第01讲 5.1导数的概念及其几何意义（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第01讲 5.1导数的概念及其几何意义 课程标准 学习目标 ①初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义。 ②会求函数的平均变率与瞬时变化率。 ③能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值。 通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率. 知识点01：函数的平均变化率 1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 2、求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 【即学即练1】（24-25高二下·全国·随堂练习）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    3、平均变化率的几何意义 平均变化率如图：表示直线的斜率。 知识点02：函数在处的导数（瞬时变化率） 1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 【即学即练2】（22-23高二·全国·随堂练习）物体在自由落体运动中，根据，估算物体在时的瞬时速度． 2、定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. 知识点03：导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【即学即练3】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C．1 D．4 知识点04：曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练4】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练5】（24-25高二下·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 题型01 求物体运动的平均速度(含平均变化率） 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某辆汽车每次加油都把油箱加满﹐下表记录了该车相邻两次加油时的情况（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程）． 加油时间 加油量（升） 加油时累计里程（千米） 10月1日 12 35000 10月15日 60 35600 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（    ） A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 【典例2】（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）已知函数，分别计算在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快； （2）已知函数，求在区间上的平均变化率． 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（    ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 【变式2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 题型02求物体运动的瞬时速度（含瞬时变化率） 【典例1】（23-24高二下·福建厦门·期中）如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以的速度向外扩大，则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为 ． 【变式2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为 m/s． 【变式3】（25-26高三上·上海·单元测试）一质点按规律运动， (1)求其在时间段[1,2]内的平均速度； (2)求其在时的瞬时速度． 题型03曲线在某点处的切线斜率 【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例2】（23-24高二下·河北承德·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【典例3】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x2＋，则＝ . 【变式1】（23-24高二下·湖南湘潭）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】（23-24高二下·重庆江津·阶段练习）设存在导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为 A． B． C．1 D．2 【变式3】（23-24高一下·陕西西安）已知，则处的切线斜率是 . 题型04导数定义的理解与应用 【典例1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【典例2】（25-26高三上·上海·单元测试）对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·山东·阶段练习）设函数在上可导，且，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 【变式1】（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 【变式2】（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知函数在处的导数为1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式3】（23-24高二下·陕西渭南·期中）设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（    ） A．与，都有关 B．仅与有关而与无关 C．仅与有关而与无关 D．与，均无关 题型05求切线方程 【典例1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A．1 B．3 C．6 D．9 【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）曲线在点处的切线方程是 . 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【变式1】（22-23高二下·安徽马鞍山·期中）设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 ． 【变式2】（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中的图象在点处的切线的斜率为 ． 【变式3】（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二下·全国·课后作业）汽车在笔直公路上行驶，如果表示t时刻的速度，则当d趋近于0时，的意义是（    ） A．表示当时汽车的瞬时加速度 B．表示当时汽车的瞬时速度 C．表示当时汽车的路程变化率 D．表示当时汽车与起点的距离 2．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 4．（24-25高二下·全国·课后作业）某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度等于（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．0米/秒 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 6．（23-24高二下·广东茂名·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高三·上海·随堂练习）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（    ）． A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B． C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 8．（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 三、填空题 9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在处的切线方程为，则 ． 四、解答题 10．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在上的平均变化率是函数在上的平均变化率的3倍，求实数m的值． 11．（24-25高三·上海·课堂例题）（1）当球的半径从1增加到2时，求球的体积相对于半径的平均变化率； （2）当球的半径时，求球的体积相对于半径的瞬时变化率. B能力提升 1．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高三上·上海·期中）设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. (1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; (2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. (3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 5.1导数的概念及其几何意义 课程标准 学习目标 ①初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义。 ②会求函数的平均变率与瞬时变化率。 ③能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值。 通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率. 知识点01：函数的平均变化率 1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 2、求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 【即学即练1】（24-25高二下·全国·随堂练习）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    【答案】/0.75 【知识点】平均变化率 【分析】根据图象求解函数表达式，即可由平均变化率的计算公式求解. 【详解】由图可知在上的函数表达式为，即可， 故当时，， 在上的函数表达式为，即可， 当 在区间上的平均变化率为， 故答案为： 3、平均变化率的几何意义 平均变化率如图：表示直线的斜率。 知识点02：函数在处的导数（瞬时变化率） 1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 【即学即练2】（22-23高二·全国·随堂练习）物体在自由落体运动中，根据，估算物体在时的瞬时速度． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用瞬时变化率的定义即可估算物体在时的瞬时速度. 【详解】因为， 所以， 则， 所以物体在时的瞬时速度为. 2、定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. 知识点03：导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【即学即练3】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】因为 =， 所以， 则曲线在点处的切线斜率为， 故选：A 知识点04：曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练4】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练5】（24-25高二下·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【答案】或 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标为，然后对函数求导，则可求出切线的斜率，从而可表示出切线方程，然后将的坐标代入切线方程可求出，从而可求出切线方程. 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 题型01 求物体运动的平均速度(含平均变化率） 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某辆汽车每次加油都把油箱加满﹐下表记录了该车相邻两次加油时的情况（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程）． 加油时间 加油量（升） 加油时累计里程（千米） 10月1日 12 35000 10月15日 60 35600 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（    ） A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 【答案】C 【知识点】平均变化率 【分析】利用给定条件得到里程数，再求解平均耗油量即可. 【详解】由题意知第二次加油量即为这段时间的耗油量（升）， 这段时间行驶的里程数（千米）， 故这段时间，该车每100千米平均耗油量为（升）． 故选：C 【典例2】（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）. 故选：A 【典例3】（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）已知函数，分别计算在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快； （2）已知函数，求在区间上的平均变化率． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【知识点】平均变化率 【分析】（1）根据平均变化率的意义直接计算，然后比较大小即可. （2）根据平均变化率的意义直接计算. 【详解】（1）自变量x从1变到2时，函数的平均变化率为 ， 自变量x从3变到5时，函数f（x）的平均变化率为 ， 因为，所以函数在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． （2）， 所以在区间上的平均变化率为． 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（    ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义求解. 【详解】，则， 即列车运行10秒的平均速度为米/秒. 故选：A 【变式2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】 根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）， 故选：B 【变式3】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 【答案】(1) (2)8.02 【知识点】平均变化率 【分析】（1）利用平均变化率的定义求解． （2）由（1）可知，令即可求解结果． 【详解】（1） ， 函数在区间上的平均变化率为． （2）由（1）可知在区间上的平均变化率为， 当，时， ， 即函数在区间上的平均变化率为8.02． 题型02求物体运动的瞬时速度（含瞬时变化率） 【典例1】（23-24高二下·福建厦门·期中）如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】， 所以. 故选：D. 【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可． 【详解】解：函数的导数， 当时，， 即质点在时的速度为， 故答案为：． 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用瞬时变化率求解瞬时加速度，再求解瞬时速度即可. 【详解】由已知得运动方程为． 因为， 所以，当时，． 由题意知，， 所以，即子弹射出枪口时的瞬时速度为． 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以的速度向外扩大，则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为 ． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据已知求解变化速率. 【详解】由题意得水波面积，则， 当d趋近于0时，趋近于， 所以当时，圆面积的变化速率为． 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为 m/s． 【答案】3 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 【分析】利用平均变化率来求瞬时变化率即可得到瞬时速度. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为: ， 当无限趋近于0时， 无限趋近于3，即该物体在时的瞬时速度为3m/s． 故答案为：. 【变式3】（25-26高三上·上海·单元测试）一质点按规律运动， (1)求其在时间段[1,2]内的平均速度； (2)求其在时的瞬时速度． 【答案】(1)14 (2)6 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】（1）由平均速度公式求解； （2）由瞬时速度公式求解． 【详解】（1）在时间段内的平均速度为； （2），把代入可得时的瞬时速度为. 题型03曲线在某点处的切线斜率 【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据解析式先化简，然后由导数定义可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 【典例2】（23-24高二下·河北承德·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】对条件变形，利用导数的定义求解出到数值. 【详解】因为，所以， 故 故选：B 【典例3】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x2＋，则＝ . 【答案】－6 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、导数定义中极限的简单计算、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】f′()＝ 令，f′(1)＝＝＝ (Δx＋2)＝2 而＝ 把看成一个整体，比如设为，由于等价于 可看作=(－3)·f′(1)= 【详解】f′(1)＝ ＝ ＝＝ (Δx＋2)＝2. ∴＝ ＝－3＝(－3)·f′(1)＝－6. 答案：－6 【点睛】本题主要考查把极限化成与导数定义一致的形态，对分式进行整理，进而利用等量代换关系进行求值，属于中等题. 【变式1】（23-24高二下·湖南湘潭）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 故选：C 【变式2】（23-24高二下·重庆江津·阶段练习）设存在导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为 A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、导数的几何意义 【详解】分析：由导数的概念可得，在点处的切线斜率为，即可得到所求. 详解：为可导函数，且满足， 在点处的切线斜率为. 故选：A. 点睛：本题考查曲线在某处切线斜率的意义，运用导数的概念判断在点处的切线斜率为是解题的关键. 【变式3】（23-24高一下·陕西西安）已知，则处的切线斜率是 . 【答案】2 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【详解】由可得：，即 ∴处的切线斜率是2 故答案为2 题型04导数定义的理解与应用 【典例1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、导数定义中极限的简单计算 【分析】由已知结合导数定义即可求解. 【详解】由于，则. 故选：C. 【典例2】（25-26高三上·上海·单元测试）对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D． 【典例3】（23-24高二下·山东·阶段练习）设函数在上可导，且，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据题意结合导数的定义即得结果. 【详解】由导数定义可知：， 所以. 故选：A. 【变式1】（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义和性质即可求解. 【详解】, 故选：D 【变式2】（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知函数在处的导数为1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义将式子变形可得答案. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以. 故选：B 【变式3】（23-24高二下·陕西渭南·期中）设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（    ） A．与，都有关 B．仅与有关而与无关 C．仅与有关而与无关 D．与，均无关 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数和极限的关系结合导数的定义求解即可. 【详解】易知函数在处可导，故， 显然此极限仅与有关而与无关，故B正确. 故选：B 题型05求切线方程 【典例1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即得. 【详解】依题意，，则，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是9. 故选：D 【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）曲线在点处的切线方程是 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出函数在点处的切线斜率，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意得在处的切线斜率为， 故切线方程是，即， 故答案为： 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率； （2）根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 【变式1】（22-23高二下·安徽马鞍山·期中）设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 ． 【答案】/ 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】因为， 所以曲线在点处的切线斜率为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中的图象在点处的切线的斜率为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的几何意义结合导数的定义运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以的图象在点处的切线的斜率. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数定义中极限的简单计算 【分析】（1）利用导数的定义，结合解析式，求解即可； （2）根据（1）中所求导数，结合导数的几何意义以及直线的点斜式方程，直接求解即可. 【详解】（1）； 故； 则． 故． （2）切线的斜率为函数在处的导数，又， 所以曲线在点的切线方程为，即. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二下·全国·课后作业）汽车在笔直公路上行驶，如果表示t时刻的速度，则当d趋近于0时，的意义是（    ） A．表示当时汽车的瞬时加速度 B．表示当时汽车的瞬时速度 C．表示当时汽车的路程变化率 D．表示当时汽车与起点的距离 【答案】A 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据瞬时加速度的定义可得答案. 【详解】由于表示t时刻的速度，由题意可知， 当d趋近于0时， 表示当时汽车的瞬时加速度． 故选：A. 2．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、导数（导函数）概念辨析 【分析】根据在某点处的导数的定义即可求解. 【详解】由题得. 故选：B. 3．（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】利用平均变化率的定义可得答案. 【详解】因为，所以，， 故函数从到的平均变化率为. 故选：B. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度等于（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．0米/秒 【答案】A 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据导数的物理意义，即可求解. 【详解】由题意可知，， 由导数的物理意义可知， 在4秒末的瞬时速度等于米/秒. 故选：A 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的定义求解即可． 【详解】由题意可知，， 故选：B 6．（23-24高二下·广东茂名·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图象可得解. 【详解】，和分别为函数在，和处切线的斜率， 即图中直线的斜率， 结合图象可得. 故选：D 二、多选题 7．（24-25高三·上海·随堂练习）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（    ）． A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B． C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 【答案】BC 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据瞬时速度的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 且是物体在这一时刻的瞬时速度，故B、C正确； 物体从开始到这段时间内的平均速度为，故A错误； 物体从到这段时间内的平均速度为，故D错误. 故选：BC 8．（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 【答案】BCD 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项. 【详解】前内，，， 此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确； 在时间内，，，B正确； ，，则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为， D正确． 故选：BCD． 三、填空题 9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在处的切线方程为，则 ． 【答案】14 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值，和切点不仅在函数，还在切线方程上，即可求出，从而得到的值. 【详解】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值， 可得， 又切点，在切线方程上，则， 因此，. 故答案为：14. 四、解答题 10．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在上的平均变化率是函数在上的平均变化率的3倍，求实数m的值． 【答案】3 【知识点】平均变化率 【分析】分别求出函数在上的平均变化率以及函数在上的平均变化率，利用三倍的关系构成等量关系式，则答案可求. 【详解】函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 由题意知，解得． 11．（24-25高三·上海·课堂例题）（1）当球的半径从1增加到2时，求球的体积相对于半径的平均变化率； （2）当球的半径时，求球的体积相对于半径的瞬时变化率. 【答案】（1）；（2） 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析、球的体积的有关计算 【分析】（1）利用平均变化率的定义计算即得. （2）利用瞬时变化率的定义，列式计算即得. 【详解】（1）平均变化率为. （2）瞬时变化率为. B能力提升 1．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解. 【详解】 故选：A. 2．（23-24高三上·上海·期中）设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. (1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; (2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. (3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 【答案】(1)不是,证明见解析 (2)真命题,证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、导数（导函数）概念辨析 【分析】（1）可令,根据“平缓函数”的定义判断即可; （2）根据导函数的定义,令,结合“平缓函数”的定义即可证明; （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,分为,根据函数是“平缓函数”即可证明; 【详解】（1）令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”. （2）命题为真命题. 因为, 不妨令, 因为是“平缓函数”, 则, 所以, 故命题为真命题. （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设, 当时,因为函数是“平缓函数”, 则; 当时,不妨设,则, 因为是以为周期的周期函数, 则, 因为函数是“平缓函数”, 所以 , 所以对任意的,均有, 因为是以为周期的周期函数, 所以对任意的,均有. 【点睛】本题主要是根据函数是“平缓函数”的定义和性质进行判断和证明,考查了学生的逻辑推理能力、运算能力,关键点点睛:第二问借助导函数的定义进行证明;第三问利用是以为周期的周期函数得,进行适当放缩即可证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$