专题06 概率（5大经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（北师大版2019必修第一册）

专题06 概率 随机现象与随机事件 1．（23-24高一下·河北邢台·期末）对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（    ） A．概率太小，不可能发生 B．1000次中一定发生1次 C．1000人中，999人说不发生，1人说发生 D．1000次中有可能发生1次 2．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）（多选）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 3．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·期末）（多选）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．2021年8月18日，北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．，则 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 5．（23-24高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ． 频率与概率 1．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 2．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 3．（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 4．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 5．（23-24高一下·四川达州·期末）将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为（    ）． A．20 B．25 C．50 D．无法确定 6．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 8．（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间，事件，，则（　　） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·河北·期末）已知，，，则 ． 11．（23-24高一下·云南曲靖·期末）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 12．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 13．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 14．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为 ． 15．（23-24高一下·浙江宁波·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则= 互斥事件与对立事件 1．（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （    ） A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件 2．（23-24高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 3．（23-24高一下·广西来宾·期末）掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或5”，事件“出现的点数是偶数”，则事件、与的关系为（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与独立 D．事件与独立 4．（23-24高一下·福建宁德·期末）把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A．对立 B．相等 C．相互独立 D．互斥但不对立 5．（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 8．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·山西长治·期末）已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 10．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）（多选）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（  ） A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球” B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球” C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球” D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球” 11．（23-24高一下·河南开封·期末）（多选）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果互斥，那么 D．如果互斥，那么 12．（23-24高一下·北京丰台·期末）设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，，，则 . 13．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 14．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知事件两两互斥，若，则 . 古典概型 1．（23-24高一下·湖南长沙·期末）掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州黔西·期末）中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）甲､乙､丙､丁四人排队，则甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·福建福州·期末）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南南阳·期末）（多选）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（    ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 7．（23-24高一上·河南南阳·期末）（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（    ） A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置 B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况 C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌 D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶 8．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9．（23-24高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ． 10．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是 . 11．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．    (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 12．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个. (1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率； (2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率. 13．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）一个盒子中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支一等品，2 支二等品和 1 支三等品.若从中任取 2 支，那么下列事件 的概率各是多少? (1)“恰有 1 支一等品 ” ； (2)“没有三等品 ”. 14．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 15．（23-24高一下·安徽黄山·期末）从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率. (1)这个数既能被3整除也能被5整除； (2)这个数能被3整除或能被5整除； (3)这个数既不能被3整除也不能被5整除. 独立事件 1．（23-24高一下·湖南株洲·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（   ） A．当时， B．当时，事件与事件不独立 C．当时， D．当时，事件与事件不独立 2．（23-24高一下·安徽黄山·期末）设事件与事件满足：，，，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件不是相互独立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C．事件与事件是相互独立事件 D．事件与事件不是相互独立事件 3．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知样本空间，事件，事件，事件，则下列选项错误的是（    ） A．与独立 B．与独立 C．与独立 D． 4．（23-24高一下·江苏苏州·期末）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）（多选）已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若事件与事件是互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若，则事件与事件相互独立 7．（23-24高一下·山东济南·期末）（多选）已知有限集为随机试验的样本空间，事件为的子集，则事件相互独立的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·湖北武汉·期末）（多选）设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 9．（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则 . 10．（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 11．（23-24高一下·天津·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2个球．设事件“摸到的2个球颜色不相同”，事件“摸到的2个球的数字之和大于5”． (1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求，； (2)求，并说明事件与是否相互独立． 12．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 有放回与无放回问题的概率 1．（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）（多选）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 4．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为 ． 5．（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 6．（23-24高一下·四川达州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个． (1)求有放回地摸球第二次摸到白球的概率； (2)求不放回地摸球第二次摸到白球的概率； (3)求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率； (4)求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 概率 随机现象与随机事件 1．（23-24高一下·河北邢台·期末）对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（    ） A．概率太小，不可能发生 B．1000次中一定发生1次 C．1000人中，999人说不发生，1人说发生 D．1000次中有可能发生1次 【答案】D 【详解】概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之一，每一次发生都是随机的， 每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可能发生1次. 故选：D 2．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）（多选）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 【答案】CD 【详解】A为随机事件，B为不可能事件，C，D为必然事件． 故选:CD 3．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·期末）（多选）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．2021年8月18日，北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．，则 【答案】AC 【详解】A与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件. 故选：AC 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 【答案】CD 【详解】对于A，因25件同类产品中，有2件次品，则有23件正品， 故从中任取3件产品，其中3件都是正品是可能的，是随机事件，不符题意； 对于B，当从中任取3件产品中“2正1次”或“1正2次”都表示至少有1件次品， 故是随机事件，不符题意； 对于C，因同类产品中总共只有2件次品，故“3件都是次品”是不可能事件，符合题意； 对于D，因25件同类产品中，有2件次品， 而要从中任取3件产品不可能全是次品，即其中至少1件是正品， 故“至少有1件正品”是必然事件，故符合题意. 故选：CD. 5．（23-24高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ． 【答案】 【详解】事件空间： . 故答案为：. 频率与概率 1．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【答案】C 【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 2．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【详解】对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为， 则比赛场，甲可能胜场、3场、2场、1场、0场，故A错误； 对于B，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误； 对于C：事件，满足，则，故C错误； 对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确. 故选：D 3．（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 【答案】B 【详解】对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误； 对于B，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确； 对于C，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误； 对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D错误. 故选：B. 4．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 【答案】A 【详解】某医院治疗一种疾病的治愈率为， 对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确； 对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为， 不一定有一位病人被治愈，故B错误； 对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误； 对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误． 故选：A. 5．（23-24高一下·四川达州·期末）将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为（    ）． A．20 B．25 C．50 D．无法确定 【答案】D 【详解】任意一次随机试验中，随机事件的发生具有随机性，即频率(频数与试验次数的比值)具有随机性， 而随试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于概率，具有稳定性， 则投掷100次的试验中，事件A发生的频率有随机性，故无法确定. 故选：D 6．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 【答案】C 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 【答案】C 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石， 故选：C 8．（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，. 故选：D 9．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间，事件，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且事件，，则， 所以. 故选：A 10．（23-24高一下·河北·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【详解】由题意得． 由，得． 故答案为：. 11．（23-24高一下·云南曲靖·期末）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】ACD 【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误． 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错． 故选：ACD． 12．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 【答案】 0.21/ 0.18/ 【详解】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 故答案为：0.21，0.18 13．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】24 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有24个. 故答案为：24 14．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为 ． 【答案】0.2/ 【详解】设学生爱好篮球为事件A，学生爱好音乐为事件B，则学生爱好篮球或音乐为事件，既爱好篮球又爱好音乐为事件, , 又因为, 所以. 故答案为：. 15．（23-24高一下·浙江宁波·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则= 【答案】0.3/ 【详解】由题意得，为互斥事件， 即， ， 又①，②， 式子①②相加得， 故， 所以，则. 故答案为：0.3 互斥事件与对立事件 1．（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （    ） A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件 【答案】D 【详解】解：根据题意，从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况， 易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件， 故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件． 故选：D． 2．（23-24高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【答案】C 【详解】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误； B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确； D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 3．（23-24高一下·广西来宾·期末）掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或5”，事件“出现的点数是偶数”，则事件、与的关系为（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与独立 D．事件与独立 【答案】C 【详解】由题意可知：，，， 对于A中，因为，所以事件与不可能是互斥，所以A不正确； 对于B中，因为，可能B、C都不发生，别的事件发生，所以与不对立，所以B不正确； 对于C中，因为，，，所以有， 因此事件与独立，所以C正确； 对于D中，因为，，所以，所以，不独立，所以D不正确． 故选：C． 4．（23-24高一下·福建宁德·期末）把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A．对立 B．相等 C．相互独立 D．互斥但不对立 【答案】D 【详解】因纸牌只有红、蓝、黑、白张，分给甲、乙、丙、丁个人，每人一张， 则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”在一次分法中不可能同时发生，故两事件互斥； 同时在一次分法中除了这两个事件，还有“丙分得红牌”，“丁分得红牌”这些可能事件， 故这两个事件不是对立事件. 故选：D. 5．（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障， 即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生. 故选：D. 6．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由事件互斥，且都不发生为，则， 又，所以，解得，， 所以. 故选：C. 7．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 【答案】C 【详解】对于A，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故A中说法错误； 对于B，在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故B中说法错误； 对于C，根据概率的性质可知，当，不互斥时，，故C中说法正确； 对于D，某事件发生的概率只与该事件本身有关，与实验次数无关，故D中说法错误. 故选：C. 8．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，， 又，所以，解得，， 所以. 故选：D. 9．（23-24高一下·山西长治·期末）已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 【答案】C 【详解】对于A：因为事件，互斥，所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：如抛掷一枚质地均匀的骰子，事件，事件，满足，互斥， 但是，，显然，不互斥，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：C 10．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）（多选）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（  ） A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球” B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球” C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球” D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球” 【答案】AB 【详解】从袋中任意取出3个球，可能的情况有：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”. 对于A：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同事发生，是互斥事件， 但有可能两个都不发生，故不是对立事件，故A正确； 对于B：“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”不可能同事发生，是互斥事件， 但有可能同时不发生，故不是对立事件，故B正确； 对于C：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事发生，是互斥事件， 其中必有一事件发生，故是对立事件，故C错误； 对于D：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同事发生， 故不是互斥事件，不可能是对立事件，故D错误. 故选：AB. 11．（23-24高一下·河南开封·期末）（多选）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果互斥，那么 D．如果互斥，那么 【答案】ABC 【详解】对于AB，由可得, 所以,故AB正确； 对于CD，由互斥可得， 所以,故C正确，D错误. 故选：ABC. 12．（23-24高一下·北京丰台·期末）设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，，，则 . 【答案】0.5/ 【详解】因为A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，所以. 故答案为：0.5 13．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 【答案】 【详解】由与是对立事件，可得 由与是互斥事件，可得 . 故答案为： 14．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知事件两两互斥，若，则 . 【答案】 【详解】因为事件两两互斥， 所以， 又因为， 所以， 同理可得， 所以. 故答案为：. 古典概型 1．（23-24高一下·湖南长沙·期末）掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】掷两枚质地均匀的骰子根据题意总共有36种可能，掷出的两个骰子点数之和是5有：,共有4种可能. 根据古典概型概率公式得，. 故选：D 2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则, 则. 故选：B 3．（23-24高一下·贵州黔西·期末）中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用分别表示《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》， 从上述5部书籍中任意抽取2部，则样本空间为 ，可知， 设抽到《九章算术》为事件M，则，可知， 所以. 故选：D. 4．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）甲､乙､丙､丁四人排队，则甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲､乙､丙，丁四人排队，有 （甲､乙､丙､丁），（甲､乙､丁､丙），（甲､丙､乙､丁），（甲､丙､丁､乙），（甲､丁､乙､丙）， （甲､丁､丙､乙），（乙､甲､丙､丁），（乙､甲､丁､丙），（乙､丙､甲､丁），（乙､丙､丁､甲）， （乙､丁､甲､丙），（乙､丁､丙､甲），（丙､甲､乙､丁），（丙､甲､丁､乙），（丙､乙､甲､丁）， （丙､乙､丁､甲），（丙､丁､甲､乙），（丙､丁､乙､甲），（丁､甲､乙､丙），（丁､甲､丙､乙）， （丁､乙､甲､丙），（丁､乙､丙､甲），（丁､丙､甲､乙），（丁､丙､乙､甲），共24种基本事件， 甲不排在第一位且丙，丁两人相邻有（乙､甲､丙､丁），（乙､甲､丁､丙），（乙､丙､丁､甲）， （乙､丁､丙､甲），（丙､丁､甲､乙），（丙､丁､乙､甲），（丁､丙､甲､乙），（丁､丙､乙､甲）， 共8种基本事件，所以甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率. 故选：C. 5．（23-24高一下·福建福州·期末）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，得（舍）， 当时，，得， 当时，，得（舍）， ， 从1，2，3，5，4中任取2个数结果: 共10种， 符合题意，共4种， 所以概率为． 故选：A． 6．（23-24高一上·河南南阳·期末）（多选）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（    ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 【答案】AB 【详解】对于A，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个基本事件， 两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有： ， ，共19种， 则甲获胜的概率为，乙获胜概率小于，故此种情况对甲有利，A正确； 对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4，最大的点数为5或6， 最大的点数为5时，基本事件共有9个，最大的点数为6时，基本事件共有11个， 此时共有20个基本事件，则甲获胜的概率为，故此种情况对甲有利，B正确； 对于C，两次掷出的点数之和是偶数，共有， ，共18个基本事件， 则两次掷出的点数之和是奇数，也有18个基本事件， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 对于D，两次掷出的点数是一奇一偶，则基本事件有个， 两次掷出的点数均是奇数或者偶数，基本事件也是个， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 故选：AB 7．（23-24高一上·河南南阳·期末）（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（    ） A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置 B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况 C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌 D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶 【答案】BC 【详解】对于A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于B，实验结果有限且等可能，故正确，对于C，实验结果有限且等可能，故正确，对于D，显然实验并非等可能，故错误. 故选：BC 8．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】 【详解】由题意，选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中，每种选法可标记为， 分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，， 共6种.其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有2种，故所求概率为. 故答案为： 9．（23-24高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ． 【答案】/ 【详解】由题意可知，共有4根算筹， 当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17； 当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66； 当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71； 当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80； 其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为， 故答案为： 10．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是 . 【答案】/0.2 【详解】在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数， 则这两数之和可能是：，总共有15个数， 其中素数为：，共有3个数， 所以这两数之和仍为素数的概率是. 故答案为：. 11．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．    (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）事件E的样本点有：． （2）样本空间为：， 其中事件F包含的样本点只有：， 所以事件F发生的概率． 12．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个. (1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率； (2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设甲袋中的红球为，白球为，篮球为， 乙袋中的红球为，白球，篮球为， 则从两袋中各取一球，所有基本事件如下： ，， ，， 故基本事件的总数为. 设为“取到的两球颜色相同”，则含有的基本事件如下： 共5个基本事件，则. （2）如（1）中所设，从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，总的基本事件如下： ，， ，， ，， 基本事件的总数为， 设为“取到至少一个红球”，其对立事件设为，则为“没有取到红球”， 含有的基本事件如下：，共有3个， 故，故. 13．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）一个盒子中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支一等品，2 支二等品和 1 支三等品.若从中任取 2 支，那么下列事件 的概率各是多少? (1)“恰有 1 支一等品 ” ； (2)“没有三等品 ”. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）用表示3支一等品，用表示2支二等品，用表示三等品， 所以从6支圆珠笔中任取2支的样本空间为： ，共15个样本点， 即， 事件， 共9个样本点，即， 所以. （2）事件， 共10个样本点，即， 所以. 14．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，， 由于，，为互斥事件， 根据已知得， 解得， 从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率分别是； （2）由（1）知黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3， 得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为， 则得到的两个球颜色不相同的概率是． 15．（23-24高一下·安徽黄山·期末）从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率. (1)这个数既能被3整除也能被5整除； (2)这个数能被3整除或能被5整除； (3)这个数既不能被3整除也不能被5整除. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）事件表示既能被3整除也能被5整除，包含元素， 所以, 所以既能被3整除又能被5整除的概率为； （2）事件表示能被3整除或能被5整除，包含， 所以， 所以能被3整除或能被5整除的概率为； （3）事件表示既不能被3整除也不能被5整除，共有个元素， 所以， 所以既不能被3整除也不能被5整除的概率为. 独立事件 1．（23-24高一下·湖南株洲·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（   ） A．当时， B．当时，事件与事件不独立 C．当时， D．当时，事件与事件不独立 【答案】D 【详解】当时，表示一正一反， 故，，， 因为，故正确； 此时，故正确； 当时，表示一正二反，，故正确； 此时，，， 所以，因此事件与事件独立，故D错误. 故选：D. 2．（23-24高一下·安徽黄山·期末）设事件与事件满足：，，，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件不是相互独立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C．事件与事件是相互独立事件 D．事件与事件不是相互独立事件 【答案】C 【详解】因为，所以事件和事件是相互独立事件，故C正确， 则与，与和和都是相互独立事件. 故选：C 3．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知样本空间，事件，事件，事件，则下列选项错误的是（    ） A．与独立 B．与独立 C．与独立 D． 【答案】D 【详解】， 有， 即两两独立，ABC正确； 但，故D错误. 故选：D. 4．（23-24高一下·江苏苏州·期末）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况． 都付0元的概率为； 都付2元的概率为； 都付4元的概率为． 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为． 故选：D. 5．（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 【答案】D 【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为， 假设两人继续进行比赛， 甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢， 故概率为， 乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢， 故概率为， 则甲应该获得枚金币，乙应该获得枚金币， 故选：D 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）（多选）已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若事件与事件是互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】ACD 【详解】，故A正确； 因为事件与事件是互斥事件，所以，故B错误； 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 所以，故C正确； 因为，所以， 所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故D正确． 故选：ACD． 7．（23-24高一下·山东济南·期末）（多选）已知有限集为随机试验的样本空间，事件为的子集，则事件相互独立的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由，得若发生，则一定发生， 所以事件不相互独立，故A错误； 对于B，由，可得，所以， 所以事件相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件相互独立， 所以事件相互独立，故C正确； 对于D，由，结合， 得， 所以事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 8．（23-24高一下·湖北武汉·期末）（多选）设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 【答案】AC 【详解】选项A：互斥事件为两事件不能同时发生，对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生， 所以对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，A说法正确； 选项B：若，则，B说法错误； 选项C：由相互独立事件的概念可知，若，则相互独立，C说法正确； 选项D：对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生，即不能保证两事件不同时发生，也不能保证两者必有其一发生， 如投掷一枚骰子，事件为：向上的点数为奇数，事件为向上的点数不小于4， 满足，但不是对立事件，D说法错误； 故选：AC 9．（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 10．（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 【答案】(1)和 (2). 【详解】（1）设甲､乙､丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件. 因为，所以. 又，所以，即. 又，所以， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和. （2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 11．（23-24高一下·天津·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2个球．设事件“摸到的2个球颜色不相同”，事件“摸到的2个球的数字之和大于5”． (1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求，； (2)求，并说明事件与是否相互独立． 【答案】(1)答案见解析 (2)，事件与事件不独立． 【详解】（1）试验的样本空间为，，共12个基本事件， 而事件包含的基本事件有，，，，，，，，共包含8个基本事件， 则可得， 事件包含的基本事件有，，，，共4个基本事件； 则． （2）因为事件与同时发生的基本事件有，， 所以． 又因为，可得， 所以事件与事件不独立． 12．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为， 甲、乙都闯关成功的概率为， 甲、丙都闯关成功的概率为， 设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 根据独立事件同时发时的概率公式得， 解得，， 即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为. （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关， 设“团体总分为4分”为事件， 则， 即团体总分为4分的概率是； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分， 设“团体总分不小于4分”为事件， 由（2）可知团体总分为4分的概率， 团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为， 所以参加下一轮比赛的概率为， 即该小组参加下一轮比赛的概率为. 有放回与无放回问题的概率 1．（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 3．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）（多选）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】BC 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色不全相同的结果有24种， ,其概率为，故B正确； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：BC. 4．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为 ． 【答案】/ 【详解】把第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为，记为. 则4张卡片中有放回的随机抽取2次所有情况为： ， ，共16种. 其中数字之和为5的有4种，则所求概率为. 故答案为： 5．（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 【答案】(1) (2)结果见解析， 【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个. 设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则. 所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为. （2）一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种. 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种. 所以，. 6．（23-24高一下·四川达州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个． (1)求有放回地摸球第二次摸到白球的概率； (2)求不放回地摸球第二次摸到白球的概率； (3)求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率； (4)求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）记7个红球编号，3个白球分别为， 则在有放回情况下，第一次摸球时有10种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有10种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成100种等可能的结果. 如表1所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （1，7） （1,8） （1,9） （1,10） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （2，7） （2,8） （2,9） （2,10） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （3，7） （3,8） （3,9） （3,10） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （4，7） （4,8） （4,9） （4,10） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （5，7） （5,8） （5,9） （5,10） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） （6，7） （6,8） （6,9） （6,10） 7 （7，1） （7，2） （7，3） （7，4） （7，5） （7，6） （7，7） （7,8） （7,9） （7,10） 8 （8，1） （8，2） （8，3） （8，4） （8，5） （8，6） （8，7） （8,8） （8,9） （8,10） 9 （9，1） （9，2） （9，3） （9，4） （9，5） （9，6） （9，7） （9,8） （9,9） （9,10） 10 （10，1） （10，2） （10，3） （10，4） （10，5） （10，6） （10，7） （10,8） （10,9） （10,10） 表1 由上表可以看出，第二次摸到白球为第8、9、10三列，共有30种可能的结果，记A=“第二次摸到白球”，则. （2）在不放回情况下，第一次摸球时有10种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有9种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成90种等可能的结果，如表2所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （1，7） （1,8） （1,9） （1,10） 2 （2，1） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （2，7） （2,8） （2,9） （2,10） 3 （3，1） （3，2） （3，4） （3，5） （3，6） （3，7） （3,8） （3,9） （3,10） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，5） （4，6） （4，7） （4,8） （4,9） （4,10） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，6） （5，7） （5,8） （5,9） （5,10） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，7） （6,8） （6,9） （6,10） 7 （7，1） （7，2） （7，3） （7，4） （7，5） （7，6） （7,8） （7,9） （7,10） 8 （8，1） （8，2） （8，3） （8，4） （8，5） （8，6） （8，7） （8,9） （8,10） 9 （9，1） （9，2） （9，3） （9，4） （9，5） （9，6） （9，7） （9,8） （9,10） 10 （10，1） （10，2） （10，3） （10，4） （10，5） （10，6） （10，7） （10,8） （10,9） 表2 由上表可知，第二次摸到白球的可能结果有27种，见表中后3列. 记B=“第二次摸到白球”，则. （3）由表（1）可知，有放回的摸球摸到颜色相同的可能结果有58种. 记C=“摸到球颜色相同”，则. （4）由表（2）可知，不放回的摸球摸到颜色相同的可能结果有48种. 记D=“摸到球颜色相同”，则. 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