3.3.1 函数的单调性-【通关练测】中等职业技术学校数学基础模块(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

函 数 第3章 3.3 函数的性质 3.3.1 函数的单调性 + 学习目标 重点难点 。理解函数的单调性， 重点：掌握函数的单调性 。掌提函数单调性的有关概念。 难点：能判断函数的单调性。 知识回顾 1,如果对于区间I上的任意两点x1和x2,当x1<x2时，都有 ,那么称函数y=f(x)在区间1 上是增函数，区间I称为函数y=f(x)的 2.如果对于区间I上的任意两点x1和x,当x1<xz时，都有 ,那么称函数y=f(x)在区间I 上是减函数，区间I称为函数y=f(x)的 3.如果函数y=f(x)在区间I上是 那么称函数y=f(x)在区间I上具有 ,区间1称为单调区间. 例题精讲 1求函数的单调区间 【例1】函数f(x)的图像如图所示. (1)写出该函数的定义域和值域： (2)写出该函数的最大值： (3)写出该函数的单调区间 【解题思路】观察函数f(x)的图像写出单调区间. (1)由图可知，根据x的取值得到定义域为[0，十∞)，根据最高点与最低点得 例1图 到值域为(-∞，1]. (2)根据图像的最高点得到最大值是1. (3)看图像的趋势，上升的图像是增区间[0,1]，下降的图像是减区间[1，+∞). 变式训练1观察下列函数的图像，写出单调区间。 (2) 49 酒关练测数学同步辅导与测评·基础模块·上册 2判断函数的单调性 【例2】判断函数f(x)=x2十2x在区间（一∞，一1）上的单调性. 【解题思路】(1)任取x1,x2∈D(定义域)，且x1<x2: (2)作差：f(x1)一f(xz)； (3)定号：确定f(x1)-f(x2)<0或f(x1)-f(x2)>0; (4)下结论：若f(x1)<f(xz),则f(x)是增函数：若f(x1)>f(x2),则f(x)是减函数. 函数f(x)=x2+2x的定义域是（一o∞，一1），任取x1,x2∈（一∞，1）且x1<x2,则x1一x2<0, f(x1)=x12十2x1,f(x)=x22+2x2,于是f(x1)-f(x2)=x12十2x1-(x含2+2x2)=x12-x22十 2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+2). 显然，x1-x2<0,x1十x2一2<0. 所以f(x1)一f(x2)>0,即f(x1)>f(xz).所以f(x)=x2十2x在(-∞，-1)上是诚函数. 变式训练2》判断f(x)=x十1在区间x∈1，十∞)上的单调性. 自我测评 ?基础巩固 一、选择题 1.若函数y=(a+1)x十b,x∈R在其定义域上是增函数，则 A.a>-1 B.a<-1 C.b>0 D.b<0 2.函数y=x2十x十2，x∈（一5,5）的单调减区间为 A(,-》 B(+ c( 3.函数∫(x)=2的单调递减区间是 A.(-∞，0)，(0，+c∞) B.(0,+o) C.(-o∞，0)U(0,+o∞) D.(-c∞，0) 4.函数y=∫(x),x∈[一4,4幻的图像如图所示，则∫(x)的单调递增区间是 1 4-3 第4题图 A.[-4,4] B.[-4,-3]U[1,4幻 C.[-3,1] D.[-3,4] 5.函数f(x)在R上是减函数，则有 A.f(2)<f(5) B.f(2)≤f(5) C.f(2)>f(5) D.f(2)≥f(5) 50 函 数 第3章 6.函数y=x2十x十2的单调减区间是 ) A(←z+) B.(-1,+∞) c(,-》 D.(-c∞，+∞) 7.下列函数中，在(0,1)上是增函数的是 () A.y=z By-1 C.y=1-2x D.y=(2x-1)2 8.下列满足在[2，十∞)上单调递增的函数是 () A.f(x)=-x+1B.f(x)=2 C.f()=3 D.f(x)=x2-2x-3 二、填空题 9.函数y=|2x一1的单调增区间是 10.函数f(x)=x2一2x(x∈[-2,4])的增区间为」 11.已知函数fx)=2,若a>b>0,比较：faf6).(填““>“<”≥”或“≤”) 7 12.函数y=√x一5x十4的单调递增区间是 13.若f(x)是R上的偶函数，且在(o,2)上单调递减，则函数f(x)的解析式可以为f)= (写出符合条件的一个即可). 14.如果函数y=f(x)的图像如图所示，那么此函数的减区间为 第14题图 三、解答题 15.根据如下函数图像，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数. -54-3-2-101 23 - 第15题图 16.已知函数f(x)=一2x十m,其中m为常数.用定义法证明：函数在R上是减函数. 51 酒关测数学同步辅导与测评·基础模块·上册 17.已知函数y=x+1. (1)作函数图像； (2)直接写出单调区间. 能力提升 已知函数F(x)=工一】，判断f(x)在区间(0，十○)上的单调性，并用定义证明. 试题精讲 3.3.2 函数的奇偶性 学习目标 重点难点 。理解函数的奇偶性概念 重点：掌握菡数的奇偶性 ○会用函数的奇偶性解题. 难点：能灵活运用函数奇偶性解题， 知识回顾 1.设函数y=f(x)的定义域为数集D,若对于任意的x∈D,都有一x∈D,且f(一x)=f(x),则称 y=f(x)是 .偶函数的图像关于 对称 2.设函数y=f(x)的定义域为数集D,若对于任意的x∈D,都有一x∈D,且 ,则称y=f(x)为奇函数.奇函数的图像关于 对称. 3.如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有 ,其定义域一定关于 对称. 例题精讲 ☐判断函数的奇偶性 【例】判断函数f(x)=3x2一2的奇偶性. 【解题思路】判断函数奇偶性的步骤： (1)判断定义域是否关于原点对称； (2)判断∫(x)与f(-x)的关系； 52x<2),故选B 当a≤1时，-2a=8,解得a=-4,满足条件， 6.D【解析】当x≥1时，函数y=|x一1十1 即有a=一4 x-1十1=x: 当a>1时，2a”=8,解得a=±2，a=-2舍 当x<1时，函数y=x一1+1=1一x+1 去，则有a=2.所以，实数a的值为一4或2. 2x. 三、解答题 所以函数y=|x一1川+1可以表示为y= 15.解：因为函数y=一x2+2x的定义域为{一1,0， f2-x,x<1, x≥1. 故选D. 1.2.3},所以f(-1)=-(-1)2+2×(-1)=-3: x f(0)=0:f(1)=-1+2=1:f(2)=-22+ 7.B【解析】根据表格中x与y的对应关系，可得 2×2=0:f(3)=-32十2×3=一3.所以函数 f(-1)=2,f(2)=3,所以f(-1)+f(2)=5. y=-x°+2x的值域为{一3,0,1. 8.B【解析】本题主要考查由函数图像确定函数的 16.解：①当m=0时，函数可化为y=2√2是常数 定义域及值域，注意端点是空心圆图还是实心点， 函数，定义城为R 由函数图像可得.自变量x的值大于等于一2且小 ②当m≠0时，要使函数定义域为R必须满足 于1.5：函数值y的值大于等于0.5且小于等于2， m>0且△≤0，所以△=b2-4ac=(-6m)2 所以函数的定义域为[-2,1.5)，值域为[0.5,2]. 4m(m十8)=32m2-32≤0，解得-1≤m≤1. 故选B. 又因为m>0,所以0<m≤1. 9.D【解析】先跑步，后步行跑步的速度快，函数图 综上所述，实数m的取值范围是[0,1. 像下降快，步行速度慢，图像下降慢.根据横坐标 为时间，纵坐标为离单位的距离，可得D选项的图 【能力提升】 像符合题意，故选D. 解：(1)已知f(x）= -x2+2x,0≤x≤2， 二、填空题 x2+2.x,-2≤x<0, 10.5【解析】因为函数f(x）=x一”的图像过点 所以f()=（-号)+2×（号）=-8， (5,4),则5-”=4，解得m=5. f()=-(份)+2x安-是 11.f(x)=4x一3【解析】设f(x)=kx+b(k≠ (2)函数简图如下所示： 1=k十b, 0),由f(1)=1,f(3)=9,则 9=3k+b. 解得 k=4,。所以f(x)=4红一3 1b=-3. 12.一1【解析】利用换元法求出∫(x)的解析式，代 入数字即可求解。 -2 因为f(2x+1)=x2-2x,所以令1=2.x+1, (3)由简图可知，函数的值域为[-1.1. 则=分号所以)=()°-2x号 2 3.3函数的性质 t2-6t+5 即f(x)= x3-6r+5 3.3.1函数的单调性 4 4 所以 f03)=3-6X3+5=-1 【变式训练1】 4 (1)单调增区间为[1，十∞)：单调减区间为 13.3【解析】由函数图像可知，图像经过(1,0)，则 (-o∞，1]. f(1)=0,图像经过(0,3)，则f(f(1)=f(0)=3. (2)单调增区间为[1，十∞)：单调减区间为 14.一4或2【解析】函数fx)=一2，x≤1 (-∞，1]. 2x,x>1, 【变式训练2】 而f(a)=8. 解：任取x1,x2∈(1，十∞)且x1<x2,则x1一 训练测评参考答案 <0)=+)=+于是 D选项不符合题意.故选A. 8.D【解析】选项A,根据一次函数的性质可知， f)-fx)=(e+）-(:+) f(,x)=一x十1在[2，十)上单调递减，故A选 项错误：选项B,f(x)=2在[2，十○)上是常数函 -+-）=-+ 数，故B选项错误：选项Cfx)=是在2，十∞) a-0-) 上单调递减，故C选项错误；选项D,f(x)=x2 2.x一3是二次函数，图像开口向上，对称轴为x= 1 显然因为x1一x<0,1一 ->0 TIT 1,所以f(x)=x2-2x-3在[2，+∞)上单调递 所以f(x1)-f(x)<0.即f(x)<f(x2). 增.故选D 二、填空题 所以f(x)=x+上在1，+∞)上是增函数 9. [+) 【解析】由函数解析式作出图像，结 【自我测评】 【基础巩固】 合图像判断单调区间。 一、选择题 函数y=|2x一1的图像如下 1,A【解析】根据一次函数的性质可得a十1>0，解 得a>-L.故选A 2.D【解析】函数y=x2十x十2图像的对称轴为 x=一2，开口向上，所以函数y=x+x+2, x∈(-55)的单调减区间为(5，-).故 由图像知其单调递增区间是[合十）】 选D. 2的定义域为 10.[1,4]【解析】f(.x)=x2-2.x=(x-1)-1 3.A【解析】因为函数f(x)= 图像开口向上，对称轴为直线x=1,故单调递增 (一∞，0)U(0,十∞)，函数在（一0,0）和(0， 区间为[1,4门. 十∞)上单调递诚，故函数的单调递诚区间为 11.< (一∞，0)和(0，十oo).故选A 【解析】解法一：因为/)=兰，所以 4.C5.C fa)-fb)=2-2=26,因为a> b ab 6.C【解析】因为函数y=x十x十2的图像是开口 b>0,所以ab>0,b-a<0,所以f(a) 向上，且以直线x=一 2 为对称轴的抛物线，故 fb)=26-a)<0,即fa)<fb). ab 函数y=x+x+2的单调递减区间是( 解法二：因为fr)=2,所以fx)在0.+∞)上 -)放选C 单调递减，又因为a>b>0,所以f(a)<f(b). 12.[4,+o∞)【解析】先求出函数的定义域，再根据 7.A【解析】选项A,y=x|= xx≥0， -xx<0, 函数 y=x2一5.x+4的单调性而求解 在(0,1)上是增函数，所以A选项符合题意.选项 令x2一5r十4≥0，解得x≥4或x≤1，所以函 By=上在(O,1)上为减函数，所以B选项不符 数y=√x一5.x+4的定义域为（一o,1]U [4,十o∞).而函数y=x2一5.x十4图像的对称轴 合题意.选项C,y=1一2x在(0,1)上为减函数， 所以C选项不符合题意.选项D,y=(2.x一1)2在 是x=号，故函数y=一5江十可的单调递 (仁©，]上递减，在[2十∞）上递增，所以 增区间是[4，十o). 13.一x2(答案不唯一) 156 测数学同步辅导与测评·基础模块·上册 14.[-3,-1]和[1,3] 三、解答题 f)=是+2-)-+2=是+2 15.解：由函数图像可知函数在[一1,0]，[2,4门上是 )=f(-x).所以fx)= 。十2是偶函数 诚函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数 16.证明：任取x1x:∈R,且x1<xz,则f(x1) 【自我测评】 f(x:)=-2x1+m-(-2x:+m)=-2(x1 【基础巩固】 x2).因为x1<x1,所以x1一T1<0,-2(x1 一、选择题 x2)>0.所以f(x1)-f(x:)>0,所以f(x1)> 1.A【解析】选项A,函数f(x)的定义战为R,关于 f(x),所以函数f(x)在R上是减函数 原点对称，f(一x)=1一x=(x),所以 17,解：(1)由解析式可得如下表，因该函数为一次 f(.x)=1一x2是偶函数，故A项符合题意： 函数，其图像是一条直线，所以取其两点即可 选项B,函数(x)的定义域为R,关于原点对称， -2-1012… f(一x)=一2x一1≠f(x),所以f(x)=2x一1 0 3+ 不是偶函数，故B项不符合题意： 选项C,函数f(x)的定义域为R,关于原点对称， 函数y=x十1的图像如下所示。 f(-x)=2≠f(x),所以f(x)=2不是偶函 数，故C项不符合题意： 选项D,函数f(x)的定义域为R,关于原点对称， f(一x)=一x=一f(x),所以f(x)=x1是奇 函数，不是偶函数，故D项不符合题意.故选A 2.C3.A 4.A【解析】选项A,(x一1)=，图像关于原点 对称，是奇函数，故A符合题意： (2)由(1)所得函数图像知，y=x十1在（一∞， 十oo)上递增. 选项B,∫(x)二1三1十一1的图像不关于原点 【能力提升】 对称，不是奇函数，故B不符合题意： 证明：任取x1x1∈(0，十∞)，且x1<x2,则f(x1) 选项Cx十D=2士，的图像不关于原点对 )=(-)-(- ）=(x1-re)十 称，不是奇函数，故C不符合题意： (-）=G-+- xIT: TiT2 选项D.x)十1=十+1的图像不关于原点 1).因为x1x2∈(0，十o),且x1<x,所以x1x2> 对称，不是奇函数，故D不符合题意.故选A 0x1-x1<0.于是二(x1x1+1)<0,即 5.B TIT7 6.B【解析】选项A,y=x是奇函数，在R上单调递 f(x)<f(x:).故f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. 增：选项B,y=|x是偶函数，在（一o∞，0）上单调 3.3.2 函数的奇偶性 递减，满足题意：选项C,y=1一x是偶函数，在 【变式训练】 (一，0)上单调递增：选项D.y=2是奇函数， 解：(1)函数的定义域为（一∞，十∞），对任意的x∈ 在（一∞，0）上单调递减.故选B (一0，十∞)都有一x∈（一0，十∞）. f(x）=x+x,f(-x)=(-x)3-x=-x3-x, 7.B【解析】选项A,y=f(x)=上定义域为 f(x)=-f(-x).所以f(x)=x8十x是奇函数， (2)函数的定义域为（一8∞，0）U(0,+∞)，对任意 x|x≠0)，且f(-x)=1 =一f(x),故 的x∈(-∞，0)U(0,十o)都有-x∈(-∞， 0)U(0,+0∞). y=】为奇函数，故A不符合题意： 训练测评参考答案 15