6.5.3 直线与圆相交-【通关练测】中等职业技术学校数学基础模块(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

11,一4【解析】当过点(2，一4)的直线斜率不存在 AB的方程为x一y一1=0. 时，直线方程为x=2,此时圆心(1，一2)到直线 16.解：(1)由题意可知，直线1的方程为y十1 x=2的距离为1<√5，不相切，舍去，当斜率存在 一子-D,整理成一般式方程，得3十y+1 时，设直线方程为y+4=6(r一2，则由2+L 1+ 0,所以直线1的方程为3r十4y十1=0. 厅，解得人=之，又与直线r-2y十3=0垂直，所 (2)由已知条件可知，所求圆的圆心为B(5,1), 可设圆B的方程为(x一5)2+(y一1)2=，因 以受×号=-1，解得a=-4 为圆B与直线1：3x+4y+1=0相切，所以r= 12.3x十4y一25=0【解析】设切线斜率为k,因为 4=13×5+4×1+1山，故r=4.故圆B的方 √3+4 (O(0,0),A(3,4),所以直线OA的斜率为k 程为(x-5)2+(y-1)2=16. 二8=子由题意可得直线O1和切线垂直，所 4一0 17.解：设所求圆的方程为(x一a)2十y2=(r> 以k如·k=一1，故切线的斜率为k=一子，切线的 om,则2a二3=1a+3=r,所以a=6,r 5 方程为y-4=-是(x-3.即3x+4y-25=0, 后或a=0r= 所以圆的方程为(x一6)十 5 13.x+4y十2=0【解析】圆C:x2+y2一6x 6y+1=0即圆C:(x-3)2+(y-3)2=17,由题 y-或2+y-号 可知点A为圆C上一点，圆C的圆心坐标为C(3, 【能力提升】 3.所以x-}-4,则直线1的斜率为一子 1.B【解析】圆(.r-3)2+y=1的圆心为(3,0)，半 径为1，圆心到直线x一y一1=0的距离为d 所以直线1的方程为y十1=-十（女-2)，即r十 3=0一1=2>1.所以切线长的最小值为 V2 4y+2=0. V(w2)2-1°=1. 14.3【解析】由方程(x-1)+(y一2)2=1可 2.D【解析】设切线长为d.则=(m-2)+3 知，圆心为C(1,2),半径r=1,则|AC 1=(m-2)2+8≥8，所以d≥2√瓦. √（一1一1）+(2-2)F=2,因为△BC为直角 三角形，所以|AB|=√C一F=√②-下= 6.5.3直线与圆相交 5. 【变式训练1】 三、解答题 2V2【解析】x2+y2+2y-3=0→x2+(y+1)2 15.解：(1)由题意知圆心的坐标为C(1,2),半径r= 4,圆心坐标为(0，一1)，半径r=2.圆心到直线x一 2,当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x y十1=0的距离d= 11+1 ,=√2，故弦长 3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离为3一1= √1+(-1) 2=r可知，此时直线与圆相切.当过点M的直线 |AB|=2√P-d正=22. 的斜率存在时，设方程为y一5=(x一3)，即 【变式训练2】 :-y+5-3张-0.由题意知k-2+5-3张1 解：由方程x2+y2一2x-2y+1=0可知，圆心坐 √+I 标为(1,1)，半径r=1.由|AB|=2√F-可得 2.解得长=音·所以方程为5x-12y十45=0.故 过点M的圆C的切线方程为x=3或5x-12y十 2一-区.所以d-号设直线1的斜率为， 45=0. 则直线1的方程为y+2=k(x十1)，即x一y十k (2)已知圆心C(1,2)和点N(2,1),则kc= 2=0.所以圆心到直线虹一y+k一2=0的距离d= 1一2=一1，又kx·k=一1，所以k=1.则 2-1 是--号解得-1 √+(-1)月 VFI 172 关测数学同步辅导与测评·基础模块·下册 :=号，故直线1的斜率为1或号 6,A【解析】圆心C(0,0)到直线l的距离为d |-4 自我测评 √3+(-4)尸 4,圆的半径为1，所以弦长为 【基础巩固】 一、选择题 2√-（传）=号 1.C【解析】由圆的方程可知，圆心C(0,1),半径r= 7,C【解析】若直线的斜率不存在，则（的方程为 2.所以圆心C到直线1的距离d=0+1+1= x=3,圆心(0,2)到1的距离为3，易求得弦长为 √2 8,符合题意：若直线（的斜率存在，设/的方程为 √2，直线l被圆C截得的弦长为2√2-正=2②. y=k(x-3),即kx-y-3k=0,故圆心(0.2)到 2.D【解析】设圆心为C(1,),因为圆C与直线x一 1的距离d=上2-3k1=5一=3，解得 y=1相切于点B(2,1),直线斜率k=1,所以 √+I 5 kr-1已是-名n=2,所以半径r-C k=2,则1的方程为5x-12y-15=0,综上所 述，直线1的方程为5x-12y-15=0或x=3. √+（一1）=√2，则圆C被y轴截得的弦长为 8.D【解析】由z2+y2-2x一2y-2=0可得 2F-1=2. (x一1)+(y-1)”=4,则圆心C的坐标为(1， 3.B【解析】由2mx+y-m一1=0化简得到(2x- 1),半径为2.当直线1的斜率不存在，即直线1的 2x-1=0, 1)m十y一1=0，则令 解得 方程为x=0时，代入圆的方程得y2一2y一2=0， y-1=0. 解得y=1+√3，为=1一3，此时|AB=1+ T= ?'故直线1过定点P(分1，由+ √3-(1一3)=2√原，符合题意：当直线1的斜率存 y=1, 在时，设直线1的方程为y=r十3，即kr一y十3 (y-2)2=4可知，圆心C(0,2),半径r=2.当AB1 0,因为|AB|=2,所以圆心C到直线1的距离为 CP时，弦AB最短，直线CP的斜率k=1一2 √公-W3=1,则-1+3=1，解得k 2 √1+ 一2，则直线1的斜率：m=之，故直线1为y一1= 一是，故此时直线1的方程为y=一是 +3,即 3x+4y-12=0. 号(4-)则2x-4y+3=0 二、填空题 4.D【解析】圆C:x2-2.x+y2-3=0即(x-1)2+ 9.1【解析】由x2+y2-2.x=0→(.x-1)2+y2 y=4,所以圆心坐标为C(1,0),因为AC2=(2 1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).半径为1，点(1， 1)”+12=2<4,易知A在圆内，则过点A(2,1) 0)到直线y=V3x的距离为 3 的直线与直线AC垂直时，被圆C截得的线段长最 √(3)+(-1) 短k=2 】一0=1，所以所求直线的斜率为一1山. 所以AB=2√P-(停 3 =1. 5.D【解析】圆C:(x+1)2+(y一2)2=2，故半径 10.2v反【解析】令y=0,则圆的方程十y一2x十 为2，又因为直线1被圆截得的弦长为√6，所以圆 2y-1=0转化为x2-2.x-1=0,解得x1=1 心到直线1的距离为d= √2-()=设 √2，=1十√2，所以弦长为x一x1=22. 11,3【解析】如图所示，取弦AB的中点D,连接 直线1的方程为x十y十m=0,则d=1+m ② CD,则有CD⊥AB,CD=2.在R△ACD中， CA=√CD+AD=√2+(5)=3，所以圆 m=一2或0，所以直线1的方程为 C的半径为3. 0或x+y-2=0. 训练测评参考答案 173 【能力提升】 1.B【解析】由x2+y2一6x-2y+1=0可得(x- 3)2+(y一1)2=9，所以圆C的圆心为(3,1)，半径 为3.因为CA⊥CB,所以圆心到直线AB的距离为 B 32,所以3-1+=32，解得入=1或-5. 2 12.士1【解析】设直线1的方程为y=kx+1,即 2.B【解析】将圆的方程x2+y2-4x十2y-4=0 r一y十1=0，圆心到直线1的距离为d,圆的半径 转化为标准方程(x一2)2十(y十1)2=9，可得圆心 r=1,因为|AB|=2√-正=2，所以d 坐标为M(2,一1)，半径为3.如图所示，由圆的性 号曲d=Lg 质可得，最长的弦即圆的直径，故AC=6.因为 +工 ，解得k=土1。 O(0,0),所以M)=v5.弦最短时，弦BD与MO垂 13.土√2【解析】因为r=√2，所以圆心O到直线的 直且经过点O,此时BD=2√一5=4.故四边 距离d=√F-1=1,所以a=1,解得 √十I 形ABCD的面积为号ACX BD=号X6×4=12. a=±√2 14,士√5【解析】将x2+y+2x=0化为标准式得 (x+1)2+y2=1,故半径为1.圆心(-1,0)到直 线y=x的距离为一L,由弦长为1可得 √k2+1 ）=1,解得k=士3 三、解答题 6.6 直线与圆的方程应用举例 15.解：易知圆心C(1,2),半径r=1,圆心C到直线 【变式训练1】 1的距离1=2×1+3×2-61=2 D【解析】由题意可知，k=1an135°=一1，设点(2， √2+3 13 4)关于直线y=-x+1的对称点为(m,n),则 2区，所以AB1=2P-f=2√1- n一4 =1, 13 13 m-2 解得m一3， 所以反射光 613 ”+4=-m+2+1 1m=-1, 13 2 2 16.解：(1)由题意可得，圆心为(2,0)，半径为2，则 0-CD红-5)=专r 线所在的直线方程为y=。一-3 圆的方程为(x一2)2+y=4. 5),即x一8y一5=0.所以当x=13时，y=1.故 (2)由(1)可知，圆C的半径r=2,设圆心(2,0) 选D. 到1的距离为d,则d=6-11山=1，由弦长公 5 【变式训练2】 式得|AB|=2√F-正=2√5 C【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所 17.解：(1)因为直线1经过两点P(1,0)Q(0,一1)， 示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为(0，一a),a>0,则该 所以直线1的方程为y十1=0二二卫(r-0), 1-0 圆的方程为x+(y十a)产=a,记水面下降前与圆 即y=x一1， 的两交点为A、B,记水面下降1米后与圆的两交点 (2)由圆C的方程得到圆心C(1,1),半径r=2, 为C、D.由题意可得，A(-10,一4)，则（一10）+ 所以圆心C到直线1的距离d=方=受所以弦 （←4+a2=2,解得a=罗.所以圆的方程为+ 长|AB|=2√-F=√V14. (y+婴)广=（罗）广.水面位下降1米后，可知C点 174 关测数学同步辅导与测评·基础模块·下册通关练测 数学同步辅导与测评·基瑶模块·下册 6.5.3 直线与圆相交 学习目标 重点难点 ©掌耀推导直线与照相交的求弦长问题： 重点：相交孩公式雅导及应用。 ⊙熟记相变孩的两种解法，并能灵活运用 难点：孩长中含参数的问题. 知识回顾 在平面直角坐标系中，如果直线l:Ax十By十C=0与圆C:(x一a)+(y一b)=r相交于P和Q两 点时，线段PQ为圆的 ,因为圆心C与弦PQ的中点R的连线弦PQ,故|PQ=2|PR= 例题精讲 1求相交弦的弦长问题 【例1】已知直线x一2y+5=0与圆x2+y=8相交于A,B两点，求相交弦的长|AB. 【解题思路】方法一：应用弦长公式AB=2√P一厂求解. 方法二：通过直线与圆的方程联立所得二元二次方程组的解，求出A、B两点的坐标，应用两点间的距离 公式|AB|=√(x-x)+(一y)厂求解. 解法一：由x十y2=8可知，圆心坐标为(0,0)，半径r=22.圆心到直线x一2y十5=0的距离d= 151 =5.故弦长|AB|=2√-正=2V3. √+(-2) 解法二：设A().B(),联立方程-十5=0， lx+y2=8, 得5x2+10x-7=0,解得x1=-1 2压-1+2压，对应的-2--2+压，即A(-1-2压，2-)(-1+ 5 5 2压，2+)，放弦长AB|=√-x)+(-下=23. 5 5 变式训练1直线y=x+1与圆x+y+2y-3=0相交于A、B两点，则|AB|= 2弦长中的参数问题 【例2】设直线a一y十3=0与圆(x-1)产+(y-2)=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2v3, 求实数a的值. 【解题恩路】应用弦长公式|AB=2√P一d,可求出圆心到直线的距离d的值，代入点到直线的距离 公式，得到含参数的等式，解等式即可， 由(x-1)+(y一2)2=4可知，圆心坐标为(1,2)，半径r=2.由|AB|=2√P-正可得2√A-正= 23,所以d=1.所以圆心到直线ar一y十3=0的距离d=a-2+3L=a+L=1,解得a=0. a+(-1)产√a+I 60 直线与圆的方程 第6章 变式训练2过点(-1，-2)的直线1被圆x2+y2一2x一2y+1=0藏得的弦长为2，求直线1 的斜率。 自我测评 基础明固 一、选择题 1.直线1：x十y+1=0被圆C:x2+(y一1)2=4截得的弦长为 ( A.4 B.23 C.22 D.2 2.圆C与直线x一y=1相切于点B(2,1),且圆心的横坐标为1，则圆C被y轴截得的弦长为() A.② B.22 C.1 D.2 3.直线：2x+y一m一1=0与圆C:x2+(y一2)”=4交于A、B两点，则当弦AB最短 时直线（的方程为 () A.x-4y+3=0 B.2x-4y+3=0 C.2x-4y-3=0 D.2x+4y+1=0 试题精讲 4.过点A(2,1)的直线被圆C:x一2x十y2一3=0截得的线段长最短时，直线的斜率为 () A.2 B.-② C.1 D.-1 5.已知斜率为一1的直线1被圆C:x2+y+2.x一4y+3=0截得的弦长为v6,则直线1的方程为 A.2x+2y+1=0或2x+2y-3=0 B.x+y+22=0或x+y-√2=0 C.2x+2y-2=0或2.x+2y+32=0 D.x+y=0或x十y-2=0 6.已知圆C:x2+y2=1,直线1：3x-4y-4=0,则直线1被圆C所截得的弦长为 A号 R号 c. n号 7,若过点(3,0)的直线1截圆x+(y一2)2=25的弦长为8，则直线1的方程为 A.5.x-12y-15=0 B.5x+12y-15=0 C.5.x-12y-15=0或x=3 D.5x+12y-15=0或x=3 8.设圆x2十y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线1过点(0,3)，且与圆C交于A,B两点，若|AB|= 2√3，则直线1的方程为 () A.3.x+4y-12=0 B.3.x+4y-12=0或4.x+2y+1=0 C.x=0 D,x=0或3.x+4y-12=0 二、填空题 9.设直线y=√5x与圆C:.x2+y2-2x=0相交于A、B两点，则1AB|= 10.圆x2+y2一2.x+2y-1=0在x轴上截得的弦长是 11.已知直线1与圆C相交于A、B两点，|AB|=25且圆心C到直线1的距离为2，则圆C的半径为 12.直线1与圆(x一1)十(y-1)=1相交于A、B两点，且A(0,1).若|AB|=√Z,则直线1的斜率为 61