第七章 平行线的证明（B卷·陪优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第七章 平行线的证明（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．内错角相等 D．如果a＝b，那么a2＝b2 2．△ABC中，若∠A﹣∠C＝∠B，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．如图，两条平行直线被第三条直线所截，已知∠1的度数为125°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．125° C．60° D．30° 4．如图，在△ABC中，∠A＝60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度（　　） A．140 B．190 C．320 D．240 5．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若∠1＝150°，∠3＝50°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 7．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯底部CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝21°，∠FED＝54°，则∠GFH的度数为（　　） A．21° B．75° C．33° D．54° 8．下列语句中：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤两条直线相交，若邻补角相等，则这两条直线互相垂直；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中是真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，点C落在点C′的位置，若∠C＝30°，则α+β的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 10．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E为度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90﹣α 12．如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示某市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26′（∠BOD＝23°26′），某个城市的纬度是北纬37°32′（∠POD＝37°32′），而冬至正午时，太阳光（太阳光线都是互相平行的）直射南回归线（光线MB的延长线经过地心O），则这个城市冬至正午时，太阳光线NP与地面水平线PQ的夹角α的度数是（　　） A．27°2′ B．28°2′ C．29°2′ D．30°2′ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．把“等角的余角相等”写成“如果…那么…”的形式是　 　． 14．如图，∠ABC＝90°，∠C＝60°，过点B作DE∥AC．则∠ABD的度数是 　 　． 15．如图，已知直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，AC⊥AB交直线b于点C．若∠1＝50°，则∠2＝　 　． 16．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠EBC，∠DCB为△ABC的外角，∠EBC与∠DCB的平分线交于点A1，∠EBA1与∠DCA1的平分线交于点A2，…，∠EBAn﹣1与∠DCAn﹣1的平分线相交于点An，当两条角平分线无交点时，则n的值为 　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）如图，已知AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，∠1＝70°，求∠2的度数． 18．（10分）对于如图给定的图形（不再添线），从①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AD∥BC；④AB∥CD中选取两个作为已知条件，通过说理能得到AE∥CF． （1）你选择的两个条件是 　 　（填序号）； （2）根据你选择的两个条件，说明AE∥CF的理由． 19．（10分）在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点D． （1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数． （2）猜想∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明． 20．（10分）如图，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了说明“∠A+∠B+∠C＝180°”的过程，请填空： ∵DE∥AC， ∴∠1＝ 　 　，∠4＝ 　 　（两直线平行，同位角相等）． ∵EF∥AB， ∴∠3＝∠B（ 　 　）． ∠2＝ 　 　（ 　 　）． ∴∠2＝∠A（等量代换）． ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）． 21．（10分）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝77°，∠DCE＝131°，求∠E的度数． 22．（11分）如图，AE⊥BC，FG⊥BC，垂足分别是M、N，且∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠CBD＝70°，∠D﹣∠3＝56°，求∠C的度数． 23．（11分）如图，FG、ED分别交BC于点M、N，∠2＝∠3，AB∥CD． （1）试说明：∠DNM+∠CMF＝180°； （2）若∠A＝4∠1，∠ACB＝40°，求∠B的度数． 24．（12分）将一副三角板拼成如图的图形，其中CD⊥BE于点C，∠D＝30°，∠B＝45°，且过点C作CF平分∠DCE交DE于点F． （1）猜想CF与AB之间的位置关系，并说明理由； （2）画出△EFC的角平分线FG，与BE交于G，并求出∠DFG度数． 25．（14分）已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B在直线PQ上，点C在直线MN，PQ之间． （1）如图1，求证：∠ACB＝∠MAC+∠PBC． （2）如图2，若∠ACB＝45°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝3∠CBP，试判断∠CAE 与∠CAM 的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点E在线段BC上，连接AE，若∠NAE＝（n+2）∠CBP，∠CAE＝（n+1）∠CAM，（n≥0），直接写出∠ACB 的度数．（用含n的式子表示） 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．内错角相等 D．如果a＝b，那么a2＝b2 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题错误，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，原命题错误，不符合题意； D、如果a＝b，那么a2＝b2，是真命题，符合题意． 故选：D． 2．△ABC中，若∠A﹣∠C＝∠B，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【解答】解：∵在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B， ∴∠A＝∠C+∠B， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 3．如图，两条平行直线被第三条直线所截，已知∠1的度数为125°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．125° C．60° D．30° 【解答】解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠1+∠ABC＝180°， ∵∠1＝125°， ∴∠ABC＝55°， ∴∠2＝55°， 故选：A． 4．如图，在△ABC中，∠A＝60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度（　　） A．140 B．190 C．320 D．240 【解答】解：∵∠A+∠ADE＝∠1，∠A+∠AED＝∠2， ∴∠A+（∠A+∠ADE+∠AED）＝∠1+∠2， ∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝60°， ∴∠1+∠2＝60°+180°＝240°． 故选：D． 5．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角∠4和∠5， ∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台， ∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°， ∵∠4+∠5＝∠2＝50°， ∴∠5＝50°﹣∠4＝20°， ∴∠3＝180°﹣∠5＝160°， 故选：D． 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若∠1＝150°，∠3＝50°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【解答】解：由于平行，∠1+∠PFO＝180°， ∵∠1＝150°， ∴∠PFO＝30°， ∵∠3＝∠PFO+∠POF，∠3＝50°， ∴∠POF＝20°， ∴∠2＝20°， 故选：A． 7．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯底部CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝21°，∠FED＝54°，则∠GFH的度数为（　　） A．21° B．75° C．33° D．54° 【解答】解：AB∥CD， ∴∠BFG＝∠FED＝54°， ∵∠HFB＝21°， ∴∠GFH＝54°﹣21°＝33°． 故选：C． 8．下列语句中：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤两条直线相交，若邻补角相等，则这两条直线互相垂直；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中是真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，故①不符合题意； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不符合题意； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意； ④两直线平行，同位角相等，故④不符合题意； ⑤两条直线相交，若邻补角相等，则邻补角均为90度，即这两条直线互相垂直，故⑤符合题意； ⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直‌，故⑥不符合题意； 综上可知，真命题的个数有1个， 故选A． 9．如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，点C落在点C′的位置，若∠C＝30°，则α+β的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【解答】解：由折叠的性质得：∠CED＝∠C′ED，∠CDE＝∠C′DE， ∴∠CED+∠CDE＝180°﹣∠C＝150°， ∴∠CED+∠C′ED+∠CDE+∠C′DE＝300°， ∵α+β+∠C′ED+∠CED+∠C′DE+∠CDE＝360°， ∴α+β＝360°﹣300°＝60°， 故选：D． 10．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 11．如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E为度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90﹣α 【解答】解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH， ∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣150°＝α， ∴x+y＝＝36°+α， ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°+α． 故选：B． 12．如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示某市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26′（∠BOD＝23°26′），某个城市的纬度是北纬37°32′（∠POD＝37°32′），而冬至正午时，太阳光（太阳光线都是互相平行的）直射南回归线（光线MB的延长线经过地心O），则这个城市冬至正午时，太阳光线NP与地面水平线PQ的夹角α的度数是（　　） A．27°2′ B．28°2′ C．29°2′ D．30°2′ 【解答】解：如图，设PQ与OM交于点K， ∵∠BOD＝23°26′，∠POD＝37°32′， ∴∠POM＝∠POD+∠BOD＝60°58′， 在△OPK中，∠POK+∠OPK+∠OKP＝180°，∠OPK＝90°， ∴∠OKP＝29°2′， ∵PN∥OM， ∴∠α＝∠OKP＝29°2′， 故选：C． A．27°2′ B．28°2′ C．29°2′ D．30°2′ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．把“等角的余角相等”写成“如果…那么…”的形式是　如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等　． 【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”． 故答案为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 14．如图，∠ABC＝90°，∠C＝60°，过点B作DE∥AC．则∠ABD的度数是 　30°　． 【解答】解：∵∠C＝60°，DE∥AC． ∴∠CBE＝∠C＝60°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠CBE＝30°． 故答案为：30°． 15．如图，已知直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，AC⊥AB交直线b于点C．若∠1＝50°，则∠2＝　40°　． 【解答】解：如图所示： ∵AC⊥AB， ∴∠1+∠3＝90°， ∵∠1＝50°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝40°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝40°． 故答案为：40°． 16．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠EBC，∠DCB为△ABC的外角，∠EBC与∠DCB的平分线交于点A1，∠EBA1与∠DCA1的平分线交于点A2，…，∠EBAn﹣1与∠DCAn﹣1的平分线相交于点An，当两条角平分线无交点时，则n的值为 　3　． 【解答】解：∵∠A＝20°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣20°＝160°， ∴∠EBC+∠DCB＝360°﹣160°＝200°， 又∵BA1和 CA1分别平分∠EBC和∠DCB， ∴，， ∴， ∴∠A1＝180°﹣（∠A1BC+∠A1CB）＝180°﹣100°＝80°， ∵BA2和 CA2分别平分∠EBA1和∠DCA1， ∴， ∴∠EBA1+∠DCA1＝∠EBC+∠DCB﹣（∠A1BC+∠A1CB）＝100°， ∴ ∴∠A2BC+∠A2CB＝100°+50°＝150°， ∴∠A2＝180°﹣150°＝30°， 同理可得，∠A3BC+∠A3CB＝175°， ∴∠A3＝180°﹣175°＝5°， ∠A4BC+∠A4CB＝187.5°， ∵187.5°＞180°， ∴无法组成三角形，即两条角平分线无交点， 故n的值为3． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．如图，已知AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，∠1＝70°，求∠2的度数． 【解答】解：∵∠3＝∠1＝70°， ∵AB⊥EF，CD⊥EF， ∴AB∥CD， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°． 18．对于如图给定的图形（不再添线），从①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AD∥BC；④AB∥CD中选取两个作为已知条件，通过说理能得到AE∥CF． （1）你选择的两个条件是 　①④（答案不唯一）　（填序号）； （2）根据你选择的两个条件，说明AE∥CF的理由． 【解答】解：（1）选择的两个条件是①④，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠1＝∠2，∠AED＝∠1+∠ABD，∠CFB＝∠2+∠CDB， ∴∠AED＝∠CFB， ∴AE∥CF， 故答案为：①④（答案不唯一）； （2）∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠1＝∠2，∠AED＝∠1+∠ABD，∠CFB＝∠2+∠CDB， ∴∠AED＝∠CFB， ∴AE∥CF． 19．在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点D． （1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数． （2）猜想∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝80°， ∵BD为∠ABC，CD为∠ACE的角平分线， ∴， ， ∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣40°﹣70°＝40°， ∴∠A＝80°，∠D＝40°； （2）∠A＝2∠D，理由如下： ∵∠ACE＝∠A+∠ABC， ∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC， 又∵BD为∠ABC，CD为∠ACE的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD， ∵∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2（∠DCE﹣∠DBC）， 又∵∠D＝∠DCE﹣∠DBC， ∴∠A＝2∠D． 20．如图，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了说明“∠A+∠B+∠C＝180°”的过程，请填空： ∵DE∥AC， ∴∠1＝ 　∠C　，∠4＝ 　∠A　（两直线平行，同位角相等）． ∵EF∥AB， ∴∠3＝∠B（ 　两直线平行，同位角相等　）． ∠2＝ 　∠4　（ 　两直线平行，内错角相等　）． ∴∠2＝∠A（等量代换）． ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）． 【解答】证明：∵DE∥AC， ∴∠1＝∠C，∠4＝∠A，（两直线平行，同位角相等 ） 又∵EF∥AB， ∴∠3＝∠B，（两直线平行，同位角相等） ∠2＝∠4，（两直线平行，内错角相等） ∴∠2＝∠A，（等量代换） 又∵∠1+∠2+∠3＝180°，（平角定义） ∴∠A+∠B+∠C＝180°． 故答案为：∠C，∠A，两直线平行，同位角相等，∠4，两直线平行，内错角相等，等量代换． 21．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝77°，∠DCE＝131°，求∠E的度数． 【解答】解：延长DC交AE于点F， ∵AB∥CD，∠BAE＝77° ∴∠BAE＝∠CFE＝77°， ∵∠DCE＝131°，∠DCE+∠ECF＝180°， ∴∠ECF＝49°， ∵∠ECF+∠CFE+∠E＝180°， ∴∠E＝180°﹣49°﹣77°＝54°． 22．如图，AE⊥BC，FG⊥BC，垂足分别是M、N，且∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠CBD＝70°，∠D﹣∠3＝56°，求∠C的度数． 【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠AMB＝∠CNF＝90°， ∴AE∥EF， ∴∠1＝∠A， ∵∠1＝∠2， ∴∠A＝∠2， ∴AB∥CD； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠D+∠ABD＝180°， ∵∠CBD＝70°，∠ABD＝∠CBD+∠3， ∴70°+∠3+∠D＝180°， ∵∠D﹣∠3＝56°，即∠D＝∠3+56°， ∴70°+∠3+∠3+56°＝180°， ∴∠3＝27°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠3＝27°． 23．如图，FG、ED分别交BC于点M、N，∠2＝∠3，AB∥CD． （1）试说明：∠DNM+∠CMF＝180°； （2）若∠A＝4∠1，∠ACB＝40°，求∠B的度数． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠3＝∠D， ∵∠2＝∠3， ∴∠2＝∠D， ∴FG∥ED， ∴∠DNM+∠GMN＝180°， ∵∠GMN＝∠CMF， ∴∠DNM+∠CMF＝180°； （2）∵AB∥CD， ∴∠A+∠ACD＝180°， 即∠A+∠ACB+∠1＝180°， ∵∠A＝4∠1，∠ACB＝40°， ∴4∠1+40°+∠1＝180°， 解得：∠1＝28°， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠1＝28°． 24．将一副三角板拼成如图的图形，其中CD⊥BE于点C，∠D＝30°，∠B＝45°，且过点C作CF平分∠DCE交DE于点F． （1）猜想CF与AB之间的位置关系，并说明理由； （2）画出△EFC的角平分线FG，与BE交于G，并求出∠DFG度数． 【解答】解：（1）CF∥AB，理由如下： ∵DC⊥BE， ∴∠DCE＝∠ACB＝90°， ∵CF平分∠DCE， ∴∠1＝∠2＝∠DCE＝45°， ∵∠B＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠3＝45°， ∴∠1＝∠3， ∴CF∥AB； （2）作FG平分∠CFE，交CE于点G， ∴∠CFG＝∠CFE， ∵∠CFE为△DCF的外角， ∴∠CFE＝∠1+∠D， ∵∠1＝45°，∠D＝30°， ∴∠CFE＝75°， ∴∠DFC＝105°，∠CFG＝×75°＝37.5°， ∴∠DFG＝∠DFC+∠CFG＝105°+37.5°＝142.5°． 25．已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B在直线PQ上，点C在直线MN，PQ之间． （1）如图1，求证：∠ACB＝∠MAC+∠PBC． （2）如图2，若∠ACB＝45°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝3∠CBP，试判断∠CAE 与∠CAM 的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点E在线段BC上，连接AE，若∠NAE＝（n+2）∠CBP，∠CAE＝（n+1）∠CAM，（n≥0），直接写出∠ACB 的度数．（用含n的式子表示） 【解答】（1）证明：过点C作CD∥MN，如图1所示： ∵MN∥PQ， ∴MN∥CD∥PQ， ∴∠ACD＝∠MAC，∠BCD＝∠PBC， ∴∠ACD+∠BCD＝∠MAC+∠PBC， 即∠ACB＝∠MAC+∠PBC； （2）解：∠CAE与∠CAM的数量关系是：∠CAE＝3∠CAM，理由如下： 设∠CBP＝α，则∠DAE＝3∠CBP＝3α， ∵AD∥CB， ∴∠AEC＝∠DAE＝3α， 在△ACE中，∠ACB＝45°， ∴∠CAE＝180°﹣（∠ACB+∠AEC）＝180°﹣（45°+3α）＝135°﹣3α， 由（1）的结论得：∠ACB＝∠CAM+∠CBP， 即45°＝∠CAM+α， ∴∠CAM＝45°﹣α， ∴3∠CAM＝135°﹣3α， ∴∠CAE＝3∠CAM； （3）解：∠ACB的度数是：，理由如下： 设∠CBP＝α，∠CAM＝β， ∴∠NAE＝（n+2）∠CBP＝（n+2）α，∠CAE＝（n+1）∠CAM＝（n+1）β， ∴∠MAE＝∠CAM+∠CAE＝β+（n+1）β＝（n+2）β， ∵∠MAE+∠NAE＝180°， ∴（n+2）α+（n+2）β＝180°， ∴α+β＝， 由（1）的结论得：∠ACB＝∠CAM+∠CBP＝β+α＝． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$