专项1 大题抢分练(分考点针对练习解茶题)-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

情境期末·九年级数学　 第 1 页 情境期末·九年级数学　 第 2 页 情境期末·九年级数学　 第 3 页 　 　 　 　 专项 1 追梦专项一　 大题抢分练 　 一元二次方程的解法及应用 1. (8 分)解方程: (1)3x2 -6x-2 = 0;　 　 　 　 　 　 　 (2)x2 -4x= 0. 2. (8 分)已知关于 x 的方程 x2 -mx+2m-4 = 0. (1)求证:无论 m 取任何实数时,该方程总有两个实数根; (2)如果该方程的两个实数根均为正数,求 m 的最小整数值. 3. 生活情境·头盔 (9 分)(重庆三模)公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的 规定. 某头盔经销商统计了某品牌头盔 4 月份到 6 月份的销量,该品牌头盔 4 月份销售 150 个,6 月 份销售 216 个,且从 4 月份到 6 月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率; (2)若此种头盔的进价为 30 元 / 个,测算在市场中,当售价为 40 元 / 个时,月销售量为 600 个,若在 此基础上售价每上涨 1 元 / 个,则月销售量将减少 10 个,为使月销售利润达到 10 000 元,而且尽可 能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元 / 个? 　 概率的应用 4. 学习情境·美育教育 (10 分)美育是指通过培养人们认识美、体验美、感受美、欣赏美和创造美的能 力,从而使我们具有美的理想、情操、品格和素养. 某校为践行美育教育,组织全校师生开展中国名 画鉴赏活动,共 4 幅名画供师生选择. 小西和小安参加了本次活动,两人分别从这 4 幅名画中随机 选择一幅进行鉴赏. (两人选择哪一幅名画相互不受影响) A. 《清明上河图》 　 B. 《富春山居图》 　 C. 《江山秋色图》 　 D. 《渔乐图》 (1)求小西选择的是 B. 《富春山居图》的概率; (2)请用列表法或画树状图的方法求小西和小安选择同一幅名画的概率. 5. 学习情境·经典诵读 (10 分)近日,教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》, 本届大赛以“传承中华经典,庆祝建党百年”为主题,共有四类比赛,分别为:“诵读中国”经典诵读, “诗教中国”诗词讲解,“笔墨中国”汉字书写,“印记中国”印章篆刻(依次记为 A、B、C、D). 为了解 同学们参与这四类比赛的意向,某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行 了问卷调查,并将调查结果绘制成统计图(均不完整). 请根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)本次问卷调查的总人数为　 　 　 　 ; (2)请补全条形统计图; (3)学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是:组委会提供“春”“夏” “秋” “冬”四组题目,由电 脑随机给每位参赛选手派发一组,选手根据题目要求进行诗词讲解,请用列表或画树状图的方法求 甲、乙两名选手抽到的题目在同一组的概率. 　 　 　 旋转的相关计算 6. (9 分)(郑州期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点分别是 A(3,4)、B(1,2)、C(5,3) . (1)将△ABC 平移, 使得点 A 的对应点 A1 的坐标为 ( - 3, 4), 在图的坐标系中画出平移后 的△A1B1C1; (2)将△A1B1C1 绕点 C1 逆时针旋转 90°,画出旋转后的△A2B2C1 并直接写出 A2、B2 的坐标; (3)求△A2B2C1 的面积. 　 　 　 7. (11 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,∠ACB= 60°,AC= 2,点 A1,B1 为边 AC,BC 的中点,连接 A1B1,将△A1B1C 绕点 C 逆时针旋转 α(0°≤α≤360°) . (1)如图 1,当 α=0°时, BB1 AA1 =　 　 　 　 ,BB1,AA1 所在直线相交所成的较小夹角的度数为　 　 　 　 ; (2)将△A1B1C 绕点 C 逆时针旋转至图 2 所示位置时,(1)中结论是否仍然成立? 若成立,请给出 证明;若不成立,请说明理由; (3)在△A1B1C 绕点 C 逆时针旋转过程中, ①请直接写出 S△ABA1 的最大值; ②当 A1,B1,B 三点共线时,请直接写出线段 BB1 的长. 图 1 　 　 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专项 1 　 　 　 　 　 情境期末·九年级数学　 第 4 页 情境期末·九年级数学　 第 5 页 情境期末·九年级数学　 第 6 页 　 圆的相关计算 8. (10 分)如图,AB 是☉O 的直径,F 为☉O 上一点,AC 平分∠FAB 交☉O 于点 C. 过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D. (1)求证:CD 是☉O 的切线; (2)若 DC= 3,AD= 9,求☉O 半径. 9. 文化情境·历史文化 (10 分)日晷仪也称日晷,是观测日影计时的仪器. 它是根据日影的位置,指定 当时的时辰或刻数,是我国古代较为普遍使用的计时仪器. 小东为了探究日晷的奥秘,在不同时刻 对日晷进行了观察. 如图,日晷的平面是以点 O 为圆心的圆,线段 BC 是日晷的底座,点 D 为日晷与 底座的接触点(即 BC 与☉O 相切于点 D) . 点 A 在☉O 上,OA 为某一时刻晷针的影长,AO 的延长线 与☉O 交于点 E,与 BC 交于点 B,连接 AC、OC、CE,BD=CD= 3 dm,OA⊥AC. (1)求证:∠B= ∠ACO; (2)求 CE 的长. 　 　 反比例函数的综合应用 10. 生活情境·茶吧机 (10 分)如图为某新款茶吧机,开机加热时每分钟上升 20 ℃ ,加热到 100 ℃时, 停止加热,水温开始下降,此时水温 y(℃ )与通电时间 x(min)成反比例关系. 当水温降至 20℃时, 饮水机再自动加热,若水温在 20 ℃时接通电源,水温 y 与通电时间 x 之间的关系如图所示. (1)水温从 20 ℃加热到 100 ℃需要　 　 　 　 分钟; (2)在水温下降过程中,请求出反比例函数表达式; (3)求在一个加热周期内水温不低于 40 ℃的时间有多长? 　 11. (10 分)如图,过 C 点的直线 y= - 1 2 x-2 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B 两点,且 BC = AB,过点 C 作 CH⊥x 轴,垂足为点 H,交反比例函数 y= k x (x>0)的图象于点 D,连接 OD,△ODH 的面积为 6. (1)求 k 值和点 D 的坐标; (2)如图,连接 BD,OC,点 E 在直线 y = - 1 2 x-2 上,且位于第二象限内,若△BDE 的面积是△OCD 面积的 2 倍,求点 E 的坐标. 　 二次函数的综合应用 12. (10 分)如图,抛物线 y= - 1 2 x2 + 3 2 x+2 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,点 A 在点 B 的左侧,与 y 轴交 于点 C,连接 BC. (1)求点 B,C 的坐标; (2)C′是点 C 关于抛物线对称轴的对称点,D 是 BC 线段上一点,已知BD BC = 2 5 ,求直线 C′D 的解 析式; (3)若 C 关于 x 轴的对称点为M,连接 BM,N 是线段 AB 上的动点(不与点 B 重合),过点 N 作 x 轴 的垂线交抛物线于点 P,交直线 BM 于点 Q,当以 B,P,Q 为顶点的三角形与△BOM 相似时,请直 接写出点 P 的坐标. 13. 文化情境·传统文化 (10 分)如图 1 所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器. 将发石车置 于山坡底部 O 处,以点 O 为原点,水平方向为 x 轴方向,建立如图 2 所示的平面直角坐标系,将发 射出去的石块当作一个点看,其飞行路线可以近似看作抛物线 y=a(x-20) 2 +k 的一部分,山坡 OA 上有一堵防御墙,其竖直截面为 ABCD,墙宽 BC= 2 米,BC 与 x 轴平行,点 B 与点 O 的水平距离为 28 米、垂直距离为 6 米. (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为 10 米, ①求抛物线的解析式; ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙; (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部 BC 上(包括端点 B、C),求 a 的取值范围. 图 1 　 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 与以 P、B、A 为顶点的三角形相似. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【技巧点拨】设 DP= x,则 BP =BD-x = 14-x,根据垂直 的定义得到∠B = ∠D = 90°,再根据两组对应边的比 相等且夹角对应相等的两个三角形相似,分情况讨 论,然后分别解方程求出 x 即可. 11. (1)证明:∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠BAC= ∠ABC = ∠ACB= 60°,∵ ∠DAE = 120°,∴ ∠BAD+∠CAE = 60°,∵ ∠ACB 是 △ACE 的外角, ∴ ∠ACB = ∠E + ∠CAE = 60°, ∴ ∠BAD = ∠E, ∵ ∠ABC = ∠ACB = 60°,∴ ∠ABD= ∠ECA= 120°,∴ △BAD∽△CEA; (2) 解: 由 ( 1) 知 △BAD ∽ △CEA, ∴ AB CE = BD AC , ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC,∵ BD = 2,CE = 6, ∴ AB 6 = 2 AB ,∴ AB= 2 3 ,即△ABC 的边长 2 3 . 12. 解:由题意可知, ∠CED = ∠AEB, ∠CDE = ∠ABE, ∠AHB = ∠FHG, ∠FGH = ∠ABH, ∴ △CDE ∽ △ABE,△FGH∽△ABH,∴ CD AB = DE BE , FG AB = GH BH ,∴ 1. 6 AB = 2 BE , 1. 6 AB = 3. 2 BE+HE = 3. 2 BE+6 ,∴ 2 BE = 3. 2 BE+6 ,解得,BE= 10,∴ AB= 8m. 答:树的高度 AB 为 8m. 13. 解: ( 1) ∵ AD 是 △ABC 的角平分线, ∴ ∠BAD = ∠CAD,∴ ∠E= ∠CAD,∴ CA=CE,∴ AB AC =BD CD ; (2) 3 2 (3) 5 　 【解析】延长 BE 交 AD 的延长线于点 G,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB∥CD,∴ ∠GDE= ∠GAB, ∠DEG= ∠ABG,∴ △GDE∽ △GAB,∴ DG AG = DE AB ,∴ DG 4+DG = 1 3 , ∴ DG = 2, ∴ AG = 6. 在 Rt △ABG 中, ∠BAG= 90°,∴ BG = AB2 +AG2 = 3 5 . ∵ AF 平分 ∠BAG,∴ BF FG =AB AG = 1 2 ,∴ BF= 1 3 BG= 5 . 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)a= 3,b = -6,c = -2,则 Δ = b2 -4ac = 36-4×3× ( - 2) = 60, x = -( -6) ± 60 2×3 = 6±2 15 6 , ∴ x1 = 1 + 15 3 ,x2 = 1- 15 3 ; (2)因式分解得:x(x-4)= 0,∴ x = 0 或 x-4 = 0,∴ x1 = 0,x2 = 4. 2. (1)证明:∵ Δ= b2 -4ac= ( -m) 2 -4(2m-4) = (m-4) 2 ≥0,∴ 无论 m 取任何实数时,该方程总有两个实数 根; (2)解:因式分解,得(x-2)[x-(m-2)] = 0. 解得 x1 = 2,x2 =m-2. ∵ 该方程的两个根均为正数,∴ m-2>0, ∴ m>2,∴ m 可以取的最小整数值为 3. 3. 解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x,依题 意,得:150( 1 + x) 2 = 216,解得:x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不合题意,舍去) . 答:该品牌头盔销售量的月 增长率为 20%; (2)设该品牌头盔的实际售价为 y 元 /个,依题意, 得:(y-30) [600 - 10( y- 40)] = 10000,整理,得:y2 - 130y+4 000 = 0,解得:y1 = 80(不合题意,舍去),y2 = 50,答:该品牌头盔的实际售价应定为 50 元 /个. 4. 解:(1)由题意知,共有 4 种等可能的结果,其中小西 选择的是 B. 《富春山居图》的结果有 1 种,∴ 小西选 择的是 B. 《富春山居图》的概率为 1 4 ; (2)画树状图如下: 共有 16 种等可能的结果,其中小西和小安选择同一 幅名画的结果有 4 种,∴ 小西和小安选择同一幅名画 的概率为 4 16 = 1 4 . 5. 解:(1)200 (2)补全条形统计图如图所示: (3)“春”、“夏”、“秋”、“冬”四组题目,依次记为 E、 F、G、H,画树状图如图所示: 共有 16 种等可能的结果,甲、乙两名选手抽到的题目 在同一组的结果有 4 种,∴ 甲、乙两名选手抽到的题 目在同一组的概率为 4 16 = 1 4 . 6. 解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求; (2)如图,△A2B2C1 即为所求,A2 的坐标( -2,1),B2 的坐标(0,-1); (3)△A2B2C1 的面积= 2×4- 1 2 ×2×1- 1 2 ×1×4- 1 2 ×2 ×2 = 3. 7. 解:(1)2　 60° (2)(1)中结论仍然成立. 证明:延长 AA1,BB1 相交于 点 D. ∵ ∠BAC = 90°,∠ACB = 60°,AC = 2,∴ ∠ABC = 30°,∴ BC= 4. ∵ 点 A1,B1 为 AC,BC 的中点,∴ A1C = 1,B1C = 2. 由旋转知,∠ACA1 = ∠BCB1 . ∵ AC A1C = 2, BC B1C = 2,∴ AC A1C = BC B1C ,∴ △ACA1∽△BCB1,∴ BB1 AA1 =BC AC = 2, ∠CAA1 = ∠CBB1, ∴ ∠ABD + ∠BAD = ∠ABC + ∠BAC = 30° + 90° = 120°, ∴ ∠D = 180° - ( ∠ABD + ∠BAD)= 60°; (3)①3 3 　 　 【解析】由题意,AC = 2,AB = 2 3 ,CA1 = 1,当点 A1 落在 AC 的延长线上时,△ABA1 的面积 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 8 页 最大,此时 S△ABA1 = 1 2 ×2 3 ×(2+1)= 3 3 ; ②线段 BB1 的长为 15 + 3 或 15 - 3 . 　 【解析】 在 Rt△A1B1C 中,A1B1 = 3 ,A1C = 1. 当点 B1 在 BA1 的延长线上时,如图 1. ∵ A1,B1,B 三点共线,∴ ∠B A1C = ∠ B1 A1C = 90°, 在 Rt△A1BC 中, A1B = BC2 -A1C 2 = 15 ,∴ BB1 =A1B+A1B1 = 15 + 3 ;当 点 B1 在线段 A1B 上时,如图 2. 同理可得, A1B = 15 ,∴ BB1 =A1B-A1B1 = 15 - 3 . 即线段 BB1 的长 为 15 + 3 或 15 - 3 . 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 8. ( 1) 证明:连接 OC, ∵ AC 平分 ∠FAB, ∴ ∠FAC = ∠CAO. ∵ AO = CO, ∴ ∠ACO = ∠CAO, ∴ ∠FAC = ∠ACO,∴ AD∥OC. ∵ CD⊥AF,∴ CD⊥OC. ∵ OC 为 半径,∴ CD 是☉O 的切线; (2)解:过点 O 作 OE⊥AF 于点 E,∴ AE =EF = 1 2 AF. ∵ ∠OED= ∠EDC = ∠OCD = 90°,∴ 四边形 OEDC 为 矩形,∴ CD = OE = 3,DE = OC. 设☉O 的半径为 r,则 OA=OC=DE= r,∴ AE = 9-r. ∵ OA2 -AE2 = OE2,∴ r2 - (9-r) 2 = 32,解得 r= 5,∴ ☉O 半径为 5. 9. (1)证明:连接 OD. ∵ BC 与☉O 相切于点 D,∴ OD⊥ BC. ∵ BD = CD,∴ OB = OC,∴ ∠OBC = ∠OCB. ∵ OD ⊥ BC, ∴ ∠ODC = ∠OAC = 90°, 在 Rt △AOC 与 Rt△DOC 中, OA=ODOC=OC{ ,∴ Rt△AOC≌Rt△DOC(HL), ∴ ∠ACO= ∠DCO,∴ ∠B= ∠ACO; (2)解:∵ ∠BAC = 90°,AC = CD = BD = 3dm,∴ AC = 1 2 BC,∴ ∠B= 30°. ∵ ∠B= ∠ACO,∴ ∠ACO= 30°,∴ OC= 2OA. 设 OA= x,则 OC= 2x,在 Rt△AOC 中, 2x( ) 2 -x2 = AC2 = 9,x = 3 , ∴ AE = 2OA = 2 3 dm, ∴ CE = AE2 +AC2 = 21 (dm) . 10. 解:(1)4 (2)设水温下降过程中,y 与 x 的函数关系式为 y = k x ,由题意得,点(4,100)在反比例函数 y = k x 的图 象上,∴ k 4 = 100,解得 k= 400,∴ 水温下降过程中,y 与 x 的函数关系式是 y= 400 x ; (3)在加热过程中,水温为 40℃ 时,20x+20 = 40,解 得 x= 1,在降温过程中,水温为 40℃ 时,40 = 400 x ,解 得 x= 10,10-1 = 9,∴ 一个加热周期内水温不低于 40℃的时间为 9min. 11. 解:(1)设点 D 坐标为(m,n),由题意得 1 2 OH·DH = 1 2 mn= 6,∴ mn= 12. ∵ 点 D 在 y = k x 的图象上,∴ k=mn= 12. ∵ 直线 y= - 1 2 x-2 的图象与 x 轴交于点 A,∴ A( -4,0) . ∵ CD⊥x 轴,BC = AB,∴ CH∥y 轴,∴ AO OH = AB BC = 1,∴ OH=AO= 4,∴ 点 D 的横坐标为 4. ∵ 点 D 在反比例函数 y = 12 x 的图象上,∴ 点 D 坐标为 (4,3); (2)由( 1) 知 CD∥y 轴,∴ S△BCD = S△OCD . ∵ S△BDE = 2S△OCD,∴ S△ECD = 3S△BCD . 过点 E 作 EF⊥CD,垂足为 点 F,交 y 轴于点 M. ∵ S△ECD = 1 2 CD·EF,S△BCD = 1 2 CD·OH,∴ EF= 3OH = 12,∴ EM = 8,∴ 点 E 的横 坐标为-8. ∵ 点 E 在直线 y = - 1 2 x-2 上,∴ 点 E 的 坐标为( -8,2) . 12. 解:(1)在抛物线 y= - 1 2 x2 + 3 2 x+2 中,令 y = 0,解得 x1 = -1,x2 = 4. ∵ 点 A 在点 B 的左侧,∴ A( -1,0),B (4,0) . 令 x= 0,得 y= 2,∴ C(0,2); (2)过点 D 作 DD′⊥ x 轴于点 D′, ∴ DD′∥OC, ∴ △BDD′∽△BCO, BD′ BO = DD′ OC = BD BC = 2 5 ,解得 BD′ = 8 5 ,DD′= 4 5 ,∴ OD′=BO-BD′= 12 5 ,∴ D( 12 5 , 4 5 ) . ∵ 抛物线的解析式为 y= - 1 2 x2 + 3 2 x+2,∴ 对称轴为直 线 x= 3 2 . ∵ C′是点 C 关于抛物线对称轴的对称点, ∴ C′(3,2) . 设直线 C′D 的解析式为 y = kx+b( k≠ 0),把 C′ ( 3, 2 ), D ( 12 5 , 4 5 ) 代 入 y = kx +b, 得 3k+b= 2 12 5 k+b= 4 5 { ,解得 k= 2b= -4{ ,∴ 直线 C′D 的解析式为 y = 2x-4; (3)(3,2)或(-1,0)　 【解析】由题得 M(0,-2). ∵ B(4, 0),∴ BO=4,OM=2,直线 BM 的解析式为 y= 1 2 x-2. 设 点 N 的坐标为(m,0),则 P(m,- 1 2 m2 + 3 2 m+2),Q(m, 1 2 m-2). ∵ PQ⊥x 轴,∴ PQ∥OM,∴ ∠BQP = ∠BMO. ①当∠QBP = ∠MOB = 90°时,∵ △QBP∽△MOB,∴ ∠OBM=∠NPB. ∵ 直线 PQ⊥x 轴,∴ ∠PNB = 90°,∴ ∠BOM=∠PNB,∴ △PNB∽△BOM,∴ PN NB = BO OM = 2,∴ - 1 2 m2+ 3 2 m+2 4-m = 2, ∴ m1 = 3 或 m2 = 4 (舍 去), ∴ P(3,2);②当∠QPB = ∠MOB = 90°时,得 OM∥PQ,∴ △QPB∽△MOB,此时,点 P、点 N、点 A 三点重合,∴ P(-1,0).综上所述,点 P 的坐标为(3,2)或(-1,0). 13.解:(1)①设石块运行的函数关系式为 y = a(x-20)2 + 10,把(0,0)代入解析式得:400a+10= 0,解得 a= - 1 40 ,∴ 解析式为:y=- 1 40 (x-20)2 +10,即 y = - 1 40 x2 +x(0≤x≤ 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 9 页 40); ②石块能飞越防御墙,理由如下:∵ B 与 O 水平距离为 28 米,BC=2 米,BC∥x 轴,BE= 6 米,∴ C(30,6),把 x = 30 代入 y=- 1 40 x2+x,得 y= - 1 40 ×900+30= 7. 5,∵ 7. 5>6, ∴ 石块能飞越防御墙; (2)由题可知 B(28,6),抛物线 y=a(x-20)2+k,∴ 把(0, 0),(28,6)代入,得 0 =a(0-20)2+k 6=a(28-20)2+k{ ,解得 a= - 1 56 ;把 C (30,6),(0,0)代入解析式,得 0 =a(0-20)2+k 6=a(30-20)2+k{ ,解得 a =- 1 50 ,∴ a 的取值范围为- 1 50 ≤a≤- 1 56 . 追梦专项二　 重难易错专练 类型一　 　 一元二次方程 1. A 2. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【技巧点拨】根据 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根;Δ =0 时,方程有两个相等的实数根;Δ<0 时,方程没有实数 根,得到关于 k 的不等式,即可求出答案. 3. 6　 【解析】解方程 2x2-7x+5= 0 得:x= 5 2 或 x= 1. ①当等 腰三角形的三边为 5 2 , 5 2 ,1 时,符合三角形三边关系定 理,此时等腰三角形的周长是 5 2 + 5 2 +1 = 6;②当等腰三 角形的三边为 5 2 ,1,1 时,不符合三角形三边关系定理, 此时等腰三角形不存在,所以等腰三角形的周长是 6. 4.解:(1)移项,得 x2 -x = 3 4 ,x2 -x+ 1 4 = 1,(x- 1 2 )2 = 1,x- 1 2 =±1,所以 x1 = 3 2 ,x2 =- 1 2 ; (2)移项,得 3x(x-1)-2(x-1)= 0,(x-1)(3x-2)= 0,x-1 =0 或 3x-2=0,所以 x1 =1,x2 = 2 3 . 5.解:(1)设第一次购进半包型 x 个,则购进全包型雪套 (500-x)个,根据题意,可得 10x+16(500-x)≤6 320,解得 x≥280.答:半包型雪套至少购进 280 个. (2)根据题意,可得(280+8m)(20+2m-10) +(300×95%× 20-300×16)= 5044,解得 m1 = 2,m2 = -42(不合题意,舍 去),∴ m的值为 2. 类型二　 　 概率 1. C　 【解析】A. 诗句“黄河入海流”是必然事件,错误;B. 诗句“手可摘星辰”是不可能事件,错误;D. 谚语“竹篮打 水一场空”是必然事件,错误. 故选 C. 2. C　 【解析】天舟七号货运飞船、神舟十八号载人飞船、天 舟八号货运飞船、神舟十九号载人飞船分别用 A、B、C、D 表示,列表如下: A B C D A (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) 由表可知,共有 12 种等可能结果,其中一次选择天舟号 货运飞船、一次选择神舟号载人飞船的有 8 种结果,所以 一次选择天舟号货运飞船、一次选择神舟号载人飞船发 射过程直播的概率为 8 12 = 2 3 .故选 C. 3. C　 【解析】将“步下鞭”“三娘教子”“满载而归”“凤香 兰”分别记为 A,B,C,D,画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中小亮抽到的邮票正好是 “三娘教子”和“满载而归”的结果有:BC,CB,共 2 种,∴ 小亮抽到的邮票正好是“三娘教子”和“满载而归”的概 率为 2 12 = 1 6 .故选 C. 4. 1 6 5. 20　 【解析】由统计图知,随着摸球次数的逐渐增大,黑 球的频率逐渐稳定于 0. 5,所以估计从袋子中随机摸一 个球,是白球的概率约为 0. 5,则袋中白球的个数约为 40 ×0. 5=20(个). 类型三　 　 旋转 1. C 2. C　 【解析】由旋转的性质可知,BC =CD,∠B = ∠EDC, ∠A=∠E,∠ACE = ∠BCD,∵ ∠BCD=α,∴ ∠B = ∠BDC = 180° -α 2 = 90°- α 2 ,∠ACE = α. ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠A = 90°-∠B= α 2 ,∴ ∠E= α 2 ,∴ ∠EFC= 180°-∠ECF-∠E= 180°- 3 2 α.故选 C. 3. D　 【解析】连接 AO,BO,B′O,AB′,∵ 正方形 ABCD 绕着 它的对称中心 O 沿着逆时针方向旋转,得到正方形 A′B′ C′D′,∴ AO = B′O,∴ ∠OAB′ = ∠OB′A,又∵ ∠OAE = ∠OB′E=45°,∴ ∠EAB′= ∠EB′A,∴ AE =B′E. 又∵ EO= EO,∴ △AOE≌△B′OE(SSS),∴ ∠AOE = ∠B′OE. 同理 可得,∠BOF= ∠B′OF,∴ ∠EOF = ∠B′OE+∠B′OF = 1 2 ∠AOB= 1 2 ×90°=45°,∴ 在正方形旋转过程中,∠EOF 的 大小不变,是 45°.故选 D. 4. A　 【解析】∵ A(5,5),∴ A 在第一象限的角平分线上. ∵ 叶片每秒绕原点 O 顺时针转动 90°,∴ A1(5,-5),A2(-5, -5),A3(-5,5),A4(5,5),∴ A 点的坐标以每 4 秒为一个 周期依次循环. ∵ 2 024÷4=506,∴ 第 2 024s 时,点 A 的对 应点 A2024 的坐标与 A4 相同,为(5,5).故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法总结】考查了旋转的性质,根据旋转的性质分别求 出第 1、2、3、4s 时,点 A 的对应点 A1、A2、A3、A4 的坐标,找 到规律,进而得出第 2 024s 时,点 A 的对应点 A2 024 的坐 标.找到 A 点的坐标循环的规律是解题的关键. 5. 10 6. 2 5 - 2　 【解析】连接 AF,CF,AC,∵ 长方形 ABCD 中 AB =2,BC= 4,正方形 AEFG 的边长为 1,∴ AC = 2 5,AF = 2 . ∵ AF+CF≥AC,∴ CF≥AC-AF,∴ 当点 A,F,C 在同 一直线上时,CF 的长最小,最小值为 2 5 - 2 . 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 10 页