专题04 概率与统计初步（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021·基础模块下册）

专题04 概率与统计初步 （一）随机事件 1．随机试验 (1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验． (2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2．样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 3．事件的分类 (1)随机事件： ①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件． ②随机事件一般用大写字母，，，…表示． ③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． (2)必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． (3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件． 4．频率与概率 (1)随机事件的频率 在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率. 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率. 由概率的定义可知： (1)对于任意事件，都有； (2)必然事件的概率为1，即； (3)不可能事件的概率为0，即. （二）古典概型 1．古典概型的定义 如果一个试验具有如下性质： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称这样的为古典概率模型，简称古典概型． 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率，其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． （三）概率的简单性质 1．互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：，图示：. 2．对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且，图示：. 3．互斥事件与相互独立事件的区别与联系 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生， 即 概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥， 则 （四）抽样方法 1．简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 最常用的简单随机抽样方法是抽签法. 抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本． 简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的． 2．系统抽样 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： ①先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； ②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝，如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除； ③在第1段用简单随机抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)； ④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用系统抽样． 3．分层抽样 (1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法． (3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的． （五）统计图表 名称 概念 频数、 频率 将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数,叫作该组的频数.每组频数除以全体数据个数的商叫作该组的频率.频率反映该组数据在样本中所占比例的大小 样本的频率分布 根据随机所抽样本的大小,分别计算某一事件出现的频率,这些频率的分布规律(取值状况)就叫作样本的频率分布 极差 若一组数据的最小值为a,最大值为b,则b-a的差就叫作极差 组距 把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距离称为组距 频率直方图的制作步骤： (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) (2)决定组距与组数 组距是指每个小组的两个端点之间的距离.为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”.极差、组距、组数有如下关系： 若为整数，则=组数；若不为整数，则[]+1=组数。 (3)将数据分组：通常对组内数据所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间。 (4)列频率分布表：统计各组数据的频数，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。 (5)画频率直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高）表示频率与组距的比值。 在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1． （六）样本的均值和标准差 1．众数，中位数，平均数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． 平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)　． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． 2．样本方差，样本标准差 标准差 s＝，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． 古典概型与概率的计算方法；互斥事件的加法公式；统计的基本思想和抽样方法；频率分布表和频率分布直方图的绘制方法；并运用所学知识解决生活和生产中的问题. 题型一、随机试验 【例1】下列事件中，随机事件的个数为（    ） ①甲，乙两人下棋，甲获胜； ②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数； ③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖； ④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列事件中，必然事件的个数是（　　） ①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】连续掷一颗筛子两次，以下是必然事件的是（    ） A．点数和为偶数 B．至少出现一次点数为偶数 C．点数和不小于2 D．点数和为奇数 题型二、古典概型 【例2】同时掷两枚骰子，向上的点数之和是6的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（    ） A． B． C． D． 题型三、概率的性质 【例3】已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（   ） A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品 C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品 【变式1】抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 题型四、随机试验的样本空间、样本点 【例4】 从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 ，满足“它是偶数”样本点的个数为 ． 【变式1】写出从集合任取两个元素构成子集的样本空间． 【变式2】从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ． 题型五、抽样方法 【例5】关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②它是从总体中逐个地进行抽取； ③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样； ④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【变式1】现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（    ） A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，40，52 C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30 【变式2】某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人． 题型六、统计图表 【例6】某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用频数直方图（如图）表示，则课外阅读时间在内的学生的频率为（    ） A．10 B．15 C．0.2 D．0.3 【变式1】为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人做进一步调查，则月收入在[1 500，2 000)(单位：元)内的应抽取 人． 【变式2】采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频数 2 3 x 5 y 2 已知样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为（ ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 题型七、样本的均值和标准差 【例7】惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表： 餐费（元） 6 7 8 人数 10 20 20 这50个学生的午餐费的平均值是（    ） A．7.2 B．7.1 C．7 D．0.56 【变式2】以下是甲、乙两名运动员的射击成绩（单位：环）：甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4；乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．则 （用“甲”或“乙”填空）的稳定性更佳． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 概率与统计初步 （一）随机事件 1．随机试验 (1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验． (2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2．样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 3．事件的分类 (1)随机事件： ①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件． ②随机事件一般用大写字母，，，…表示． ③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． (2)必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． (3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件． 4．频率与概率 (1)随机事件的频率 在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率. 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率. 由概率的定义可知： (1)对于任意事件，都有； (2)必然事件的概率为1，即； (3)不可能事件的概率为0，即. （二）古典概型 1．古典概型的定义 如果一个试验具有如下性质： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称这样的为古典概率模型，简称古典概型． 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率，其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． （三）概率的简单性质 1．互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：，图示：. 2．对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且，图示：. 3．互斥事件与相互独立事件的区别与联系 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生， 即 概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥， 则 （四）抽样方法 1．简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 最常用的简单随机抽样方法是抽签法. 抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本． 简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的． 2．系统抽样 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： ①先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； ②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝，如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除； ③在第1段用简单随机抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)； ④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用系统抽样． 3．分层抽样 (1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法． (3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的． （五）统计图表 名称 概念 频数、 频率 将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数,叫作该组的频数.每组频数除以全体数据个数的商叫作该组的频率.频率反映该组数据在样本中所占比例的大小 样本的频率分布 根据随机所抽样本的大小,分别计算某一事件出现的频率,这些频率的分布规律(取值状况)就叫作样本的频率分布 极差 若一组数据的最小值为a,最大值为b,则b-a的差就叫作极差 组距 把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距离称为组距 频率直方图的制作步骤： (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) (2)决定组距与组数 组距是指每个小组的两个端点之间的距离.为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”.极差、组距、组数有如下关系： 若为整数，则=组数；若不为整数，则[]+1=组数。 (3)将数据分组：通常对组内数据所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间。 (4)列频率分布表：统计各组数据的频数，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。 (5)画频率直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高）表示频率与组距的比值。 在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1． （六）样本的均值和标准差 1．众数，中位数，平均数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． 平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)　． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． 2．样本方差，样本标准差 标准差 s＝，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． 古典概型与概率的计算方法；互斥事件的加法公式；统计的基本思想和抽样方法；频率分布表和频率分布直方图的绘制方法；并运用所学知识解决生活和生产中的问题. 题型一、随机试验 【例1】下列事件中，随机事件的个数为（    ） ①甲，乙两人下棋，甲获胜； ②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数； ③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖； ④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据随机事件的知识确定正确答案. 【详解】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件， ④是不可能事件，所以随机事件的个数为个. 故选：C 【变式1】下列事件中，必然事件的个数是（　　） ①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用随机事件的概念直接判断． 【详解】对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下雨， 所以2028年8月18日，北京市不下雨为随机事件，故为随机事件； 对于②，在标准大气压下，水在结冰而不是在时结冰，故为不可能事件； 对于③，因为从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不能确定是否为1号签， 所以从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签，故为随机事件； 对于④，因为向量的模大于等于0， 所以向量的模不小于0，故为必然事件. 综上：①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B. 【变式2】连续掷一颗筛子两次，以下是必然事件的是（    ） A．点数和为偶数 B．至少出现一次点数为偶数 C．点数和不小于2 D．点数和为奇数 【答案】C 【详解】连续掷一颗筛子两次，两次事件相互独立，各自的可能都为1,2,3,4,5,6， 对于A：若两次点数分别为1，2，则和为奇数，故A错误； 对于B：若两次点数分别为1，3，则都为奇数，故B错误； 对于C：两次点数最小都为1，则和不小于2，故C正确； 对于D：若两次点数分别为1，3，则和为偶数，故D错误； 故选：C. 题型二、古典概型 【例2】同时掷两枚骰子，向上的点数之和是6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举法解决即可. 【详解】列表得 共有36种等可能的结果， 向上的点数之和是6的情况有5种， 掷两枚骰子，向上的点数之和是6的概率是， 故选：D 【变式1】从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数， 可得， ， 共个基本事件， 其中取出的两个数不是连续自然数的有 ， ， 共个基本事件， 取出的两个数不是连续自然数的概率为. 故选：C 【变式2】同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将所有的实验情况一一列举出来，再将符合题意的情况一一列举，根据古典概型，可得答案. 【详解】同时抛掷两枚硬币的所有实验情况为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 两枚硬币都是“正面向上”的实验情况为（正，正）， 根据古典概型，概率为， 故选：A. 题型三、概率的性质 【例3】已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（   ） A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品 C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品 【答案】D 【解析】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件； 对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件； 对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件； 对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件， 故选：D. 【变式1】抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件概率计算公式直接计算. 【详解】事件为掷出向上为偶数点，所以， 事件为掷出向上为3点，所以， 又事件，是互斥事件， 所以， 故选：B. 【变式2】已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 【答案】 【解析】因为事件A、B互斥，， 所以， 又它们都不发生的概率为，所以，解得， 所以， 故答案为：. 题型四、随机试验的样本空间、样本点 【例4】 从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 ，满足“它是偶数”样本点的个数为 ． 【答案】 5 【分析】根据题意结合样本空间和样本点的概念分析求解. 【详解】由题意可知：样本空间为； 其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个． 故答案为：；5. 【变式1】写出从集合任取两个元素构成子集的样本空间． 【答案】 【解析】从集合任取两个元素， 则构成子集的样本空间. 【变式2】从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ． 【答案】6 【分析】根据要求一一列举即可. 【详解】该试验的结果中，含a的有；不含a，含b的有； 不含a，b，含c的有；， 即该试验的样本点数为6. 故答案为：6 题型五、抽样方法 【例5】关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②它是从总体中逐个地进行抽取； ③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样； ④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样的定义和性质即可得到答案. 【详解】根据简单随机抽样的定义和性质知： ①它要求被抽取样本的总体的个数有限，正确； ②它是从总体中逐个地进行抽取，正确； ③不作特殊说明时它是一种不放回抽样，正确； ④它是一种等可能性抽样，正确； 故选：A. 【变式1】现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（    ） A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，40，52 C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30 【答案】A 【分析】求得组距，由此确定正确选项. 【详解】，即组距为，A选项符合，其它选项不符合. 故选：A 【变式2】某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人． 【答案】1800 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解. 【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人， 所以抽取的比例为 设该校共有名学生，可得， 解得人，即该校共有1800名学生. 故答案为：1800. 题型六、统计图表 【例6】某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用频数直方图（如图）表示，则课外阅读时间在内的学生的频率为（    ） A．10 B．15 C．0.2 D．0.3 【答案】C 【分析】根据频数直方图可知课外阅读时间在内的学生的人数，进而即得. 【详解】根据频数直方图可知课外阅读时间在内的学生的人数为， 所以课外阅读时间在内的学生的频率为. 故选：C. 【变式1】为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人做进一步调查，则月收入在[1 500，2 000)(单位：元)内的应抽取 人． 【答案】40 【解析】月收入在[1 500，2 000)内的频率为： 1－(0.000 2＋0.000 5×2＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2， 故应抽取200×0.2＝40(人)， 故答案为：. 【变式2】采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频数 2 3 x 5 y 2 已知样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为（ ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 【答案】D 【解析】由题意得，=0.35，解得x=4， 则y=20-2-3-4-5-2=4，故所求频率为=0.20， 故选：D. 题型七、样本的均值和标准差 【例7】惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平均数，中位数，众数计算出来即可得. 【详解】平均数， 中位数， 众数， 故. 故选：D. 【变式1】随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表： 餐费（元） 6 7 8 人数 10 20 20 这50个学生的午餐费的平均值是（    ） A．7.2 B．7.1 C．7 D．0.56 【答案】A 【分析】根据平均数计算公式即可得到答案. 【详解】根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是： 故选：A. 【变式2】以下是甲、乙两名运动员的射击成绩（单位：环）：甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4；乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．则 （用“甲”或“乙”填空）的稳定性更佳． 【答案】乙 【分析】计算出方差即可判断. 【详解】， ， ， 因为，所以乙的成绩更加稳定． 故答案为：乙. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$