专题03 简单几何体（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021·基础模块下册）

专题03 简单几何体 （一）多面体 1．棱柱 (1)棱柱的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 (2)棱柱的分类 ①按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… ②按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. ③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. (3)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是矩形． 2．棱锥 (1)棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 (2)棱锥的分类 ①按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… ②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. (3)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三角形；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． （二）旋转体 1．圆柱 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 2．圆锥 定义 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 3．球 球面及球的定义　 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 图示及相关概念 球心：形成球面的半圆的圆心 半径：连接球面上一点和球心的线段 直径：连接球面上两点且通过球心的线段 大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆 （三）简单几何体的表面积和体积 (1)柱体、锥体的表面积 ①直棱柱、正棱锥的侧面积：S直棱柱侧＝Ch， S正棱锥侧＝ Ch′(其中C为底面周长，h为高，h′为斜高)． ②圆柱、圆锥的侧面积：S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl (其中r为底面半径，l为母线长)． ③柱的表面积等于侧面积与两个底面积的和，锥体的表面积等于侧面积与一个底面积的和． (2)柱体、锥体的体积 ①棱柱、棱锥的体积：V棱柱＝Sh， V棱锥＝Sh (其中S为底面积，h为高)． ②圆柱、圆锥的体积：V圆柱＝πr2h， V圆锥＝πr2h (其中r为底面圆的半径，h为高)． (3)球的表面积与体积 ①半径为R的球的表面积S球＝4πR2． ②半径为R的球的体积V球＝πR3. (4)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式： . （四）空间几何体的三视图、直观图 (1)三视图 ①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图． ②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等． (2)直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： ①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝90° 且∠yOz＝90° ． ②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所确定的平面表示水平面． ③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． ④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半． ⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图． 从棱柱、棱锥、旋转体中的柱、锥、球的结构特征、性质和直观图两个方面认识多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥和旋转体，主要包括表面积和体积. 题型一、棱柱、棱锥的结构特征 【例1】 下面是关于四棱柱的四个命题： （1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱 （4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】 下列说法中正确的个数为（    ） ①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥； ②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥； ③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； ④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥． A． B． C． D． 【变式2】 下列几何体中是棱锥的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二、棱柱的表面积与体积 【例2】 正四棱柱的高为3cm,体对角线长为cm,则正四棱柱的侧面积为 A．10 B．24 C．36 D．40 【变式1】正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为　　 A． B． C． D． 【变式2】设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为 ． 题型三、棱锥的表面积与体积 【例3】底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为 . 【变式1】已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是（       ） A． B． C． D．1 题型四、旋转体的结构特征 【例4】有下列命题： ① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等； ④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥． 其中，正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（    ） A．圆锥圆柱 B．圆柱球体 C．圆锥球体 D．圆柱圆锥球体 【变式2】下列对于圆柱的各判断中正确的是（       ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 题型五、旋转体的表面积与体积 【例5】木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（    ） A．60倍 B．倍 C．120倍 D．倍 【变式1】已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为 . 题型六、简单几何体的三视图 【例6】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，该几何体从正面看所得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】正三棱柱，如图所示，以四边形的前面为正前方画出的三视图正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七、几何体的直观图画法 【例7】用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ） ①平行的线段在直观图中仍然平行； ②相等的线段在直观图中仍然相等； ③相等的角在直观图中仍然相等； ④正方形在直观图中仍然是正方形 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 简单几何体 （一）多面体 1．棱柱 (1)棱柱的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 (2)棱柱的分类 ①按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… ②按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. ③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. (3)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是矩形． 2．棱锥 (1)棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 (2)棱锥的分类 ①按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… ②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. (3)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三角形；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． （二）旋转体 1．圆柱 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 2．圆锥 定义 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 3．球 球面及球的定义　 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 图示及相关概念 球心：形成球面的半圆的圆心 半径：连接球面上一点和球心的线段 直径：连接球面上两点且通过球心的线段 大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆 （三）简单几何体的表面积和体积 (1)柱体、锥体的表面积 ①直棱柱、正棱锥的侧面积：S直棱柱侧＝Ch， S正棱锥侧＝ Ch′(其中C为底面周长，h为高，h′为斜高)． ②圆柱、圆锥的侧面积：S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl (其中r为底面半径，l为母线长)． ③柱的表面积等于侧面积与两个底面积的和，锥体的表面积等于侧面积与一个底面积的和． (2)柱体、锥体的体积 ①棱柱、棱锥的体积：V棱柱＝Sh， V棱锥＝Sh (其中S为底面积，h为高)． ②圆柱、圆锥的体积：V圆柱＝πr2h， V圆锥＝πr2h (其中r为底面圆的半径，h为高)． (3)球的表面积与体积 ①半径为R的球的表面积S球＝4πR2． ②半径为R的球的体积V球＝πR3. (4)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式： . （四）空间几何体的三视图、直观图 (1)三视图 ①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图． ②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等． (2)直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： ①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝90° 且∠yOz＝90° ． ②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所确定的平面表示水平面． ③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． ④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半． ⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图． 从棱柱、棱锥、旋转体中的柱、锥、球的结构特征、性质和直观图两个方面认识多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥和旋转体，主要包括表面积和体积. 题型一、棱柱、棱锥的结构特征 【例1】 下面是关于四棱柱的四个命题： （1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱 （4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据直四棱柱的定义，分别判断各个命题即可得出结果. 【详解】对于命题（1），斜四棱柱的两个相对侧面可能平行且垂直于底面，故命题（1）为假命题； 对于命题（2），两截面的交线平行于侧棱且垂直于底面，故命题（2）为真命题； 对于命题（3），如图③：作正四棱柱的两个平行的菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱，故命题（3）为假命题；    对于命题（4），如图④：四棱柱的一个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形， 于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故命题（4）为真命题； 故选：B. 【变式1】 下列说法中正确的个数为（    ） ①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥； ②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥； ③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； ④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正棱锥定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误； 对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误； 对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误； 对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确. 故选：D. 【变式2】 下列几何体中是棱锥的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】由棱锥的定义逐个判断即可得解. 【详解】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥. 故选：C. 题型二、棱柱的表面积与体积 【例2】 正四棱柱的高为3cm,体对角线长为cm,则正四棱柱的侧面积为 A．10 B．24 C．36 D．40 【答案】B 【分析】设正四棱柱，设底面边长为，由正四棱柱体对角线的平方等于从同一顶点出发的三条棱的平方和，可得关于的方程. 【详解】如图，正四棱柱，设底面边长为， 则，解得：， 所以正四棱柱的侧面积. 【变式1】正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六棱柱的表面积公式进行计算即可． 【详解】解：正六棱柱的高为6，底面边长为4， 两个底面积为， 六棱柱的侧面积为， 六棱柱的表面积为， 故选：． 【变式2】设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为 ． 【答案】 【分析】根据正棱柱的定义，结合体积的计算公式，可得答案 【详解】由正六棱柱可得底面为正六边形，则底面积， 即正六棱柱的体积. 故答案为：. 题型三、棱锥的表面积与体积 【例3】底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为 . 【答案】 【分析】利用底边边长和高计算正三棱锥的斜高可得全面积. 【详解】因为底面的边长为2，故底面中心到底面边的距离为， 故斜高为， 故全面积为， 故答案为：. 【变式1】已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正四棱锥的底面积为，正四棱锥的高为， 因此，该正四棱锥的体积为， 故选：A． 【变式2】如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是（       ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积， 三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形，高D1D=1， ∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=， 故选：A. 题型四、旋转体的结构特征 【例4】有下列命题： ① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等； ④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥． 其中，正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴线时才是母线； ②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； ③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等； ④错误，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥． 故选：A. 【变式1】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（    ） A．圆锥圆柱 B．圆柱球体 C．圆锥球体 D．圆柱圆锥球体 【答案】D 【分析】由圆锥，圆柱，球体的几何特征判断即可. 【详解】解：用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面， 则这个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球体， 故选：D. 【变式2】下列对于圆柱的各判断中正确的是（       ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 【答案】C 【解析】对于A，有两个互相平行的底面的旋转体可能是圆台，A错误； 对于B，圆柱的轴截面均经过圆柱的轴，有无数个，B错误； 对于C，由圆柱的定义知C正确； 对于D，圆柱有无数条母线，D错误. 故选：C. 题型五、旋转体的表面积与体积 【例5】木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（    ） A．60倍 B．倍 C．120倍 D．倍 【答案】C 【分析】根据球的体积公式之比可得，结合球的表面积公式化简计算即可求解. 【详解】由题意知，木星的体积约是地球体积的倍， ， 所以， 所以， 即木星的表面积约是地球表面积的倍. 故选：C. 【变式1】已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用圆柱底面圆半径r表示出其高h，由侧面积列式求出r，进而求得体积. 【详解】设该圆柱的底面圆半径为，则其高(母线)为，而圆柱的轴截面是正方形，则， 圆柱侧面积为，从而，，故该圆柱的体积是． 故选：A 【变式2】已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为 . 【答案】 【分析】先根据球的体积公式求半径，然后根据正方体的体对角线即为外接球的直径可得正方体的棱长，即可求得正方体体积. 【详解】记正方体棱长为a，外接球半径为R， 则，解得， 因为正方体的体对角线即为外接球的直径， 所以，解得， 所以，正方体的体积为. 故答案为： 题型六、简单几何体的三视图 【例6】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过三视图判断几何体的图形形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，则高为4，故该几何体体积为. 故选:A. 【变式1】如图所示，该几何体从正面看所得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图通过直观形象可得. 【详解】由直观图可知，从正面观察可看到第一层有3个正方形，第二层有2个正方形， 所以A正确. 故选：A 【变式2】正三棱柱，如图所示，以四边形的前面为正前方画出的三视图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的知识确定正确答案. 【详解】由于四边形的前面为正前方， 所以主视图为矩形，左视图为三角形， 俯视图是中间有一条横线的矩形， 所以A选项正确. 故选：A 题型七、几何体的直观图画法 【例7】用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ） ①平行的线段在直观图中仍然平行； ②相等的线段在直观图中仍然相等； ③相等的角在直观图中仍然相等； ④正方形在直观图中仍然是正方形 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确； 对于②，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于轴的线段，长度不变，平行于轴的线段，变为原来的，所以②错误； 对于③，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是和，所以③错误； 对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上，正确的命题序号是①，共1个． 故选：A． 【变式1】如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先作出一个正三角形，然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 画对应的轴，使夹角为，画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图， 然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，， 故选：A 【变式2】已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为___________． 【答案】 【解析】 如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图，从图②可知，A′B′=AB=2， O′C′=OC=，C′D′=O′C′sin45°=×=， 所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=×2×=． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$