专题4.1 数列的概念重点题型讲与练- 2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

4.1数列的概念 知识点一：数列的概念与分类 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 3. 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 【特别注意】 (1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列． (2)同一个数可以在数列中重复出现． (3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项． 知识点2：数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 知识点3：数列与函数的关系 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数值组成的． 【特别注意】 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数表达式． (2)数列还可以用列表法、图象法表示． 知识点4：求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 知识点5：数列的递推公式 1.递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. 2.对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 知识点6：数列的前n项和（或an与Sn的关系） 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】 【例1】数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，代入各选项直接得出答案. 【详解】由题意得，令， A选项：，不合题意； B选项：，不合题意； C选项：，不合题意； D选项：，符合题意 故选：D. 【变式1】数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举特例排除ABC，分和讨论确定D. 【详解】A.当时，，不符； B.当时，，不符； C.当时，，不符； D.当时，， 当时，，符合. 故选：D. 【变式2】数列的一个通项公式 ． 【答案】 【分析】根据题意，观察数列项的特点，即可得到其通项公式. 【详解】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍， 则通项公式为. 故答案为： 【变式3】（多选）下列式子可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用各选项中的通项公式逐一计算其前6项，再比较判断作答. 【详解】对于A，由知，其前6项依次为，0，，0，，0，A正确； 对于B，由知，其前6项依次为，0，，0，，0，B正确； 对于C，由知，其前6项依次为，0，，0，，0，C正确； 对于D，由知，其前6项依次为0，，0，，0，，D不正确正确. 所以选项A，B，C中的通项公式均可作为数列，0，，0，，0，…的通项公式. 故选：ABC 【题型2 判断或写出数列的项】 【例2】已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【分析】令求出即可. 【详解】，令，解得. 故选：B. 【变式2-1】已知数列，，，…，，，则7是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第24项 【答案】D 【分析】根据，即可求出答案. 【详解】由题可知，，解得：，则7是这个数列的第24项 故选：D 【变式2-2】大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第18项为（    ） A．200 B．162 C．144 D．128 【答案】B 【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50，即，，，，，即偶数项对应的通项公式为，则数列的第18项为第9个偶数，即．故选B．] 【题型3 根据数列的递推关系求数列的项或通项公式】 【例3】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足 ，则第六层球的个数为（    ） A．28 B．21 C．15 D．10 【答案】B 【分析】利用递推公式进行累加法求解. 【详解】由题意得，，，，， 以上式子累加可得， 因为，所以， 故选:B. 【变式3-1】已知数列满足，，则的通项公式是 . 【答案】 【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解. 【详解】因为① 所以， 当时，②， ①-②可得，， 所以 ， 所以数列的通项公式是. 故答案为： . 【变式3-2】已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设， 则， ，， ，， ，， 可归纳得：，， 所以. 故选：B 【变式3-3】（多选）若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（    ） A． B．（，） C． D． 【答案】AC 【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可. 【详解】对于A，由题可得，，，，，故A正确； 对于B，因为，又， 所以，即，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AC. 【题型4 数列单调性的判断及应用】 【例4】已知数列的通项公式为，则该数列是（   ） A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列 【答案】A 【分析】根据数列通项公式判断选项即可. 【详解】由数列通项公式为知，数列奇数项为负，偶数项为正， 故数列为摆动数列， 故选：A 【变式4-1】（多选）下列数列是单调递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用验证各选项即可. 【详解】因为 选项A：，所以，不是单调递增数列； 选项B：，所以是单调递增数列； 选项C：，所以，不是单调递增数列； 选项D：，所以是单调递增数列； 故选：BD 【变式4-2】已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案. 【详解】当时，有，即；当时，有， 又，即，综上，有， 故选：C． 【题型5 数列的周期性】 【例5】若数列满足，且，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】确定数列的周期即可求解. 【详解】, 所以， 所以， 所以数列周期为3，由，可得， 所以. 故选：D 【变式5-1】已知数列满足，，则 ． 【答案】/ 【分析】尝试求数列的前几项，归纳数列的周期性，可得结论. 【详解】由题意：，，，，， 所以满足. 所以 故答案为： 【变式5-2】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系，可知数列从开始，是以3为周期的数列，进而即可求解. 【详解】由题意可知，，，，，， ，，，，，……， 可知数列从开始，是以3为周期的数列， 所以根据“冰霓猜想”可知. 故选：B 【变式5-3】（多选）已知函数，若数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的解析式，求出数列的前面的项，找到数列的项出现的规律，即可判断A，B；结合数列的项的规律求出，即可判断C，D. 【详解】由题意知，故；； ；；； ；…… ∴数列从开始每3项，即重复出现， 但前2项和后面项并不重复，故数列并不是周期数列，A错误，B正确． ， ，C正确，D错误． 故选：BC． 【题型6 求数列的最大项和最小项】 【例6】已知在数列中，，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 【答案】BC 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】依题意，， 函数的开口向上，对称轴为， 由于，所以当或时，取得最小值. 故选：BC 【变式6-1】已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A．-15 B．-14 C．-11 D．-6 【答案】A 【分析】根据已知条件得出最小项为，利用迭代的思想即可求得. 【详解】∵，∴当时，，当时，，∴，显然的最小值是. 又，∴ ，即的最小值是. 故选：A 【变式6-2】若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【分析】由题意先由递推关系通过累乘法求通项公式，再由单调性解不等式即可得解. 【详解】由题意，即， 所以， 而，所以， 由题意令， 而是单调递增的， 且发现，， 所以满足不等式的最大正整数为28. 故选：A. 【题型7 an与Sn的关系】 【例7】设数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过赋值即可求解. 【详解】由题意令，可得：， 故选：B 【变式7-1】已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式. 【详解】数列的前n项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式7-2】已知为数列的前n项和，若，则的值为 . 【答案】4047 【分析】利用列式计算即得. 【详解】数列中，，所以. 故答案为：4047 【变式7-3】（多选）已知数列的前n项和，则（    ） A． B． C．若第k项满足，则 D．若第k项满足，则 【答案】AC 【分析】利用与的关系求出数列的通项，即得解. 【详解】解：当时，； 当时，， 当时，满足上式，∴. 由，得.又，∴. 故选：AC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1数列的概念 知识点一：数列的概念与分类 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 3. 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 【特别注意】 (1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列． (2)同一个数可以在数列中重复出现． (3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项． 知识点2：数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 知识点3：数列与函数的关系 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数值组成的． 【特别注意】 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数表达式． (2)数列还可以用列表法、图象法表示． 知识点4：求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 知识点5：数列的递推公式 1.递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. 2.对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 知识点6：数列的前n项和（或an与Sn的关系） 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】 【例1】数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式2】数列的一个通项公式 ． 【变式3】（多选）下列式子可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 判断或写出数列的项】 【例2】已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【变式2-1】已知数列，，，…，，，则7是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第24项 【变式2-2】大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第18项为（    ） A．200 B．162 C．144 D．128 【题型3 根据数列的递推关系求数列的项或通项公式】 【例3】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足 ，则第六层球的个数为（    ） A．28 B．21 C．15 D．10 【变式3-1】已知数列满足，，则的通项公式是 . 【变式3-2】已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（    ） A． B．（，） C． D． 【题型4 数列单调性的判断及应用】 【例4】已知数列的通项公式为，则该数列是（   ） A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列 【变式4-1】（多选）下列数列是单调递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 数列的周期性】 【例5】若数列满足，且，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式5-1】已知数列满足，，则 ． 【变式5-2】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（多选）已知函数，若数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列 C． D． 【题型6 求数列的最大项和最小项】 【例6】已知在数列中，，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 【变式6-1】已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A．-15 B．-14 C．-11 D．-6 【变式6-2】若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【题型7 an与Sn的关系】 【例7】设数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【变式7-2】已知为数列的前n项和，若，则的值为 . 【变式7-3】（多选）已知数列的前n项和，则（    ） A． B． C．若第k项满足，则 D．若第k项满足，则 学科网（北京）股份有限公司 $$