专题01 指数函数与对数函数（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021·基础模块下册）

专题01 指数函数与对数函数 （一）根式、分数指数幂及其运算 1．根式 （1）n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0． （2）根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （3）根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 （1）零指数幂：a0＝1.这里a≠0. （2）负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． （3）正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． （4）负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． （5）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． （6）有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． （二）指数函数及其图像和性质 1．定义： 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2．指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 （三）对数及其运算 1．对数 (1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注： (i)无理数e＝2.718 28…； (ii)负数和零没有对数； (iii)loga1＝0，logaa＝1. (3)对数与指数之间的关系： 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN. (4)对数运算的性质： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM； (5)换底公式及对数恒等式 ： ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝. （四）对数函数及其图像和性质 1．定义： 函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 本章考查指数、对数的运算以及指数、对数函数的图象与性质的应用为主，多以指数、对数函数为载体，考查函数值的大小比较及单调性．此外，指数、对数函数的图象及应用也常有出现，一般以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，解题时熟练掌握指数、对数的运算性质与运算法则及其图象与性质，注意分类讨论、数形结合及转化与化归思想的运用. 题型一、根式的有关概念 【例1】 若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是：. 故选：B 【变式1】 若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A. 式子对于有意义； B.式子对于有意义； C. 式子对于有意义； D. 式子对于无意义； 故选：D 【变式2】 若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以. 故选：B. 题型二、根式与分数指数幂的互化 【例2】 将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将写成分数指数幂的形式为. 故选：B. 【变式1】 用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1） （2）； （3）； 【变式2】 已知a>0，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 题型三、指数函数的概念 【例3】 函数是指数函数，求的值． 【答案】 【解析】由是指数函数， 可得， 解得． 【变式1】 已知指数函数，求. 【答案】 【解析】由题意，函数为指数函数， 可得，解得或（舍）， 所以，. 【变式2】 已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值． 【答案】 【解析】将点代入，得，即， 所以或， 又因为，且， 所以． 题型四、指数函数的图象 【例4】 设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 【变式1】 已知函数，则函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】 是单调递增的函数，经过 ，渐近线为， 当 时， ， ，渐近线为 ， 所以图像如下图： 故选：B. 【变式2】 若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为 故只有A项正确． 故选：A. 题型五、对数及其运算 【例5】 使有意义的实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，解得， 所以实数a的取值范围是， 故选：C. 【变式1】 有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【解析】因为，，所以A错误，B正确； 若，则，故C错误； ，而没有意义，故D错误． 故选：B. 【变式2】 已知方程的两根为，，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】∵方程的两根为，，∴， ∴， 故选：D． 题型六、对数函数的图像和性质 【例6】 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增， 在上单调递增，只有B满足. 故选：B. 【变式1】 函数与的大致图像是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是减函数，过点， 函数是减函数，过点， 所以A选项中的函数图像符合题意， 故选：A. 【变式2】 函数 的图象必过定点 ． 【答案】 【解析】解：函数， 则：令，解得， 当时． 故函数的图象必过定点为． 故答案为： ． 题型七、利用单调性比较大小 【例7】 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在R上单调递减，故，即， 因为在上单调递增，故， 因为在上单调递减，故， 故. 故选：C． 【变式1】 已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， 所以. 故选：D. 【变式2】 函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由偶函数知， 又，，，显然， 又在单调递增，则. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 指数函数与对数函数 （一）根式、分数指数幂及其运算 1．根式 （1）n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0． （2）根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （3）根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 （1）零指数幂：a0＝1.这里a≠0. （2）负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． （3）正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． （4）负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． （5）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． （6）有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． （二）指数函数及其图像和性质 1．定义： 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2．指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 （三）对数及其运算 1．对数 (1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注： (i)无理数e＝2.718 28…； (ii)负数和零没有对数； (iii)loga1＝0，logaa＝1. (3)对数与指数之间的关系： 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN. (4)对数运算的性质： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM； (5)换底公式及对数恒等式 ： ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝. （四）对数函数及其图像和性质 1．定义： 函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 本章考查指数、对数的运算以及指数、对数函数的图象与性质的应用为主，多以指数、对数函数为载体，考查函数值的大小比较及单调性．此外，指数、对数函数的图象及应用也常有出现，一般以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，解题时熟练掌握指数、对数的运算性质与运算法则及其图象与性质，注意分类讨论、数形结合及转化与化归思想的运用. 题型一、根式的有关概念 【例1】 若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】 若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】 若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．2 题型二、根式与分数指数幂的互化 【例2】 将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）； （2）； （3）； 【变式2】 已知a>0，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三、指数函数的概念 【例3】 函数是指数函数，求的值． 【变式1】 已知指数函数，求. 【变式2】 已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值． 题型四、指数函数的图象 【例4】 设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】 已知函数，则函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】 若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型五、对数及其运算 【例5】 使有意义的实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】 有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【变式2】 已知方程的两根为，，则（ ） A． B．1 C．2 D． 题型六、对数函数的图像和性质 【例6】 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 函数与的大致图像是（ ） A． B． C． D． 【变式2】 函数 的图象必过定点 ． 题型七、利用单调性比较大小 【例7】 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】 已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$