5.5 指数函数与对数函数的应用-【通关练测】中等职业技术学校数学基础模块(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

指数函数与对数函数 第5章 5.5 指数函数与对数函数的应用 学习目标 重点难点 ©指数函数与对数函数的应用： 重点：指数函数与对数品数的应用， ⊙用数学方法解决有关的实际问题 难点：用数学方法解决有关的实际问题。 知识回顾 1.一般地，形如 的函数称为指数函数，其中常数a称为指数函数的底数，指数x为自变量，x∈R 2.一般地，形如 的函数称为对数函数，由“零和负数没有对数”可知，对数函数的定义域为 例题精讲 1指数函数模型 【例1】已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长5%，则x年后 的产量为 件 【解题思路】先分析一年后、两年后、三年后的产量，利用指数幂的运算，即解得1000×(1十5%)， 变式训练1《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间 单位国内生产总值能耗降低20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x,那么x满足的方程是 2对数函数模型 【例2】某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这 家工厂生产这种产品的年产量会超过6万件（已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771） () A.2019年 B.2020年 C.2021年 D.2022年 【解题思路】根据2016年开始每年比上一年增产20%，可得2(1+20%)>6，求解即可. 2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为2×(1+20%)万件.再过n年(n∈N),这家工 厂生产这种产品的年产量为2(1+20%)万件，由2(1十20%)>6，得1.2>3，两边取对数，得lg1.2> 1g3,即n>g2=g是=2g2g3可=0.602087771≈6.03，而n∈N,放n=7,即 1g31g3 1g3 0.4771 2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故选D. 变式训练2光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，那么若光线强度要减弱到原来的号以下，要 通过这样的玻璃的块数至少为(1g3≈0.477,1g2≈0.301) () A.14 B.15 C.16 D.18 19 通关测 数学同步辅导与测评·基瑶模块·下册 自我测评 玲基础俱固 一、选择题 1,下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是 A.y=10×1.05 B.y=20+x5 C.y=30+lg(x-1) D.y=50x 2.基本再生数R与世代间隔T是某病毒的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人 数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：(t) e描述累计感染病例数I()随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R、T近似满足R=1+ rT,有学者基于已有数据估计出R。=3.28,T一6，据此，在该病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增 加3倍需要的时间约为(1n2≈0.69) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.6天 3.某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每 过滤一次杂质含量减少了则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤 () A.5次 B.6次 C.7次 D.8次 4.某科技公司为解决芯片短板问题，计划逐年加大芯片研发资金投人.若该公司计划2021年全年投入 研发资金1200万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研 发资金开始超过2000万元的年份是（参考数据：g1.12≈0.05，lg2≈0.30，lg3≈0.48）() A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 5.已知函数y=x,y:=2,y=x,则下列关于这三个函数的描述中，正确的是 A.在[4，十∞)上，随着x的逐渐增大，y增长速度越来越快于 B.在[4，+∞)上，随着x的逐渐增大，y增长速度越来越快于 C.当x∈(0，+∞)时，y的增长速度一直快于y D.当x∈(2，+∞)时，y2>y 二、填空题 6.某厂2010年的生产总值为x万元，预计生产总值每年以12%的速度递增，则该厂到2022年的生产总 值是 万元. 7.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水 泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.经过研究发现，在25℃室温下，设茶水 温度从85℃开始，经过x分钟后的温度为y℃，则满足y=a十25(k∈R,0<a<1,x≥0)的 实数k= 20 指数函数与对数函数 第5章 三、解答题 8.某地为践行“绿水青山就是金山银山”的环保理念，大力展开植树造林.假设一片森林原来的面积为4 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年 为使森林面积至少达到6亩，至少需要植树造林多少年？（精确到整数，参考数据：g2≈0,3010， lg3≈0.4771) 试愿精讲 9.在银行存10000元，假设年利率为2%，每年结算自动转存.多少年达到10万元？多少年达到100万元？ 彩能力提开 截至2020年年底，我国总人口约为14亿人，同2010年年底数据相比，人口年平均增长率约为0.53%，若 按此增长率，30年后我国总人口约为亿人：若希望30年后我国人口超过20亿人，那么人口年平均 增长率应不低于%.（精确到0.1.参考数据：1.0053≈1.17,10m.5≈1.0116，lg7≈0.85） 215.5指数函数与对数函数的应用 发金开始超过2000万元的年份是2026年.故选D. 5.B【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数 【变式训练1】 y1=x=2,为=x的图像，如图所示，在[4， (1-x)=0.8 【变式训练2】 +o∞)上，随着x的逐渐增大，的增长速度越来 C【解析】设光线原来的强度为k,光线经过x块玻 越快，且快于y,故A错误，B正确：对于C,当r∈ (0,十∞)时，”的增长速度不是一直快于为，故C 璃后，强度变为y=09,由题意得，9收<专即 错误：对于D,当x∈(2,4)时，均<，故D错误. 0.9y<言，两边同时取对数，可得g0.9<g y=x -2 16 1 所以x> Ig 5 1g2-1 -0.699 g0.921g3-7= 0.954-1 ≈15.2. 12 又x∈N·,所以至少通过16块玻璃，光线强度能减 8 弱到原来的号以下， M=x 自我测评 【基础巩固】 -4-262468文 一、选择题 二、填空题 1.A【解析】由于指数函数y=1.05的底数大于 6.x(1+12%):【解析】由年平均增长率的定义可 1,其增长速度随着时间的推移会越来越快，比幂 得，2011年生产总值为x(1十12%)万元：2012年 函数y=x5和对数函数y=lgx的增长速度快， 生产总值为x(1十12%)万元：…：所以2022年 所以y=10×1.05是更有前途的生意. 生产总值为x(1+12%)2万元. 2.D【解析】把R。=3.28,T=6代人R=1十rT, 7.60【解析】依题意得，当x=0时，y=85,所以 可得r=0.38,所以1(t)=ea.当1=0时， 85=a"+25,解得k=60. I(0)=1,则em=4,两边取对数得0.381=2n2, 三、解答题 解得1=最≈品6故选D 8.解：设年增长率为x,所求年数为n,根据已知可得 3.B【解析】设原有溶质的半成品为akg,含杂质 a1+=2a,解得g1+)-号又a+护 1%akg,经过n次过滤，含杂质1%a×(1-子)e。 6a,所以n 10lg6-10×(0.3010+0.477D≈ lg 2 0.3010 要使该溶质经过n次过滤后杂质含量不超过0,1%， 25.85,至少需要植树造林26年. 则1%×(1-3）)广≤0.1%，即（号）”≤0 9.解：在银行存10000元，n(n∈N)年后本息和为 1.02万元，由1.02"≥10可得n≥10g1.210= 因为（号）=器>品·（学）”=器<品所 g10 1g1.02 ≈116.28，即117年达到10万元，由 以n≥6，该溶质的半成品至少应过滤6次，才能达 g100 到市场要求，故选B. 1.02≥100可得n≥log.e100= g1.02 ≈232.55， 4.D【解析】设经过x年后全年投人的研发资金开始 即233年达到100万元. 超过2000万元，则1200·(1+0.12)>2000，即 【能力提升】 1.12>吾，所以r>6e景义6ge 5 16.4:1.2【解析】因为2020年年底，我国总人口约 为14亿，且年平均增长率约为0.53%，所以30年后 g5-lg3=1-lg2-1g3≈1-0.30-0.48 g1.12 g1.12 0.05 我国人口总数约为14(1+0.53%)那14×1.17≈ 4.4,则x≥4.4，所以经过5年后全年投入的研发 16.4亿.设人口年平均增长率为p,由题意得.14(1十 资金开始超过200万元，即该公司全年投入的研p)”>20,即1十p)”>”,两边取对数，得 156 关测数学同步辅导与测评·基础模块·下册 30lg(1+p)>1-1g7≈0.15，即g(1+p)> |BC|=√(2+1)2+(0-0)=3. 0.005,所以1+p>10.5≈1.0116，解得p> 故△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=6+ 0.0116,所以人口年平均增长率应不低于1.2% 32 第6章 直线与圆的方程 二、填空题 6.1两点间距离公式和线段的 9.5【解析】|AB|=√(3-0)+(0+4)F=5. 中点坐标公式 10.1或-5【解析】|4B|=√(a+2)+(3+1厅= 5,解得a=1或a=-5. 6.1.1两点间距离公式 11.(0,0)或(10,0)【解析】设A(x,0),则|AB|= 【变式训练1】 /(x-5)+(0-12)=13,即(.x-5)=25, 6 解得x=0或r=10,所以点A的坐标为(0,0)或 【变式训练2】 (10.0) 1或3 12.(-∞，-√2I可U[√2I,+∞)【解析】点(2，b)到原 【变式训练3】 △ABC是等腰直角三角形. 点的距离d=√2-0)十(6-0)≥5，解得 自我测评 b≤-√2I或b≥√2T,故b的取值范围为(-∞， 【基础巩固】 -v√2IU[√2T,+∞). 一、选择题 13.(2,10)或（一10,10）【解析】因为点M到x轴距 1.C【解析】|AB|=√(5-2)+(4-4)产=3. 离等于10可知其纵坐标为士10，又点M到N的距 离也为10，且V在第二象限，可知点M的纵坐标 2.C【解析】|AB|=√5-2)+(-7+3)=5. 为10.设M(x,10),由两点间距离公式得|MN| 3.A【解析】|AM|=|-3-2|=5. 4.A【解析】点A(1,一2)关于原点的对称点为 √x+4)+(10-2)F=10,解得x=-10或 A'(-1,2),故由两点间的距离公式得A4'|= x=2,所以点M的坐标为(2,10)或（一10,10）. 14.|”一y|【解析】因为直线AB平行于y轴，所 (-1-1)+(2+2)=2√5. 以x=x,即2一x=0,故|AB|= 5.C【解析】由两点间的距离公式得√x+y=1. √/(x-)+(-y)F=√(-y)F= 6.A【解柳c到=√(-1-)广+(0-) -为1. 三、解答题 c1=V(1-）+(o-)=1 15.解：(1)|AB|=√-3-0)+(2-3)产=√10： (2)|CD=√(-1-2)+(3-7)F=5: |AB|=√/(-1-1)=2. 因为AC2+|C|2=|AB|2.所以△ABC是 (3)|EF|=V-1+2)+(-1-2)-√10. 直角三角形. 16.证明：|AB|=√(-1-3)+(3-3)7=4： 7.C【解析】①若点C在x轴上.设C(x,0),由 |AC|=√(-1-1)+(3-23-3) ∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC,即 =W4+12=4: (3+1)”+(1-3)=(x+1)2+3+(x-3)+ 1,解得x=0或x=2. |BC|=√(3-1)+(3-25-3) ②若点C在y轴上，设C(0,y),同理可求得y=0 =√4+12=4： 或y=4. 所以|AB|=|AC|=|BC|,所以△ABC是等 综上，满足条件的点C有3个 边三角形 8.C【解析】|AB|=√-1-2)+(0-3)=3√2： 17.解：(1)因为4B=√-1-1+3--1D厅= |AC|=√(2-2)+(0-3)产=3： 25,|C=√(3-1)+L0-(-1)F=V5. 训练测评参考答案 157