专项1 勾股定理&专项2 实数-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（北师大版 郑州专用）

郑州专版·八年级数学·上册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·上册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·上册　 第 3 页　 　 　 　 专项 1 追梦专项一　 勾股定理 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 三角形的三边为 a、b、c,下列条件不能判断它是直角三角形的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a ∶b ∶c= 8 ∶16 ∶17 B. a2 -b2 = c2 C. a2 = (b+c)(b-c) D. a ∶b ∶c= 13 ∶5 ∶12 2. 下列各组数据的三个数,是勾股数的有(　 　 ) ①32,42,52;②6,8,10;③7,24,25;④ 1 3 , 1 4 , 1 5 ;⑤1. 5,2,2. 5 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 如图,一木杆在离地面 8 m 的 A 处折断,木杆顶端落在离木杆底 端 6 m 的 B 处,则木杆折断之前的长度为(　 　 ) A. 10 m B. 14 m C. 18 m D. 22 m 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 第 6 题图 4. 如图,已知网格中每个小正方形的边长均为 1,以点 A 为圆心,AB 为半径画弧交网格线于点 D,则 ED 的长为(　 　 ) A. 5 B. 3 C. 2 D. 13 5. 数学思想·分类讨论 在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高, AD= 4,AB= 4 10 ,AC= 5,则△ABC 的面积为(　 　 ) A. 18 B. 24 C. 18 或 24 D. 18 或 30 6. 生活情境·荡秋千 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种 运动,小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立 柱 AB 的高度. 如图,他发现秋千静止时,秋千踏板离地面的垂直 高度 DB 为 0. 4 米,将踏板往前推送,使秋千绳索 AD 到达 AE 的 位置,测得推送的水平距离 CE 为 3 米,此时秋千踏板离地面的 垂直高度 EF 为 1. 4 米,则立柱 AB 的高度为(　 　 ) A. 3 米 B. 4 米 C. 4. 4 米 D. 5. 4 米 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. 如图,是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它 为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 组成的一个大正方形,若图中大正方形 ABCD 的面积为 34,直角 三角形较短的直角边长 AH 为 3,则中间小正方形 EFGH 的面积 为　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 第 8 题图 　 　 第 9 题图 8. 如图,直角△ABC 中,AC = 7,AB = 25,则内部五个小直角三角形 的周长为　 　 　 　 . 9. 如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从 A 点绕到正上方 B 点共四圈,已知易拉罐的底面周长是 24 cm,高是 28 cm,那么所 需彩带最短的长度是　 　 　 　 . 三、解答题(共 28 分) 10. (8 分)一个梯子 AB 长为 5 米,顶端 A 靠在墙 AC 上,这时梯子 下端 B 与墙角 C 之间的距离是 4 米,将梯子的底端 B 向 C 方向 挪动 1 米(BB′= 1),求梯子的顶端向上移动了多少米(即求 AA′ 的长)? 11. (9 分)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城 街路上行驶速度不得超过 70 km / h. 如图,一辆小汽车在一条城 市街路上直线行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 30 m 的 C 处,过了 2 s 后,测得 B 处小汽车与车速 检测仪间距离为 50 m,这辆小汽车超速了吗? (参考数据转换: 1 m / s = 3. 6 km / h) 12. 学习情境·过程性学习 (11 分)著名的赵爽弦图(如图①,其中 四个直角三角形较长的直角边长都为 a,较短的直角边长都为 b,斜边长都为 c),大正方形的面积可以表示为 c2,也可以表示 为 4× 1 2 ab+(a-b) 2,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角 形两条直角边长为 a,b,斜边长为 c,则 a2 +b2 = c2 . 图① 　 　 图② 　 　 图③ (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利 用图②推导勾股定理; (2)如图③,在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C,河边原有 两个取水点 A、B,AB=AC,由于某种原因,由 C 到 A 的路现在已 经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H (A、H、B 在同一条直线上),并新修一条路 CH,且 CH⊥AB. 测 得 CH= 0. 8 千米,HB= 0. 6 千米,求新路 CH 比原路 CA 少多少 千米? (3)小明继续思考研究,发现了三角形已知三边的长,可求高的 一种方法. 他是这样思考的,在第(2)问中若 AB≠AC 时,CH⊥ AB,AC= 10,BC= 17,AB= 21,设 AH= x,可以求 CH 的值,请帮小 明写出求 CH 的过程. 专项 2 　 　 　 　 　郑州专版·八年级数学·上册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·上册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·上册　 第 3 页 追梦专项二　 实数 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 下列各数中,是无理数的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. - 2 B. 1 7 C. -0. 3 D. 0 2. 下列二次根式中,是最简二次根式的是(　 　 ) A. 0. 2 B. 1 2 C. 6 D. 12 3. 下列二次根式与 2是同类二次根式的是(　 　 ) A. 12 B. 8 C. 20 D. 27 4. 下列计算结果正确的是(　 　 ) A. 2 + 5 = 7 B. 2 5 = 5 10 C. 2 × 5 = 10 D. 3 2 - 2 = 3 5. 如果实数 m 没有平方根,那么 m 可以是(　 　 ) A. -32 B. | -3 | C. ( -3) 2 D. -( -3) 6. 下列说法:①3. 141 59 是无理数;②平方根等于自身的数是 0;③ 10在两个连续整数 a 和 b 之间,那么 a+b = 7;④若 3 2x+1 与 3 3y-1互为相反数,则 2x+3y= 0,其中正确说法的个数为(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 7. 数学思想·数形结合 如图所示,数轴上有 A,B,C,D 四点,则其所 表示的数与 5- 11最接近的是(　 　 ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 8. 若 a + 3 = 3 3 ,则 a= 　 　 　 　 . 9. 比较大小: 13 　 　 　 　 2 3 . (填“ >”“ = ”或“ <”) 10. 新趋势·结论开放 若无理数 a 满足:-4<a<-1,请你写出你熟悉 的一个无理数:　 　 　 　 . 11. 如果实数 x、y 满足 | x-1 | + y-2 = 0,则 x-y= 　 　 　 　 . 12. 任何实数 a,可用[a] 表示不超过 a 的最大整数,如[ 4] = 4, [ 3 ] = 1,现对 72 进行如下操作: 72 第一次 →[ 72 ] = 8 第二次 →[ 8 ] = 2 第三次 →[ 2 ] = 1,这样对 72 只需进行 3 次操作后变为 1,类似地. (1)对 85 只需进行　 　 　 　 次操作后变为 1; (2)只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中,最大的 是　 　 　 　 . 三、解答题(共 39 分) 13. (每小题 4 分,共 8 分)计算: (1) 27 - 60 3 +2 5 ; (2)(3 2 + 3 )(3 2 - 3 ) -(1- 5 ) 2 . 14. (10 分)已知 x= 1-2a,y= 3a-4. (1)已知 x 的算术平方根为 3,求 a 的值; (2)如果 x、y 都是同一个数的平方根,求这个数. 15. (10 分)小李同学探索 137的近似值的过程如下: ∵ 面积为 137 的正方形的边长是 137且 11< 137 <12, ∴ 设 137 = 11+x,其中 0<x<1,画出示意图,如图所示. 根据示意图,可得图中正方形的面积 S正方形 = 112 +2×11·x+x2,又∵ S正方形 = 137, ∴ 112 +2×11·x+x2 = 137. 当 x2 <1 时,可忽略 x2,得 22x+121≈137,得到 x≈0. 73,即 137 ≈11. 73. (1)写出 249的整数部分的值; (2)仿照上述方法,探究 249 的近似值. (画出示意图,标明数 据,并写出求解过程) 16. 学习情境·规律探究 (11 分)观察下列式子: ①3 8 + 3 -8 = 2+( -2)= 0; ②3 1 + 3 -1 = 1+( -1)= 0; ③ 3 1 000 + 3 -1 000 = 10+( -10)= 0; ④ 3 1 27 + 3 - 1 27 = 1 3 +( - 1 3 )= 0. 根据上述等式反映的规律,回答如下问题: (1)根据上述等式的规律,写出一个类似的等式:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)由等式①,②,③,④所反映的规律,可归纳出一个这样的结 论:对于任意两个不相等的有理数 a、b,若　 　 　 　 ,则3 a +3 b = 0,反之也成立; (3)根据(2)中的结论,解答问题:若 3 6-2x与 3 x+1 的值互为相 反数,求 x 的值. W 最小,W= 55-9 = 46(元) . ∴ 买 9 枝康乃馨,2 枝百 合费用最少,最少费用为 46 元. 第六章　 数据的分析 1. 解:(1)a=(75+80+85+85+100)÷5= 85,b= 85,c= 80; (2)初中部和高中部成绩的平均数相等,但初中部成 绩的中位数大于高中部成绩的中位数,∴ 初中部的 决赛成绩较好; (3) s2初中 = 1 5 ×[(75-85) 2 +(80-85) 2 +(85-85) 2 ×2+ (100-85) 2] = 70. ∵ s2初中 <s 2 高中,∴ 初中代表队选手成 绩较为稳定. 第七章　 平行线的证明 1. C 2. C　 【解析】A. ∵ ∠1 = ∠4,∴ AB∥CD,故选项错误; B. ∵ ∠2 = ∠3,∴ BC∥AD,故选项错误;C. ∵ ∠BCD+ ∠ADC= 180°,∴ AD∥BC,故选项正确;D. ∵ ∠CBA+ ∠C= 180°,∴ AB∥CD,故选项错误. 故选 C. 3. B　 【解析】∵ AB∥CD,∠BAE= 75°,∴ ∠EFC = ∠BAE = 75°, ∵ ∠DCE = ∠AEC + ∠EFC, ∠AEC = 35°, ∴ ∠DCE= 110°. 故选 B. 4. ②③ 5. 30 　 【解析】 ∵ ∠ACB = 90°,∠A = 30°,∴ ∠ABC = 180°- 90° - 30° = 60°,∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠EBC = 1 2 ∠ABC= 30°,∵ DC∥BE,∴ ∠BCD= ∠EBC= 30°. 6. (1)证明:∵ CD 平分∠ACB,∴ ∠DCB = ∠1. ∵ ∠1 = ∠D,∴ ∠DCB= ∠D,∴ DF∥BC; (2)解:∵ DF∥BC,∴ ∠B = ∠DFE = 36°. ∵ ∠A = 40°, ∴ ∠ACB = 180° - 40° - 36° = 104°, 又 ∵ CD 平 分 ∠ACB,∴ ∠1 = 1 2 ∠ACB = 52°, ∴ ∠2 = 180° - 40° - 52° = 88°. 7. (1)证明:过点 P 向右作 PH∥AB,∵ AB∥CD,∴ AB∥ PH∥CD, ∴ ∠BPH = ∠B, ∠HPD = ∠D, ∠BPH + ∠HPD= ∠B+∠D,即∠BPD= ∠B+∠D; (2)解:∠BPD= ∠BQD+∠QBP+∠D;　 【解析】∵ AB ∥CD,∴ ∠ABQ = ∠BQD,∴ ∠ABP = ∠ABQ+∠QBP = ∠BQD+ ∠QBP,由(1) 的结论得:∠BPD = ∠ABP + ∠D,∴ ∠BPD= ∠BQD+∠QBP+∠D; (3)解:65° 　 【解析】由题可得∠AMB = ∠A + ∠B + ∠E,∵ ∠AMB = 140°,∴ ∠A+∠B+∠E = 140°①,∵ ∠ANF= 105°,∴ ∠ENF = 180°-∠ANF = 75°,由题可 得∠ENF= ∠B+∠E+∠F,∴ ∠B+∠E+∠F = 75°②, ①-②得:∠A-∠F= 140°-75° = 65°. 追梦专项一　 勾股定理 一、选择题 1. A　 2. B　 3. C 4. A 　 【解析】 连 接 AD, 则 AD = AB = 3, AE = 2, 在 Rt△AED 中,AE2 +DE2 =AD2,所以 DE= 5 . 故选 A. 5. D 　 【解析】 在 Rt △ABD 中,由 勾 股 定 理 得 BD = AB2 -AD2 = 12. 在 Rt△ACD 中,由勾股定理得 CD = AC2 -AD2 = 3,分两种情况:①当 AD 在△ABC 的内 部时,BC=BD+CD = 12+3 = 15,则 S△ABC = 1 2 BC×AD = 1 2 ×15×4 = 30;②当 AD 在△ABC 的外部时,BC =BD- CD= 12-3 = 9,则 S△ABC = 1 2 BC×AD = 1 2 ×9×4 = 18. 综 上所述,△ABC 的面积为 30 或 18. 故选 D. 6. D　 【解析】设绳索 AD 的长度为 x m,则 AE = x m,AB =AD+BD= (x+0. 4)m,∵ CD =BC-BD =EF-BD = 1. 4 -0. 4 = 1(m),∴ AC = AD-CD = ( x- 1) m,由题意得: ∠ACE= 90°,在 Rt△ACE 中,由勾股定理得:CE2 +AC2 =AE2,即 32 +(x- 1) 2 = x2,解得:x = 5,∴ x+ 0. 4 = 5 + 0. 4 = 5. 4(米),即立柱 AB 的高度为 5. 4m. 故选 D. 二、填空题 7. 4　 【解析】∵ 图中大正方形 ABCD 的面积为 34,直角 三角形较短的直角边长 AH 为 3,由勾股定理得,AH2 +DH2 =AD2,即 32 +DH2 =AD2 = 34,∴ DH2 = 25,∴ DH= 5(负值舍弃),∴ 中间小正方形 EFGH 的面积为(5- 3) 2 = 4. 8. 56　 【解析】BC = AB2 -AC2 = 24,由图形可以看出, 五个小直角三角形的直角边经过平移可以得到大直 角三角形的直角边,∴ 五个小直角三角形的周长 = 大 直角三角形的周长= 24+25+7 = 56. 9. 100cm　 【解析】由图可知,彩带从 易拉罐底端的 A 处绕易拉罐 4 圈 后到达顶端的 B 处,将易拉罐表 面切开展开呈长方形,则螺旋线长 为四个长方形并排后的长方形的 对角线长,AD= 24cm,JD = 7cm,∴ AJ2 = 242 +72 = 252, 25×4 = 100(cm),所以彩带最短是 100cm. 三、解答题 10. 解:由题意可得,AC = AB2 -BC2 = 3 米,B′C = BC- BB′= 4-1 = 3(米),A′B′= AB = 5 米,设 A′C = x 米,在 Rt△A′CB′中,A′C2 +B′C2 =A′B′2,∴ x= 4,∴ AA′= A′C -AC= 1 米,答:梯子的顶端向上移动了 1 米. 11. 解:在 Rt△ABC 中,AC = 30m,AB = 50m;根据勾股定 理可得:BC= AB2 -AC2 = 40 米,∴ 小汽车的速度为 v= 40 2 = 20(m / s)= 72(km / h) . ∵ 72>70,∴ 这辆小汽 车超速行驶. 答:这辆小汽车超速了. 12. 解:(1)梯形 ABCD 的面积为 1 2 (a+b)(a+b)= 1 2 a2 + ab+ 1 2 b2,也可以表示为 1 2 ab+ 1 2 ab+ 1 2 c2,∴ 1 2 ab+ 1 2 ab+ 1 2 c2 = 1 2 a2 +ab+ 1 2 b2,即 a2 +b2 = c2; (2)设 AB=AC= x 千米,∴ AH = AB-BH = (x-0. 6)千 米,∵ CH⊥AB,∴ ∠CHA = 90°,在 Rt△ACH 中,根据 勾股定理得:CA2 =CH2 +AH2,∴ x2 = 0. 82 +(x-0. 6) 2, 解得 x= 5 6 ,即 CA= 5 6 千米,∴ CA-CH = 5 6 -0. 8 = 1 30 (千米),答:新路 CH 比原路 CA 少 1 30 千米; 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学上　 第 3 页 (3)∵ AH= x,∴ BH=AB-AH= 21-x,∵ CH⊥AB,AC = 10,BC = 17,AB = 21,根据勾股定理:在Rt△ACH 中, CH2 = CA2 -AH2,在 Rt △BCH 中,CH2 = CB2 -BH2,∴ CA2 -AH2 =CB2 -BH2,即 102 -x2 = 172 -(21-x) 2,解得:x = 6,∴ AH= 6,∴ CH= CA2 -AH2 = 102 -62 = 8. 追梦专项二　 实数 一、选择题 1. A　 2. C　 3. B 4. C　 【解析】A. 2 与 5 不能合并为一项;B. 2 5 = 10 5 ; D. 3 2 - 2 = 2 2 . 故选 C. 5. A 6. C　 【解析】3. 14159 是有限小数,故它是有理数,故① 错误;平方根等于自身的数是 0,故②正确;∵ 9<10< 16,∴ 3< 10 <4,∴ a = 3,b = 4,∴ a+b = 3+4 = 7,故③ 正确;∵ 3 2x+1 与 3 3y-1 互为相反数,∴ 2x+1 与 3y -1 互为相反数,∴ 2x+1+3y-1 = 0,∴ 2x+3y = 0,故④ 正确. 故选 C. 7. D 二、填空题 8. 12　 【解析】由题意可得 a = 3 3 - 3 = 2 3 = 12 , 故 a= 12. 9. > 10. - 2 (答案不唯一) 11. -1　 12. (1)3　 (2)255 三、解答题 13. 解:(1)原式= 3- 20 +2 5 = 3-2 5 +2 5 = 3; (2)原式= 18-3-(1 + 5 - 2 5 ) = 15 -(6 - 2 5 ) = 9 + 2 5 . 14. 解:(1)由题意可得, x = 3,∴ x= 9,∴ 1-2a = 9,解得 a= -4; (2)由题意可得,分两种情况:①x = y,则 1-2a = 3a- 4. 解得 a= 1,∴ x= y= -1,∴ x2 = 1. 这个数是 1. ②x+ y = 0,则 1-2a+3a-4 = 0,解得 a= 3. 则 x= 1-2a= -5, ∴ x2 = 25. ∴ 这个数为 25. 综上,这个数为 1 或 25. 15. 解:(1) ∵ 225 < 249 < 256 ,∴ 15 < 249 < 16, ∴ 249 的整数部分是 15; (2)示意图如图所示: ∵ 面积为 249 的正方形的边长是 249 ,且 15 < 249 <16,∴ 设 249 = 15+x,其中 0<x<1,根据示 意图,可得图中正方形的面积 S正方形 = 15×15+2×15 ·x+x2,又∵ S正方形 = 249,∴ 15 2 +2×15·x+x2 = 249, 当 x2 <1 时,可忽略 x2,得 30x+ 225≈249,得到 x = 0. 8,即 249 ≈15. 8. 16. 解:(1) 3 64 + 3 -64 = 4+( -4)= 0(答案不唯一) (2)a+b= 0 (3)由题意得,6-2x+x+1 = 0,解得 x= 7. 追梦专项三　 位置与坐标 一、选择题 1. D　 2. C　 3. A　 4. B 5. C　 【解析】由题意得,a,b 同号,又∵ a+b<0,所以 a< 0,b<0,故 P 点在第三象限. 故选 C. 6. D　 【解析】∵ 点 P 到 x 轴的距离为 4,∴ P 点的纵坐 标是 4 或-4. ∵ 点 P 的横坐标是-3,∴ P 点的坐标是 (-3,4)或(-3,-4) . 故选 D. 7. B 8. C　 【解析】由题意可得,-n = -m+1,所以 m-n = 1,所 以(m-n) 2024 = 1. 故选 C. 二、填空题 9. ( -3,1)(答案不唯一) 10. ( -3,2)　 11. (5,210°) 12. 4　 【解析】由题意得,点 A 是直线 l:x = a 上的一点, 点 B(4,6),且线段 AB 有最小值,此时 xA = xB = 4. 三、解答题 13. 解:(1)平面直角坐标系如图所示; (2) 如图所示, △A′ B′ C′即为所求, C′ 的坐标为 ( -5,5); (3)△ABC 是直角三角形,理由:AB2 = 12 +22 = 5,AC2 = 22 +42 = 20,BC2 = 32 +42 = 25. ∴ AB2 +AC2 = BC2,∴ △ABC 为直角三角形. 14. 解:(1)6　 8 (2)36 (3)∵ 点 C 在第三象限,∴ m<0,连接 OC,则 S△ABC = S△AOB+S△AOC +S△BOC = 1 2 × 6 × 8 + 1 2 × 6 × | m | + 1 2 × 8 × | -3 | = 36-3m. 15. 解:(1)如图所示,点 A、B、C、D、M、N 即为所求; (3,2)　 (1,-2) (2)①( a+c 2 , b+d 2 )　 ②( -1,2) (3)分类讨论: ①HE 与 FG 中点重合时,则 4+x 2 = -3-1 2 , -2+y 2 = -1-4 2 ,∴ x = - 8,y = - 3,此时 H( - 8, -3);②HF 与 EG 中点重合时,则 -3+x 2 = 4 -1 2 , -1+y 2 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学上　 第 4 页