专题05 充要条件（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021·拓展模块一上册）

专题01 充要条件 1．充分条件和必要条件 (1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． (3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． (4)如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． (5)如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 3．充要条件的传递性 1．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． 2．若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断． 充要条件一般会和其他知识点综合来考察，这就要求我们既要会进行充要条件的判断，也要能够很好的掌握其他知识点，做到充要条件和其他知识点的熟练运用才能把这类题型做正确，这类题型一般难度不大，属于好拿分的题型. 题型一、充分条件的判定 【例1】是的（   ）条件． A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】由，能得到， 但由，不能得到， 则是的充分不必要条件． 故选：B． 【变式1】 “”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，成立，故“” “”. 当时，或，故“” “”. 即，“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 【变式2】已知都是实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】当时，一定有，充分性成立； 当为负数，且满足时，但不成立，则必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型二、必要条件的判定 【例2】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，即，因为，所以， 因为当时，一定成立， 但当时，不一定成立，例如当时，x不在范围内， 所以由不可以推出，但可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1】 “”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为， 则或， 即或. 而， 则. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【变式2】 是的（   ）条件． A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】由不能得到，但由能得到， 则是的必要不充分条件． 故选：A． 题型三、充要条件的判定 【例3】 设，则的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A：如果，则，若，则， 所以的充要条件是，故A项正确； 对B：如果，则或，则不一定成立，故B项错误； 对C：如果，则或，所以由不能推出，故C项错误； 对D：如果，则或，所以由不能推出，故D项错误. 故选：A. 【变式1】“有一个角是直角的三角形”是“直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若有一个角是直角的三角形，则一定是直角三角形，故充分性成立； 直角三角形中一定有一个角是直角，故必要性成立； 所以“有一个角是直角的三角形”是“直角三角形”的充要条件． 故选：C． 【变式2】 设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由，可解得或， 因为，所以可得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 题型四、应用充分条件求参数 【例4】 已知集合，集合，是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】集合，集合， 因为是的充分条件，所以， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】 已知或，，则取下面那些范围，可以使是的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设集合或，集合，因为是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集，所以选项符合要求，选项不符合要求. 故选：A. 【变式2】已知，条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】若是的充分不必要条件，则，故. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 题型五、应用必要条件求参数 【例5】 设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】 【解析】解：若“”是“”的必要条件，则， ， ①当时，，此时，即； ②当时，，有成立； ∴综上所述，所求的取值范围是． 【变式1】 已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由题意得 因为，且是的必要不充分条件， 所以由能推出，而由推不出， 所以， 解得：. 故选：B. 【变式2】 若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得，是的真子集， 即，所以的取值范围是． 故答案为：. 题型六、应用充要条件求参数 【例6】 已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【解析】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1. 【变式1】集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【变式2】方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 题型七、充要条件的综合运用 【例7】“”是“直线与直线互相垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 则“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式1】设，，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，则， ，则， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 【变式2】若函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由“为奇函数”不能得到“”，如，为奇函数，但在时没有意义. 由“”不能得到“为奇函数”，如，，但为偶函数. 故“为奇函数”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 充要条件 1．充分条件和必要条件 (1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． (3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． (4)如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． (5)如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 3．充要条件的传递性 1．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． 2．若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断． 充要条件一般会和其他知识点综合来考察，这就要求我们既要会进行充要条件的判断，也要能够很好的掌握其他知识点，做到充要条件和其他知识点的熟练运用才能把这类题型做正确，这类题型一般难度不大，属于好拿分的题型. 题型一、充分条件的判定 【例1】是的（   ）条件． A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【变式1】 “”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知都是实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型二、必要条件的判定 【例2】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】 “”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】 是的（   ）条件． A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要条件 D．既不充分也不必要 题型三、充要条件的判定 【例3】 设，则的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】“有一个角是直角的三角形”是“直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】 设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四、应用充分条件求参数 【例4】 已知集合，集合，是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【变式1】 已知或，，则取下面那些范围，可以使是的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 题型五、应用必要条件求参数 【例5】 设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围. 【变式1】 已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】 若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 题型六、应用充要条件求参数 【例6】 已知命题，若是的充要条件，则 ． 【变式1】集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【变式2】方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 题型七、充要条件的综合运用 【例7】“”是“直线与直线互相垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】设，，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【变式2】若函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$