第七章 平行线的证明（A卷·提优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第七章 平行线的证明（A卷·提优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 2．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 3．若一个三角形的3个内角的度数之比1：2：3，则与之对应的3个外角的度数之比为（　　） A．5：3：4 B．3：4：5 C．5：4：3 D．3：5：4 4．如图，是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB＝（　　） A．90° B．75° C．100° D．60° 5．如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是（　　） A．∠ACD B．∠AEB C．∠AEF D．∠CEF 6．如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为（　　） A．∠3＝∠2+∠1 B．∠3＝∠2+2∠1 C．∠3+∠2+∠1＝180° D．∠1+∠3＝2∠2 8．如图，李师傅将木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条OD．李师傅用量角仪测得∠A＝70°，木条OD与AB的夹角∠BOD＝82°，要使OD∥AC，木条OD绕点O按逆时针方向至少旋转（　　） A．12° B．18° C．22° D．24° 9．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．若已知∠BAO＝45°，则∠C＝（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 10．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（　　） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 11．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCB的变化情况为（　　） A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30° 12．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道MN，PQ上分别放置A，B两盏激光灯．如图，A灯发出的光束AC自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束BD自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动15°，B灯每秒转动5°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BP之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是　 　，这个逆命题是　 　命题； 14．如图，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠1的度数为 　 　． 15．如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为：　 　． 16．一副三角板按如图所示的位置放置，过点A作直线HG∥BC，AE平分∠CAG，AC、DE交于点F．已知∠D＝60°，∠DAE＝90°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．下列结论正确的是 　 　． ①AB⊥AG； ②AD平分∠CAH； ③∠CFE＝52.5°； ④∠BCA＝2∠BAD． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）如图，如果已知∠1＝∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明． 18．（10分）已知：如图，点E、C、D三点共线，∠DCM＝40°，∠B＝80°，CN平分∠BCE，CM⊥CN，问：AB与CD有什么位置关系？请写出推理过程． 19．（10分）如图，点F在AC上，FG⊥AB于点G，FB与CD相交于点H，且∠BHC+∠GFB＝180°． 求证：CD⊥AB． 在下列解答中，填空： 证明：∵∠BHC+∠GFB＝180°（已知）， 　 　（对顶角相等）， ∴　 　+∠GFB＝180°（等量代换）． ∴CD∥FG（ 　 　）． ∴∠AGF＝　 　（两直线平行，同位角相等）． 又∵FG⊥AB（已知）， ∴∠AGF＝90°（垂直的定义）． ∴∠ADC＝　 　（等量代换）． ∴CD⊥AB（垂直的定义）． 20．（10分）如图，在△ABC中，AB⊥BC． （1）若∠BAC＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADC的度数； （2）请在图中画出△ABC边AC上的高BE，若AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm，求BE的长度． 21．（10分）如图，一束光线AB射到平面镜a上，经平面镜a反射到平面镜b上，又经平面镜b反射得到光线CD，反射过程中，∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）若AB∥CD，且∠1＝40°，求∠4的度数． （2）探究∠2与∠3有什么关系时，光线AB与光线CD平行． 22．（11分）如图，点G在AB上，点E在CD上，连接BE，CG，DG，BE与DG交于点F，∠2＝∠C． （1）若∠1＝60°，求∠ABF的度数； （2）若∠GBF+∠BFG＝152°，∠D＝28°，求证：AB∥CD． 23．（11分）如图，这是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠EOF＝90°，∠ODC＝32°． （1）求扶手AB与支架OE的夹角∠AOE的度数． （2）若扶手AB与靠背DM的夹角∠BNM＝58°，请对OE∥DM说明理由． 24．（12分）如图，AB//CD，点P是射线CD上一个动点（点P不与点C重合），∠CAP和∠BAP的平分线AE，AF分别交射线CD于点E，F． （1）若∠C＝50°，求∠EAF的度数； （2）无论点P运动到射线CD上的任意位置（点P不与点C重合），∠CPA和∠CFA都保持不变的数量关系，写出两者之间的数量关系，并证明． 25．（14分）某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ． （1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，求出∠PFQ的度数； 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明（A卷·提优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 【解答】解：A．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故此命题是假命题，不符合题意； B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此命题是假命题，不符合题意； C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0，故此命题为真命题，符合题意； D．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故此命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 2．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【解答】解：这一想法体现的数学依据是垂线段最短． 故选：A． 3．若一个三角形的3个内角的度数之比1：2：3，则与之对应的3个外角的度数之比为（　　） A．5：3：4 B．3：4：5 C．5：4：3 D．3：5：4 【解答】解：∵三角形3个内角的度数之比为1：2：3， ∴设三个角分别为x，2x，3x， ∴x+2x+3x＝180°， 解得，x＝30°， ∴三角形的三个内角的度数分别为30°，60°，90°， ∴对应的外角的度数分别为150°，120°，90°， ∴150：120：90＝5：4：3， 故选：C． 4．如图，是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB＝（　　） A．90° B．75° C．100° D．60° 【解答】解：如图， 由图可知∠ACB＝30°，∠DBC＝45°， ∵∠AEB＝∠DBC+∠ACB， ∴∠AEB＝30°+45°＝75°． 故选：B． 5．如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是（　　） A．∠ACD B．∠AEB C．∠AEF D．∠CEF 【解答】解：A、∠ACD是△ABC的外角，不是△ABE的外角，不符合题意； B、∠AEB是△ABE内角，不是△ABE的外角，不符合题意； C、∠AEF是△ABE的外角，符合题意； D、∠CEF是△EBC的外角，不是△ABE的外角，不符合题意； 故选：C． 6．如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴AD∥BC； ②∵∠2+∠5＝180°，∵∠5＝∠AGC，∴∠2+∠AGC＝180°，∴AB∥DC； ③∵∠4＝∠B，∴AB∥DC； ④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC． 故选：B． 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为（　　） A．∠3＝∠2+∠1 B．∠3＝∠2+2∠1 C．∠3+∠2+∠1＝180° D．∠1+∠3＝2∠2 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAD， ∴∠3＝∠2+∠DAC＝∠2+∠BAD， ∵∠1+∠BAD＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠1+∠2+∠BAD＝2∠2． 故选：D． 8．如图，李师傅将木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条OD．李师傅用量角仪测得∠A＝70°，木条OD与AB的夹角∠BOD＝82°，要使OD∥AC，木条OD绕点O按逆时针方向至少旋转（　　） A．12° B．18° C．22° D．24° 【解答】解：∵OD′∥AC， ∴∠BOD′＝∠A＝70°， ∴∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝82°﹣70°＝12°， ∴木条OD绕点O按逆时针方向至少旋转12°， 故选：A． 9．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．若已知∠BAO＝45°，则∠C＝（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 【解答】解：∵∠BAO＝45°，∠MON＝90°， ∴∠ABN＝∠BAO+∠MON＝90°+45°＝135°， ∵BE平分∠NBA， ∴∠ABE＝×135°＝67.5°， 又∵AC平分∠BAO的平分线， ∴∠BAC＝22.5°， ∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝67.5°﹣22.5°＝45°． 故选：A． 10．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（　　） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【解答】解：最坏情况考虑就行了，摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：14+14+12+14+10+10+1＝75个球； 故选：B． 11．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCB的变化情况为（　　） A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30° 【解答】解：起吊物体前， 依题意得：∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝60°， 设∠BDC＝α， ∴∠DCB＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝120°﹣α； 物体被吊起后， 依题意得：机械臂AB的位置不变，∠CBD＝2∠ABD，∠ABC＝120°， ∴∠CBD+∠ABD＝120°， ∴2∠ABD+∠ABD＝120°， ∴∠ABD＝40°， ∴∠CBD＝2∠ABD＝80°， ∵∠BDC增大了10°， ∴∠BDC＝α+10°， ∴∠DCE＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣（80°+α+10°）＝90°﹣α， ∴∠DCB﹣∠DCE＝（120°﹣α）﹣（ 90°﹣α）＝30°， ∴∠DCE的变化情况为增大30°． 故选：C． 12．为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道MN，PQ上分别放置A，B两盏激光灯．如图，A灯发出的光束AC自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束BD自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动15°，B灯每秒转动5°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BP之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 【解答】解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BP要180°÷5°＝36s． ∴t≤36﹣2＝34s， 由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1： ∠MAC＝∠DBQ，即15t＝5（t+2）， 解得：t＝1； 如图2， 此时∠NAC+∠QBD＝180°， 即15t﹣180+5（2+t）＝180， 解得：t＝17.5， 综上：当B灯光束第一次到达BP之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是1秒或17.5秒． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是　有两个角相等的三角形是等腰三角形　，这个逆命题是　真　命题； 【解答】解：命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形． 因为，在同一个三角形内有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此逆命题是真命题． 14．如图，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠1的度数为 　110°　． 【解答】解：∵∠1是△ABC的外角， ∴∠1＝∠2+∠3＝50°+60°＝110°． 故答案为：110°． 15．如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为：　　． 【解答】解：过点F作FT∥CD，过点Q作QK∥AB ∵AB∥CD， ∴CD∥FT∥QK∥AB， ∴∠DFT＝∠CDF，∠TFB＝∠ABF，∠DQK＝∠GDQ，∠KQB＝∠QBH， ∴∠DFB＝∠DFT+∠TFB＝∠CDF+∠ABF∠DQB＝∠DQK+∠KQB＝∠GDQ+∠QBH， ∵， ∴， ∴， ∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE， ∴， ∵∠GDE+∠CDE＝180°，∠HBE+∠ABE＝180°， ∴， ∴∴， ∴， 故答案为：． 16．一副三角板按如图所示的位置放置，过点A作直线HG∥BC，AE平分∠CAG，AC、DE交于点F．已知∠D＝60°，∠DAE＝90°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．下列结论正确的是 　①②③④　． ①AB⊥AG； ②AD平分∠CAH； ③∠CFE＝52.5°； ④∠BCA＝2∠BAD． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，HG∥BC， ∴AB⊥AG，故①符合题意； ∵AE平分∠CAG， ∴∠CAE＝∠GAE， ∵∠DAE＝90°＝∠DAC+∠CAE， ∴∠DAH+∠GAE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DAC＝∠DAH， ∴AD平分∠CAH；故②符合题意； ∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵HG∥BC， ∴∠CAG＝∠ACB＝45°， ∵AE平分∠CAG， ∴∠CAE＝∠GAE＝22.5°， ∵∠D＝60°，∠DAE＝90°， ∴∠E＝30°，∠DAG＝90°+22.5°＝112.5°， ∴∠AFE＝180°﹣30°﹣22.5°＝127.5°， ∴∠CFE＝180°﹣127.5°＝52.5°，故③符合题意； ∵∠DAG＝112.5°，∠BAG＝90°， ∴， ∴∠BCA＝2∠BAD，故④符合题意； 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．如图，如果已知∠1＝∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明． 【解答】解：如果已知∠1＝∠2，那么AB∥CD，不是真命题， 添加条件为：BE∥DF， 证明过程如下： ∵BE∥DF， ∴∠MBE＝∠BDF， ∵∠1＝∠2， ∴∠MBA＝∠BDC， ∴AB∥CD． 18．已知：如图，点E、C、D三点共线，∠DCM＝40°，∠B＝80°，CN平分∠BCE，CM⊥CN，问：AB与CD有什么位置关系？请写出推理过程． 【解答】解：AB∥CD， 证明如下：∵CM⊥CN， ∴∠MCN＝90°， ∵∠DCM＝40°， ∴∠ECN＝180°﹣∠MCN﹣∠DCM＝50°， ∵CN平分∠BCE， ∴∠BCE＝2∠ECN＝100°， ∵∠B＝80°， ∴∠BCE+∠B＝100°+80°＝180°， ∴AB∥CD． 19．如图，点F在AC上，FG⊥AB于点G，FB与CD相交于点H，且∠BHC+∠GFB＝180°． 求证：CD⊥AB． 在下列解答中，填空： 证明：∵∠BHC+∠GFB＝180°（已知）， 　∠BHC＝∠DHF　（对顶角相等）， ∴　∠DHF　+∠GFB＝180°（等量代换）． ∴CD∥FG（ 　同旁内角互补，两直线平行　）． ∴∠AGF＝　∠ADC　（两直线平行，同位角相等）． 又∵FG⊥AB（已知）， ∴∠AGF＝90°（垂直的定义）． ∴∠ADC＝　90°　（等量代换）． ∴CD⊥AB（垂直的定义）． 【解答】解：∵∠BHC+∠GFB＝180°（已知）， ∠BHC＝∠DHF（对顶角相等）， ∴∠DHF+∠GFB＝180°（等量代换）， ∴CD∥FG（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠AGF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）， 又∵FG⊥AB（已知）， ∴∠AGF＝90°（垂直的定义）， ∴∠ADC＝90°（等量代换）， ∴CD⊥AB（垂直的定义）， 故答案为：∠BHC＝∠DHF；∠DHF；同旁内角互补，两直线平行；∠ADC；90°． 20．如图，在△ABC中，AB⊥BC． （1）若∠BAC＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADC的度数； （2）请在图中画出△ABC边AC上的高BE，若AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm，求BE的长度． 【解答】解：（1）∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵∠BAC＝62°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝28°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴， ∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝121°； （2）高线BE如图： ∵AB⊥BC，AC⊥BE， ∴， ∵AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm， ∴． 21．如图，一束光线AB射到平面镜a上，经平面镜a反射到平面镜b上，又经平面镜b反射得到光线CD，反射过程中，∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）若AB∥CD，且∠1＝40°，求∠4的度数． （2）探究∠2与∠3有什么关系时，光线AB与光线CD平行． 【解答】解（1）∵∠1＝∠2，∠1＝40°， ∴∠2＝∠1＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠1＝∠2＝100°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°， ∴∠3+∠4＝180°﹣∠BCD＝100°， ∵∠3＝∠4， ∴∠3＝∠4＝50°； （2）当∠2+∠3＝90°时，光线AB与光线CD平行， 理由如下： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝2×180°﹣（∠2+∠1+∠3+∠4）＝180°， ∴AB∥CD． 22．如图，点G在AB上，点E在CD上，连接BE，CG，DG，BE与DG交于点F，∠2＝∠C． （1）若∠1＝60°，求∠ABF的度数； （2）若∠GBF+∠BFG＝152°，∠D＝28°，求证：AB∥CD． 【解答】（1）解：∵∠2＝∠C， ∴BE∥CG， ∴∠ABF＝∠1＝60°； （2）证明：∵∠GBF+∠BFG＝152°， ∴∠BGF＝180°﹣（∠GBF+∠BFG）＝180°﹣152°＝28°， ∵∠D＝28°， ∴∠BGF＝∠D， ∴AB∥CD． 23．如图，这是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠EOF＝90°，∠ODC＝32°． （1）求扶手AB与支架OE的夹角∠AOE的度数． （2）若扶手AB与靠背DM的夹角∠BNM＝58°，请对OE∥DM说明理由． 【解答】解：（1）∵扶手AB与底座CD都平行于地面，∠ODC＝32°， ∴AB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝32°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝180°﹣∠EOF﹣∠BOD＝180°﹣90°﹣32°＝58°， ∴∠AOE的度数为58°； （2）∵∠BNM＝58°，∠AOE＝58°， ∴∠AND＝∠BNM＝58°， ∴∠AOE＝∠AND， ∴OE∥DM． 24．如图，AB//CD，点P是射线CD上一个动点（点P不与点C重合），∠CAP和∠BAP的平分线AE，AF分别交射线CD于点E，F． （1）若∠C＝50°，求∠EAF的度数； （2）无论点P运动到射线CD上的任意位置（点P不与点C重合），∠CPA和∠CFA都保持不变的数量关系，写出两者之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠C+∠BAC＝180°， ∵∠C＝50°， ∴∠BAC＝130°， ∵AE、AF分别平分∠CAP和∠BAP， ∴∠PAE＝∠PAC，∠PAF＝∠BAP， ∴∠PAE+∠PAF＝（∠PAC+∠PAB）， ∴∠EAF＝∠BAC＝65°； （2）∠CPA＝2∠CFA，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠CFA＝∠BAF，∠CPA＝∠PAB， ∵FA平分∠PAB， ∴∠PAB＝2∠FAB， ∴∠CPA＝2∠CFA． 25．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ． （1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，求出∠PFQ的度数； 【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，理由如下： 如图1，过点E作EH∥AB， ∴∠APE＝∠PEH， ∵EH∥AB，AB∥CD， ∴EH∥CD， ∴∠CQE＝∠QEH， ∵∠PEQ＝∠PEH+∠QEH， ∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE． （2）如图2，过点E作EM∥AB， 由（1）同理可得，∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝140°， ∵∠BPE＝180°﹣∠APE，∠EQD＝180°﹣∠CQE， ∴∠BPE+∠EQD＝360°﹣（∠APE+∠CQE）＝220°， ∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD， ∴，， ∴， 如图2：作NF∥AB，同理可得：∠PFQ＝∠BPF+∠DQF＝110°． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$