6.5.2 直线与圆相切-【通关练测】中等职业技术学校数学基础模块(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

直线与圆的方程 第6章 6.5.2 直线与圆相切 学习目标 重点难点 。掌握直线与圆相切的几何特征; 重点:判断过一点有几条直线与已知圆相切. 能判断过一点有几条直线与已知圈相切,并能求出 难点:过圈外一点求圈的切线方程. 切线方程. 知识回顾 在平面直角坐标系中,过点P作圆C的切线有三种情况: (1)当点P在圆C上,过点P能作 条直线与圆C相切; (2)当点P在圆C外,过点P能作 条直线与圆C相切; (3)当点P在圆C内,过点P能作。 条直线与圆C相切. 例题精讲 1判断过一点有几条直线与已知圆相切 【例1】经过点P(10,5)与圆C;r*+-25有几条切线? 【解题思路】通过点与圆的位置关系来判断过点有圆的切线条数 当点P在圆C上,过点P能作一条直线与圆C相切; 当点P在圆C外,过点P能作两条直线与圆C相切; 当点P在圆C内,过点P不能作直线与圆C相切. 因为10{}+5{=125 25.所以点P在圆C外,故过点P能作两条直线与圆C相切 变式训练1 经过点P(3,-2)与圆C:(x-2)+(y+1)=4有几条切线? 2求过圆上一点的圆的切线方程 【例2】求过点P(0,0),且与圆C:(x-1)+(y+1)*一2相切的直线方程 【解题思路】先判断点与圆的位置关系,再利用圆心和切点的连线与切线垂直的性质,求出切线的斜 率,最后用直线的点斜式方程即可求出切线方程. 因为(0-1)+(0+1)=1+1-2,所以点P在圆C上.已知圆心C(1,-1),则直线PC的斜率为 = -1-0 --1.设切线的斜率存在且为b,由·kn---1可得 -1.故过点P(0,0),且与圆C:(a-1)*+ 1一0 (y十1)*一2相切的直线方程为y一x 变式训练2 求过点P(3,一4),且与圆C:r十一25相切的直线方程 57 通 数学同步辅导与测评·基础模块·下册 3 求过圆外一点的圆的切线方程 【例3】求过点P(3,2),且与圆C:(x-1)十(y-1)一1相切的直线方程。 【解题思路】先判断点与圆的位置关系,由于点在圆外,无法确定切点的具体直角坐标,故可设切线斜 率存在且为,利用圆心到切线的距离等于半径列出等式,即可求出切线的斜率i.注意;过圆外一点可作两 条园的切线,当只有一解时,要单独讨论切线斜率不存在的情况. 因为(3-1)+(2-1)=4+1=5 1,所以点P在圆C外.已知圆心C(1,1).半径,=1.设切线的 斜率存在且为k,则切线方程可写为y-2一k(x-3),即r-y一3十2-0.由圆心C到切线的距离等于 +(-1可 相切的直线方程为y=2或4x-3y-6=0. 变式训练3 求过点P(一2,0).且与圆C:r*十(y-1)=1相切的直线方程 白我测评 过基础固 一、选择题 1.过点(1,2)且与圆x*+y一5相切的直线有 ) A.0条 C.2条 B.1条 D.不确定 2.若直线3x+4y+m-0与圆(x-1)+(y-1)-1相切,则m的值是 A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12 3.过点(0,2)且与直线y三x-2相切,圆心在:轴上的圆的方程为 ) A.(7十1)+-3 B.(r十1)十-5 C.(x十2)*十*-4 D.(r十2):十y-8 4.若直线y=(x-1)十2与圆x十(y-1)三2相切,则 的值为 ) B-2 C.1 A.2 D.-1 5.若园(x-a)*+y*-1(a0)与直线y- ) A.1 B.3 C.2 D.2/3 6.经过点M(2,)的园十-10的切线方程是 A.x+v6-10-0 B.x-2+10-0 C.r-+10-0 D.2r十v6-10-0 7.过点P(4,1)作圆C:(x-2)*+(y+3)*=4的切线,则切线方程为 ) A.3-4y-8-0 B.3r-4y-8-0或x-4 C.3x十4y-8-0 D.3x+4y-8-0或x-4 8.圆心在直线y三一x上,且过点A(1,一3),并与直线x十y一2=0相切的圆的方程为 A.(x-2)+(y+2)-2 B.(r-1)十(十1)②-4 C.(x+2)}十(y-2):-34 D.(r+D*+(y-1):-20 58 直线与圆的方程 第6章 二、填空题 9.若直线y=3x-4与圆(x+2){+=r*(r0)相切,则= 10.已知圆x+-4x+4y+7-0与直线x-ay-2-0相切,则a= 11.已知过点(2,-4)的直线与圆C:(x-1)+(y+2)-5相切,且与直线ar-2y+3=0垂直,则 实数:的值为 12.已知点A(3:4)是以原点为圆心的则C上一点:则过点A的圆的切线方程为 13.经过点A(2,-1)且和圆C:r+y-6x-6y+1=0相切的直线1的方程为 14.过点A(-1,2)作圆C:(x-1)+(y-2)-1的切线,切点为B,则线段AB的长为_ 三、解答题 15.已知圆C:(r-1)+(y-2)*-4. (1)求过点M(3,5)的圆C的切线方程 (2)若点N(2,1)为圆C的弦AB的中点,求直线AB的方程 16.已知点A(1,-1)、B(5,1),直线/经过A,且斜率为 (1)求直线/的方程; (2)求以B为圆心,并且与直线7相切的圆的标准方程 17.已知直线l:2x-y-3-0,l:;-2y+3-0,若圆C的圆心在x轴上,且与直线l、1。都相切,求 圆C的方程. 能力提升 1.从直线y=x-1上一点向圆(x-3)十y*}一1引切线,则切线长的最小值为 ) A.2/2 B1 C./7 D.3 2.从点P(n,3)向圆(x-2)+y=1引切线,则切线长的最小值为 A.26 C.26 B.5 D.2/2 592-k=0的距离为k+2-=2 圆心为(0,1)，半径r=√2.因为直线y=(x一1)十 1+ V+ 2<3,所以直线与圆相交 2与圆+(y-D2=2相切，所以一A-1+2 √+I 2.C【解析】由圆的方程(x一a)十y2=2可知，圆 √2，整理得(k十1)2=0，所以k=一1. 心为(a,0),半径为v2,由题意得圆心到直线的距 5.C【解析】因圆(x-a)+y=1(a>0)与直线y= 离d=la+1≤反，解得a∈[-3,1 √1+I 停x只有一个公其点，则直线：一V原，=0与则 6.5.2直线与圆相切 (x一a)十y2=1相切，圆心(a,0)到该直线的距 【变式训练1】 离为半径1，即a =1与1a1=2,而 解：因为(3-2)十(-2+1)2=1+1=2<4，所 √+(-) 以点P在圆C内，故过点P不能作直线与圆C相切 a>0,则有a=2,所以4的值为2. 【变式训练2】 6.D【解析】因为2+(w6)=10,所以点M在圆 解：因为32十(-4)2=9十16=25，所以点P在圆 C上，已知圆心C(0,0),则直线P心的斜率为kx= 上，且6”=否.所以过点M的切线斜率为一 2 日干=一音：设切线的斜率存在且为6：由·加 -5过点M的切线方程为y一后=-：一2》， 3 -1可得k=是，故过点P3,-4,且与圆C:十 即2.x+√6y-10=0. y2=25相切的直线方程为3.x一4y-25=0. 7,B【解析】若切线的斜率不存在，则过P的直线为 【变式训练3】 x=4,此时圆心C(2,一3)到此直线的距离为2， 解：因为(-2)产+(0一1)=4+1=5>1，所以点 即为圆的半径，故直线x一4为圆的切线，若切线 的斜率存在，设切线方程为y=k(x一4)十1，即 P在圆C外.已知圆心C(0,1),半径r=1,设切线的 斜率存在且为k,则切线方程可写为y=(x十2)，即 红-y+1-4k=0,故2=2k+3+1-4kL,解 /1+k kr一y+2k=0.由圆心C到切线的距离等于半径， 可得+=1，解得=0成长=专故过 得k=冬.故此时切线方程为3x-4y-8=0. √+(-1)7 8.A【解析】因为圆的圆心在直线y=一x上，所以设 点P(一2,0)，且与圆C:x2+(y一1)=1相切的直 圆心为(a,一a).因为圆过点A(1,一3)，所以半径r 线方程为y=0或4x一3y十8=0. √(a-1)+(-a+3)F=√2a-8a+10.又因为 自我测评 圆与x+y-2=0相切，所以半径r=a一a-2 【基础巩固】 2 一、选择题 √2，则√2a-8a+10=√2，解得a=2.故圆心为 1.B【解析】由于(1,2)满足x+y2=5,所以(1,2) (2,一2)，半径为2，故圆的方程为(x一2)+(y+ 在圆上，所以过点(1,2)且与圆x+y=5相切的 2)2=2. 直线有1条. 二、填空题 2.C【解析】由题得圆的圆心坐标为(1,1)，半径为 9.√0【解析】已知(x+2)+y=广(r>0)的圆心 1,所以3士4+m=1,所以m=-2或-12. /32+4 为(-2.0.故r=0+4-3×-2l=Vm. 9+I 3.D【解析】设圆心为(a,0),由题意得a一2 FT 10.± 【解析】将方程x2+y-4x十4y十7=0 √(a-0)+(0-2)F,解得a=-2,故圆的半径 转化为(x一2)+(y+2)=1,圆的圆心为(2， r=√(-2-0)+(0-2)F=2√2，所以圆的方 一2)，半径r=1,因为圆和直线相切，所以圆心到直 程为(x+2)2+y2=8. 线的距离为2-，一2)-2=1sa=± 4.D【解析】根据题意可知，圆x2+(y一1)2一2的 1+(-a)月 3 训练测评参考答案 17 11,一4【解析】当过点(2，一4)的直线斜不存在 AB的方程为x一y一1=0. 时，直线方程为x=2,此时圆心(1，一2)到直线 16.解：(1)由题意可知，直线1的方程为y十1 x=2的距离为1<√5，不相切，舍去，当斜率存在 一子：-1D,整理成一般式方程，得3十y+1 时，设直线方程为y+4=6(一2，则由2+kL √1+ 0,所以直线1的方程为3r十4y十1=0. 厅，解得人=之，又与直线r一2y十3=0垂直，所 (2)由已知条件可知，所求圆的圆心为B(5,1), 可设圆B的方程为(x一5)2+(y一1)2=2，因 以号×号=一1，解得a=-4 为圆B与直线1：3x+4y+1=0相切，所以r= 12.3x十4y一25=0【解析】设切线斜率为k,因为 4=13X5+4×1+1山，故r=4.故圆B的方 √3+4 O(0,0),A(3,4),所以直线OA的斜率为k 程为(x-5)2+(y-1)2=16. 二日=冬，由题意可得直线O4和切线垂直，所 4-0 17.解：设所求圆的方程为(x一a)2十y2=(r> 以k·k=一1，故切线的斜常为及=一是，切线的 om,则2a二3=1a+3=r,所以a=6,r 5 方程为y-4=-是(x-3》.即3x+4y-25=0. 后或a=0r= 三所以圆的方程为(x一6)十 13.x十4y十2=0【解析】圆C:x+y2一6x 6y+1=0即圆C:(x-3)+(y-3)2=17,由题 y-或2+y-号 可知点A为圆C上一点，圆C的圆心坐标为C(3, 【能力提升】 3》,所以x-告}-4，则直线1的斜率为一子 1.B【解析】圆(.x一3)2十y=1的圆心为(3,0)，半 径为1，圆心到直线x一y一1=0的距离为d 所以直线1的方程为y十1=一十x一2)，即r十 3=0-1=2>1.所以切线长的最小值为 √2 4y+2=0. √(w2)3-1=1. 14.3【解析】由方程(x一1)+(y一2)2=1可 2.D【解析】设切线长为d.则=(m-2)2+32一 知，圆心为C(1,2),半径r=1,则AC 1=(m-2)+8≥8，所以d≥2√瓦. √(-1一1)+(2-2)F=2,因为△BC为直角 三角形，所以|AB|=C一7=√②一下= 6.5.3直线与圆相交 v5. 【变式训练1】 三、解答题 2√2【解析】x2+y2+2y-3=0→x2+(y+1)2 15.解：(1)由题意知圆心的坐标为C(1,2),半径r= 4,圆心坐标为(0，一1)，半径r=2.圆心到直线x一 2,当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x y十1=0的距离d= 11+1 =√2，故弦长 3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离为3一1= √+(-1)丽 2=r可知，此时直线与圆相切.当过点M的直线 |AB|=2VP-d正=22. 的斜率存在时，设方程为y一5=(x一3)，即 【变式训练2】 :-y+5-3动=0，由题意知k-2+5-3张 解：由方程x2+y2一2x-2y+1=0可知，圆心坐 √+T 标为(1,1)，半径r=1.由|AB|=2√-可得 2.解得长=音·所以方程为5x-12y十45=0.故 2V一不=区.所以d=号设直线的斜率为， 过点M的圆C的切线方程为x=3或5x-12y十 45=0. 则直线1的方程为y十2=k(x十1)，即x一y十k (2)已知圆心C(1,2)和点N(2,1),则kc= 2=0.所以圆心到直线虹一y+k一2=0的距离d= 2=一1，又kx·k=一1，所以k=1,则 2-1 是--号解得-1 k+(-1)月 VHI 172 测数学同步辅导与测评·基础模块·下册