6.4.2 圆的一般方程-【通关练测】中等职业技术学校数学基础模块(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

直线与圆的方程 第6章 6.4.2 圆的一般方程 学习目标 重点难点 ○正骑掌握图的一般方程及其代数特征： 重点：圆的一般方程的代数特征，与标准方程之间的 ⊙能根播给出的有关圆心和半径的条件求出圆的一 互化. 般方程： 难点：得定系致法桌闲的一般方程， ○能根搭园的一般方程熟练地求出阁心和半径： ⊙能完成回的标准方程和一般方程的互化 知识回顾 1.将方程r十+D:++F=0配方整理，得(x+)°+(y+号)=D广+- (1)当D+E一4F>0时，二元二次方程表示以 为圆心，以 为半径的圆. (2)当D+E-4F=0时，二元二次方程为(x+)°+(+号)=0，只有-组实数解x y= ,它表示一个点( (3)当D+E一4F<0时，二元二次方程没有实数解，不表示任何图形 2.圆的一般方程：当D十E一4F 0时，二元二次方程x十y2+Dx+Ey+F=0表示圆. 例题精讲 1工判断二元二次方程是不是圆的一般方程 【例】判断方程2十少一十十号=0是不是圆的一般方程，若是，求出圆心坐标和半径：若不是， 请说明理由. 【解题思路】方法一：当D十E一4F>0时，二元二次方程x+y2+Dx+Ey十F=0表示圆. 方法二：配方法，将二元二次方程2+y+Dx十+F=0配方成(+)+(+号) D+E=4F的形式。 4 解法一：依题意可知D=-1,E=4,F=,因为D+E-4F=(-1+华-4×至=12>0，所 以广+少一x+4g+号=0是圆的一般方程.由-号-多-号=一2可得，圆心坐标为（兮一2），半径 2 为D+亚=平= 2 2 解法二：方程r+y-x+4y+5=0可配方成(x-)）+(y十2)=3，所以2+y-x+4y+ 号=0是圆的一般方程，圆心坐标为分，一2)：半径为原。 变式训练1判断方程x2+y2一2x+2y+1=0是不是圆的一般方程，若是，求出圆心坐标和半径： 若不是，请说明理由. 51 通关练测数学同步辅导与测评·基瑶横块·下册 2待定系数法求圆的方程 【例2】求过三点A(2,2),B(5,3),C(3,一1)的圆的方程，并求圆心坐标和圆的半径. 【解题思路】方法一：设圆的方程为x2十y十Dx十Ey十F=0,代入三点坐标，得到三元一次方程组， 用待定系数法求出D、E,F的值即可. 方法二：设圆的方程为(x一a)”十(y一b)=(r>0),则圆心坐标为(a,b),半径为r.代入三点坐标， 得到三元二次方程组，用待定系数法求出a、b、r的值即可. 解法一：设圆的方程为x+y十Dx+Ey+F=0,代人三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,一1)可得 4+4+2D+2E+F=0, D=-8, 25+9+5D+3E+F-0,解得E=-2,故圆的方程为2+y-8x-2y+12=0.由-号=4， 2 9+1+3D-E+F=0, F=12, =1,可得圆心坐标为4，)，半径为D+一亚=6士4一8=V5. E 2 2 解法二：设圆的方程为(x-a)2+(y一b)=r2(r>0),则圆心坐标为(a,b),半径为r.代人三点A(2, (2-a)2+(2-b)2=2, a=4, 2),B(5,3),C(3,-1)可得(5-a)2+(3-b)2=r,解得b=1, (3-a)2+(-1-b)°=r2, r=5. 故圆的方程为(x一4)2+(y一1)2=5，圆心坐标为(4,1)，半径为v5. 变式训练2求过三点A(1,一1)、B(1,4),C(4,一2)的圆的方程，并求圆心坐标和圆的半径 自我测评 令基础明固 一、选择题 1.下列方程表示圆的是 A.x2+y+xy-1=0 B.x2+y2+2.x+2y+2=0 C.x2+y-3x+y+4=0 D.2x2+2y+4x+5y+1=0 2.圆x2+y2-2.x+4y+3=0的圆心为 A.(1·-2) B.(-1,2) C.(2,-4) D.(-2.4) 3.已知实数x、y满足x十y2十8x一4y十16=0.则y的最大值是 A.3 B.2 C.-1 D.4 4.已知圆的方程是x2十y+2x一6y十8=0，那么经过圆心的一条直线的方程是 A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0 C.2x+y-1=0 D.2x-y-1=0 5.若方程x2十y一2y十1一m=0表示圆，则实数m的取值范围为 A.(-6o,1) B.(1,+co) C.(-∞，0) D.(0,+∞) 6.若圆x2十y2一m.x十2my十m2一3m=0过坐标原点，则实数m的值为 A.0或3 B.一1或一2 C.3 D.0 52 直线与圆的方程 第6章 二、填空题 7.圆C:x2+y-4x-4y-6=0的半径等于」 8.圆x2+y2-2.x+3y一3=0的直径为 9.与圆x2+y2一4x十6y+3=0同圆心，且过点(1，一1)的圆的方程是 10.点(1,0)与圆x+y-4x一2y+1=0的位置关系是 ,(选填“在圆内”“在圆上”或“在 圆外”) 11.方程x2十y一2x+6y+5a=0表示圆，侧a的取值范围是 12.经过三点A(0,5)、B(1,-2)、C(-3,一4)的圆的一般方程为 三、解答题 13.写出下列圆的圆心坐标和半径： (1)x2+y2-6x=0: (2)2x°+2y2-4x+8y+5=0. 14.求经过A(0,0),B(一2,0)、C(0,2)三点的圆的方程. 15.△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1)、B(7,一3)C(2,一8)，求它的外接圆的方程. 能力提升 1,若圆心为C:的圆的方程为x2十y2一6x十4y-9=0,圆心为C2的圆的方程为x2十y一4x+2y- 9=0,则两圆的圆心距等于 () A.2 B.2 C.3 D.3 2.已知圆C的方程为x2+y2十2ax一2ay=0,则下列结论正确的是 A.圆C关于直线y=x对称 B.圆C的圆心在x轴上，且过原点 C.圆C关于直线x+y=0对称 D.圆C的圆心在y轴上，且过原点 试题精讲 53(5-8)}+(1+3){=5,圆心在点C(8. ry项,该方程不表示圆;B选项,对于方程^+十 一3),所以园的方程是(r-8)+(y十3)?=25 $r+2y+2-0,因为2+2-4×2-0.该方程 17.解:联立2x+y+1-0与x-2y+3-0.解得 不表示圆;C选项,对于方程x十y-3x+y+4 [r=-1. 0.因为(-3)+1-4×4<0,该方程不表示圆; '所以交点为(一1,1),则圆的半径为 -1. D选项,方程2-^*+2y+4x+5y+1=0可化为 (-1+2)+(1-1)-1,所以圆的方程为 (x+2)+(y-1)-1. 【能力提升】 1.C【解析】设圆心坐标为(x,y),由三个顶点坐标 2.A【解析】由x+y-2x+4y+3=0,得(x- 可知△ABC是直角三角形,且 AOB=90{*},所以 1)*}+(y+2)*=2,所以圆心为(1,-2). AAOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点,由 3.D【解析】将方程++8x-4y十16一0化 0-4-2. 为(r+4)}+(y-2)-4.所以(y-2)<4,解 2 2 得0<y<4,即y的最大值是4. 故圆心坐标为(1,-2). 4.C【解析】把x++2x-6y+8=0配方得 2.A【解析】对y一一4一工两边平方整理得十 (x+1)+(y-3)-2,圆心为(-1,3),代入各 y一4(y<0),所以方程表示圆心为坐标原点,半 选项,可知直线2x十y一1=0过圆心. 径为2的圆在x输及下方的部分,A选项满足。 5.D【解析】方程x^*+y-2y+1-n-0化为标 6.4.2 圆的一般方程 准式得+(y-1)=n,则n>0. 【变式训练1】 6.C【解析】将(0,0)代入园的方程,得n一3 解:依题意可知D--2.E-2.F-1.因为D+E 0.解得n-3或0.当m-3时,+y-3x+6y$ $F=(-2)+2-4×1-4 0.所以+-2+$$ 0.满足题意;当n=0时,r十y一0.不满足题 2y+1-0是圆的一般方程.由-D --1可 意,所以n-3. 2 二、填空题 得,圆心坐标为(1,-1),半径为D-4F 7. 14【解析】把方程+-4x-4y-6=0化 2 为(x-2)+(y-2)-14,所以圆的半径为 14 8.5【解析】由题意可知,r+-2x+3y-3= 【变式训练2】 解:设园的方程为x^+y{十Dx十Ey十F=0,代人 三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2),可得 r_ (1+1+D-E+F-0. [D--7. 9.r+-4r+6+8-0 【解析】依题意,设所求 1+16+D+4E+F=0.解得 E=-3. 故 圆的方程为r^+y{-4x+6y+n-0,由于所求 16+4+4D-2E+F-0. F-2. 圆过点(1,-1),所以1+1-4-6+m-0,解得 n=8.所以所求圆的方程为x*十y-4x+6y十 8-0. 10.在圆内【解析】圆x+-4x-2y+1-0化 49+9-85v2 D+E-4F 为(x-2)+(y-1)=4,园心坐标为(2,1),半 2 2 径为2,点(1,0)到圆心的距离为 自我测评 (2-1)+(1-0)-v2,因为v2<2,所以点 【基础巩固】 (1,0)在圆内. 一、选择题 11.(-c,2)【解析】由x+-2x+6y+5a= 1.D【解析】A选项,方程+y+xy-1-0中有 得(x-1)*+(y+3)-10-5a,则10-5a0. 168 数学同步辅导与测评·基础模块·下册 得a<2. y=0对称,故选项C正确;对D:圆C的圆心不在 $2.++6x-2y-15-0【解析】设圆的一般 y轴上,但圆C过原点,故选项D错误. 方程为^+y+Dx+Ey+F=0,D+E 6.5 0 直线与圆的位置关系 4F0.将三点坐标代人,可得 6.5.1 25+5E+F-0. (D一6. 直线与圆位置关系的判断 1+4+D-2E+F-0,解得 E--2,所 【变式训练1】 F--15. 9+16-3D-4E+F-0. 解:由(x-1)+(y+1)=4可知,圆心C(l,-1), 以圆的一般方程是^+y+6x-2y-15-0.$ 半径r=2.因为圆心C(1,-1)到直线/的距离d 三、解答题 11-2+21-5 <2.所以直线与圆相交 1十2 13.解:(1)圆的标准方程为(x-3)十y-9,所以 5 圆心为(3,0),半径为3. 【变式训练2】 (x-y+1-0. (2)圆的标准方程为(x-1)+(y十2)*= 解:联立方程 2 得?十r-0,解得 十-1. 所以圆心为(1,-2),半径为10 r.=0,r=-1.当r=0时,y-1;当x=-1时, y-0.所以直线与圆的交点坐标为(0.1)和(一1.,0). 14.解:设圆的方程为^+y+Dr+Ey+F-0, 【变式训练3】 [F=0. [D-2, n -2或m2【解析】设圆心0(0,0)到直线的 则 4-2D+F-0,→E--2,故圆的方程为 距离为d,则d-]0+0-m 4+2E+F-0 F-0. ② &++2x-2y-0,即(x+1)+(y-1)-2. 15.解:设所求园的方程为r^+y{+Dr十Ey+F= 0.则圆经过A(5,1)、B(7,-3)、C(2.-8)三点, ②,所以n2,解得n<-2或n 2. [5+1+5D+E+F-0. 自我测评 代入方程得 7*+(-3)+7D-3E+F-0.解 【基础巩固】 2*+(-8)+2D-8E+F-0. 一、选择题 D--4. 1.B.【解析】圆至十v=1的圆心为(0,0),半径r 得E一6 所以所求圆的方程为x}十-4x+ F--12. 1.圆心(0,0)到直线3x+4y-5-0的距离d 5 6y-12-0. 一1一r.则直线与圆相切. ③+4f 【能力提升】 2.D【解析】圆心坐标为(1,一1),半径,一3,圆心到 1.B【解析】圆心为C的圆的标准方程为(r一3)士 直线的距离d- 3×1+4×(-1)+12 (y+2)*一22,圆心为C。的圆的标准方程为 ③+4f (x一2)十(y十1)=14,所以两圆圆心分别为 11 <r.又因为直线不过圆心,所以直线与圆相交 C.(3,-2),C(2,-1),所以圆心距C.C= (3-2){+(-2+1)-v②. 但不过圆心. 2.C【解析】因为圆C的方程为r^{①}+y+2ax- 3.A【解析】由题意可知,直线/应过圆心C(0.a),所 以0-a+1-0,解得a-1. 2ay-0,即(r+a)+(y-a)*}-2a,所以圆心坐 4.B【解析】由题意可知n0且圆心(0.0)到直线 标为(-a,a),半径r=v②la|(a子0).对A:圆C 的距离d-|ln.,解得n2. 的圆心不在直线y三x上,所以圆C不关于直线 ② y一x对称,故选项A错误;对B:圆C的圆心不在 5.C【解析】集合A=(x,y)|+y=4表示以 r轴上,但圆C过原点,故选项B错误;对C:圆C的 (0.0)为圆心、以2为半径的圆上的所有点,集合 圆心在直线x十y=0上,所以圆C关于直线x十 B-((r,y)|x+y-1)表示直线x+y-1-0上 训练测评参考答案 169