抓分练7 与圆有关的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形面积-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 7　 与圆有关的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形面积 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 如图,AB 是☉O 的直径,D,C 是☉O 上的点, ∠ADC= 115°,则∠BAC 的度数是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上一点, 连接 AC,∠A = 35°,过点 C 作☉O 的切线 CP 交 AB 的延长线于点 P,则∠P 的度数 是(　 　 ) A. 20° B. 25° C. 32° D. 35° 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 6, AB= 10,CD 是斜边 AB 上的中线,以 AC 为 直径作☉O,设线段 CD 的中点为 P,则点 P 与☉O 的位置关系是(　 　 ) A. 点 P 在☉O 外 B. 点 P 在☉O 上 C. 点 P 在☉O 内 D. 点 P 不在☉O 内 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,☉O 的直径为 6,PA 是☉O 的切线, 切点为 A,PO 的延长线交☉O 于点 B,若 ∠P= 40°,则 AB ( 的长为(　 　 ) A. 5 3 π B. 10 3 π C. 13 6 π D. 13 3 π 5. 文化情境·数学文化 早在 1800 多年前,魏 晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”,用圆 内接正多边形的面积去无限逼近圆面积, 如图所示的圆的内接正十二边形,若该圆 的半径为 1,则这个圆的内接正十二边形的 面积为(　 　 ) A. 3 B. π C. 3 3 D. 6 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 易错题 如图, 在 Rt △ABO 中, ∠AOB = 90°,∠B = 60°,OA = 6,☉O 的半径为 1,点 P 是 AB 边上的动点,过点 P 作☉O 的一条 切线 PQ(点 Q 为切点),则切线长 PQ 的最 小值是(　 　 ) A. 2 2 B. 3 C. 2 3 D. 4 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. 生活情境·骑自行车 初中生小明日常骑自 行车上下学,某日小明沿地面一条直线骑 行,自行车轮胎与这条直线的位置关系 是　 　 　 　 . (填“相离”“相交”或“相切”) 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 生活情境·生日帽 生日帽也称寿星帽,过生 日的时候戴的一种头饰. 如图,是一个圆锥 形状的生日帽,若该圆锥形状帽子的母线 长为 6 cm,底面半径为 2 cm,将该帽子沿母 线剪 开, 则 其 侧 面 展 开 扇 形 的 圆 心 角 为　 　 　 　 . 9. 如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形网 格中,△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°得到 △A′B′C′,则线段 BC 绕点 O 逆时针旋转 90°得到的图中阴影部分面积是　 　 　 　 . 　 　 　 31 情境期末·ZBR·九年级数学 三、解答题(共 28 分) 10. (9 分)如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接 四边形,∠ABC = 90°,AD =CD,过 A 作☉O 的切线交 CD 的延长线于点 P. (1)求∠P 的度数; (2)若 AB= 6,BC= 8,求 PA、PD 的长. 11. 文化情境·传统文化 (9 分)辘轳(图 1)是 从杠杆演变来的汲水工具,据《物原》 记 载:“史佚始作辘轳”,说明早在公元前一 千一百多年前中国已经发明了辘轳. 如图 2 是从辘轳抽象出来的几何模型, 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,O 是 AC 边上一 点,以 OA 为半径的☉O 与 AB 相交于点 P,已知 CP=CB. (1)求证:直线 CP 是☉O 的切线. (2)若∠B= 60°,BC= 3 3 ,求☉O 的半径. 图 1 　 图 2 12. (10 分) 【材料】自从《义务教育数学课程 标准(2022 年版)》实施以来,九年级的晏 老师通过查阅新课标获悉:新增“会过圆 外的一个点作圆的切线”,在学习完《切线 的性质与判定》后,她布置一题:“已知:如 图所示,☉O 及☉O 外一点 P. 求作:直线 PQ,使 PQ 与☉O 相切于点 Q. 李蕾同学经过探索,给出了如下的一种作 图方法: (1)连接 OP,分别以 O、P 为圆心,以大于 1 2 OP 的长为半径作弧,两弧分别交于 A、B 两点( A、B 分别位于直线 OP 的上下两 侧); (2)作直线 AB,AB 交 OP 于点 C; (3)以点 C 为圆心,CO 为半径作☉C,☉C 交☉O 于点 Q(点 Q 位于直线 OP 的上侧); (4)连接 PQ,PQ 交 AB 于点 D,则直线 PQ 即为所求. 【问题】 (1)请按照步骤完成作图,并准确标注字 母(尺规作图,保留作图痕迹); (2)结合图形,说明 PQ 是☉O 切线的理由; (3)若☉O 半径为 2,OP= 6. 依据作图痕迹 求 OD 的长. 41 3. B　 【解析】设 AB 的中点为 O,连接 OD,∵ 以量角器 的直径 AB 为斜边画直角三角形 ABC,∴ A、C、B、D 四 点共圆,∵ 量角器上点 D 对应的度数是 100°,∴ ∠BOD= 180°-100° = 80°,∴ ∠BCD= 1 2 ∠BOD= 40°. 故选 B. 4. A　 【解析】过点 O 作 OE⊥CD 于点 E,连接 OD,∵ AB =AP+BP= 1+5 = 6,∴ OD=OA= 3,∴ OP=OA-AP= 3- 1 = 2,∵ ∠OPE = ∠APC = 45°,∴ △OPE 是等腰直角 三角 形, ∴ PE = OE = 2 , 在 Rt △OED 中, DE = OD2 -OE2 = 9-2 = 7 ,∵ OE⊥CD,∴ CE = DE,∴ CD= 2DE= 2 7 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法总结】本题考查垂径定理,解题的关键是根据题 意作出相关辅助线,从而构造直角三角形,利用垂径 定理和勾股定理进行求解,注意运用数形结合的思想 方法. 5. A　 【解析】连接 OB,∵ l⊥AB,AB = 48mm,∴ BD = AD = 1 2 AB = 24mm,在 Rt△BOD 中,BD = 24mm,OD = OC -CD = ( r- 12) mm,OB2 = BD2 +OD2,∴ r2 = 242 +( r - 12) 2,解得 r= 30. 故选 A. 6. 60°　 【解析】∵ BC ( = CD ( = DE ( ,∠COD = 40°,∴ ∠BOC = ∠DOE = ∠COD = 40°,∴ ∠AOE = 180° - 40° × 3 = 60°. 7. 40° 8. 1cm　 【解析】连接 AB,OA,过点 O 作 OG⊥CD 于点 G,交 AB 于点 E,交☉O 于点 F. ∵ AC⊥CD,BD⊥CD, ∴ AC∥BD,∵ AC = BD,∴ 四边形 ACDB 是平行四边 形,∵ ∠ACD = 90°,∴ 四边形 ACDB 是矩形,∴ AB∥ CD,AB= CD = 16cm,∵ OG⊥CD,∴ OG⊥AB,∴ AE = EB= 8cm,∴ OE = OA2 -AE2 = 102 -82 = 6( cm),∴ EF=OF-OE = 10-6 = 4( cm),∵ EG = AC = BD = 5cm, ∴ FG=EG-EF= 5-4 = 1(cm),∴ 圆盘离桌面 CD 最近 的距离是 1cm. 9. 3 -1　 【解析】过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,连接 OP、 OC,∵ AB = 3,∴ 由垂径定理可知:BD = AD = 1 2 AB = 3 2 ,∵ BO= 3 ,∴ 由勾股定理可知:OD = 3 2 ,∵ AC = 1,∴ CD=AD-AC = 1 2 ,∴ 由勾股定理可知:OC = 1,在 △OCP 中,由三角形三边关系可知:PC>OP-OC,∴ 当 O、C、P 三点共线时,PC 可取得最小值,此时 PC = OP-OC= 3 -1. 10. 解:(1) AD 是☉O 的直径,∴ ∠C = ∠B = 90°,∵ AB ⊥AC,∴ ∠BAC= 90°,∴ 四边形 ABDC 是矩形,∵ AB =AC= 6,∴ BD=AC= 6,CD=AB= 6; (2) ∵ ∠BAC = 90°, ∠BAD = 2 ∠DAC, ∴ ∠BAD = 60°, ∠DAC = 30°, ∴ ∠COD = 2 ∠CAD = 60°, ∴ △COD 是等边三角形,∴ CD = OC,在 Rt△ABC 中, BC= AB2 +AC2 = 6 2 ,∴ CD = 3 2 ,在 Rt△BCD 中, BD= BC2 -CD2 = 3 6 . 11. (1)解:如图,点 C 即为所求; (2) 证明:∵ BD ( = BD ( ,∴ ∠DOB = 2∠DAB = 60°,∴ ∠AOD= ∠AOB - ∠DOB = 150° - 60° = 90°, ∵ OA = OD,∴ △AOD 是等腰直角三角形; (3)解:连接 DB,过 D 作 DH⊥AB 于 H. ∵ ∠DOB = 60°,OD=OB,∴ △ODB 是等边三角形,∴ DB = OB = 2,在等腰直角三角形△AOD 中,AD = 2 OA = 2 2 , 在 Rt△ADH 中,∠DAH= 30°,∴ DH= 1 2 AD= 2 ,AH2 =AD2 -DH2 = 6,∴ AH = 6 ,在 Rt △DHB 中,BH2 = DB2 -DH2 = 22 -( 2 ) 2 = 2,∴ BH = 2 ,∴ AB = AH+BH = 6 + 2 . 12. 解:(1)①如图,直线 DE,线段 AD,CD 即为所求; ②如图,点 F,线段 DF,BD,BF 即为所求作; (2)结论:BF=BC. 理由:∵ DE 垂直平分线段 AC,∴ DA=DC,∴ ∠DAC = ∠DCA,∵ AD = DF,∴ DF = DC, AD ( = DF ( , ∴ ∠DBC = ∠DBF, ∵ ∠DFB + ∠DAC = 180°. ∠DCB + ∠DCA = 180°,∴ ∠DFB = ∠DCB,在 △DFB 和△DCB 中, ∠DFB= ∠DCB ∠DBF= ∠DBC DF=DC { , ∴ △DFB≌ △DCB(AAS),∴ BF=BC. 基础知识抓分练 7 与圆有关的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形面积 1. A　 【解析】∵ ∠ADC = 115°,∴ ∠ABC = 180°-115° = 65°,∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB = 90°,∴ ∠BAC = 90°-∠ABC= 90°-65° = 25°. 故选 A. 2. A 3. C　 【解析】∵ AC = 6,AB = 10,CD 是斜边 AB 上的中 线,∴ AD= 5,∵ 点 O 是 AC 中点,点 P 是 CD 中点,∴ OP 是△CAD 的中位线,OC = OA = 3,∴ OP = 1 2 AD = 2. 5,∵ OP<OA,∴ 点 P 在☉O 内. 故选 C. 4. C　 5. A 6. A　 【解析】连接 OQ,∵ PQ 切圆于 Q,∴ 半径 OQ⊥ PQ, ∴ ∠PQO = 90°, ∵ 圆 的 半 径 为 1, ∴ PQ = PO2 -OQ2 = PO2 -1 ,∴ 当 PO 最小时,PQ 最小,当 PO⊥AB 时,PO 最小,∵ ∠B= 60°,∴ ∠A= 90°-∠B = 30°,∴ PO = 1 2 AO = 3,∴ PQ 的最小值是 32 -1 = 2 2 . 故选 A. 7. 相切 8. 120°　 【解析】设侧面展开扇形的圆心角为 n°,则 πrl = nπl 2 360 ,∴ n= r l ×360° = 2 6 ×360° = 120°. 9. 7 4 π　 【解析】由题可得 OB2 = 13,OC2 = 20. ∵ 旋转角 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 5 页 为 90°,∴ 图中阴影部分面积是 90π·20 360 - 90π·13 360 = 7 4 π. 10. 解:(1) 连接 AC,∵ ∠ABC = 90°,∴ AC 为☉O 的直 径,∴ ∠ADC = 90°,∵ AD = CD,∴ ∠ACD = ∠CAD = 45°,∵ PA 为☉O 的切线, ∴ CA⊥PA, ∴ ∠PAC = 90°,∴ ∠P= 90°-∠ACD= 45°; (2) 在 Rt △ABC 中,AC = AB2 +BC2 = 10,∵ ∠P = ∠ACP = 45°, ∴ AP = AC = 10, ∵ ∠ADC = 90°, ∴ △APD 为等腰直角三角形,∴ PD2 +AD2 = AP2,∴ PD2 +PD2 =AP2,∴ PD= 5 2 . 11. (1)证明:连接 OP,∵ OA =OP,∴ ∠A = ∠APO,∵ CP =CB,∴ ∠B = ∠BPC,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, ∴ ∠A+∠B = 90°,∴ ∠APO+∠BPC = 90°,∴ ∠OPC = 180°-90° = 90°,∴ OP⊥CP,∴ 直线 CP 是☉O 的 切线; (2)解:在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠B = 60°,BC = 3 3 ,∴ ∠BAC= 30°,AB = 6 3 ,∴ 在 Rt△ABC 中,AC = AB2 -BC2 = 9,∵ PC = BC = 3 3 ,设☉O 的半径为 r,在Rt△OPC 中,r2 +(3 3 ) 2 = (9-r) 2,解得 r = 3,∴ ☉O 的半径为 3. 12. 解:(1)作图如下; (2)由题意得:OP 为☉C 的直径,∴ ∠OQP = 90°,∴ OQ⊥PQ,∵ OQ 为☉O 的半径,∴ 直线 PQ 为☉O 的 切线; (3)连接 OD. ∵ OQ= 2,OP= 6,在 Rt△OPQ 中,PQ= OP2 -OQ2 = 4 2 ,由图知 AB 为 OP 的垂直平分线, ∴ OD = PD, 设 QD = x, 则 OD = PD = 4 2 - x, 在 Rt△OQD 中,OD2 =OQ2 +QD2,∴ (4 2 -x) 2 = 22 +x2, 解得 x= 7 2 4 ,∴ OD= 4 2 - 7 2 4 = 9 2 4 . 基础知识抓分练 8 概率初步 1. A 2. A　 【解析】所有等可能的情况有 9 种,其中小亮获胜 的情况有 3 种,所以小亮获胜的概率是 P= 3 9 = 1 3 ,爸 爸获胜的情况有 3 种,所以爸爸获胜的概率是 P = 3 9 = 1 3 ,所以游戏公平. 故选 A. 3. B 4. B　 【解析】∵ 共有 12 种等可能的结果,现任意闭合 其中两个开关,则小灯泡发光的有 4 种情况,∴ 小灯 泡发光的概率为 1 3 . 故选 B. 5. D　 【解析】共有 12 种等可能的结果,其中两人恰好 介绍“红旗渠”和“清明上河园”的结果有 2 种,∴ 两 人恰好介绍“红旗渠”和“清明上河园”的概率为 2 12 = 1 6 . 故选 D. 6. 9 4 　 【解析】根据题意可估计不规则区域的面积是 3 ×3×0. 25 = 9 4 (m2) . 7. 3 4 　 【解析】共有 4 种等可能的结果,其中他们的子 女可以卷舌的结果有:RR,Rr,Rr,共 3 种,∴ 他们的 子女可以卷舌的概率为 3 4 . 8. 解:(1) 1 5 (2)列表如下: A B C D E A (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) B (B,A) (B,C) (B,D) (B,E) C (C,A) (C,B) (C,D) (C,E) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,E) E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) 共有 20 种等可能的结果,其中他们两人所抽卡片中 有“A. 梦圆天路”的结果有:(A,B),(A,C),(A,D), (A,E),(B,A),(C,A),(D,A),(E,A),共 8 种,∴ 他 们两人所抽卡片中有“A. 梦圆天路” 的概率为 8 20 = 2 5 . 9. 解:(1)4　 0. 44 补全条形统计图如图所示; (2)抽取的总人数为 18÷0. 36 = 50(人),2000× 6+4 50 = 400(人) . ∴ 估计该校“基本了解”和“不太了解”退 林还耕知识的学生共约 400 人; (3)列表如下: 男 男 女 女 男 (男,男) (男,女) (男,女) 男 (男,男) (男,女) (男,女) 女 (女,男) (女,男) (女,女) 女 (女,男) (女,男) (女,女) 共有 12 种等可能的结果,其中恰好选中 1 名男生和 1 名女生的结果有 8 种,∴ 恰好选中 1 名男生和 1 名 女生的概率为 8 12 = 2 3 . 基础知识抓分练 9 反比例函数 1. D　 2. B 3. D 【变式】A　 【解析】∵ 反比例函数 y = 1-k x 的图象上的 每一条曲线上,y 随 x 的增大而增大,∴ 1-k<0,∴ k> 1. 故选 A. 4. D　 【解析】设反比例函数的解析式为 I = k R ,把点 P 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 6 页