专题08 立体几何（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021·拓展模块一上册）

专题08 立体几何 （一）平面 1．平面的特征和表示 (1)平面的特征 几何里的“平面”没有边界，画平面的时候一般用平行四边形表示平面. (2)平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍. 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来. (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. (4)点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 2．平面的基本性质 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据 ②判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 （二）直线与直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系 2．公理4及等角定理 (1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．符号表示：⇒a∥c． (2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理 定理 文字语言 符号表示 图形语言 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线l与A B是异面直线 (2)异面直线所成的角 ①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角． ②异面直线所成的角θ的取值范围：． ③当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b． (3)求两条异面直线所成角的步骤 ①恰当选点，用平移法构造出一个相交角． ②证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)． ③把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数． ④若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角． （三）直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 2．直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言 (2)直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m 图形语言 3．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直 记法 a⊥α 有关概念 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 注意：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离． (2)直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，则a⊥α 图形语言 (3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线 注意：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离． 4．直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，如图中直线PQ 斜足 斜线与平面的交点，如图中点Q 斜线段 斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段，如图中线段PQ 射影 如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的税角，如图中∠PQP1 规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° （四）平面与平面的位置关系 　1．两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 平面α与 平面β平行 α∥β 没有公共点 平面α与平面β相交 α∩β＝a 有一条公共直线 2．两平面平行 (1)平面与平面平行的判定定理 表示 定理 图形 文字 符号 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A， 且a∥β，b∥β， 则α∥β (2)平面与平面平行的性质定理 表示 定理 图形 文字 符号 两个平面平行的性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 注意：与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段．我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离． 3．两面角 概念 一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形 图示 平面角 定义 一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 [0，π] 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角 记法 如图，棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α－AB－β，也可以记作M－AB－N 4．两平面垂直 (1)平面与平面垂直的概念 ①定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直． ②画法： ③记作：α⊥β. (2)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 (3)平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 文字语言、符号语言和图形语言的相互转化；空间中的点、直线、平面的位置关系；直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定与性质，通过本章的学习,进一步提升直观想象和逻辑推理等核心素养. 题型一、平面 【例1】 下列命题中是真命题的是（       ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 【变式1】 给出下列语句：①桌面给人以平面的形象；②一个平面长3 m，宽2 m；③平面内有无数个点，平面可以看成点的集合；④空间图形是由空间的点、线、面所构成的.其中正确的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】在空间，给出下面四个命题： ① 三个不同的点确定一个平面； ② 一条直线和一个点确定一个平面； ③ 空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④ 两条相交直线确定一个平面. 其中正确命题的序号是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 题型二、直线与直线的位置关系 【例2】如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________． 【变式1】垂直于同一条直线的两条直线一定（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 【变式2】 如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 题型三、线面平行的判定和性质 【例3】 已知直线a和平面α，那么a//α的一个充分条件是（　　） A．存在一条直线b，a//b且b⊂α B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α C．存在一个平面β，a⊂β且α//β D．存在一个平面β，a//β且α//β 【变式1】 下列条件中，能得出直线与平面平行的是（    ） A．直线与平面内的所有直线平行 B．直线与平面内的无数条直线平行 C．直线与平面没有公共点 D．直线与平面内的一条直线平行 【变式2】 已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β=m，则直线l，m的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 题型四、面面平行的判定和性质 【例4】已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ） A．、都垂直于一个平面 B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且， D．l、m是两条异面直线，且，，， 【变式1】已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【变式2】设为两个不同的平面，则的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．垂直于同一平面 C．平行于同一条直线 D．内的任何直线都与平行 题型五、线面垂直的判定和性质 【例5】 下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊂α，c⊂α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 【变式2】已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要 题型六、线面角 【例6】已知正方形的边长为平面，则与平面所成角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为.若点是线段的中点，则直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（　　） A．20° B．70° C．90° D．110° 题型七、面面垂直判定和性质 【例7】设是两个不同的平面，b是直线且，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】下列命题中正确的是（　　） A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 【变式2】 空间四边形ABCD中，若，，那么有（    ） A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC 题型八、二面角 【例8】如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值． 【变式1】在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式2】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求二面角B-PA-C的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 立体几何 （一）平面 1．平面的特征和表示 (1)平面的特征 几何里的“平面”没有边界，画平面的时候一般用平行四边形表示平面. (2)平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍. 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来. (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. (4)点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 2．平面的基本性质 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据 ②判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 （二）直线与直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系 2．公理4及等角定理 (1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．符号表示：⇒a∥c． (2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理 定理 文字语言 符号表示 图形语言 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线l与A B是异面直线 (2)异面直线所成的角 ①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角． ②异面直线所成的角θ的取值范围：． ③当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b． (3)求两条异面直线所成角的步骤 ①恰当选点，用平移法构造出一个相交角． ②证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)． ③把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数． ④若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角． （三）直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 2．直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言 (2)直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m 图形语言 3．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直 记法 a⊥α 有关概念 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 注意：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离． (2)直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，则a⊥α 图形语言 (3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线 注意：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离． 4．直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，如图中直线PQ 斜足 斜线与平面的交点，如图中点Q 斜线段 斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段，如图中线段PQ 射影 如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的税角，如图中∠PQP1 规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° （四）平面与平面的位置关系 　1．两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 平面α与 平面β平行 α∥β 没有公共点 平面α与平面β相交 α∩β＝a 有一条公共直线 2．两平面平行 (1)平面与平面平行的判定定理 表示 定理 图形 文字 符号 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A， 且a∥β，b∥β， 则α∥β (2)平面与平面平行的性质定理 表示 定理 图形 文字 符号 两个平面平行的性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 注意：与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段．我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离． 3．两面角 概念 一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形 图示 平面角 定义 一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 [0，π] 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角 记法 如图，棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α－AB－β，也可以记作M－AB－N 4．两平面垂直 (1)平面与平面垂直的概念 ①定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直． ②画法： ③记作：α⊥β. (2)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 (3)平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 文字语言、符号语言和图形语言的相互转化；空间中的点、直线、平面的位置关系；直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定与性质，通过本章的学习,进一步提升直观想象和逻辑推理等核心素养. 题型一、平面 【例1】 下列命题中是真命题的是（       ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 【答案】D 【解析】A：根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A错误； B：一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B错误； C：两条直线不可以确定一个平面，比如两条异面直线不能确定一个平面，故C错误； D：两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面， 由公理1知，三条直线都在此平面内，故D正确， 故选：D. 【变式1】 给出下列语句：①桌面给人以平面的形象；②一个平面长3 m，宽2 m；③平面内有无数个点，平面可以看成点的集合；④空间图形是由空间的点、线、面所构成的.其中正确的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据平面的特征，绝对的平，无限延展，不计大小和厚薄，即可知，①对，②错； 再根据点线面的关系可知，③④正确． 故选：C． 【变式2】在空间，给出下面四个命题： ① 三个不同的点确定一个平面； ② 一条直线和一个点确定一个平面； ③ 空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④ 两条相交直线确定一个平面. 其中正确命题的序号是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】①，不在同一条直线上的三个点确定一个平面，故①错误. ②，直线和直线外一点确定一个平面，故②错误. ③，空间两两相交的三条直线不一定确定一个平面，可以多个，故③错误. ④，两条相交直线确定一个平面，故④正确， 故选：D 题型二、直线与直线的位置关系 【例2】如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________． 【答案】①平行　②异面　③相交　④异面 【解析】直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”； 点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面． 同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④都应该填“异面”； 直线D1D与直线D1C显然相交于点D1，所以③应该填“相交”． 【变式1】垂直于同一条直线的两条直线一定（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 【答案】D 【解析】垂直于同一条直线的两条直线有可能平行，也有可能相交于一点，也有可能异面． 故选：D． 【变式2】 如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 【答案】平行 【解析】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC， 而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC， 由平行公理得：MN//EF， 所以直线MN与直线EF平行． 题型三、线面平行的判定和性质 【例3】 已知直线a和平面α，那么a//α的一个充分条件是（　　） A．存在一条直线b，a//b且b⊂α B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α C．存在一个平面β，a⊂β且α//β D．存在一个平面β，a//β且α//β 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定方法，结合选项可得答案. 【详解】在A，B，D中，均有可能a⊂α，错误； 在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面. 故选：C． 【变式1】 下列条件中，能得出直线与平面平行的是（    ） A．直线与平面内的所有直线平行 B．直线与平面内的无数条直线平行 C．直线与平面没有公共点 D．直线与平面内的一条直线平行 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可. 【详解】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误； 对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行； 对C，能推出与平行； 对D，当直线在平面内时，与不平行. 故选：C. 【变式2】 已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β=m，则直线l，m的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 【答案】B 【分析】根据直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β=m，结合直线与平面平行的性质定理可知直线l，m平行 【详解】∵由题意，有 ∴根据直线与平面平行的性质定理，知：l∥m 故选：B 题型四、面面平行的判定和性质 【例4】已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ） A．、都垂直于一个平面 B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且， D．l、m是两条异面直线，且，，， 【答案】D 【分析】ABC选项，举出反例，D选项可以利用面面平行的判定进行证明. 【详解】A选项，如图所示，、都垂直于一个平面，但、相交，故A错误； B选项，如图，已知，平面内有无数条直线与平行，则这些直线也与平行，故B选项错误； C选项，当l、m是两条平行直线时，不能判定平面与平面平行，C错误； D选项，因为，，则在平面内存在， 因为l、m是两条异面直线， 所以为相交直线， 因为，， 所以，， 故可以判定平面与平面平行. 故选：D 【变式1】已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【解析】因为α∥β，所以α与β无公共点， 又m⊂α，n⊂β， 所以m与n无公共点，所以m与n平行或异面． 故选：D. 【变式2】设为两个不同的平面，则的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．垂直于同一平面 C．平行于同一条直线 D．内的任何直线都与平行 【答案】D 【分析】根据面面平行、相交的知识确定正确选项. 【详解】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误. B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误. C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误. D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确. 故选：D 题型五、线面垂直的判定和性质 【例5】 下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定及性质判断①②③；由面面垂直的判定定理判断④. 【详解】如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直，这条直线可能在平面内，可能与面平行，也可能与平面斜交，故①错误； 由线面垂直的性质可知，过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直，故②正确； 由线面垂直的性质可知，垂直同一平面的两条直线互相平行，故③正确； 由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故④正确. 故选：C. 【变式1】下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊂α，c⊂α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 【答案】D 【解析】由线面垂直的判定定理易知D正确． 故选：D. 【变式2】已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即“”是“”的充分条件； 如图，在长方体中，设面为面、面为面， 则，且与面不垂直， 即“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型六、线面角 【例6】已知正方形的边长为平面，则与平面所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角的知识求得正确答案. 【详解】由于平面，平面， 所以，故是与平面所成角， 由于正方形的边长为，所以， 所以. 故选：B 【变式1】已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为.若点是线段的中点，则直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点M作于点N，连接， 根据面面垂直的性质可得：平面， 则为直线与底面所成的角. 由已知，可得，，所以， 故选：B. 【变式2】直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（　　） A．20° B．70° C．90° D．110° 【答案】B 【分析】由直线与平面所成角的概念求解 【详解】∵l∥m， ∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角， 又直线l与平面α所成的角为70°， ∴m与α所成的角为70° 故选：B 题型七、面面垂直判定和性质 【例7】设是两个不同的平面，b是直线且，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由面面垂直的判定定理判断． 【详解】由面面垂直的判定定理知，若，，则， 反之，若，，不一定垂直， 故”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【变式1】下列命题中正确的是（　　） A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案. 【详解】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确; 一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直， 由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确. 故选：C. 【变式2】 空间四边形ABCD中，若，，那么有（    ） A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC 【答案】D 【分析】证明线面垂直，从而证明面面垂直. 【详解】∵，，，平面， ∴平面BDC． 又∵AD平面ADC， ∴平面平面DBC． 故选：D 题型八、二面角 【例8】如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值． 【答案】 【解析】解：如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角定义知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角．因为AM＝BM＝，AB＝2 所以cos ∠AMB＝＝，即二面角A-CD-B的余弦值为. 【变式1】在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解析】如图，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′，则AB⊥AD，AB⊥AD′， 则∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角，又因为四边形ADD′A′为正方形， 所以∠D′AD＝45°，即二面角D′－AB－D的大小是45°， 故选：B. 【变式2】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求二面角B-PA-C的大小． 【答案】45° 【解析】解：因为PA⊥平面ABCD， 所以AB⊥PA，AC⊥PA. 所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角． 又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°. 即二面角B-PA-C的大小为45°. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$