试卷3 濮阳2023-2024学年上学期期末考试试卷-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

14. 50%　 【解析】设进馆人次的月平均增长率为 x,则 128+128(1 +x) + 128(1 +x) 2 = 608,解得 x = 0. 5 = 50%或 x= -3. 5(舍去) . 15. 3 2 + π 12 　 【解析】∵ ∠ACB= 90°,AC = 1,∠A = 60°,∴ AB=AF= 2AC= 2,BC = CE = AB2 -AC2 = 3 ,∴ S阴 = S△ACB+ S扇形CBE - S扇形 ABF = 1 2 × 1 × 3 + 90×π×( 3 ) 2 360 - 60×π×22 360 = 3 2 + π 12 . 三、解答题 16. 解:(1)移项得 x2 +4x = 10,配方得 x2 + 4x+ 22 = 10 + 22,( x + 2) 2 = 14, 根据平方根的意义, 得 x + 2 = ± 14 ,即 x1 = -2+ 14 ,x2 = -2- 14 ; (2)方程化为 x2 +4x+3 = 0. 移项得 x2 +4x = -3,配方 得 x2 +4x+22 = - 3 + 22,( x+ 2) 2 = 1 根据平方根的意 义,得 x+2 = ±1,即 x1 = -1,x2 = -3. 17. 解:(1)关于 x 的一元二次方程 x2 -2(a-1)x+a2 -a- 2 = 0 有两个不相等的实数根,Δ = [ - 2 ( a - 1)] 2 - 4(a2 -a-2) >0,解得:a<3; (2)∵ x1 +x2 = 2(a-1),x1x2 = a 2 -a-2,∵ x21 +x 2 2 -x1x2 = 16,∴ (x1 +x2) 2 -3x1x2 = 16,∴ [2(a-1)] 2 -3(a2 -a- 2)= 16,解得:a1 = -1,a2 = 6,∵ a<3,∴ a= -1. 18. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求. 19. 解:(1)∵ M( - 2,m) 在一次函数 y1 = -x- 1 的图象 上,代入得:m= -( - 2) - 1 = 1,∴ M 的坐标是( - 2, 1),把 M 的坐标代入 y= k x 得:k = -2,即反比例函数 的解析式是:y2 = - 2 x ; (2)当 x= 0 时,y1 = -1,即 B 的坐标是(0,-1),所以 OB= 1,∵ M 的坐标是( -2,1),∴ 点 M 到 OB 的距离 是 2,∴ △MOB 的面积是 1 2 ×1×2 = 1. 20. 解:(1)由题意设抛物线解析式为:y=ax2 +b(a≠0), ∵ 当拱顶离水面 2m 时,水面宽 4m,将点 C(0,2),B (2,0)代入解得 a = - 1 2 b= 2 { ,故拱桥的解析式为 y= - 12 x2 +2; (2)当水位下降 1m 时,水位纵坐标为-1,将 y = -1 代入解得 x= ± 6 ,所以水面宽度为 6 -( - 6 )= 2 6 m. 21. 解:(1)设每件衬衫应降价 x 元,则依题意得(40-x) (20+2x)= 1200,解得 x1 = 10,x2 = 20,答:若商场平 均每天盈利 1200 元,每件衬衫应降价 10 元或 20 元; (2)设每件衬衫降价 x 元时,商场平均每天盈利最 多为 y,则 y= (40-x) (20+2x) = -2( x-15) 2 +1250, ∵ -2≤0,∴ x= 15 时,盈利最多,此时 y= 1250. 答:每件衬衫应降价 15 元,最大利润为 1250 元. 22. 解:(1)在同圆中,相等的弧所对的弦相等　 圆内接 四边形的对角互补 (2)∵ ∠CEA+ ∠CEB = 180°,∴ ∠CFB = ∠CEB. 在 △CFB 和 △CEB 中, ∠CFB= ∠CEB ∠CBF= ∠CBA BC=BC { , ∴ △CFB ≌ △CEB(AAS),∴ BF=BE. 23. 解:(1)BD=CE (2)①BD = CE,BD⊥CE,证明:∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°,∴ ∠BAD = ∠CAE,在△BAD 和△CAE 中,∵ AB = AC, ∠BAD = ∠CAE,AD = AE, ∴ △BAD≌ △CAE (SAS),∴ BD = CE,∠ABD = ∠ACE,∵ ∠BAC = 90°, ∴ ∠ABD+ ∠AFB = 90°,∴ ∠ACE + ∠AFB = 90°, ∵ ∠AFB= ∠MFC,∴ ∠ACE+∠MFC= 90°,∴ ∠FMC = 90°,∴ BD⊥CE; ②45°或 135° 　 【解析】∵ AD = AE,∠DAE = 90°,∴ ∠ADE= 45°,当点 D 在 CE 上时,如图 1,由①知,BD ⊥CE,∴ ∠BDE = 90°,∴ ∠ADB = ∠BDE- ∠ADE = 45°,当点 D 在线段 CE 的延长线上时,如图 2,由① 知,BD⊥ CE,∴ ∠BDE = 90°, ∴ ∠ADB = ∠BDE + ∠ADE= 135°,即满足条件的∠ADB 的度数为 45°或 135°. 图 1 　 　 　 图 2 濮阳第一学期期末考试试卷 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A B D B D D A C 1. C　 2. C 3. A　 【解析】∵ Δ = 32 -4×1×(-2)= 17>0,∴ 方程有两 个不相等的实数根. 故选 A. 4. B　 【解析】y= x2 -4x+1 = (x-2) 2 -3,∴ 抛物线顶点坐 标为(2,-3) . 故选 B. 5. D　 【解析】∵ BD 是☉O 的直径,∴ ∠BAD = 90°, ∵ AB ( =AD ( , ∴ ∠B = ∠D = 45°, ∵ ∠DAC = 1 2 ∠COD = 1 2 ×130° = 65°, ∴ ∠AGB = ∠DAC+∠D = 65° + 45° = 110°. 故选 D. 6. B 7. D　 【解析】长度相等的弧不一定是等弧,故②说法错 误;④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆, 故④说法错误. 故选 D. 8. D　 【解析】A 选项中阴影部分的面积为 3,B 选项中, 阴影面积为 1 2 ×3 = 1. 5,C 选项中,阴影面积为 2× 1 2 × 3 = 3,D 选项中,阴影面积为 4× 1 2 ×3 = 6. 故选 D. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 15 页 9. A　 【解析】∵ 函数 y = ax+b 的图象经过第一、二、三 象限,∴ a>0,b>0,∴ 二次函数 y = ax2 +b 的开口方向 向上,对称轴是 y 轴,顶点坐标是(0,b) . 故选 A. 10. C　 【解析】若∠ACD = ∠B,∠A = ∠A,则△ACD∽ △ABC,故选项 A 不符合题意;若∠A = ∠A,∠ADC = ∠ACB,则△ACD∽△ABC,故选项 B 不合题意;AC2 = AD·AB,即 AC AD =AB AC ,若∠A= ∠A, AC AD =AB AC ,则△ACD∽ △ABC,故选项 D 不合题意. 故选 C. 二、填空题 11. k<2　 【解析】由题意得 k-2<0,解得 k<2. 12. 68　 【解析】过点 A 作 AE⊥PC 于点 E,过点 B 作 BF ⊥QD 于点 F,∵ AC =BD = 56,∠PCA = ∠BDQ = 30°, ∴ AE= 1 2 AC= 28,由对称性可知:BF = AE,∴ 两机箱 之间的宽度为 2AE+AB= 56+12 = 68(cm) . 13. 2 -1　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = BC, 延长 CB 到 D,使 BD = AB,连接 AD,在 Rt△ABC 中, ∵ AC=BC,∴ ∠ABC= 45°,AB = 2 AC. ∵ BD = AB,∴ ∠D= ∠BAD,∵ ∠ABC = ∠D+∠BAD = 45°,∴ ∠D = 22. 5°. 在 Rt △ACD 中, tanD = tan22. 5° = AC CD = AC AC+ 2AC = 1 1+ 2 = 2 -1. 14. ②④　 【解析】①图象开口向下,可知 a<0,故①错 误;②对称轴在 y 轴右侧,x= -1+3 2 = 1,则有- b 2a = 1, 即 2a+b= 0,故②正确,③当 x= -1 时,y= 0,则 a-b+c = 0,根据 2a+b= 0,可得:b= -2a,∴ c= -a+b = -a-2a = -3a,∴ 4a-2b+c= 4a-2(-2a) -3a = 5a<0,故③错 误;④由图可知,当-1<x<3,y>0,故④正确. 15. -18　 【解析】∵ NQ∥MP∥OB,∴ △ANQ∽△AMP∽ △AOB,∵ M、N 是 OA 的三等分点,∴ AN AM = 1 2 , AN AO = 1 3 ,∴ S△ANQ S△AMP = 1 4 ,∵ 四边形 MNQP 的面积为 3,∴ S△ANQ 3+S△ANQ = 1 4 ,∴ S△ ANQ = 1,∵ 1 S△AOB = ( AN AO ) 2 = 1 9 ,∴ S△ AOB = 9,∴ | k | = 2S△ AOB = 18,∴ k= -18. 三、解答题 16. 解:( 1) 5 x2 = 10,整理得 x2 = 2,解得 x1 = 2 ,x2 = - 2 ; (2)原式= 3 2 × 3 -( 2 2 ) 2 + 2 × 2 2 = 3 2 - 1 2 +1 = 2. 17. (1)证明:∵ Δ = b2 -4ac= 4m2 -4(m2 -3)= 12>0,∴ 无 论 m 为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)解:由根与系数的关系,得 p+q= -2m,pq=m2 -3, ∵ pq-p-q= 0,∴ m2 -3+2m= 0,解得 m1 = -3,m2 = 1. 18. 解:(1)如果亮亮抽出的牌面数字是 4,那么爸爸从 剩下的三张牌面数字分别是 2、3、5 的扑克牌中抽出 的牌面数字是 5 的概率为 1 3 ,∴ 他们去乌镇的概率 为 2 3 ; (2)画树状图如下:由树状图可知,共有 12 种等可 能的结果,其中两人的牌面数字之和大于 7 的结果 有:(3,5),(4,5),(5,3),(5,4),共 4 种,两人的牌 面数字之和小于等于 7 的结果有:( 2,3),( 2,4), (2,5),(3,2),(3,4),(4,2),( 4,3),( 5,2),共 8 种,∴ 他们去千岛湖的概率为 4 12 = 1 3 ,他们去乌镇的 概率为 8 12 = 2 3 ,∵ 1 3 < 2 3 ,∴ 他们去乌镇的概率大. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概 率. 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结 果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两 步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回试验还 是不放回试验. 19. (1)证明:连接 OA,OB,∵ PA 是☉O 的切线,∴ PA⊥ OA,∴ ∠OAP= 90°,∵ OB = OA,PB = PA,OP = OP,∴ △OBP≌△OAP( SSS),∴ ∠OBP = ∠OAP = 90°,∵ OB 是☉O 的半径,且 PB⊥OB,∴ PB 是☉O 的切线; (2)解:设☉O 的半径为 r,∵ PM = 2OM,∴ OP = 2OM +OM= 3OM = 3r,∵ OA2 +PA2 = OP2,PA = 4 2 ,∴ r2 + (4 2 ) 2 = (3r) 2,r1 = 2,r2 = -2(不符合题意,舍去), ∴ ☉O 的半径为 2. 20. 解:(1)所求抛物线的对称轴为直线 x= 1 2 ,且过点 A ( -2,0),∴ b 2 = 1 2 -4-2b+c= 0 { ,解得 b= 1c= 6{ ,∴ 该抛物线的 函数表达式为 y= -x2 +x+6; (2)令 x= 0,得 y= 6,∴ C(0,6) . 当 A′C′在 x 轴上方 时,C′与点 C 关于抛物线的对称轴 x= 1 2 对称,CC′= 1,则点 A′坐标为( -1,0) (舍去);当 A′C′在 x 轴下 方时,令 y= -6,则-x2 +x+6 = -6,解得 x1 = 4,x2 = -3 (舍去),∴ A′坐标为(4,-6),∴ AA′= 6 2 . 21. 解:(1)该商品销售量 y 与 x 之间的函数关系为 y = 80-2(x-40),即 y= 160-2x(x>40); (2)根据题意得:(x-30) (160-2x) = 1200,整理得: x2 -110x+3000 = 0,解得:x1 = 50,x2 = 60,又∵ 要尽可 能让利于顾客,∴ x= 50,答:每个毛绒玩具售价应定 为 50 元; (3)设获得的利润为 w,则 w = ( x-30) (160-2x) = -2(x-55) 2 + 1250,若获利不得超过进价的 80%即 x-30 30 ≤80%,解得 x≤54,在对称轴 x = 55 左侧 w 随 着 x 的增大而增大,∴ 当 x = 54 时 w 最大,w = - 2 × (54-55) 2 +1250 = 1248. 答:每个毛绒玩具售价为 54 元时获利最大,最大利润为 1248 元. 22. 解:(1)③　 【解析】∵ 应构造面积是(x+x-4) 2 的大 正方形,其中四个全等的小矩形面积分别为 x(x-4) = 21,中间的小正方形面积为 42 ,∴ 大正方形的面积 又可表示为 4 × 21 + 42 = 100,∴ 大正方形的边长为 10,所以 x+x-4 = 10,∴ x= 7,故正确构图是③; (2)如图所示的图形,图中的大正方形面积是(x+x- 2) 2,其中四个全等的小矩形面积分别为 x(x-2) = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 16 页 15,中间的小正方形面积为 22,所以大正方形的面 积又可表示为 4×15+22 = 64,进一步可知大正方形 的边长为 8,所以 x+x-2 = 8,得 x= 5. (3)x2 +x-12 = 0 或 x2 -x-12 = 0　 【解析】由图①可 设对应的方程为 x(x-1)= a 或 x(x+1)= a,其中 a = 7×7-1 4 = 12,∴ 图①对应的方程为 x2 +x-12 = 0 或 x2 -x-12 = 0. 23. 解:(1)BD= 3CE　 【解析】∵ AB = 3 AC,∴ BD+AD = 3 (AE+CE),又∵ AD= 3AE,解得 BD= 3CE; (2)成立,证明如下:∵ ∠BAC = ∠DAE,即∠DAB+ ∠BAE= ∠BAE+ ∠EAC,∴ ∠DAB = ∠EAC,∵ AB AC = AD AE = 3 ,∴ △BDA∽△CEA,∴ BD= 3CE; (3)当△AED 在直线 AC 上方时(图 1),∵ DE∥AC, ∴ ∠DEA = ∠EAC, ∵ AE = 1, AD = 3 AE = 3 , ∵ ∠DAE= ∠BAC= 90°,∴ DE = AD2 +AE2 = 2,∵ AC = 2,∴ DE = AC,又∵ AE = AE, ∴ △ADE≌ △ECA, ∴ ∠AEC= 90°,∴ EC = AC2 -AE2 = 3 ,∵ BD = 3 CE, ∴ BD= 3. 当△AED 在直线 AC 下方时(图 2),延长 BA,与 DE 交于点 F,∵ DE∥AC,∴ ∠AFD = 90°,∵ AD= 3AE,∠EAD= 90°,∴ ∠AEF = 60°,∴ AF = 3 2 , DF= 3 2 ,又∵ AB= 3AC= 2 3 ,∴ BF = AB+AF = 5 3 2 , ∴ BD= BF2 +DF2 = 21 . 综上 BD 长为 3 或 21 . 图 1 　 　 　 　 图 2 许昌第一学期期末教学质量检测 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B B A A C D C C 1. B　 2. D 3. B 　 【解析】由题意得:∠BOD = 50°,∵ ∠AOB = 20°, ∴ ∠AOD= 50°-20° = 30°. 故选 B. 4. B 5. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【概念回顾】三角形外接圆的圆心是三角形三条边的 垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心. 6. A　 【解析】因为△ACD 由△AOB 绕点 A 逆时针旋转 90°后得到,所以 AC=AO= 4,CD=OB= 3,所以点 C 坐 标为(-4,4),又因为 CD⊥AC,所以点 D 坐标为(-7, 4) . 故选 A. 7. C 8. D　 【解析】当 x = 2024 时,y = -1,则点(2024,-1)在 它的图象上. k = - 2024 < 0,则它的图象在第二、四象 限,当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大,当 x = 2 时,y = -1012,则当 x>2 时,-1012<y<0. 故 D 选项的说法不 正确. 故选 D. 9. C　 【解析】∵ 抛物线 y= 2x2 的顶点坐标为(0,0),y = 2x2 -4x= 2(x-1) 2 -2 的顶点坐标为(1,-2),∴ 将抛 物线 y= 2x2 先向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单 位,可得到抛物线 y= 2x2 -4x. 故选 C. 10. C　 【解析】∵ 点 P1,P2,P3,P4 在反比例函数 y = k x (x>0)的图象上,且它们的横坐标依次为 1,2,3,4,∴ P1(1,k),P2(2, k 2 ),P3(3, k 3 ),P4(4, k 4 ),∴ S1 = (k- k 2 )×1 = k 2 ,S2 = ( k 2 - k 3 ) ×(2-1)= k 6 ,S3 = ( k 3 - k 4 ) ×(3-2)= k 12 ,∵ S1 +S2 +S3 = 3,∴ k 2 + k 6 + k 12 = 3,解得: k= 4. 故选 C. 二、填空题 11. 正方形(答案不唯一) 12. 3 13. 65　 【解析】 因为点落入黑色部分的频率稳定在 0. 65 左右,所以可以估计黑色部分的总面积为 10× 10×0. 65 = 65(cm2) . 14. 50　 【解析】设∠AOB= n°,由题意 nπ·10 180 = 20,∴ nπ = 360,∴ CD ( 的长= nπ·25 180 = 50(cm) . 15. 14 9 　 【解析】水面所在的直线 AB 为 x 轴,以过拱顶 C 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系, O 为原点,由题意可得:AO=OB = 3 米,C 坐标为(0, 2),通过以上条件可设顶点式 y = ax2 +2,把 A 点坐 标(-3,0)代入抛物线解析式得,9a+2 = 0,解得:a = - 2 9 ,所以抛物线解析式为 y= - 2 9 x2 +2,当 x= 4 时,y = - 2 9 × 16 + 2 = - 14 9 ,∴ 水面下降 14 9 米时,水面宽 8 米. 三、解答题 16. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求,其中点 C1 的 坐标为( -2,-1); (2)如图所示,△A2B2C1 即为所求. 17. 解:∵ 使这个方程有两个不相等的实数根,∴ b2 -4ac >0,即 b2 >4c,∴ ②③均可,选②解方程,则这个方程 为:x2 +5x+6 = 0,∴ (x+2)(x+3)= 0,∴ x+2 = 0 或 x+ 3 = 0,∴ x1 = -2,x2 = -3. (或者:选③解方程,则这个 方程为:x2 +4x-2 = 0,∴ x2 +4x = 2,x2 +4x+4 = 6,即(x +2) 2 = 6,∴ x1 = -2+ 6 ,x2 = -2- 6 . ) 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 17 页 情境期末·九年级数学　 第 1 页 情境期末·九年级数学　 第 2 页 情境期末·九年级数学　 第 3 页 　 　 　 　 试卷 3 濮阳第一学期期末考试试卷 测试范围:九上-九下 28 章　 　 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 以下是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志,其中为中心对称图形的是(　 　 ) A. 　 　 　 　 　 　 B. 　 　 　 　 　 　 C. 　 　 　 　 　 　 D. 2. 一元二次方程x2 = 2 024x 的解是(　 　 ) A. x= 0 B. x= 2 024 C. x1 = 0,x2 = 2 024 D. x= -2 024 3. 一元二次方程 x2 +3x-2 = 0 根的情况为(　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 4. 二次函数 y= x2 -4x+1 的图象的顶点坐标是(　 　 ) A. (0,-1) B. (2,-3) C. ( -2,3) D. (2,3) 5. 如图,BD 是☉O 的直径,点 A,C 在☉O 上,AB ( =AD ( ,AC 交 BD 于点 G. 若∠COD = 130°,则∠AGB 的 度数为(　 　 ) A. 99° B. 108° C. 117° D. 110° 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 6. 在如图所示的电路中,随机闭合开关 S1、S2、S3 中的两个,能让灯泡 L1 发光的概率是(　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 4 7. 给出下列说法:①半径相等的圆是等圆;②长度相等的弧是等弧;③以 2 cm 长为半径的圆有无数 个;④平面上任意三点能确定一个圆,其中正确的有(　 　 ) A. ②④ B. ①②③④ C. ①③④ D. ①③ 8. 下面四个图中反比例函数的表达式均为 y= 3 x ,则阴影部分的图形的面积为 6 的有(　 　 ) A. 4 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个 9. 若函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限,则二次函数 y=ax2 +b 的大致图象是(　 　 ) A. B. C. D. 10. 如图,D 是△ABC 边 AB 上一点,添加一个条件后,仍不能使△ACD∽△ABC 的是 (　 　 ) A. ∠ACD= ∠B B. ∠ADC= ∠ACB C. AD AC =CD BC D. AC2 =AD·AB 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 反比例函数 y= k -2 x ,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,则 k 的取值范围 . 12. 如图①是某市地铁入口的双闸门,如图②,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距 离为 12 cm,双翼的边缘 AC=BD= 56 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA= ∠BDQ= 30°,求当双翼收起 时,两机箱之间的宽度为 cm. ① 　 　 　 　 　 ② 13. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法,在计算 tan15°时,如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠ABC= 30°,延长 CB,使 BD=AB,连接 AD,使得∠D= 15°,所以 tan15°= AC CD = 1 2+ 3 = (2- 3 ) (2+ 3 )(2- 3 ) = 2- 3 ,类比这种方法,计算 tan22. 5° = . 第 13 题图 　 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 　 　 第 15 题图 14. 如图为二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象,则下列说法正确的有 . (填序号) ①a>0;②2a+b= 0;③4a-2b+c>0;④当-1<x<3 时,y>0. 15. 如图,△ABO 的顶点 A 在函数 y= k x 的图象上,∠ABO= 90°,过 AO 边的三等分点 M、N 分别作 x 轴 的平行线交 AB 于点 P、Q. 若四边形 MNQP 的面积为 3,则 k 的值为 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分) 16. (8 分) (1)解方程:5x2 -10 = 0; (2)计算:cos30°·tan60°-sin245°+ 2 cos45°. 17. (9 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 +2mx+m2 -3 = 0. (1)求证:无论 m 为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程的两个根为 p 和 q,且满足 pq-p-q= 0,求 m 的值. 18. (9 分)2023 年 9 月 23 日晚,“第 19 届亚运会”开幕式在我国杭州隆重举行. 亮亮和爸爸到杭州除 了观看精彩比赛外,还想游览杭州的美景. 由于时间关系,原计划去的乌镇和千岛湖只能去一个地 方,他们决定不了. 最后亮亮提出用抽扑克牌的方式来决定. 具体方法如下:把四张牌面数字分别 是 2、3、4、5 的扑克牌背面向上放置于桌面上,洗匀后,亮亮先从其中任意抽出一张,然后爸爸再从 剩下的三张中任意抽出一张,如果两人的牌面数字之和大于 7,就去千岛湖;否则,就去乌镇. (1)如果亮亮抽出的牌面数字是 4,求他们去乌镇的概率; (2)请利用画树状图或列表的方法分析他们去乌镇和千岛湖哪个地方的概率大. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 试卷 3 　 　 　 　 　 情境期末·九年级数学　 第 4 页 情境期末·九年级数学　 第 5 页 情境期末·九年级数学　 第 6 页 19. (9 分)如图,PA 是☉O 的切线,B 是☉O 上一点,且 PB=PA. (1)求证:PB 是☉O 的切线; (2)OP 交☉O 于点 M,若 PM= 2OM,PA= 4 2 ,求☉O 的半径. 20. (9 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C. 已 知 A( -2,0),该抛物线的对称轴为直线 x= 1 2 . (1)求该抛物线的函数表达式; (2)将线段 AC 平移,使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上,另一个端点在 x 轴上,若将点 A、C 平移后的对应点分别记为点 A′,C′,当 A′C′在 y 轴右侧时,求线段 AA′的长度. 21. (10 分)在杭州举办的亚运会令世界瞩目,吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓,其相关产品 成为热销产品. 某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具,进价为每个 30 元. 若毛绒玩具每个的售价是 40 元时,每天可售出 80 个;若每个售价提高 1 元,则每天少卖 2 个. (1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为 x(x>40)元,求该商品销售量 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如果每天的利润要达到 1 200 元,并且尽可能让利于顾客,每个毛绒玩具售价应定为多少元? (3)若获利不得高于进价的 80%,每个毛绒玩具售价定为多少元时,每天销售玩具所获利润最大, 最大利润是多少元? 22. (10 分)阅读下列材料,并解答问题: 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月. 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两 千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中. 到了中世纪,阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代 数学》中给出了一元二次方程的一般解法,并用几何法进行了证明. 我国古代三国时期的数学家赵 爽也给出了类似的几何解法. 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程 x2 +5x-14 = 0(x> 0),即 x(x+5)= 14(x>0)的方法. 首先构造了如图 1 所示的图形,图中的大正方形面积是(x+x+ 5) 2,其中四个全等的小矩形面积分别为 x(x+5)= 14,中间的小正方形面积为 52,所以大正方形的 面积又可表示为 4×14+52 = 81,据此易得 x= 2. (1)参照上述图解一元二次方程的方法,请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程 x2 -4x- 21 = 0(x>0)的正确构图是 ;(从序号①②③中选择) (2)请你结合上述问题的学习,在图 2 的网格中设计用几何法求解方程 x2 -2x-15 = 0(x>0)的构图 (类比图 1 标明相关数据)写出解答过程; (3)构图序号①对应的方程是 . 图 1 　 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 ① 　 　 　 　 　 ② 　 　 　 　 　 ③ 23. (11 分)如图 1,在△ABC 中,∠A= 90°,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,AB= 3AC, AD= 3AE. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 (1)[发现]:线段 BD 与 CE 之间的数量关系是 ; (2)[探究]:如图 2,若△ADE 绕点 A 旋转,(1)中线段 BD 与 CE 之间的数量关系还成立吗? 若成 立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由; (3)[应用]:△ADE 绕点 A 旋转至 DE∥AC,且 AC= 2,AE= 1,求线段 BD 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋