专题02 直线与圆的方程（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021·基础模块下册）

专题02 直线与圆的方程 （一）两点间距离、中点坐标公式 1．数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：． 2．两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：. 3．线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. （二）直线的方程 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为． (2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即．当直线平行于x轴或者与x轴重合时k＝0；当直线的倾斜角为锐角时k>0；当直线的倾斜角为钝角时k<0；倾斜角为90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．　 (3)经过两点，()的直线的斜率公式为． 2．直线方程的几种形式 (1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距（注：截距不是距离）． (2)直线方程的四种形式： 名称 方程 适用范围 点斜式 存在 斜截式 存在 截距式 且 一般式 (A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的所有直线 （三）两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 方法一： (1)平行：对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有， 特别地，当直线，的斜率都不存在时，与的关系为 （注：两直线平行则倾斜角相等，可能没有斜率）. (2)垂直：如果两条直线，的斜率都存在，且分别为，，则有， 特别地，若直线：，直线：，则与的关系为． 方法二: 设 ，则 （1） ； （2） ； （3） 与 重合； （4） 与 相交. 2．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 ，若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行． 3．距离公式 (1)点到直线的距离：点到直线：的距离． (2)两条平行直线间的距离：两条平行直线：（）和：（）间的距离. （四）圆 1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 2．圆的标准方程与一般方程 (1)圆的标准方程：方程叫做以点为圆心，为半径长的圆的标准方程． (2)圆的一般方程：方程叫做圆的一般方程． 注：将上述一般方程配方得，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以为圆心，为半径长的圆． 3．点与圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)若点在圆上 (2)若点在圆外 (3)若点在圆内 （五）直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 位置关系 图示 公共点个数 几何特征 代数特征(解的个数) 相离 0 无实数解 相切 1 两组相同实数解 相交 2 　 两组不同实数解 2．计算直线被圆截得的弦长为的方法： ①求弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式： 本章考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)． 1．用直线和圆的方程解决一些简单的问题，用代数方法处理几何问题的思想． 2．确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系(相交、相切、相离)． 3．根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系(内含、内切、相交、外切、相离)． 题型一、直线的倾斜角和斜率 【例1】若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不与轴垂直的直线斜率与倾斜角的关系,根据正切值求即可. 【详解】该直线不与轴垂直，设倾斜角为， 斜率,. 故选：B 【变式1】若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不与轴垂直的直线斜率与倾斜角的关系,根据正切值求即可. 【详解】该直线不与轴垂直，设倾斜角为， 斜率,. 故选：B 【变式2】 经过两点，的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据条件可知直线垂直轴，即可得倾斜角大小． 【详解】∵直线经过两点，， ∴直线垂直轴，故倾斜角为． 故选：C． 题型二、直线的方程 【例2】过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，化简得. 故选：C. 【变式1】过两点的直线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由两点，可得过两点的直线的斜率为， 又由直线的点斜式方程，可得，即. 故选：B. 【变式2】已知点、，直线. （1）求线段的中点坐标及直线的斜率； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程. 【答案】（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为；（2）. 【解析】解：（1）根据题意，设的中点坐标为， 又由点、，则，， 所以线段的中点坐标为， 直线的斜率为； （2）设直线的方程为，又由直线经过点， 则有，则. 即直线的方程为. 题型三、两条直线的位置关系 【例3】 下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例. 【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确； 对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误； 对于③，所有的直线都有倾斜角，正确； 对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为-1，错误.， 故正确的个数为2. 故选：B 【变式1】过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解. 【详解】设过点且与直线平行的直线方程是， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：A. 【变式2】过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解. 【详解】直线的斜率为，所以与直线垂直的直线斜率为， 故由点斜式可得，即， 故选：B 题型四、点到直线的距离公式 【例4】已知点到直线的距离为2，则 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得， 故答案为： 【变式1】原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可. 【详解】原点到直线间的距离是：. 故选：A 【变式2】已知直线过原点，且点到直线的距离为1，则直线的斜率 . 【答案】0或 【分析】对直线的斜率分类讨论，再利用点到直线的距离公式即可得出． 【详解】当直线的斜率不存在时，即为轴，不满足条件，舍去． 直线的斜率存在时，设直线的方程为， 点，到直线的距离为1， ， 化为， 解得或． 故答案为：0或． 题型五、圆的方程 【例5】经过三点的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的标准方程：，将点代入即可求解. 【详解】设圆， 则， 解得， 所以圆的标准方程为. 故选：B. 【变式1】已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C 【变式2】已知圆心在轴上的圆经过，两点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心在轴上设出圆心坐标,设出圆的方程,将,两点坐标代入,即可求得圆心坐标和半径,进而得圆的方程. 【详解】因为圆心在轴上,设圆心坐标为,半径为 设圆的方程为 因为圆经过,两点 代入可得 解方程求得 所以圆C的方程为 故选:A 题型六、点与圆的位置关系 【例6】已知圆的标准方程是，则点（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出点到圆心的距离与圆的半径比较大小即可 【详解】圆 的圆心为，半径为2， 因为， 所以点在圆内. 故选：B 【变式1】若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 【变式2】已知点在圆4的外部，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】由题意，即，可得或. 所以的取值范围为. 故答案为： 题型七、直线与圆的位置关系 【例7】 判断圆与下列直线的位置关系： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)相交；(2)相离；(3)相离 【分析】（1）根据题意，求出圆心直线的距离与圆的半径比较大小，即可判断； （2）根据题意，求出圆心直线的距离与圆的半径比较大小，即可判断； （3）根据题意，求出圆心直线的距离与圆的半径比较大小，即可判断. 【详解】（1）将圆的方程化为标准方程为，所以圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交. （2）圆心到直线的距离，所以直线与圆相离. （3）圆心到直线的距离，所以直线与圆相切. 【变式1】直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交但不过圆心 C．相离 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】求圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小，即可得出结果. 【详解】因为的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切. 故选：A. 【变式2】直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆的方程 （一）两点间距离、中点坐标公式 1．数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：． 2．两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：. 3．线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. （二）直线的方程 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为． (2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即．当直线平行于x轴或者与x轴重合时k＝0；当直线的倾斜角为锐角时k>0；当直线的倾斜角为钝角时k<0；倾斜角为90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．　 (3)经过两点，()的直线的斜率公式为． 2．直线方程的几种形式 (1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距（注：截距不是距离）． (2)直线方程的四种形式： 名称 方程 适用范围 点斜式 存在 斜截式 存在 截距式 且 一般式 (A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的所有直线 （三）两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 方法一： (1)平行：对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有， 特别地，当直线，的斜率都不存在时，与的关系为 （注：两直线平行则倾斜角相等，可能没有斜率）. (2)垂直：如果两条直线，的斜率都存在，且分别为，，则有， 特别地，若直线：，直线：，则与的关系为． 方法二: 设 ，则 （1） ； （2） ； （3） 与 重合； （4） 与 相交. 2．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 ，若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行． 3．距离公式 (1)点到直线的距离：点到直线：的距离． (2)两条平行直线间的距离：两条平行直线：（）和：（）间的距离. （四）圆 1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 2．圆的标准方程与一般方程 (1)圆的标准方程：方程叫做以点为圆心，为半径长的圆的标准方程． (2)圆的一般方程：方程叫做圆的一般方程． 注：将上述一般方程配方得，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以为圆心，为半径长的圆． 3．点与圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)若点在圆上 (2)若点在圆外 (3)若点在圆内 （五）直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 位置关系 图示 公共点个数 几何特征 代数特征(解的个数) 相离 0 无实数解 相切 1 两组相同实数解 相交 2 　 两组不同实数解 2．计算直线被圆截得的弦长为的方法： ①求弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式： 本章考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)． 1．用直线和圆的方程解决一些简单的问题，用代数方法处理几何问题的思想． 2．确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系(相交、相切、相离)． 3．根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系(内含、内切、相交、外切、相离)． 题型一、直线的倾斜角和斜率 【例1】若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 经过两点，的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 题型二、直线的方程 【例2】过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】过两点的直线方程为( ) A． B． C． D． 【变式2】已知点、，直线. （1）求线段的中点坐标及直线的斜率； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程. 题型三、两条直线的位置关系 【例3】 下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型四、点到直线的距离公式 【例4】已知点到直线的距离为2，则 ． 【变式1】原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】已知直线过原点，且点到直线的距离为1，则直线的斜率 . 题型五、圆的方程 【例5】经过三点的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆心在轴上的圆经过，两点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型六、点与圆的位置关系 【例6】已知圆的标准方程是，则点（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 【变式1】若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点在圆4的外部，则实数的取值范围为 ． 题型七、直线与圆的位置关系 【例7】 判断圆与下列直线的位置关系： (1)； (2)； (3)． 【变式1】直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交但不过圆心 C．相离 D．相交且过圆心 【变式2】直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$