专题09 复数（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021·拓展模块一上册）

专题09 复数 （一）复数的概念 1.虚数单位 （1）它的平方等于，即； （2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律）. 2. 概念 形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。 说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。 3.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系 对于复数（）， 复数的分类如下: （） 4.复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即： 如果，那么. 特别地: . 5.复数相等的模 定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 公式：|z|＝|a＋bi|＝. 6.共轭复数 两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即： 复数和（）互为共轭复数。 （二）复数的运算 1.复数的代数形式 复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。 2.四则运算 ；； 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数： （三）复数范围内实系数一元二次方程的解 在复数范围内讨论实系数一元二次方程(a≠0)的解的情况为 一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标）等. 题型一、复数的概念 【例1】 复数，则复数的实部和虚部分别是（    ） A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i 【答案】C 【详解】由题意，则复数的实部和虚部分别是1和2. 故选：C 【变式1】已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】化简后，得到方程与不等式，求出. 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得. 故选：D． 【变式2】已知复数，，则的实部与虚部分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案. 【详解】因为，，所以，其实部与虚部分别为，. 故选：A 题型二、复数的几何意义 【例2】设，则对应的复数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以对应的复数是. 故选：D. 【变式1】设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求出即可. 【详解】因为， 所以对应复平面内点的坐标， 所以位于第二象限， 故选：B 【变式2】设复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】，， 在复平面内对应的点为，在第一象限， 故选：A. 题型三、复数的模 【例3】已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则______． 【答案】 【解析】因为为纯虚数， 则且，所以， 所以， 故答案为：. 【变式1】 复数（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知． 故选：D． 【变式2】若，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】由， 故选：A 题型四、共轭复数 【例4】已知复数满足，且的共轭复数为，则（  ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以，所以． 故选：B. 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则． 由得， 则，所以，，所以． 故选：B. 【变式2】若复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故， 故选：A. 题型五、复数的运算 【例5】化简下列复数 （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】解：（1）. （2）. 【例6】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法法则直接计算. 【详解】由， 得， 故选：C． 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D． 【变式2】（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式， 故选：C. 【变式3】若,则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,则,所以， 故选：A. 【变式4】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则， 故选：B. 题型六、解实系数一元二次方程 【例6】 已知复数，是关于x的方程的两个根，则（ ） A．9 B．81 C． D．82 【答案】C 【解析】因为复数，是关于x的方程的两个根， 所以， 所以或． 故选：C . 【变式1】若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数， 故该方程的另一个复数根是， 故选：A. 【变式2】若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设方程为，则， 所以，，所以， 则方程为， 故只有B选项符合题意. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 复数 （一）复数的概念 1.虚数单位 （1）它的平方等于，即； （2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律）. 2. 概念 形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。 说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。 3.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系 对于复数（）， 复数的分类如下: （） 4.复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即： 如果，那么. 特别地: . 5.复数相等的模 定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 公式：|z|＝|a＋bi|＝. 6.共轭复数 两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即： 复数和（）互为共轭复数。 （二）复数的运算 1.复数的代数形式 复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。 2.四则运算 ；； 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数： （三）复数范围内实系数一元二次方程的解 在复数范围内讨论实系数一元二次方程(a≠0)的解的情况为 一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标）等. 题型一、复数的概念 【例1】 复数，则复数的实部和虚部分别是（    ） A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i 【变式1】已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】已知复数，，则的实部与虚部分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二、复数的几何意义 【例2】设，则对应的复数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】设复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三、复数的模 【例3】已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则______． 【变式1】 复数（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】若，则（    ） A． B． C．3 D．2 题型四、共轭复数 【例4】已知复数满足，且的共轭复数为，则（  ） A． B．2 C．4 D．3 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 题型五、复数的运算 【例5】化简下列复数 （1） （2） 【例6】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【变式2】（   ） A． B． C． D． 【变式3】若,则（ ） A． B． C． D． 【变式4】若，则（    ） A． B． C． D． 题型六、解实系数一元二次方程 【例6】 已知复数，是关于x的方程的两个根，则（ ） A．9 B．81 C． D．82 【变式1】若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（     ）. A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$