抓分练10 相似-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 10　 相似 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下面几对图形中,相似的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 下列四条线段中,能与 a= 2,b= 3,c= 3 2这 三条线段组成比例线段的是(　 　 ) A. d1 = 1 B. d2 = 3 C. d3 = 6 D. d4 = 2 3. 已知△ABC∽△DEF,且相似比为 1 ∶ 2,则 △ABC 与△DEF 的面积比为(　 　 ) A. 1 ∶4 B. 1 ∶2 C. 2 ∶1 D. 4 ∶1 4. 如图,直线 a∥b∥c,分别交直线m、n 于点A、C、 E、B、D、F,若 AC=2,CE=3,则BD BF =(　 　 ) A. 2 3 B. 2 5 C. 3 5 D. 3 2 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,若△ABC 与△A1B1C1 是位似图形,则 位似中心的坐标为(　 　 ) A. (1,0) B. (0,1) C. ( -1,0) D. (0,-1) 6. 易错题 如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AD 边 的中点,BE⊥AC,垂足为 F,连接 DF,分析 下列三个结论,①△AEF∽△CAB;②CF = 2AF;③DF=DC. 其中正确的结论有(　 　 ) A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ②③ 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. 新趋势·条件开放 如图,△ABC 中,D 是 AC 边上一点,连接 BD,要使△ABD∽△ACB, 需要补充的一个条件为　 　 　 　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,△ABC 与△A1B1C1 是以点 O 为位似 中心的位似图形,若 OC1 = 1 2 OC,△A1B1C1 的面积为 2,则△ABC 的面积为　 　 　 　 . 9. 如图,已知零件的外径是 7 cm,现用一个交 叉卡钳(两条尺长 AC 和 BD 相等) 测量零 件的内孔直径 AB. 如果 OA ∶OC = OB ∶OD = 2 ∶1,且量得 CD = 3 cm, 则零件的厚度 为　 　 　 　 cm. 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 数学思想·分类思想 如图,AB⊥BD,CD⊥ BD,AB= 6,CD = 4,BD = 14. 点 P 在 BD 上 移动, 当以 P,C,D 为顶点的三角形与 △ABP 相似时,则 PB 的长为　 　 　 　 . 91 情境期末·ZBR·九年级数学 三、解答题(共 30 分) 11. (10 分)如图,△ABC 是等边三角形,D,B, C,E 四点在同一条直线上,∠DAE= 120°. (1)求证:△BAD∽△CEA; (2)若 BD= 2,CE= 6,求△ABC 的边长. 12. 跨学科试题·物理 (10 分)在学习了光的 反射定律后,数学综合实践小组想利用光 的反射定律(反射角等于入射角)测量池 塘对岸一棵树的高度 AB,测量步骤如下: ①如图,在地面上的点 E 处放置一块平面 镜(镜子大小忽略不计),小阳站在 BE 的 延长线上,当小阳从平面镜中刚好看到树 的顶点 A 时,测得小阳到平面镜的距离 DE= 2 m,小阳的眼睛点 C 到地面的距离 CD= 1. 6 m; ②将平面镜从点 E 沿 BE 的延长线移动 6 m 放置到点 H 处,小阳从点 D 处移动到 点 G,此时小阳的眼睛点 F 又刚好在平面 镜中看到树的顶点 A,这时测得小阳到平 面镜的距离 GH= 3. 2 m. 请根据以上测量过程及数据求出树的高 度 AB. 13. (10 分)阅读理解题:一次数学综合实践活 动课上,小亮发现并证明了关于三角形角 平分线的一个结论. 如图 1,已知 AD 是 △ABC 的角平分线,可得:AB AC =BD CD ,小亮的 证明过程(部分)如下: 证明:过点 C 作 CE∥AB,交 AD 的延长线 于点 E,∵ CE∥AB,∴ ∠E = ∠BAE,∠B = ∠BCE. ∴ △ABD ∽ △ECD. ∴ AB CE = BD CD . …… (1)请按照上面小亮的证明思路,写出该 证明的剩余部分; (2)如图 2,在△ABC 中,AD 是△ABC 的角平 分线,已知BD BC = 3 5 ,则AB AC 的值为　 　 　 　 ; (3)如图 3,在矩形 ABCD 中,点 E 是 CD 上一点,已知 AB = 3,AD = 4,DE = 1,连接 BE,AF 平分∠BAD 与 BE 交于点 F,则 BF 的长为　 　 　 　 . 图 1 　 图 2 　 图 3 02 坐标代入,解得 k= 220,即函数解析式为 I = 220 R ,故 B 不正确;当 I = 0. 2 时,R = 1100;故 A 不正确;当 R = 500 时,I= 0. 44,由图象知,当 R>500 时,I<0. 44;故 C 不正确;当 R= 880 时,I= 220 880 = 0. 25;当 R = 1000 时,I = 220 1000 = 0. 22,表明当 880 <R< 1000 时,则 0. 22 < I< 0. 25;故 D 正确. 故选 D. 5. D　 【解析】过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,过点 E 作 EG ⊥y 轴于点 G. 设 B(4a,b),E(4a,d) . ∵ AD ∶ BD = 1 ∶3,∴ D(a,b) . 又∵ △BDE 的面积为 18,∴ BD = 3a, BE= b-d,∴ 1 2 ×3a(b-d)= 18,∴ a(b-d)= 12,即 ab- ad= 12,∵ D,E 都在反比例函数图象上,∴ ab = 4ad, ∴ 4ad-ad= 12,解得 ad= 4,∴ k= 4ad= 16. 故选 D. 6. x2 <x3 <x1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【技巧点拨】根据反比例函数 y = 8 x 的图象位于第一、 三象限,且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小,再结合 A,B,C 三点的位置即可解决问题. 7. 150　 【解析】设函数的解析式为 f = k D (k≠0),∵ 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0. 25 米,∴ k = 400×0. 25 = 100,∴ 解析式为 f= 100 D ,∴ 当 f= 0. 4 时,D= 250,∵ 小 慧原来戴 400 度的近视眼镜,∴ 小慧所戴眼镜的度数 降低了 400-250 = 150(度) . 8. x<-3 或 0<x<6 9. -5　 【解析】过点 A 作 x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别 为 M 和 N,因为点 A 在直线 y = -x 上,所以 AM = AN, 又 AM⊥x 轴,AN⊥y 轴,∠MON = 90°,故四边形 A- MON 是正方形. 又∠BAC = 90°,所以∠BAM+∠MAC = 90°,又∠MAC+∠NAC = 90°,所以∠BAM = ∠CAN. 又 AM = AN,∠AMB = ∠ANC,所 以 △ABM ≌ △ACN (ASA) . 则 S△ABM = S△ACN . 所以 S正方形AMON = S四边形ABOC = 5. 故 AM·AN= 5,∴ k= -5. 10. 解:(1)∵ 一次函数 y = kx+b 的图象与反比例函数 y = m x (x>0)的图象交于 A(1,6),B(3,n)两点,∴ m= 6×1 = 3×n,∴ m= 6,n= 2,∴ A(1,6),B(3,2)代入 y= kx+b 得, k = -2 b= 8{ ,∴ 一次函数解析式为 y = -2x+8,反 比例函数的解析式为 y= 6 x ; (2)∵ 一次函数解析式 y = -2x+8 图象交 x 轴为点 C,∴ C(4,0),∵ △AOB 面积 = △AOC 面积-△COB 面积= 1 2 ×4×6- 1 2 ×4×2 = 12-4 = 8. 11. 解:(1)设 y = m x . ∵ 过点(10,6),∴ m = xy = 10×6 = 60,∴ 当 10≤x≤30 时,y 与 x 的关系式为:y= 60 x ; (2)将 x= 30 代入上式中得:y= 2,∴ 温度在 30℃时, 电阻为 2kΩ. ∵ 在温度达到 30℃ 时,电阻下降到最 小值;随后电阻随温度升高而增加,温度每上升 1℃ ,电阻增加 4 15 kΩ,∴ 当 x≥30 时,y= 2+ 4 15 (x-30) = 4 15 x-6,把 y= 6 代入 y = 4 15 x-6,得 x = 45. 答:当 10 ≤x≤45 时,电阻不超过 6kΩ. 12. 解:(1) - 1 2 　 -2 (2)存在. ∵ y= - 1 2 x+ 3 2 ,∴ 点 C 的坐标为(3,0),联 立 y= - 1 2 x+ 3 2 和 y = -2 x ,解得:x = 4 或 x = - 1 (舍 去),∴ 点 B 的坐标为(4,- 1 2 ),∴ S△BOC = 1 2 OC· | yB | = 1 2 ×3× 1 2 = 3 4 ,S△POC +S△BOC = 1,∴ S△POC = 1 4 , 设点 P 的坐标为( xp, -2 xp ),∴ S△POC = 1 2 OC· | yp | = 1 2 ×3 | yp | = 1 2 ×3 | -2 xp | = 1 4 ,解得:xp = 12 或-12; (3)该不等式组的解集为-1≤x<0. 基础知识抓分练 10 相似 1. C　 2. D　 3. A 4. B　 【解析】∵ AC = 2,CE = 3,∴ AE = 5,∵ a∥b∥c,∴ BD BF =AC AE = 2 5 . 故选 B. 5. D 6. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠ABC = 90°, AD∥BC,AD = BC,∴ ∠EAC = ∠ACB,∵ BE⊥AC,∴ ∠AFE = 90°,∵ ∠EAF = ∠ACB,∠AFE = ∠CBA,∴ △AEF∽△CAB,所以①正确;∵ E 是 AD 边的中点, ∴ AE= 1 2 AD= 1 2 BC,∵ AE∥BC,∴ △AEF∽△CBF,∴ AF CF = AE BC = 1 2 ,∴ CF = 2AF,所以②正确;过 D 点作 DH ⊥AC 于点 H,∵ EF∥DH,∴ AF FH = AE DE = 1,∴ AF=FH,∵ CF= 2AF,∴ FH=CH,∴ DH 垂直平分 CF,∴ DF =DC, 所以③正确. 故选 B. 7. ∠ABD= ∠C(答案不唯一) 　 8. 8 9. 0. 5 　 【解析】 ∵ OA ∶ OC = OB ∶ OD = 2 ∶ 1,∠COD = ∠AOB,∴ △COD∽△AOB,∴ AB ∶CD = 2 ∶ 1,∵ CD = 3cm,∴ AB = 6cm,∵ 某零件的外径为 7cm,∴ 零件的 厚度为:(7-6)÷2 = 1÷2 = 0. 5(cm) . 10. 8. 4 或 2 或 12　 【解析】设 DP= x,则 BP =BD-x = 14 -x,∵ AB⊥BD 于 B,CD⊥BD 于 D,∴ ∠B = ∠D = 90°,当 AB CD = BP DP 时,△ABP∽△CDP,即 6 4 = 14 -x x ,解 得 x= 28 5 ,∴ BP = 14- 28 5 = 8. 4,当 AB DP = BP DC 时,△ABP ∽△PDC,即 6 x = 14 -x 4 ;整理得 x2 -14x+24 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 12,BP= 14-2 = 12 或 BP = 14-12 = 2,∴ 当 BP 为 8. 4 或 2 或 12 时,以 C、D、P 为顶点的三角形 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 7 页 与以 P、B、A 为顶点的三角形相似. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【技巧点拨】设 DP= x,则 BP =BD-x = 14-x,根据垂直 的定义得到∠B = ∠D = 90°,再根据两组对应边的比 相等且夹角对应相等的两个三角形相似,分情况讨 论,然后分别解方程求出 x 即可. 11. (1)证明:∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠BAC= ∠ABC = ∠ACB= 60°,∵ ∠DAE = 120°,∴ ∠BAD+∠CAE = 60°,∵ ∠ACB 是 △ACE 的外角, ∴ ∠ACB = ∠E + ∠CAE = 60°, ∴ ∠BAD = ∠E, ∵ ∠ABC = ∠ACB = 60°,∴ ∠ABD= ∠ECA= 120°,∴ △BAD∽△CEA; (2) 解: 由 ( 1) 知 △BAD ∽ △CEA, ∴ AB CE = BD AC , ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC,∵ BD = 2,CE = 6, ∴ AB 6 = 2 AB ,∴ AB= 2 3 ,即△ABC 的边长 2 3 . 12. 解:由题意可知, ∠CED = ∠AEB, ∠CDE = ∠ABE, ∠AHB = ∠FHG, ∠FGH = ∠ABH, ∴ △CDE ∽ △ABE,△FGH∽△ABH,∴ CD AB = DE BE , FG AB = GH BH ,∴ 1. 6 AB = 2 BE , 1. 6 AB = 3. 2 BE+HE = 3. 2 BE+6 ,∴ 2 BE = 3. 2 BE+6 ,解得,BE= 10,∴ AB= 8m. 答:树的高度 AB 为 8m. 13. 解: ( 1) ∵ AD 是 △ABC 的角平分线, ∴ ∠BAD = ∠CAD,∴ ∠E= ∠CAD,∴ CA=CE,∴ AB AC =BD CD ; (2) 3 2 (3) 5 　 【解析】延长 BE 交 AD 的延长线于点 G,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB∥CD,∴ ∠GDE= ∠GAB, ∠DEG= ∠ABG,∴ △GDE∽ △GAB,∴ DG AG = DE AB ,∴ DG 4+DG = 1 3 , ∴ DG = 2, ∴ AG = 6. 在 Rt △ABG 中, ∠BAG= 90°,∴ BG = AB2 +AG2 = 3 5 . ∵ AF 平分 ∠BAG,∴ BF FG =AB AG = 1 2 ,∴ BF= 1 3 BG= 5 . 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)a= 3,b = -6,c = -2,则 Δ = b2 -4ac = 36-4×3× ( - 2) = 60, x = -( -6) ± 60 2×3 = 6±2 15 6 , ∴ x1 = 1 + 15 3 ,x2 = 1- 15 3 ; (2)因式分解得:x(x-4)= 0,∴ x = 0 或 x-4 = 0,∴ x1 = 0,x2 = 4. 2. (1)证明:∵ Δ= b2 -4ac= ( -m) 2 -4(2m-4) = (m-4) 2 ≥0,∴ 无论 m 取任何实数时,该方程总有两个实数 根; (2)解:因式分解,得(x-2)[x-(m-2)] = 0. 解得 x1 = 2,x2 =m-2. ∵ 该方程的两个根均为正数,∴ m-2>0, ∴ m>2,∴ m 可以取的最小整数值为 3. 3. 解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x,依题 意,得:150( 1 + x) 2 = 216,解得:x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不合题意,舍去) . 答:该品牌头盔销售量的月 增长率为 20%; (2)设该品牌头盔的实际售价为 y 元 /个,依题意, 得:(y-30) [600 - 10( y- 40)] = 10000,整理,得:y2 - 130y+4 000 = 0,解得:y1 = 80(不合题意,舍去),y2 = 50,答:该品牌头盔的实际售价应定为 50 元 /个. 4. 解:(1)由题意知,共有 4 种等可能的结果,其中小西 选择的是 B. 《富春山居图》的结果有 1 种,∴ 小西选 择的是 B. 《富春山居图》的概率为 1 4 ; (2)画树状图如下: 共有 16 种等可能的结果,其中小西和小安选择同一 幅名画的结果有 4 种,∴ 小西和小安选择同一幅名画 的概率为 4 16 = 1 4 . 5. 解:(1)200 (2)补全条形统计图如图所示: (3)“春”、“夏”、“秋”、“冬”四组题目,依次记为 E、 F、G、H,画树状图如图所示: 共有 16 种等可能的结果,甲、乙两名选手抽到的题目 在同一组的结果有 4 种,∴ 甲、乙两名选手抽到的题 目在同一组的概率为 4 16 = 1 4 . 6. 解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求; (2)如图,△A2B2C1 即为所求,A2 的坐标( -2,1),B2 的坐标(0,-1); (3)△A2B2C1 的面积= 2×4- 1 2 ×2×1- 1 2 ×1×4- 1 2 ×2 ×2 = 3. 7. 解:(1)2　 60° (2)(1)中结论仍然成立. 证明:延长 AA1,BB1 相交于 点 D. ∵ ∠BAC = 90°,∠ACB = 60°,AC = 2,∴ ∠ABC = 30°,∴ BC= 4. ∵ 点 A1,B1 为 AC,BC 的中点,∴ A1C = 1,B1C = 2. 由旋转知,∠ACA1 = ∠BCB1 . ∵ AC A1C = 2, BC B1C = 2,∴ AC A1C = BC B1C ,∴ △ACA1∽△BCB1,∴ BB1 AA1 =BC AC = 2, ∠CAA1 = ∠CBB1, ∴ ∠ABD + ∠BAD = ∠ABC + ∠BAC = 30° + 90° = 120°, ∴ ∠D = 180° - ( ∠ABD + ∠BAD)= 60°; (3)①3 3 　 　 【解析】由题意,AC = 2,AB = 2 3 ,CA1 = 1,当点 A1 落在 AC 的延长线上时,△ABA1 的面积 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 8 页