０＜x＜２”可以推出 “０＜x ＜５”,所以“x２－５x ＜０”是“x－１ ＜ １”的必要不充分条件．故选B． ７．B 【解析】根据ln(x＋１)＜０求出x 的取值范围 后判断．因为ln(x＋１)＜０,所以０＜x＋１＜１, 所以－１＜x＜０．故“x＜０”是“－１＜x＜０”的 必要不充分条件,故选B． ８．B 【解析】若α ∥β,则α 内有无数条直线与β平 行,反之不成立;若α,β 平行于同一条直线,则α 与β 可以平行也可以相交;若α,β 垂直于同一平 面,则α与β可以平行也可以相交,故A,C,D均不 是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理 知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面 平行,则两平面平行,反之亦成立．因此 B中条件 是α ∥β 的充要条件．故选B． 二、填空题 ９．充分不必要 【解析】由不等式的性质可知,由 ac２ ＞bc２ 得a ＞b,故“ac２ ＞bc２”成立可推出 “a＞b”,而a＞b,当c＝０时,ac２ ＝bc２,所以 “a＞b”不能保证“ac２ ＞bc２”,故“ac２ ＞bc２”是 “a＞b”成立的充分不必要条件． １０．③ 【解析】① 中m ∥n,n∥α,则m ⊆α或m ∥ α,故 ① 不对;② 中,m ⊥n,n⊥α⇒m ⊆α或m ∥ α,故 ② 不对;③ 中,m ∥β,m ⊈α,α∥β⇒m ∥ α,③ 对;④ 中,m ⊥β,α⊥β⇒m ⊆α或m ∥α,④ 不对,故只有 ③ 对． １１．充要 １２．必要不充分 １３．m ＜ １ ４ 或m ＞１ １４．充要 三、解答题 １５．解:(１)因为“x ∈A”是“x ∈B”成立的充要条 件,所以A ＝B．所以m＋１＝３,即m ＝２．即实 数m 的值为２． (２)由题意可知A ⫋B,所以m＋１＞３,即m ＞ ２．所以实数m 的取值范围为{m m＞２}． 【能力提升】 证明:(１)充分性:因为a２＋b２＋c２ ＝ab＋bc＋ac, 所以a２＋b２＋c２－ab－bc－ac＝０,所以(a－b)２＋ (b－c)２ ＋(a－c)２ ＝０,即a－b＝０,b－c＝０,a－ c＝０,即a＝b＝c,故 △ABC 是等边三角形．故充 分性成立． (２)必要性:因为 △ABC 是等边三角形,所以a ＝ b＝c,a２＋b２＋c２－ab－bc－ac＝a２＋b２＋c２－a２－ b２－c２＝０,即a２＋b２＋c２＝ab＋bc＋ac．故必要性成立． 综上所述,△ABC 是等边三角形的充要条件是a２ ＋ b２＋c２ ＝ab＋bc＋ac(其中a,b,c是 △ABC的三条 边)． 第２章 　 平面向量 ２．１　 向量的概念 【变式训练】 D １　 １．１　 充分条件和必要条件 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解充分条件和必要条件的概念; ◎ 了解命题中条件与结论的关系; ◎ 知道条件与结论之间的充分性和必要性． 重点:根据命题及其逆命题的真假判断命题的条件是 不是结论的充分条件或必要条件． 难点:必要性的理解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能判断真假的陈述句称为 　　　　　．判断为真的命题称为 　　　　　,判断为假的命题称为 　　　　　． ２．一般地,对于形如“如果p,那么q”的命题,我们称p 为命题的条件,简称 　　　　;称q为命题的 结论,简称 　　　　． ３．一般地,若命题“如果p,那么q”是真命题,即由p可以推出q,则称p是q的充分条件,记作　　　　． 若命题“如果p,那么q”是假命题,即由p 不能推出q,则称p 不是q的充分条件,记作 　　　　　． ４．将命题“如果p,那么q”中的条件p 和结论q 互换,变成“如果q,那么p”,称这个命题为原命题的 　　　　　． ５．一般地,若命题“如果p,那么q”的逆命题“如果q,那么p”是真命题,则称p 是q 的必要条件,记作 　　　　　．若命题“如果p,那么q”的逆命题“如果q,那么p”是假命题,则称p不是q的必要条件, 记作 ． 命题的判断 【例】 判断下面哪句诗是命题 (　　) A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【解题思路】 “红豆生南国”是陈述句;“春来发几枝”是疑问句;“愿君多采撷”是祈使句;“此物最相思” 是感叹句,故选 A． 【点评】 在命题的判断的语句中,设问句、感叹句、祈使句、简单的问候语都不是命题;反问句、陈述句是 命题． 变式训练 设a,b为实数,则“a＝b”是“a ＝ b ”的 (　　) A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件 　　C．充分必要条件 　　D．既不充分也不必要条件 ２　 自 我 测 评 一、选择题 １．已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真,则p 是q的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 ２．若a ∈R,则“a＝２”是“(a－１)(a－２)＝０”的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 ３．已知p:x２－x ＜０,那么命题p 的一个充分条件是 (　　) A．１＜x ＜３ B．－１＜x ＜１ C．１２ ＜x ＜５ D． １ ３ ＜x ＜ ３ ４ ４．已知p:x２－x ＜０,那么命题p 的一个必要条件是 (　　) A．０＜x ＜１ B．－１＜x ＜１ C．１２ ＜x ＜ ２ ３ D． １ ２ ＜x ＜２ ５．使“x ＞０”成立的一个充分不必要条件是 (　　) A．x ＞１ B．x２ ＞０ C．１x ≤２ D．x－１ ≥０ ６．设向量a＝(２,x－１),b＝(x＋１,４),则“x＝３”是“a ∥b”的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 ７．下列各小题中,p 是q的充分条件的是 (　　) ①p:m ＜－２,q:y＝x２＋mx＋m＋３有两个不同的零点; ②p: f(－x) f(x) ＝ １,q:y＝f(x)是偶函数; ③p:cosα＝cosβ,q:tanα＝tanβ． A．① B．③ C．①② D．②③ 二、填空题 ８．已知集合M ＝{x ０＜x ＜１},集合N＝{x －２＜x ＜１},那么“a∈N”是“a∈M”的 条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) ９．“(x＋１)(x＋２)＞０”是“(x＋１)(x２＋２)＞０”的 条件 (填“充分不必要”“必要不充分”“充 要”“既不充分也不必要”)． １０．“x ＞１”是“x ＞a”的充分条件,则a 的取值范围为 ． １１．写出命题“x ＞１”的一个必要条件: ． ３　 三、解答题 １２．下列命题中,判断p 是q的什么条件． (１)p:△ABC 是直角三角形,q:△ABC 是等腰三角形; (２)p:四边形的对角线互相平分;q:四边形是矩形． １３．已知命题p:x２－８x－２０＞０,q:x２－２x＋１－m２ ＞０(m ＞０),若p 是q的充分不必要条件,求 实数m 的取值范围． １４．判断p:“x－２ ≤５”是q:“x ≥－１或x ≤５”的什么条件,说明理由． 在 △ABC 中,p:sinA ＞ １ ２ ,q:∠A ＞ π ６． 指出命题中p 是q 的什么条件,q 是p 的什么条件,并说明 理由．