专题06 平面向量（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021·拓展模块一上册）

专题06 平面向量 （一）向量的概念 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模). 向量表示方法：向量或；模或. (2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示，特别的：非零向量的单位向量是. (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. （二）向量的线性运算 1．向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. (2)向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. (3)向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 2．向量的减法 (1)定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. (2)向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 3．向量的数乘 (1)向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 4．共线向量定理 (1)定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. (2)向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． （三）向量的内积 1．两个向量的夹角 (1)定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，，则称内的为向量与向量的夹角，记作． (2)性质：当时，与同向；当时，与反向． (3)向量垂直：如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。 2．向量数量积的定义 (1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； (2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； (3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 3．向量的投影及向量数量积的几何意义 (1)设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． (2)在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． (3)几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 4．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)； (3)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (4)； (5) （四）向量的坐标表示 1．平面向量的坐标运算 (1)向量加减：若，则； (2)数乘向量：若，则； (3)若，则 (4)任一向量：设，则. (5)若，则的充要条件为. (6)向量数量积：若，则； (7)若向量，则 平面向量的数量积和向量的线性运算，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等. 题型一、向量的有关概念 【例1】 下面关于向量的说法不正确的是　　 A．单位向量：模为1的向量 B．零向量：模为0的向量 C．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量 【答案】C 【解析】根据向量的定义可得，模为1的向量为单位向量，所以正确； 模为0的向量为零向量，所以正确； 方向相同或相反的非零向量为共线向量，所以不正确； 模相等，方向相同的向量为相等向量，所以正确； 故选：C． 【变式1】下列命题中正确的个数是（    ） ①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上； ②若向量与向量平行，则，方向相同或相反； ③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ④若，则，是相等向量或相反向量. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，根据共线向量的定义，由向量为自由向量，可得答案； 对于②，由零向量的定义和性质，可得答案； 对于③，根据向量的数量积的性质，可得答案； 对于④，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案. 【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线； ②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确； ④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向. 故选：B. 【变式2】已知平面向量、、，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于选项A：若、为非零向量，，但不一定等于，故不成立，A错误； 对于选项B：可知、同向，于是可知、共线，即，故B正确； 对于选项C：若为零向量，，不一定能推出，故C错误； 对于选项D：，但是两个向量方向不一定相同，故不可以推出，故D错误； 故选：B 题型二、向量的线性运算 【例2】 化简下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】解：（1）． （2）． （3）． （4）． 【变式1】下列计算正确的个数是　　 ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】，，，①③正确． 故选：C． 【变式2】已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）． 【答案】 【解析】解：，, . 题型三、平面向量的坐标运算 【例3】 已知向量，若满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 将代入有:. 故选：A 【变式1】 已知向量，则__________. 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【变式2】已知向量，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据数量积得坐标公式计算即可. 【详解】，解得. 故选：C. 题型四、向量的内积 【例4】 若的夹角为，则（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】， 故选：B 【变式1】已知 ，向量 的夹角为，则 （    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】， 故选：C. 【变式2】 已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 题型五、求向量的夹角 【例5】 已知，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量夹角公式即可代入求解. 【详解】设向量与的夹角为θ，则， 因为，所以. 故选：D. 【变式1】已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，设向量与夹角为，求出、和的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，设向量与夹角为， 向量，， 则，，， 则． 故选：A． 【变式2】已知向量，则向量的夹角的余弦值为 . 【答案】/0.6 【分析】根据给定的坐标，求出向量的数量积及模，再求出夹角余弦作答. 【详解】因为向量，则，， 所以向量的夹角的余弦值为. 故答案为： 题型六、求向量的模 【例6】已知向量，，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为，，所以， 所以， 故选：D. 【变式1】 已知向量，则等于（    ） A．2 B．3 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先求出的坐标，再利用坐标求出模即可 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C 【变式2】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用向量的模的计算公式计算可得结论. 【详解】. 故选：C. 题型七、向量的平行、垂直 【例7】 已知是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据向量平行的相关知识，结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】由，得， 所以， 则，解得. 故选：D 【变式1】 已知向量，若，则（ ） A．-1 B．2 C．-6 D．6 【答案】D 【解析】向量， 则，， 故，解得. 故选：D 【变式2】 已知向量,若,则实数λ= ( ) A. B. C.-2 D.2 【答案】C 【解析】因为,所以， 又,所以, 即，解得λ=-2， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面向量 （一）向量的概念 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模). 向量表示方法：向量或；模或. (2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示，特别的：非零向量的单位向量是. (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. （二）向量的线性运算 1．向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. (2)向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. (3)向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 2．向量的减法 (1)定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. (2)向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 3．向量的数乘 (1)向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 4．共线向量定理 (1)定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. (2)向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． （三）向量的内积 1．两个向量的夹角 (1)定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，，则称内的为向量与向量的夹角，记作． (2)性质：当时，与同向；当时，与反向． (3)向量垂直：如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。 2．向量数量积的定义 (1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； (2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； (3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 3．向量的投影及向量数量积的几何意义 (1)设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． (2)在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． (3)几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 4．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)； (3)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (4)； (5) （四）向量的坐标表示 1．平面向量的坐标运算 (1)向量加减：若，则； (2)数乘向量：若，则； (3)若，则 (4)任一向量：设，则. (5)若，则的充要条件为. (6)向量数量积：若，则； (7)若向量，则 平面向量的数量积和向量的线性运算，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等. 题型一、向量的有关概念 【例1】 下面关于向量的说法不正确的是　　 A．单位向量：模为1的向量 B．零向量：模为0的向量 C．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量 【变式1】下列命题中正确的个数是（    ） ①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上； ②若向量与向量平行，则，方向相同或相反； ③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ④若，则，是相等向量或相反向量. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】已知平面向量、、，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型二、向量的线性运算 【例2】 化简下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】下列计算正确的个数是　　 ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）． 题型三、平面向量的坐标运算 【例3】 已知向量，若满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】 已知向量，则__________. 【变式2】已知向量，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 题型四、向量的内积 【例4】 若的夹角为，则（  ） A． B． C． D．2 【变式1】已知 ，向量 的夹角为，则 （    ） A． B．1 C．2 D． 【变式2】 已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） 题型五、求向量的夹角 【例5】 已知，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】已知向量，则向量的夹角的余弦值为 . 题型六、求向量的模 【例6】已知向量，，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】 已知向量，则等于（    ） A．2 B．3 C．3 D．5 【变式2】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C． D．5 题型七、向量的平行、垂直 【例7】 已知是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（    ） A． B． C．6 D． 【变式1】 已知向量，若，则（ ） A．-1 B．2 C．-6 D．6 【变式2】 已知向量,若,则实数λ= ( ) A. B. C.-2 D.2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$