2.5 不等式应用举例-【通关练测】中等职业技术学校数学基础模块(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

不等式 第2章 2.5 不等式应用举例 学习目标 重点难点 ⊙能根据实际问题列出不等式. 重点：能根据实际问题列出不等式 ○能利用不等式解决简单的实际问题 难点：能利用不等式解决简单的实际问题。 例题精讲 1一元二次方程的应用 【例1】关于x的方程x2十mx十1=0有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围是 ( A.m<-2 B.m<0 C.m<1 D.m>0 【解题思路】由方程有两个不相等的实数根判断判别式△>0 x1十x2=- a 在△>0的情祝下，一元二次方程ax2十bx十c=0的根x1、x2与系数的关系为 本题 1x2-C 即利用了两根之和、两根之积均为正来限制正实根这个条件 方程x2+mx十1=0有两个不相等正实根，则=m一4>0， 解得m<一2.故选A. -m>0, 变式训练1若关于x的一元二次方程a.x2+2x一1=0无解，则a的取值范围是 () A.(-1,+∞) B.(-∞，-1) C.[-1,+∞) D.(-1,0)U(0,+∞) 2不等式的实际应用 【例2】设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近 似地满足下列关系m-号：-子m=子十5x十子当m-州≥0时，称不亏损企业：当m-A<0时。 称亏损企业，且n一m为亏损额。 (1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？ (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？ 【解题思路】①依题意，m-n>≥0，即2-≥子2+5x+子，整理得x-2z一8≥0，解得x≥ 4或x≤一2（舍），所以企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机. (2)由()可知当0<x<4时，企业亏损，亏损额n-m=(-子x2+5x+)-(号x-) 一青女一1P+号所以当x-1时，一m取最大值？，此时m-号×1-子，即当月总产值为万元 时，企业亏损最严重，最大亏损额为号万元。 37 酒关练测数学同步辅导与测评·基础模块·上册 4变式训练2制作一个高为20cm的长方体容器，底面矩形的长比宽多10cm,并且容积不少于 4000cm.间：底面矩形的宽至少应是多少？ 自我测评 零基础巩固 一、选择题 1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000 元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是 A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200C.5x+4y=200D.5.x+4y≤200 2.有如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上 确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a、b(a≠b)的不等式表示出来() 第2题图(1) 第2题图(2】 Aa+b)>hRa+6的)<bC号a+6的≥bDa+)≤b 3.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点 100米以外（含100米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘 米)应满足的不等式为 () A4×∴<10 B.4X 0.5≥100 C4X流<100 D4×后>10 4若f(x)=y2x- x-1 一有意义，则x的取值范围是 () A.{x|0≤x<1} B.{x|x≠1} C.{x|0≤x<2且x≠1} D.以上都不对 5.若对于一切实数x不等式x2一ax十4>0恒成立，则实数a的取值范围为 () A.(-4,4) B.[-4,4] C.(-∞，4] D.(4,+o∞) 6.某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速o(单位：km/h)之间有如下关 系：=。十，在一次交通事放中，测得这种车刹车距离大于40m,则这辆礼车剂车前的车速 1 至少为（精确到1km/h) () A.76 km/h B.77 km/h C.78 km/h D.80 km/h 7.2022年7月1日，迎来了香港回归祖国25周年.为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归 25周年纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高 38 不等式 第2章 1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售 单价x(单位：元)的取值范围是 A.(10,20) B.[15,20) C.(16,20) D.[15,25) 8关于x的不等式mr2十严一}<0恒成立，则实数m的取值范围为 A.(-∞，0] B.[-1,0) C.(-1,0] D.(-1,0) 二、填空题 9.某桥头竖立的“限重30吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总质量T不超过30吨. 用不等式表示为 10.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添加m克糖(m>0),则糖水就变甜了（浓度增加了），试根据 这一事实提炼一个不等式： 11.某商品包装上标有质量(500士1)克，若用x表示商品的质量，则可用含绝对值的不等式表示该商品 的质量的不等式为 12.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润 100(6x十1一)元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于300元，则x的最小值是 13.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P-150-2x,生产x件所 需成本为C=(50十30x)元，要使日获利不少于1300元，则该厂日产量应在 范围 之内（件） 14.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m的内接矩形花园（阴影部分），则其一 边长x(单位：m)的取值范围是 -40m 第14题图 三、解答题 15.某蛋糕师制作A、B两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A种蛋糕需要面粉 150g,黄油100g,牛奶50mL:制作一个B种蛋糕需要面粉200g,黄油140g,牛奶70mL.现有面粉 1000g,黄油600g,牛奶350mL.若分别制作x个A种蛋糕，y个B种蛋糕试列出x、y满足的不等 式组. 39 酒关练测数学同步辅导与测评·基础模块·上册 16.某单位在对一个长80m,宽60m的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定：中间为矩形绿草坪，四 周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，求花坛宽度x(m)的 取值范围. 花园 花坛 草坪 花坛 花坛 第16题图 17.北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相 关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.据市场调 查，若价格每提高1元，销售量将相应诚少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定 价最多为多少元？ 零能力提升 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应 市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0<x<1),试题精讲 则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x,同时预计日销售量增加的百分率为0.8x. (1)为使日利润有所增加，求x的取值范围： (2)当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大？并求出最大日利润. 40得一2≤x≤4，所以正确： 又不等式的解集为{x一1<x<3),则 选项D,由x-1≥3或x-1≤-3，解得x≥4或 “一二一1·解得“。”月 a+b=3. 所以b-a=1,即 x≤一2，所以不正确.故选C 7.D【解析】原不等式可以化为|2x一6|≤2，可得 b一a的值为1. 一2≤2x一6≤2，解得2≤x≤4.所以原不等式 【能力提升】 的解集为[2,4门.故选D. L.(一∞，1)【解析】根据去绝对值的方法求解不等 8.C【解析】先解出绝对值不等式，再结合题中所给 式.当x-1≥0时，不等式|x一1>x一1转化 的解集，列出方程组求出答案， 为x一1|=x一1>x一1，此时不等式无解： 因为|x-a<b,所以a-b<x<a十b. 当x-1<0时，不等式|x一1>x-1转化为 因为|x一a<b的解集是{，x一3<x<9},所 |x-1=1-x>x-1,解得x<1. 以/口-6=-3， 解得3， 所以，不等式的解集为（一∞，1）. b=6. 故选C a+b=9. 2.解：当x<1时，不等式为1一x+3一x<4,所以 二、填空题 x>0.所以0<x<1: 9.(-∞，一3)U(1,十∞)【解析】由|x+1|> 当1≤x≤3时，不等式为2<4，恒成立，所以 2,故可得x十1>2或x+1<-2,解得x>1或 1x3: x<-3,故不等式|x十1>2的解集为 当x>3时，不等式为x一1十x一3<4，所以 (-o∞，-3)U(1,+o∞). x<4,所以3<x<4. 10.R【解析】由于任何数的绝对值都大于等于0，可 综上所述，不等式的解集为(0,4) 知x-1≥0，则|x-1>-3恒成立，故不 2.5不等式应用举例 等式1x-1>-3的解集是R 【变式训练1】 1山.（专2）【解析】由13x-1<5,可得-5< B【解析】根据题意，：≠0，考虑△即可求得结果当 a≠0时，只需△=4十4a<0,解得a<-1.故a∈ 3x-1<5,所以-号 <x<2,不等式|3x-1 (-o∞，一1).故选B. 5的解集为(-子，2) 【变式训练2】 解：设底面矩形的宽为xcm,由题意可得20x(x十 12.（,)U(3+) 【解析】绝对值大于 10)≥4000，整理可得x+10.x一200≥0，解得 x≤一20（舍）或x≥10，所以底面矩形的宽至少是 零，只需绝对值不等于零即可，故工≠3 10 cm. 13.2【解析】由|2x-a+a<6可得a-6<2x- 【自我测评】 a<6-a,解得a一3<x<3.因为不等式 【基础巩固】 |2xa+a<6的解集是（一1,3），所以a- 一、选择题 3=-1,解得a=2. 1.D【解析】依题意得，请工人满足的关系式是 三、解答题 50.x十40y≤2000，即5x+4y≤200.故选D. 14.解：|x-3|>1,即x-3<-1或x-3>1,解 2.A【解析】题图(1)是由两个等腰直角三角形构 得x<2或x>4. 成的，面积S=4+.题图②是一个矩形， (x-1)(5-x)≥0，即(x-1)(x-5)≤0，解得 1≤x≤5. 面积S,=dk.可得2a2+b)>aba≠6.故选 因此，不等式组/x-3>1, 的解集为 3.B【解析】计算出导火索燃烧的时间，即人跑到 1(.x-1)(5-x)≥0 100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系. [1,2)U(4,5] 由题意知导火索的长度x(单位：厘米)，故导火索 15.解：依题意可得b>0,由不等式|x一a<b,得 -b<x-a<b,a-b<x<a+b. 燃烧的时间为云秒，人在此时间内跑的路程为 训练测评参考答案 (4×活)米，由题意可得4×忌>10，故选B 因为b>a>0,m>0,所以b一a>0, 4.D【解析】由题意知，2x一x2≥0且x一1≠0，即 所以哈+兴>云 x2-2x≤0且x-1≠0，解得0≤x≤2且x≠ 11.|x一500≤1【解析】因为某商品包装上标 有质量(500士1)克，若用x表示商品的质量，则 1,故使f(x)= 2r-x 一有意义的x的取值范 x一1 -1≤x-500≤1，故有|x-500≤1. 围为x|0≤x≤2且x≠1以.故选D. 12.3 【解析】根据题意，要使生产该产品2小时获 5,A【解析】因为对于一切实数x不等式x2一a.x十 4>0恒成立，所以二次函数y=x2一ax十4的图 得的利润不低于3000元，则2×100(5x+1一 像在x轴上方，x2一a.x+4=0无实数根，所以 3）≥3000，整理得5x-14-3 ≥0，又1≤ (-a)2-4X4=a2-16<0,解得-4<4<4. 故选A x≤10，所以5x2-14x-3≥0，解得3≤x≤ 6.B【解析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中 10.故x的最小值是3. s与的关系式和不等式关系可得v的一元二次不 13.15≤x≤45(.x∈N)【解析】可知存在不等关 等式，求v的范围. 系xP-C≥1300，列不等式 设这辆汽车刹车前的车速为vkmh,根据题意， (150-2x)x-(50+30.x)≥1300，化简得x2 1 60x+675≤0.解得15≤x≤45，且x∈N.故答 有=20v十160>40，移项整理，得+8u一 案为15≤x≤45(x∈N). 40×160>0,v>0,解得v>-4+4√401≈76. 14.[10,30]【解析】设矩形的与长为xm的边相邻 所以这辆汽车刹车前的速度至少为T7kmh.故 选B 的长为ym,由三角形相似得-0。二，且 40 7.B【解析】根据题意可得出关于x的不等式， x>0,y>0,x<40,y<40,所以y=40-x. x[45-3(.x-15)]>600,即x2一30x十200 又矩形的面积xy≥300，所以x(40-x)≥ 0,解得10<x<20.又每枚纪念章的最低售价为 300,解得10≤x≤30，所以其一边长x(单位m) 15元，所以15≤x<20.故选B 的取值范围是[10,30 &C【解折】当m=0时，原不等式为-青<0，不 三、解答题 15.解：①制作A,B两种蛋糕需要的面粉不超过 等式恒成立。 1000g,用不等式表示为150.x+200y≤1000： 当m≠0时，若一元二次不等式mx2十mx ②制作A、B两种蛋糕需要的黄油不超过600g, 用不等式表示为100x+140y≤600： 0相成立.则有(4m)十16m三。育 解得一1< ③制作A,B两种蛋糕需要的牛奶不超过 350mL,用不等式表示为50x+70y≤350： m<0,此时不等式恒成立. ④A、B两种蛋糕的制作量都应不少于0，且为整 综上所述，m的取值范围为（一1,0们.故选C. 数个，故x∈N,y∈N. 二、填空题 所以x,y满足的不等式组为 9.T≤30 150.x+200y≤1000， 10.a+m b+m 号h>a>0.m>0) 100r+140y≤600，x∈N,y∈N 【解析】糖水变甜了，即含糖的浓度增大了 50.x+70y≤350， 16.解：花坛的宽度为xm,所以绿草坪的长为(80一 由题意可得%十册>分b>a>0,m>0》 b+m 2x)m,宽为(60-2x)m,草坪面积为(80一2x)· (60-2.x)=4(x-70.x+1200)m. 证明：当6>a>0,m≥0时，6+m-6三 总面积为80×60=4800m2,根据题意可得 a十m)b-h+m)a=m(h-a) (b+m)b (b+m)b' 4(x2-70x+1200)≥2 ×4800,整理得x2 152 关划数学同步辅导与测评·基础模块·上册 70x十600≥0，解得x≥60或x≤10. y=x的定义域为R,值域为R.A选项中函数y= x>0. x下的定义域为R.值域为R,解析式y= 由题意知K60一2x>0,解得0<x<30,所以 x,故选A 80-2.x>0 【自我测评】 x≥60不符合题意，舍去 【基础巩固】 所以当0<x≤10时，绿草坪的面积不小于总 一、选择题 面积的二分之一， 1.C【解析】要使函数f(x)=x解析式有意义，根 17.解：设每件定价为1元，依题意得(80000 据a”=1(a≠0)知解析式中x≠0，所以函数定 义域为(-∞，0)U(0,+∞).故选C -25×2000）1≥25×80000，整理得2- 1 2.D【解析】将x=2代入函数f(x)=x2+2x-一x, 65L+1000≤0，解得25≤1≤40. 则f(2)=2+2×2-2=4+4-1=7.故选D 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定 3.C【解析】A项，y=:的定义域为[0，+©o):B 价最多为40元 【能力提升】 项y=一3的定义域为一∞.3》U(3.+∞： 解：(1)由题意得，日利润为y=60(1十0.5x)一 C项y=x-2z-1的定义城为R:D项y= 40(1+x)]×1000(1+0.8x)=2000(-4x2+3.x+ 10)(0<x<1). 的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，故选C. 若日利润有所增加，则y一(60一40)×1000>0， 4.A【解析】将x替换成一x代入计算. 因为f(x)=一2x2十x十3，所以f(一x)= 即-r+3x>0,解得0<x<子，所以x的取值 -2(-x)2+(-x)+3=-2x-x+3.故选A 范围是(0，)。 5.C【解析】要使函数f(.x)=√1-x+/x-了 (2)由(1)知日利润为y=2000(-4x2+3z+10) 有意义，则/1-x≥0， lx-1≥0， 解得x=1,所以函数的 20∞[-4(-） 3 ,169 E-80(r-8） 31 16」 定义域为{1.故选C 21125. 6.C【解析】要使函数f(.x)= 2+十 当x= 子时.日利润最大，最大日利润是2115元 VF一2x-3有意义，则仁十1≠0 第3章 函数 x2-2x-3≥0.解 得/c≠1， 所以函数的定义域为 3.1 函数的概念 x≤-1或x≥3， 【变式训练1】 (-0,-1)U[3,+∞).故选C 7.A【解析】求分段函数的函数值，需注意根据定义 D【解析】要使函数f(x)= 二有意义，则 域范围选择合适的解析式。 |x≥0， x一1≠0， 解得/r≥0， 3-2x,x≥1， 所以该函数的定义域为 因为f(x）= 且-2<1，所以 x≠1， x+6,x<1, [0,1)U(1,+∞). f(-2)=-2+6=4.故选A 【变式训练2】 8.C【解析】选项A中f(x)=(√2x-3)2的定义 解：将x=一1，x=3,x=b代人函数解析式计算， 可得出f(-1)=(-1)2一(-1)+2=4：f(3) 城是：>号∈Rg)=2x-3的定义 32-3+2=8:f(b)=b2-b+2. 域为R,所以这两个函数不是同一函数；选项B中 【变式训练3】 f(x)=x的定义域为R,g(x)=(E)的定义 A【解析】判断两个函数是不是同一个函数，要求两 域为{.x|x≥0，x∈R},所以这两个函数不是 个函数的三要素：定义域、解析式、值域一致.函数 同一函数：选项C中f(x)=|x|的定义域为R, 训练测评参考答案