6.3.2 两条直线相交-【通关练测】中等职业技术学校数学基础模块(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

通关练圆 数学同步辅导与测评·基疆模块·下册 6.3.2 两条直线相交（第1课时） 学习目标 重点难点 ⊙知道两条直线的相文、平行和重合三种位置关系· 重点：两条真线的位置关系与它们所对应的方程组的 对应于相应的二元一次方程瓴有唯一解、无解和无 解的个数的对应美系，本节是以交，点个数为特 穷多组解： 任对两直线位置关系的进一步讨论， ⊙会应用这种对应关幕通过方程判断两直线的位置 难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关 美系，以及由已知两直战的位置美系求它们方程的 系的讨论 系数所应满足的条件， 知识回顾 1.两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标就是这两个方程组成的方程组的 ,反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点，必定 是直线与le的 ,因此，求两条直线的交点就是求这两个直线方程的 Ax+By+C=0, 2.方程组 A:x+B:y+C:=0 的解与两方程的系数有关系，当公≠是时，两直线相交，方程组有 时，两直线重合，方程组有无数个解：当会一层≠号时，方程组无解，此时两直 线 例题精讲 1求两条直线的交点 【例1】设三条直线x一2y+3=0,x+y一1=0，x一(k+1)y-5=0,若这三条直线相交于一点，求 k的值 【解题思路】由三条直线相交于一点，可先求出两条直线的交点，这个点也在第三条直线上 1 由-2y+3=0 I=- 解得 x+y-1=0, 因为三条直线相交于一点，所以（一号，号）在直线x-(:+Dy y= 3 5=0上，代人得k=一5. 变式训练1求直线l:5.x+y+6=0与42：x十3y-4=0的交点. 2求交点所在象限问题 【例2】直线2.x十3y一m=0与直线5x十4y一2m一1=0的交点在第四象限，求m的取值范围. 【解题思路】先求出两直线的交点，根据第四象限点的坐标的特点，横坐标为正、纵坐标为负，解不等式 组求出字母m的取值范围. 40 直线与圆的方程 第6章 x=2m+3 2x十3y-m=0, 7 方程组 5.x+4y-2m-1=0 y=m-2 所以两直线的交点坐标为（色m+3,m,),因为此 7 r 2m+3>0, 交点在第四象限，所以 → 3 y=m2<0 2 <m<2,故所求m的取值范围是（仁受2）】 7 变式训练2若直线x十y十m=0与x一y十1=0的交点在第二象限，则m的取值范围是 3有关直线过定点问题 【例3】求经过两直线l41:x十y一2=0和l:x-2y十4=0的交点A,且与直线l:3.x-4y+5=0平 行的直线1的方程. 【解题思路】此题可通过将(，的方程联立，求出交点A的坐标，再利用点斜式求出直线1的方程. (x十y-2=0, 由 x-2y+4=0, 得二。所以4(02.又，=是.1与1，平行，所以=是由点斜式可得1的 y=2. 方程为y= x+2,唧3r-4y+8=0. 3 变式训练3 求经过点(2,3)且经过两条直线1：5.x+2y+6=0与1：x+3y一4=0的交点的直 线方程. 自我测评 孕基础巩固 一、选择题 1.直线3x+y-5=0与x+y-1=0的交点是 A.(2,-1) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-2,-1) 2.若（一1，一2）为直线ax十3y十8=0与x-y=0的交点，则a,b的值分别为 A2号 B22 c-2.-号 n-2号 3.已知三条直线y=2.x,x十y一3，mx十y+5=0交于一点，则坐标(m,n)可能是 A.(1.-3) B.(3,-1) C.(-3,1) D.(-1.3) 4.直线mx+8y+2m=0和直线.x+2my一4=0相交，那么 A.m=-2 B.m=2 C.m=士2 D.m≠士2 5.若两条直线x十my一5一0与x十y+1一0的交点为(1，一3)，则m+十n的值为 A.3 B号 C.-2 D.2 6.若直线4：x十my-6=0与14：(m一2)x十3y+2m=0只有一个公共点，则 A.m≠-1且m≠1 B.m≠3且m≠1 C.m≠-1且m≠-3 D.m≠一1且m≠3 97 通关练测数学同步辅导与测评·基瑶横块·下册 二、填空题 7,直线l1:3.x+4y一5=0与直线l4:2x-3y+8=0的交点坐标为 8.已知l:x一y一1=0，：2.x一y+3=0,l:x十y一5=0，若，l2、l只有两个交点，则m= 9.经过直线x一y十1=0和x十y一1=0的交点，且与3x十2y十8=0平行的直线方程为」 10.无论表为何值，直线(k+2)x+(1一)y一5一4k=0都过一个定点，则这个定点的坐标为 三、解答题 11.求过直线2.x一y+4=0和直线x-y+5=0的交点，且与直线2x+3y+7=0平行的直线方程. 12.三条直线ax+2y+8=0,4.x十3y=10和2x一y=10相交于一点，求a的值. 13.已知直线41：y=一x十4与直线：y=,x+2k十1的交点在第四象限，求的取值范围. 令能力提升 1.直线ax十(3-2a)y=1恒过定点 2.证明：无论m为何值，直线(m一1)x十(2m一1)y=m一5都恒过一个定点 6.3.2 两条直线相交（第2课时） 学习目标 更点难点 ©理解两条直线垂直的条件，会综合运用平行垂直美 重点：用斜单判定两条直线平行的方法及其应用. 系判定两直线的位置关系： 难点：针率的存在性以及数形站合，分要讨论思想的 ⊙通过两直线的位置关系，培养学生观察、分斯，解决 运用. 问题的能力： ●使学生领语到两直线的每直与平行关系，二希或然 不同，但却是互相联原的让学生体会类北思想的 应用，欣赏数学之美，激发学生的学习兴施， 知识回顾 1,设直线4：y=kx十b,直线l:y=k2x十b,若l⊥l,则 ,反之，若 ,则⊥2 42 直线与圆的方程 第6章 若直线l:x=a,直线l4:y=b,则l⊥l2. 2.在一般式下，设l1:Ax+By十C=0,l:Ax十By十C=0,则4⊥的充要条件是 例题精讲 1已知两条直线垂直，求参数的值 【例1】直线l:ar十(1-a)y=3与：(a一1)x十(2a十3)y=2互相垂直，求a的值， 【解题思路】利用两条直线垂直的条件求解。 解法-：当a=1时，直线4=3，直线6y=号，所以k上6 当a=-是时：-受+受=3山：-2=2，所以（与6不垂直， 当a≠1且a≠-多时，由6=-1，得2马=-1.得a=-3 综上所述，当a=1或a=一3时.l⊥. 解法二：由l⊥l2,得a(a一1)+(1-a)(2a+3)=0. 解得a=1或a=-3,所以当a=1或a=-3时，l4⊥. 变式训练1如果直线的斜率为a,4⊥2，那么：的斜率为 () 4.1 B.a C.-1 D.一1或不存在 2根据垂直求直线的方程 【例2】求过点A(7,一4)且垂直于直线5x一4y一7=0的直线方程. 【解题思路】解此题可利用垂直关系先求出直线的斜率，再利用点斜式求出所求的直线方程，也可以利 用垂直关系直接设出所求直线方程，代入条件即可， 解法一：因为直线5x一4y一7=0的斜率为？，又因为所求直线与已知直线垂直，所以该直线的斜率为 号，且该直线过点A(7,-4).因此所求直线方程为y-（一4)=-考x-7),即4r十5y-8=0, 解法二：设所求的直线方程为4x十5y+c=0,因为直线过点A(7,一4)，所以4×7十5×(-4)+c= 0,所以c=-8,故所求直线方程为4x+5y-8=0. 变式训练2过点(-1,3)，且垂直于2.x+y+3=0的直线方程是 () A.2x+y-5=0 B.2.x+y-1=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0 3两条直线位置关系的应用 【例3】求点A(一5，一2)关于直线x+y+3=0的对称点B的坐标. 【解题思路】A,B两点关于直线x十y十3=0对称，那么A,B两点所连线段的中点在直线x+y十3 0上：且直线AB与x十y+3=0互相垂直. 设点mm,则=品=二器=号AB的中点坐标为（四十D,”+名2） m-(-5) 2 (俨2，”2)因为直线十y十3=0的斜率为-1，由题意得 号-1 解得 ”25+”22+3=0 2 n=-1, 所以B的坐标为(-1,2). n=2. 43 通关练测数学同步辅导与测评·禁瑶梭块·下册 变式训练3已知点A(一4，一3)、B(3,4),求AB的垂直平分线的直线方程. 自我测评 基础顶固 一、选择题 1.已知过点A(-1,m)和B(m,5)的直线与3.x一y一1=0垂直，则m的值为 A.20 B.8 C.12 D.1 2.下列说法中正确的是 A,若直线1与l:的斜率之积为一1，则41⊥2 B.若直线1与l2互相垂直，则它们的斜率之积为一1 C.在直线与：中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与l2垂直 D.若直线与2的斜率都不存在，则l1⊥ 3.过点A(1,1),且与直线x十2y一1=0垂直的直线方程为 A.x-2y-1=0 B.2.x-y-1=0 C.2x+2y-3=0 D.x+2y+1=0 4.下列各组直线中，互相垂直的是 A.y=3.x+1与2.x-6y+4=0 B.y=-x与2x-2y+5=0 C.4x-3y=5与8.x-6y-10=0 D.3x+y-1=0与3r+3y+6=0 5.若直线1与直线3x一3y+1=0垂直，则1的倾斜角为 Λ.30 B.60 C.120 D.150 6.若直线y=3.x+1与直线x+By+C=0垂直，则 A.B=-3 B.B=3 C.B=-1 DB=号 二、填空题 7.若直线11：x+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2一1)=0垂直，则a的值为 8.经过直线x-y十1=0和x十y一1=0的交点，且与3x+2y十8=0垂直的直线方程为 9.直线1过点(2，-1)，且与直线5.x-2y+3=0垂直，则1的方程为 10.若直线l41:x十y一1=0与(2：x一2y十5=0垂直，则m的值为 三、解答题 11.已知点A(1,2)、B(3,1),求线段AB的垂直平分线的方程. 12.求过直线2x一y+4=0和直线x-y+5=0的交点，且与直线2x+3y+7=0垂直的直线方程. 直线与圆的方程 第6章 13.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(一2，一4)、B(6,6),C(0,6),求此三角形边BC的高所在的直 线方程. 试题精讲 弯能力提升 1.直线11,12的斜率是关于方程2k2一3k一b=0的两个根，若1⊥1，则6= :若11∥，则 be 2.已知直线11与直线1：x一3y十6=0垂直，l1与两坐标轴围成的三角形的面积是8，求直线（的方程. 6.3.3 点到直线的距离 学习目标 重点难点 ⊙理解点到直线距商公式的推导，熟练穿超点到直线 重点：点到直线的距离公式。 的距离公式 难点：点到直线的距离公式的理解与应用 @会用点到直线的距离公式求解两平行线间的距离： ©认识事物之问在一定条件下的转化，用联系的观点 看问题， 知识回顾 1.设A(1y),B(xgy2),则|AB= ,设M(x,),则M点到直线Ax+By+C=0的距 离为 2.求平面内两条平行线Ax十By十C=0与Ax十By十C=0间的距离，要注意两条直线x,y的系数， 再去套公式 例题精讲 1有关点到直线的距离问题 【例1】求点P(一1,2)到下列直线的距离.。 ①2x+y-10=0:②.x=1；③y=6. 【解题思路】直接套点到直线的距离公式即可. ①点P(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离为d=-2+2-10=25. √2+1 ②因为x=1平行于y轴，所以d=1一（一1）|=2. ③因为y=6平行于x轴，所以d=|6一2=4. 45自我测评 三、解答题 【基础巩固】 一、选择题 5-nt_ 当a=1时,两直线的方程分别为x十y=4和 rv一2.,两直线平行. 当a=-1时,两直线的方程分别为x一y-0和 x-y一0.两直线重合. 2.C【解析】若/:与/中一条直线的斜率存在,另一 所以a的值为1. 条直线的斜率不存在,则/.与1:不平行,故/与/ 14.解:因为L/1,所以a(a-1)-2=0,得a= 一定相交. -1或a-2.当a=-1时,l:-2x+2+1- 3.C【解析】设所求的直线方程为x十2y十c一0,由 0.7.;x-y+3=0,此时t/1,符合题意. 题意得3十c一0,c-一3,所以所求的直线方程为 当a-2时,4:x+2y+1-0.l:x+2y+3- r+2-3-0. 0.此时么/,符合题意,所以a的值为2或-1. 4.A【解析】由两条直线平行的条件判断。 15.解:设D(m,n).由题意得AB//DC.AD/BC,所 5.A【解析】因为h:- 以k-hcc,k-k,所以 1.不重合,所以1/. -1-30 得 -0=4-1' 6.A【解析】直线/的斜率一 fm=3. 角为30{。 1n-4. 所以D(3,4). 7.A【解析】设所求的直线方程为x-2y十c-0,由 【能力提升】 题意得1十c一0.c--1,所以所求的直线方程为 1.D【解析】由sina+cosa=0,得tana=-1,又 r-2y-1-0. ---1,得a-b,即a-b-0. 8.C 【解析】由(k-3)x(-2)-(4-)×2(-3)= 0.得^{-8+15=0,得 =3或5,经检验,当$ 2.解:设/.的方程为x-3y十c=0,令y=0,得x =3或=5时,//,且不重合 -令x-0,得y-,由题意得号1-e13 二、填空题 2 8.得c-士4v3.所以直线1的方程为x-3y十 43-0或x-3y-43-0. =-1或a-2, 得 所以a--1. 6.3.2 去1且a去2, 两条直线相交(第1课时 10.1【解析】因为两直线平行,所以1.解得 【变式训练1】 (-11,13)【解析】由{ (5x+y+6-0. b-a-1. 1r+3y-4-0. 11.3x-2y+18-0【解析】设直线/的方程为3x 所以乙.与7。的交点为(-113). 2y+b=0,令x-0,y= 得 所求的直线方程为3x-2y+18-0. 12.2 【解析】x+ay+2-0与2x-y+3-0平行, 【变式训练2】 则1x(-1)=2a,得a-- -1<m<1【解析】由 1x-y+1-0. 1r+y+n-0. x-+2=0.令x-0.则y=4.令y-0.则 r-m1. 1n+1<0. 2 得 2 由题意得 x=一2,所以/在两坐标轴上的截距之和为4一 1-n一0. 解 2-2. 2 训练测评参考答案 163 得-1<m<1. (x-y+1-0. 9.3x+2y-2-0【解析】由 x+y-1-0. 得 【变式训练3】 [x+3y-4-0. (r--2. (x=0.. 所以7。与 解:由 得 所以交点坐标为(0,1).因为直线3r+ 15x+2+6-0. 1y-2. y-1. 1。的交点为(-2,2). 2+8-0的斜率为=- 3,再由点斜式方程可 设所求直线7的方程为y一3一k(x一2),得 2-3 得y-1-- 2),即x-4y+10-0. 10.(3,-1)【解析】原直线可化为(2x+-5)+ 2r+-5-0. 自我测评 得 [x-3. k(r-y-4)-0.由 r-y-4-0. 【基础巩固】 1y--1. 一、选择题 所以定点的坐标为(3,一1). 三、解答题 3x+y-5-0, 得 (x-2. 1.A【解析】由 --1. 1r-1.. lx+y-1-0. 11.解:联立方程组 ,# 1r-y+5-0. 1y-6.” 2.A【解析】因为(一1,一2)为直线ar+3y+8= 1-a-6+8-0. 交点坐标为(1,6),设与直线2x十3y+7一0平行 0与r一by=0的交点,所以 解 1-1+2-0. 的直线方程为2x+3y+n=0,将点(1,6)代入 (=2. 得n=-20,所求直线方程为2x+3y-20-0. 得 4r+3y-10. 12.解:联立方程组 解得/×=4。 1--2. 即 2r--10. y-2. (r=1. 交点坐标为(4,一2),代入直线方程ar十2y 得 3.A【解析】由 '由三条直 1y-2. r十y-3, 8-0,得ax4+2×(-2)+8-0.解得a--1. 线相交于一点,可知m×1+n×2+5=0,结合选 (y=r+2+1. 项可知A项正确. 13.解:由 会 2. 因为 4.D【解析】因为直线mr+8y+2n=0和直线x士 ly--r十4. 2 2ny-4一0相交,所以这两条直线不平行,所以 该交点在第四象限,由 5 得 y<o.1 [n-2, {<一 (n-3+1-0. ”。 5.B【解析】由 1-3n-5-0. 得 __ <- 5. 2 【能力提升】 1.(,)【解析】原方程可化为a(r-2y)十3y- 6.D【解析】由题意知,两条直线相交,所以1×3一 n(m-2)0,得n字3且n-1. 二、填空题 (-2y-0. 1-0.由 得 (3x+4y-5-0. 3y-1-0.* 7.(-1,2)【解析】由 12x-3y+8-0. 1=-1, 2.证明:因为(m-1)x+(2m-1)y=m-5,所以 得 1y-2. m(x+2y-1)-(x+y-5)-0. x+2y-1-0. 8.-1或- 1r=9. 由 【解析】因为/与1:相交,若要三条 所以直线 lx+y-5-0. ly--4. 直线只有两个交点,则7/1.或1。/7。,得n (m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点(9,-4). -1或n=- 164 数学同步辅导与测评·基础模块·下册 6.3.2 两条直线相交(第2课时) 0垂直,则3x(-)--1.得B=3. 【变式训练1】 二、填空题 D【解析】当a一0时,/.与:轴平行或重合,则/:与 # 【解析】因为直线1:x+2y+6一0与直线/。: y轴平行或重合,此时/:的斜率不存在. 当a学o时,由&k。--1,得。---,即。的斜率 x+(a-1)y+(a*-1)-0垂直,所以11+ 【变式训练2】 8.2r-3y+3-0【解析】由 1x+y-1-0. D【解析】设所求的直线方程为:一2y十c=0,由题 r-0. '所以交点坐标为(0.1),因为直线3x十2y十 意得一1一6十c-0,得c-7.故所求直线的方程为 -1. x-2y+7-0.故选D. 8-0的斜率为:-- 【变式训练3】 解:由题意可得a= 一1,AB的中点 2r-3y+3-0. 9.2x+5y+1-0【解析】因为直线5x-2y+3= -(a+)即x+y-0. 0的斜率为-,所以所求直线的斜率为一 自我测评 点斜式方程可得y十1-- 【基础巩固】 5y+1-0. 一、选择题 10.2【解析】因为直线7:nr十y-1-0与l:r- 5-n $y+5-0垂直,所以nx1+1x(-2)-0,得 m=2. 三、解答题 2.A【解析】若直线/.与/:的斜率之积为一1,则 1/,故A正确;若直线/与/互相垂直,可能 有一条直线的斜率不存在,故B错误;若4与中 (2.),又-2-,又乘直平分线上 一直线的斜率存在,另一条直线的斜率不存在,则 AB,所以&一2.所以线段AB的垂直平分线的方 1. 与/。不平行,/ 与。一定相交,但不一定会重 程为y一 3-2(r-2),即4x-2y-5-0. 直,故C不正确;若直线7. 与1.的斜率都不存在 (2x-y十4-0解得{ 则/。,故D不正确. 12.解:联立方程 1r-y+5-0. 3.B【解析】因为直线x十2y-1一0的斜率为一 y-6. 交点坐标为(1,6).因为直线2x+3y+7-0的斜 故所求直线的斜率为2,再由直线的点斜式方程可 得y-1-2(r-1),即2r--1-0. 率为一 4.B【解析】由两条直线垂直的条件判断,可知选B 线的斜率为3,再由点斜式方程可得y一6= 5.C【解析】如图所示,因为直线 13.解:由题意可知,设边BC的高所在直线为/,所 所以直线3x-3y+1-0的倾 6-6_0,所以 斜角为30{}则直线/的倾斜角为120{ 以BC所在直线/的斜率为xc= 0-6 6.B【解析】若直线y-3x+1与直线x+By+C= 边BC的高所在的直线/的斜率不存在,因为/过 训练测评参考答案 165 点A(一2,-4),所以/的直线方程为x=-2. 2.C【解析】将直线x-y-2化为x-y-2-0.由 【能力提升】 1.2;- 1+(-1 【解析】由么上,得--1,即- 3.B【解析】由点到直线的距离公式可得d= 一1,得6一2;当7./7.时,方程有两个相等的实 $1+1+,得|2+cl-2,得=0或-4. . 根,即△-9+8b-0.得b-- 2 4.B【解析】由两平行直线的距离公式可得d一 2.解:因为直线l。:x-3y十6-0的斜率为寸,所以 11-41-1. 4+3 1.的斜率为一3.设直线/.的方程为y=-3x+6. 5.C【解析】由两平行直线的距离公式可得d= 11- -2,得|1+cl-10,得c-9或-11. 1·161-8.得6-土45.所以直线1,的方 V4十3 6.C【解析】由题可知,直线y=-2x--2可化为 程为y=-3x士4③. 2x+y十k十2一0,由两平行直线的距离公式可得 -++4 +6<,且+2-4 6.3.3 点到直线的距离 2+1 5 【变式训练1】 即 -6,得-5 +6 <5,即-11 -$$$ (1)2}(2)2. 且--6。 二、填空题 【变式训练2】 【解析】由点到直线的距离公式可得d一 11+2+21-5-52 【变式训练3】 1+1f 2 解:显然所求直线的斜率存在,设直线方程为y一士 [2-十b, 【解析】将直线2x+3y+8=0化为4x 6.由题意可得 12-3+|14+5+b. 化简得 6y+16=0,由两平行直线的距离公式可得d= +1 118-1613 (+b-2, (十-2. (一-4, 4+6 所以 或 或 13: 一-4. 3+b+1-0. 16-6. 9.士v2【解析】由点到直线的距离公式可得d lo+o+ll -1,得c-v②,得c=士② +1” ② 10.2r+y-3-0或x-2y+1=0【解析】由题 故所求直线的方程为y=-4十6或y=- 意可知,直线/的斜率存在,设所求直线方程为 y-1-(r-1),即r-y+1--0,由题意$ 即4r+y-6-0或3r+2y-7-0. 得-12-+1-1#5,得 -2或. 自我测评 +(-1) 【基础巩固】 所以所求直线方程为2x十y-3-0或x-2y+ 一、选择题 1-0. 1.A【解析】由题意可知,如下图所示 三、解答题 y 11.解:(1)由两点间的距离公式可得|AB (-3-0)+(2-3)-10. --2 $2×-1)+3+41-15-5. (2)由点到直线的距离公式可得d= 2+1 5 166 数学同步辅导与测评·基础模块·下册