6.5.1 直线与圆位置关系的判断-【通关练测】中等职业技术学校数学基础模块(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

通关测 数学同步辅导与测评·基瑶模块·下册 6.5 直线与圆的位置关系 6.5.1 直线与圆位置关系的判断 学习目标 重点难点 ○掌榄直线与圆的位置关系，会判断一条直线与四的位置 关系： @依据直线与园的方程，能熟练求出它们的交点坐标： 重点：直线与圆的住置关系， 。能通过比较园心到直线的距离和华径之间的大小关系 难点：直线与圆的位置关原的判断及应月 来判断直线与國的位置关系； ○理解通过直线与圆的方程联立所得二元二次方程组的 解来判斯直线与圆的位置关系 知识回顾 1.在平面几何中，直线与圆有三种位置关系： 当直线与圆没有公共点时，直线与圆 当直线与圆有唯一公共点时，直线与圆 当直线与圆有两个公共点时，直线与圆 2.直线与圆的位置关系可以由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断： (1)直线1与圆C相离台 (2)直线1与圆C相切曰 (3)直线1与圆C相交台 例题精讲 1判断直线与圆的位置关系 【例1】判断直线1：x一y+2=0与圆C:x2十y=2的位置关系. 【解题思路】方法一：通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系来判断直线与圆的位置关系。 方法二：通过直线与圆的方程联立所得二元二次方程组的解来判断直线与圆的位置关系， 解法一：由x十y2=2可知，圆心C(0,0),半径r一√2.因为圆心C(0,0)到直线l的距离d= 21 √+(-1)月 =√2=r,所以直线与圆相切. 解法二：联立方程2一y十2=0， 得x2+2x+1=(x十1)2=0，解得x=一1，y=1,所以直线与圆 x2+y2=2, 只有一个交点（一1,1），故直线与圆相切. 变式训练1判断直线l:x+2y+2=0与圆C:(x一1)2+(y+1)2=4的位置关系. 54 直线与圆的方程 第6章 2求直线与圆的交点坐标 【例2】求直线1：x一y-1=0与圆C:(x一2)2十y2=1的交点坐标. 【解题思路】联立直线与圆的方程，所得二元二次方程组的解，即为直线与圆的交点坐标。 联立方程2一y一1=0， 得x2-3.x+2=0,解得x1=1,x2=2. (.x-2)2+y=1, 当x=1时，y=0:当x=2时，y=1.所以直线与圆的交点坐标为(1,0)和(2,1). 变式训练2求直线1：x一y十1=0与圆C:x2+y2=1的交点坐标. 3由直线与圆的位置关系求参数的值（或取值范围） 【例3】已知直线1：y=x十1与圆C:(x一1)+y2=2(r>0)相切，则r= 【解题思路】由圆心到直线的距离和半径之间的大小关系，列出与参数有关的式子，即可求解，依题意， 圆心C1,0)到直线1y=x十1的距离等于半径r,即1-0+L=2=r,故r=2 √+(-1)7 变式训练3◆若直线x十y-m=0与圆x十y=2相离，则m的取值范围是 自我测评 基础巩固 一、选择题 1.直线3x+4y一5=0与圆x2+y=1的位置关系是 A.相交 B.相切 C,相离 D.无法判断 2.直线3.x+4y+12=0与圆(x-1)+(y+1)”=9的位置关系是 A,相交且过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 3.若圆C:x2+(y一a)=r(r为圆C的半径)关于直线l:x一y+1=0对称，则a= A.1 B.-1 C.r D.-r 4.若直线x十y十m=0与圆x2十y=m(m>0)相切，则m的值为 A.0或2 B.2 C.2 D.4 5.已知集合A={(x,y)x2+y=4},B={(x,y)|x+y=1},则A∩B的元素个数是( A.0 B.1 C.2 D.4 6.直线x十my一1=0与圆x2+y一2x一4y=0的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 7.以点(3，一1)为圆心，且与直线x一3y十4=0相切的圆的方程是 A.(x-3)2+(y+1)=10 B.(x-3)+(y+1)F=100 C.(x+3)2+(y-1)2=10 D.(x+3)2+(y-1)=100 二、填空题 8.直线3x十4y一5=0与圆x十y2=1的位置关系是 .(选填“相交”“相切”“相离”) 9.以点(2，一1)为圆心且与直线3.x+4y一7=0相切的圆的标准方程是 55 通关练测数学同步辅导与测评·基瑶极块·下册 10.直线y=√3.x十m与圆x2+(y+1)=1相切，则m= 11.已知圆(x+3)2十(y一1)2=r(r>0)与x轴相切，则r= 12.直线1：3.x+4y-5=0与圆C:2.x2+2y2-4x-2y+1=0的交点有 个 13.已知直线1：x一y+2=0,圆C:x2+y=(r>0),若直线1与圆C相切，则圆C的半径r= 三、解答题 14.当m为何值时，直线：y=x+m与圆x2十y2=1满足以下条件： (1)相交：(2)相切：(3)相离. 15.圆P的圆心坐标为(0，一2)，且过点A(4,1). (1)求圆P的方程： (2)判断直线x十2y十9=0与圆P的位置关系. 16.已知直线1：x一2y一5=0与圆C:x+y2=50相交于A.B两点，求A、B两点的坐标. 17.设b为实数，若圆x2十y2十4x十2by+b2=0与x轴相切，求b的值. 零能力提升 1.直线kx一y十2一k=0与圆x2十y2一2x一8=0的位置关系为 A,相交、相切或相离 B.相交或相切 C.相交 D.相切 2.若直线x一y+1=0与圆(x一a)+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是 A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞，-3]U[-1,+o∞) 56得a<2. y=0对称，故选项C正确：对D:圆C的圆心不在 12,x十y十6x-2y-15=0【解析】设圆的一般 y轴上，但圆C过原点，故选项D错误， 方程为x2十y+Dx十Ey+F=0,D十E 6.5直线与圆的位置关系 4F>0,将三点坐标代入，可得 25+5E+F=0, D=6. 6.5.1 直线与圆位置关系的判断 1+4十D-2E+F=0,解得E=-2,所 【变式训练1】 19+16-3D-4E+F=0, F=-15, 解：由(x一1)2+(y+1)=4可知，圆心C(1,一1)， 以圆的一般方程是x2+y2+6.x-2y一15=0. 半径r=2.因为圆心C(1,一1)到直线1的距离d= 三、解答题 11-2+2⊥= 5 <2,所以直线与圆相交， 13.解：(1)圆的标准方程为(x一3)2十y2=9,所以 √1+2 圆心为(3,0)，半径为3. 【变式训练2】 (2)圆的标准方程为(x一1)°十(y十2)= 5 x-y十1=0， 2 解：联立方程 得x2十x=0,解得 x2+y=1, 所以圆心为(1，-2)，半径为 x1=0,x=一1.当x=0时，y=1,当x=-1时， 2 y=0.所以直线与圆的交点坐标为(0,1)和（一1,0）. 14.解：设圆的方程为x2十y2十Dx十Ey十F=0, 【变式训练3】 F=0, D=2, m<一2或m>2【解析】设圆心O0,0)到直线的 则4一2D+F=0,→E=-2,故圆的方程为 4+2E+F=0 F=0 距离为d,则d=10+0-ml=1m,圆的半径 √② x2+y十2x-2y=0,即(x+1)+(y-1)2=2. 15.解：设所求圆的方程为x+y十Dx+Ey+F 「=E.因为直线与圆相离，所以d>r,即号m> 0,则圆经过A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点， E,所以|m|>2,解得m<-2或m>2. 5+12+5D+E+F=0. 自我测评 代入方程得7十(-3)2+7D一3E+F=0,解 【基础巩固】 22+(-8)+2D-8E+F=0, 一、选择题 D=-4, 1.B【解析】圆x+y=1的圆心为(0,0)，半径r= 得E=6, 所以所求圆的方程为x2十y一4x十 1,圆心(0,0)到直线3x十4y一5=0的距离d= F=-12. 6y-12=0. V3十示=1=八则直线与圆相切. 5 【能力提升】 2.D【解析】圆心坐标为(1，一1)，半径r=3,圆心到 1,B【解析】圆心为C的圆的标准方程为(x一3)2十 直线的距离d=3X1+4×(-D+12L (y十2)=22，圆心为C:的圆的标准方程为 V3+4 (x一2)+(y+1)2=14,所以两圆圆心分别为 <，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交 C(3,-2),C(2,一1)，所以圆心距CC= 6 但不过圆心 /(3-2)+(-2+1)F=√2. 3.A【解析】由题意可知，直线l应过圆心C(0,a),所 2.C【解析】因为圆C的方程为x2+y2+2ar一 以0一a十1=0，解得a=1. 2ay=0,即(x十a)2+(y-a)2=2a.所以圆心坐 4,B【解析】由题意可知m>0且圆心(0,0)到直线 标为(-a,a),半径r=2a(a≠0).对A:圆C 的圆心不在直线y=x上，所以圆C不关于直线 的距离d=m=m,解得m=2. √2 y=x对称，故选项A错误；对B:圆C的圆心不在 5,C【解析】集合A={(x,y)|x2十y=4)表示以 x轴上，但圆C过原点，故选项B错误：对C:圆C的 (0,0)为圆心，以2为半径的圆上的所有点，集合 圆心在直线x十y=0上，所以圆C关于直线x十 B=(xy)|x十y=1}表示直线x十y-1=0上 训练测评参考答案 169 的所有点.圆心(0,0)到直线x十y一1=0的距离 三、解答题 d=0+0-1山=2 14.解：由已知得圆的圆心坐标为(0,0)，半径r=1, <2,则直线x十y-1=0 +1 2 圆心到直线：x一y十m=0的距离d= 与圆x十y=4相交，有两个公共点，故A∩B的 10-0+m⊥=m 元素个数为2. +(-1) 6.B【解析】直线x十y-1=0恒过定点(1,0)，而 (1)令d<r,即m<1,即|m<区，解得 1°+0一2×1一4×0<0，故点(1,0)在圆的内部， √② 故直线与圆的位置关系为相交 一√2<m<√反.所以当一2<m<√2时，直线 7.A【解析】圆心(3，一1)到直线x-3y十4=0的 1与圆C相交 距离为d=3-3X二D±4=m,因为直 (2)令d=r,即m=1,即|m=区，解得m= √+(-3) 线与圆相切，所以r=√⑥，所以圆的方程是 士√2.所以当m=士√厄时，直线1与圆C相切. (x-3)+(y+1)=10 (3)令d>,即m>1,即1m>,解得m< 二、填空题 √2 8.相切【解析】圆z2十=1的圆心为(0,0)，半径r= -2或m>√反.所以当m<-√2或m>√2时， 1,圆心到直线3x十4y一5=0的距离d= 5 直线1与圆C相离. 15.解：(1D圆心到点A的距离等于圆的半径，半径r= 1=P,所以直线和圆相切 |PA|=√(4-0)+(1+2)=5，故圆P的 9,(x-2)十(y十1)=1【解析】设圆心(2，一1) 方程为x2十(y十2)2=25. 到直线3r十4y一7=0的距离为d,则d= (2)圆心P(0,一2)到直线x+2y+9=0的距 13×2+4×(-1)-7=1.因为圆与直线相 /3+W 离d=0+2X二2)+91=5<5，即d<, 5 切，则r=d=1,所以圆的方程为(x一2)2十 直线与圆P相交. (y+1)2=1. x-2y-5=0, 10,一3或1【解析】因为直线y=√3x十m与圆x2十 16.解：由方程组{ 2+y=50, 消去x得y+4y (y+1)=1相切，所以圆心(0，一1)到直线的距 离d=5x0-一D+m=1,即1m+1川 5=0解得=1,9=-5，所以仁=7或 y=1 √/(/3)+(-1) 2,所以m=一3或1. (工=一5则点A,B的坐标分别是(7,1)，（一5， y=-5, 11.1【解析】由题可知圆心坐标为（一3,1），要使圆 -5). 与x轴相切，则需要使半径等于圆心到x轴的距 17.解：将圆x2+y+4x十2+=0化为标准方 离，即r=1时，圆与x轴相切 程(x十2)”十(y十b)炉=4，所以圆心坐标为（一2， 12.2【解析】圆的标准方程是c-D+(y-之)） 一b),半径为2.由圆与x轴相切可得|b=2,所 以6=士2. 子，圆心为C,之），半径为r=因为直线： 【能力提升】 1.C【解析】方法一：直线x一y十2-k=0的方程 3x+4y-5=0过圆心C(1,号），所以直线与圆 可化为k(x一1)-(y-2)=0,该直线恒过定点 有两个交点。 (1,2).因为1°十2”-2一8<0，所以点(1,2)在圆 13.√瓦【解析】因为直线1与圆C相切，所以圆心 x2+y2-2x一8=0的内部，所以直线kr-y十 C(0,0)到直线l:x-y十2=0的距离等于半径， 2-k=0与圆x+y2-2x-8=0相交. 所以r=10-0+2=2. 方法二：圆的方程可化为(x一1)十y2=3,所以 √2 圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线x一y十 170 关酒数学同步辅导与测评·基瑞模块·下册 2-k=0的距离为6十2-=2 圆心为(0,1)，半径r=√瓦.因为直线y=(x一1)十 √/I+k √1十kF 2<3,所以直线与圆相交 2与圆2+(y-1D=2相切，所以一-1+2 √K+I 2.C【解析】由圆的方程(x-a)十y=2可知，圆 √2，整理得(k十1)2=0，所以k=一1. 心为(a,0),半径为√2，由题意得圆心到直线的距 5.C【解析】因圆(x一a)+y=1(a>0)与直线y= 离d=a+≤2，解得a∈[-3,1]. V1+1 马：只有一个公共点，则直线x一5)=0与圆 6.5.2直线与圆相切 (x一a)十y2=1相切，圆心(a,0)到该直线的距 【变式训练1】 离为半径1，即aL =1分|a1=2,而 解：因为(3-2)+(-2+1)2=1+1=2<4，所 √1+(-37 以点P在圆C内，故过点P不能作直线与圆C相切. a>0,则有a=2,所以a的值为2. 【变式训练2】 6.D【解析】因为2：+（√6）=10，所以点M在圆 解：因为32+（一4）=9+16=25，所以点P在圆 上，且=号，所以过点M的切线斜率为一 1 C上，已知圆心C(0,0),则直线P℃的斜率为kr 2 8干青=一专设切线的斜率程在且为太由：如一 号过点M的切线方程为y一后=-5(x一2. 3 -1可得=子，故过点P3,-4,且与圆Cd十 即2x+6y-10=0. y2=25相切的直线方程为3x一4y一25=0. 7,B【解析】若切线的斜率不存在，则过P的直线为 【变式训练3】 x=4,此时圆心C(2,一3)到此直线的距离为2， 解：因为(-2)2+(0一1)2=4+1=5>1，所以点 即为圆的半径，故直线x=4为圆的切线，若切线 的斜率存在，设切线方程为y=k(x一4)十1，即 P在圆C外，已知圆心C(0,1),半径r=1,设切线的 斜率存在且为k,则切线方程可写为y=k(x十2)，即 kx-y+1-4h=0,故2=12k+3十1-4k1,解 √1十 x一y+2k=0.由圆心C到切线的距离等于半径， 可得1土2二-1，解得上=0或6=专故过 得k=三.故此时切线方程为3x-4y-8=0. √+(-1) 8,A【解析】因为圆的圆心在直线y=一x上，所以设 点P(-2,0),且与圆C:x+(y一1)=1相切的直 圆心为(a,一a).因为圆过点A(1,一3)，所以半径r= 线方程为y=0或4x-3y+8=0. /(a-1)+(-a+3)=√2a-8a+10.又因为 自我测评 圆与x十y-2=0相切，所以半径r=a一a-2 【基础巩固】 √2 一、选择题 √2，则√2a一8a+10=√E,解得a=2.故圆心为 1,B【解析】由于(1,2)满足x2十y=5,所以(1,2) (2,一2)，半径为√2，故圆的方程为(x一2)十(y十 在圆上，所以过点(1,2)且与圆x十y=5相切的 2)°=2. 直线有1条. 二、填空题 2.C【解析】由题得圆的圆心坐标为(1,1)，半径为 9.√10【解析】已知(x十2)+y2=广(r>0)的圆心 1,所以3十4+m=1,所以m=一2或-12： √3+4 为(-2,0)，故r=10+4-3×-2=√而. /9+1 3.D【解析】设圆心为(a,0),由题意得a-2 /1+T 10.± 3 :【解析】将方程x十y一4x十4y十7=0 (a-0)+(0一2)，解得a=-2,故圆的半径 转化为(x一2)+(y十2)2=1，圆的圆心为(2， r=√(-2-0)+(0-2)下=2√瓦，所以圆的方 一2)，半径r=1.因为圆和直线相切，所以圆心到直 程为(x十2)2十y2=8. 4.D【解析】根据题意可知，圆x十(y一1)=2的 线的距离为2二：上2》2=1pa=士停 I+(-a) 训练测评参考答案 171