专题07 圆锥曲线（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021·拓展模块一上册）

专题07 圆锥曲线 （一）椭圆 1．椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 2．椭圆的标准方程 定义 图形 标准方程 (焦点在轴) (焦点在轴) 焦点 的关系 提示：椭圆的标准方程中, 与对应的分母哪一个大,则焦点就在那一轴上. 3．椭圆的几何性质 标准方程 图形 范围 对称性 关于轴、轴对称, 关于原点中心对称 顶点坐标 半轴长 长半轴长为,短半轴长为 离心率 4．椭圆的离心率 (1)椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用表示，即. (2)离心率的取值范围:. (3)离心率对椭圆形状的影响: ①越接近1, c就越接近,从而就越小,椭圆就越扁. ②越接近0, c就越接近0 ,从而就越接近,椭圆就越圆. (4). （二）双曲线 1．双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． 2．双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令 令 共渐近线的双曲线方程 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． （三）抛物线 1．抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2．抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向. 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 椭圆的定义、标准方程，图像和性质；双曲线的定义、标准方程，图像和性质；抛物线的定义、标准方程，图像和性质；利用圆锥曲线的性质解决有关的简单几何问题和实际问题。 题型一、椭圆的标准方程 【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)一个焦点坐标为，短轴长为2． 【答案】(1)；(2)． 【解析】解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设椭圆的方程为（）， ∵长轴长为4，焦距为2，∴，， ∴，，∴， ∴椭圆的方程为； (2)焦点坐标为，短轴长为2， 设椭圆的方程为（）， ∴，，∴， ∴椭圆的方程为． 【变式1】 已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，椭圆的焦点在轴上， 故设其方程为：， 显然，，则， 故椭圆方程为. 故选：B. 【变式2】椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】依题意，椭圆长轴长，则， 而椭圆半焦距，因此椭圆短半轴长， 所以所求椭圆标准方程是. 故答案为：. 题型二、椭圆的几何性质 【例2】焦点在x轴上的椭圆的焦距是8，则椭圆的长轴长为（    ） A．40 B． C． D．20 【答案】B 【分析】由椭圆的性质即可得到答案. 【详解】由题意得，则椭圆的长半轴长为，长轴长为. 故选：B. 【变式1】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意求得，然后由公式可得. 【详解】由题意得，，所以， ． 故选：D. 【变式2】已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，过其左焦点的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质结合三角形的周长可求，根据离心率求出后根据平方关系求出即可得椭圆方程. 【详解】因为的周长为16，故，故， 而离心率为，故，故，故椭圆方程为：， 故选：C. 题型三、双曲线的标准方程 【例3】 求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程； (2)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程. 【详解】（1）由已知，，，得：，， 从而. 所以椭圆的标准方程为. （2）设双曲线方程为， 由题设可得，故， 故双曲线方程为. 【变式1】已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解. 【详解】由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为. 故选：A. 【变式2】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得. 故答案为：. 题型四、双曲线的几何性质 【例4】双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线方程为， 化为标准方程为：，所以， 由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：. 故选：C. 【例5】 已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质得到，，即可解得，从而求得答案. 【详解】由题意得：，解得：， 即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是. 故选：A. 【变式1】双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的方程以及离心率的概念计算求解. 【详解】因为双曲线，所以，， 所以，的离心率，故B，C，D错误. 故选：A. 【变式2】若双曲线的焦距为，则 ． 【答案】2 【解析】因为双曲线的标准方程为，所以， 又焦距，所以，因为，所以， 故答案为：2. 【变式3】已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率求出，再根据双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】设双曲线的方程为， 因为，所以，则， 所以渐近线方程为. 故选：C. 【变式4】中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意设双曲线方程为， 则其渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线经过点， 所以，所以， 所以离心率， 故选：D. 题型五、抛物线的标准方程 【例6】若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】设出抛物线解析式，通过准线求出的值，即可求出此抛物线的方程. 【详解】由题意， 抛物线的顶点是原点，准线为直线， ∴设抛物线的方程为， ∴，解得：， ∴此抛物线的方程为：， 故答案为：.    【变式1】 过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为， 因为抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 故选：C. 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等， 由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，轨迹方程为， 故选：D. 题型六、抛物线的几何性质 【例7】 抛物线的准线方程为 ． 【答案】/x=0.25 【分析】利用抛物线的方程和准线的关系可求答案. 【详解】因为抛物线，所以其焦点坐标为， 所以准线方程为. 故答案为：. 【变式1】抛物线的焦点的坐标为 . 【答案】 【分析】由抛物线的定义解出，依据抛物线开口方向定焦点坐标. 【详解】抛物线，则即，抛物线开口向上，焦点为. 故答案为： 【变式2】若抛物线上的点P到直线的距离等于4，则点P到焦点F的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】抛物线的准线为， 而抛物线上的点P到直线的距离等于4， 所以点P到焦点F的距离. 故选：D. 题型七、直线与圆锥曲线的位置关系 【例8】已知双曲线与抛物线有共同的焦点,过双曲线的左焦点,作倾斜角是的直线与双曲线交于A，B两个点， （1）求直线和双曲线的方程； （2）求的面积。 【答案】（1），；（2）3 【解析】解：（1）由可得 ， 所求的双曲线方程是，直线方程是 设依据题意列方程组得：消元得： 由韦达定理可得：， 由弦长公式可得： 点到直线AB的距离： 所以== 【变式1】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，即可求得椭圆方程； （2）根据直线与椭圆相切，可得判别式等于0，即可求解. 【详解】（1）椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得： ， 椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆锥曲线 （一）椭圆 1．椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 2．椭圆的标准方程 定义 图形 标准方程 (焦点在轴) (焦点在轴) 焦点 的关系 提示：椭圆的标准方程中, 与对应的分母哪一个大,则焦点就在那一轴上. 3．椭圆的几何性质 标准方程 图形 范围 对称性 关于轴、轴对称, 关于原点中心对称 顶点坐标 半轴长 长半轴长为,短半轴长为 离心率 4．椭圆的离心率 (1)椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用表示，即. (2)离心率的取值范围:. (3)离心率对椭圆形状的影响: ①越接近1, c就越接近,从而就越小,椭圆就越扁. ②越接近0, c就越接近0 ,从而就越接近,椭圆就越圆. (4). （二）双曲线 1．双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． 2．双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令 令 共渐近线的双曲线方程 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． （三）抛物线 1．抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2．抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向. 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 椭圆的定义、标准方程，图像和性质；双曲线的定义、标准方程，图像和性质；抛物线的定义、标准方程，图像和性质；利用圆锥曲线的性质解决有关的简单几何问题和实际问题。 题型一、椭圆的标准方程 【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)一个焦点坐标为，短轴长为2． 【变式1】 已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 . 题型二、椭圆的几何性质 【例2】焦点在x轴上的椭圆的焦距是8，则椭圆的长轴长为（    ） A．40 B． C． D．20 【变式1】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，过其左焦点的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（   ） A． B． C． D． 题型三、双曲线的标准方程 【例3】 求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程； (2)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程. 【变式1】已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 ． 题型四、双曲线的几何性质 【例4】双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例5】 已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若双曲线的焦距为，则 ． 【变式3】已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型五、抛物线的标准方程 【例6】若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 . 【变式1】 过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型六、抛物线的几何性质 【例7】 抛物线的准线方程为 ． 【变式1】抛物线的焦点的坐标为 . 【变式2】若抛物线上的点P到直线的距离等于4，则点P到焦点F的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七、直线与圆锥曲线的位置关系 【例8】已知双曲线与抛物线有共同的焦点,过双曲线的左焦点,作倾斜角是的直线与双曲线交于A，B两个点， （1）求直线和双曲线的方程； （2）求的面积。 【变式1】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$