抓分练2 实际问题与一元二次方程-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 2　 实际问题与一元二次方程 一、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 1. 跨学科试题·语文 嘉琪改编了苏轼诗词 《念奴娇·赤壁怀古》:大江东去浪淘尽,千 古风流人物. 而立之年督东吴,早逝英才两 位数. 十位恰小个位三,个位平方与寿符. 哪位学子算得快,多少年华属周瑜. 假设周 瑜去世时年龄的个位数字是 x,则下列说法 正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 列方程为 x2 = 10(x+3) +x B. 列方程为 x2 -10x+30 = 0 C. 列方程为 x2 = 10(x-3) +x D. 周瑜去世时 25 岁 2. 热点情境·网购 近年来,随着我国电子商 务的快速发展,网购已成为常态化消费方 式. 某村快递站今年 3 月份完成寄件数为 6 万件,4 月份增长了 1. 5 万件,5 月份比 4 月 份增长了 1. 14 万件,且 3-5 月寄件数据的 月增长率相同,则月增长率为(　 　 ) A. 10% B. 15% C. 20% D. 22% 3. (长沙模拟)为了宣传垃圾分类,小明写了 一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播. 他设计了如下的传播规则:将倡议书发表 在自己的微博上,再邀请 n 个好友转发,每 个好友转发之后,又邀请 n 个互不相同的 好友转发,依此类推. 已知经过两轮转发 后,共有 111 个人参与了宣传活动,则 n 的 值为(　 　 ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. (洛阳期末)如图是一张长 12 cm,宽 10 cm 的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形 和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分) 可制成底面积是 24 cm2 的有盖的长方体铁 盒,则剪去的正方形的边长为(　 　 ) A. 1 2 cm B. 1 cm C. 3 2 cm D. 2 cm 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 5. [教材习题 3 变式]若直角三角形两条直角 边的边长之和为 17,面积是 30,则该直角三 角形的斜边长为　 　 　 　 . 6. 在数学实践课上,小梦要给一幅长 30 cm, 宽 20 cm 的手抄报加一个边框,如图所示, 上下左右边框的宽度相等,且整个图形面 积为 704 cm2,则小梦添加的边框的宽度 是　 　 　 　 cm. 7. 生活情境·旅游研学 某旅行社的一则广告 如下: 我社组团去井冈山红色研学活动,收费标 准:如果人数不超过 30,那么人均旅游费 用为 800 元;如果人数多于 30,那么每增 加 1 人,人均旅游费用降低 10 元,但人均 旅游费用不得低于 500 元. 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色 研学活动,共计收到费用 29 250 元,则这次 旅游可以安排　 　 　 　 人参加. 8. 生活情境·产品销售 (广东一模)香云纱作 为广东省佛山市特产,中国国家地理标志 产品,是世界纺织品中唯一用纯植物染料 染色的丝绸面料,被纺织界誉为“软黄金”. 3 情境期末·ZBR·九年级数学 在某网店,香云纱连衣裙平均每月可以销 售 120 件,每件盈利 200 元,为了尽快减少 库存,决定降价促销,通过市场调研发现, 每件每降价 20 元,则每月可多售出 30 件, 如果每月要盈利 2. 88 万元,则每件应降 价　 　 　 　 元. 三、解答题(共 16 分) 9. 生产劳动情境·建停车场 (8 分) 东新社区 为了解决社区停车难的问题,利用一块矩 形空地 ABCD 建了一个小型停车场,其布 局如图所示. 已知 AD = 50 m,AB = 30 m,阴 影部分设计为停车位,要铺花砖,其余部分 均为宽度为 x 米的道路. 已知铺花砖的面 积(即阴影面积)为 800 m2 . (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位 50 个,据调查分析, 当每个车位的月租金为 200 元时,可全部 租出;若每个车位的月租金每上涨 5 元,就 会少租出 1 个车位. 当每个车位的月租金 上涨多少元时,停车场的月租金收入为 10 120 元,同时尽可能让利于居民? 10. 新趋势·项目式学习 ( 8 分) 根据以下素 材,探索完成任务. 智能化车间 素材 1 随着数字技术、新能源、新材料 等不断突破,我国制造业发展迎 来重大机遇. 某工厂一车间借助 智能化,对某款车型的零部件进 行一体化加工,生产效率提升, 该零件 4 月份生产 100 个,6 月 份生产 144 个. 素材 2 该 厂 生 产 的 零 件 成 本 为 30 元 / 个,销售一段时间后发现,当 零件售价为 40 元 / 个时,月销售 量为 600 个,若在此基础上售价 每上涨 1 元,则月销售量将减少 10 个. 问题解决 任务 1 该车间 4 月份到 6 月份生产数 量的平均增长率; 任务 2 为使月销售利润达到 10 000 元,而且尽可能让车企得到实 惠,则该零件的实际售价应定为 多少元? 4 得 x= 28 5 . 综上所述,AE 的长为 12 或 2 或 28 5 . 4. 解:过点 E 作 EM⊥CD,垂足为 M,延长 EM 交 AB 于 点 N,∵ CD∥AB,∴ EN⊥AB,由题意得:CD= 20 厘米, EM= 40 厘米,EN = 100 米, ∵ CD∥AB, ∴ ∠EDC = ∠EBA,∠ECD = ∠EAB,∴ △ECD∽ △EAB,∴ EM EN = CD AB ,∴ 0. 4 100 = 0. 2 AB ,解得 AB = 50,答:建筑的高度 AB 为 50 米. 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1 一元二次方程的认识及其解法 1. D　 2. D 3. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法总结】配方法的一般步骤:①将常数项移到等号 右边,含未知数的项移到等号左边;②二次项系数化 为 1;③左右两边同时加上一次项系数一半的平方;④ 直接开平方;⑤移项、合并同类项. 4. C　 【解析】∵ x = a 是方程 2x2 -x-6 = 0 的一个解,∴ 2a2 -a-6 = 0,∴ 2a2 -a= 6,∴ 4a2 -2a= 2(2a2 -a)= 2×6 = 12. 故选 C. 5. D 【变式 1】B　 【解析】根据题意得 k≠0 且 Δ= 42 -4k×2 ≥0,解得 k≤2 且 k≠0. 故选 B. 【变式 2】D　 【解析】由题意得 x2 -x = k,即 x2 -x-k = 0. ∵ 方程有两个相等的实数根,∴ Δ = ( - 1) 2 - 4 × (-k)= 0,解得 k= - 1 4 . 故选 D. 6. 2x2 -8 = 0(答案不唯一) 　 7. 2 8. 两　 【解析】∵ 一次函数 y = kx+b 的图象经过第一、 二、四象限,∴ k<0,b>0,∵ Δ = (-2) 2 -4bk = 4-4bk,∵ k<0,b>0,∴ bk<0,∴ -bk>0,∴ Δ>0,∴ 方程有两个不 相等的实数根. 9. - 2 025 1 012 　 【解析】∵ x1,x2 为一元二次方程 x 2 - 2 x- 2 024= 0 的两个实数根,∴ x1 +x2 = 2,x1x2 = -2 024,∴ 原式= x1 2 +x2 2 x1x2 = (x1 +x2) 2 -2x1x2 x1x2 = 2 +4 048 -2 024 = -2 025 1 012 . 10. 6　 135　 【解析】由题知,图 1 中正方形的边长为 x, 且其面积为 81,所以 x = 9. 因为图 2 中正方形的边 长为 x+ p 2 ,且其面积为 144,所以 x+ p 2 = 12,则 p = 6,所以 9×(9+6)= q,解得 q= 135. 11. 解:(1)因式分解,得(x+3) (x+5)= 0,则 x+3 = 0 或 x+5 = 0,所以 x1 = -3,x2 = -5; (2)移项,得 2x2 -4x = 3,配方,得 2( x-1) 2 = 5,( x- 1) 2 = 5 2 ,则 x-1 = ± 10 2 ,所以 x1 = 1+ 10 2 ,x2 = 1- 10 2 ; (3)移项,得 x2 -3x-1 = 0,a = 1,b = -3,c = -1,则 Δ = ( -3) 2 -4×1×( -1)= 13>0,所以 x = 3± 13 2 ,所以 x1 = 3 + 13 2 ,x2 = 3- 13 2 . 12. 解:(1)转化思想　 a2 ±2ab+b2 = (a±b) 2 (2)三　 二次项系数化为 1,得 x2 -1 = 3 2 x. 移项,得 x2 - 3 2 x = 1. 配方,得 x2 - 3 2 x+ 9 16 = 1 + 9 16 . 变形,得( x- 3 4 ) 2 = 25 16 . 开方,得 x- 3 4 = ± 5 4 . 解得 x1 = 2,x2 = - 1 2 . 13. (1)证明:∵ Δ= [ -(m+1)] 2 -4×2(m-1) = (m-3) 2 ≥0,∴ 无论 m 取何值,这个方程总有实数根; (2)解:∵ 等腰△ABC 的一腰长 a = 6,∴ 方程有一个 根为 6. 将 x= 6 代入原方程,得 36-6(m+1) +2(m- 1)= 0. 解得 m= 7. ∴ 原方程为 x2 -8x+12 = 0. 解得 x1 = 2,x2 = 6. ∵ 2、6、6 能组成三角形,∴ 该三角形的周 长为 2+6+6 = 14. 14. 解:(1)0 或-2 (2)∵ 关于 x 的方程 x2 +2mx+m+1 = 0 是常数根一元 二次方程,∴ 方程的一个根为 x=m+1,代入方程得, (m+1) 2 +2m(m+1) +m+1 = 0,整理得,3m2 +5m+2 = 0,解得 m= - 2 3 或-1; (3)∵ 关于 x 的常数根一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 (a≠0)中不含零根,∴ 方程的一个根为 x = c,且 c≠ 0,代入方程,得 ac2 +bc+c = 0,即 c(ac+b+1) = 0. ∵ c ≠0,∴ ac+b+1 = 0,∴ 把 y = 1 代入方程 acy2 +by+1 = 0,得左边= ac+b+1 = 0 = 右边,∴ y = 1 是关于 y 的方 程 acy2 +by+1 = 0 的一个根,∴ 关于 y 的方程 acy2 +by +1 = 0 是常数根一元二次方程. 基础知识抓分练 2 实际问题与一元二次方程 1. C 2. C　 【解析】设该快递公司这两个月投递总件数的月 平均增长率为 x,根据题意,得:6(1 +x) 2 = 6 + 1. 5 + 1. 14,解得 x= 0. 2 = 20%或 x= -2. 2(舍去) . 故选 C. 3. B　 【解析】依题意,得:1+n+n2 = 111,解得 n1 = 10,n2 = -11. 故选 B. 4. D　 【解析】设剪去的正方形的边长为 xcm,则制成有 盖的长方体铁盒的底面长为(10-2x) cm,宽为 12-2x 2 = (6-x)cm,依题意得(10-2x)(6-x)= 24,整理得 x2 -11x+18 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 9(不合题意,舍去) . 故 选 D. 5. 13　 6. 1 7. 45　 【解析】设这次旅游可以安排 x 人参加,且 30 × 800 = 24 000<29 250,就有 x>30,根据题意得,x[800- 10(x-30)] = 29 250,整理得 x2 -110x+2925 = 0,解得 x1 = 45,x2 = 65. ∵ 800-10(x-30)≥500,∴ x≤60,∴ x = 45. 8. 80 9. 解:(1) 道路的宽为 x 米,由题意得:( 50 - 2x) ( 30 - 2x)= 800,整理得:x2 -40x+175 = 0,解得 x1 = 35(不合 题意,舍去),x2 = 5. 答:道路的宽是 5 米; (2)设每个车位的月租金上涨 y 元时,停车场的月租 金收入为 10 120 元,由题意得:(200 +y) (50 - y 5 ) = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 2 页 10 120,整理得:y2 -50y+600 = 0,解得 y1 = 20,y2 = 30, ∵ 尽可能让利于居民,∴ y = 20. 答:每个车位的月租 金上涨 20 元时,停车场的月租金收入为 10 120 元. 10. 解:任务 1:设该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平 均增长率为 x,根据题意得 100(1+x) 2 = 144,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去) . 答:该车 间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率为 20%; 任务 2:设该零件的实际售价应定为 y 元,则每个的 销售利润为(y-30)元,月销售量为 600-10( y-40) = (1 000-10y)个,根据题意得( y-30) (1000-10y) = 10 000,整理得 y2 -130y+4 000 = 0,解得 y1 = 50,y2 = 80,又∵ 要尽可能让车企得到实惠,∴ y = 50. 答: 该零件的实际售价应定为 50 元. 基础知识抓分练 3 二次函数的图象与性质及二次函数与一元二次方程 1. A　 【解析】对称轴为 x = 2,当 x>2 时,y 随 x 的增大 而增大,当 x<2 时,y 随 x 的增大而减小. x = -1 离对 称轴远,∴ y1 >y2 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】比较二次函数值大小的方法 (1)代入比较法:将几个点的横坐标分别代入二次函 数解析式,求出对应函数值,再比较函数值大小; (2)增减性比较法:当点在对称轴同侧,直接根据增减 性比较,当点不在对称轴同侧,利用二次函数图象对 称性,将点转化到对称轴同侧,再根据增减性比较; (3)根据点到对称轴的距离比较大小; (4)图象比较法. 2. B　 3. C　 4. D　 【解析】根据“左加右减,上加下减”的平移规律 可得 y= 2x2 -4 平移后的函数表达式为 y = 2(x-2) 2 - 3. 故选 D. 5. D　 6. A 7. B　 【解析】①根据图象,a<0,b>0,c>0,∵ abc<0,故 ①错误;②∵ 观察图象知,当 x= 2 时 y>0,∴ 4a+2b+c >0,故②错误;③由图象知,当 x= -1 时,y<0,∴ a-b+ c<0,∵ 抛物线对称轴为直线 x = 1,∴ - b 2a = 1,∴ b = -2a,∴ 3a+c<0,故③正确;④x =m 对应的函数值为 y =am2 +bm+c,x= 1 对应的函数值为 y = a+b+c,又 x = 1 时函数取得最大值,∴ a+b+c>am2 +bm+c,即 a+b>am2 +bm=m(am+b),故④正确. 故选 B. 8. y= -x2 +2x+1(答案不唯一) 　 9. 0<x<4　 10. m>1 11. 解:(1)①4 ②将表格数据描点连线绘制图象如下: (2)①y≥0　 ②当 0≤x≤1 或 x≥3 时,y 随 x 的增大 而增大(答案不唯一) (3)①0<k<4　 ②4. 1(答案不唯一) 12. (1)证明:令 y = 0,则 2x2 -4x-6 = 0,∵ Δ = b2 -4ac = ( -4) 2 -4×2×( -6) = 64>0,∴ 该抛物线一定与 x 轴 有两个交点; (2)解:当 y= 0 时,2x2 -4x-6 = 0,解得 x1 = -1,x2 = 3, ∴ A( -1,0),B(3,0),∵ y= 2(x-1) 2 -8,∴ 顶点 P 的 坐标为(1,-8),∴ △ABP 的面积 = 1 2 ×(3+1) ×8 = 16. 13. 解:(1)把 x= 0 代入 y= -2x+8,解得 y = 8,∴ 点 B 的 坐标为(0,8). 把 y= 0 代入 y = -2x+8 得 0 = -2x+8, 解得 x= 4,∴ 点 A 坐标为(4,0) . 将(0,8),(4,0)代 入 y= x2 +bx+c 得 8 = c 0 = 16+4b+c{ ,解得 b= -6 c= 8{ ,∴ 抛物 线解析式为 y= x2 -6x+8; (2)x<0 或 x>4; (3) ∵ y = x2 - 6x + 8, ∴ 抛 物 线 对 称 轴 为 直 线 x= - -6 2 = 3,点 C(1,y1)关于对称轴的对称点 C′坐标 为(5,y1 ) . ∵ 抛物线开口向上,∴ 当 y2 >y1 时,m<1 或 m>5. 14. 解:(1)∵ 抛物线 y= -x2 +bx+c 交 x 轴于 A( -1,0),B (2,0)两点,∴ 将 A( -1,0),B(2,0)代入 y= -x2 +bx+ c 得 -1-b+c= 0 -4+2b+c= 0{ ,解得 b= 1 c= 2{ ,∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +x+2; (2)设直线 BC 的解析式为 y = kx+m( k≠0),由(1) 中 y= -x2 +x+2 得,点 C 的坐标为(0,2),将 B(2,0), C(0,2)代入 y = kx+m,得 2k+m= 0 m= 2{ ,解得 k= -1 m= 2{ ,∴ 直线 BC 的解析式为 y= -x+2. 设点 P′的坐标为(a, -a+2),∵ 点 P 与点 P′关于 x 轴对称,∴ 点 P 的坐 标为(a,a-2) . ∵ 点 P 在抛物线上,∴ a-2 = -a2 +a+ 2. 解得 a1 = 2,a2 = -2. 又∵ 点 P 不与点 B 重合,∴ a = - 2. ∴ a- 2 = - 2 - 2 = -4. ∴ 点 P 的坐标为( - 2, -4) . 基础知识抓分练 4 二次函数的应用 1. C 2. A　 【解析】由题意,∵ 点 A 到 x 轴的距离是 0. 6dm, ∴ 令 y= 0. 6,则 y = -0. 1x2 +1 = 0. 6,∴ x = 2 或 x = -2 (舍去),∴ A 到 y 轴的距离为 2dm. 又点 A,B 在抛物 线上,OA,OB 关于 y 轴对称,∴ AB = 2×2 = 4(dm) . 故 选 A. 3. D　 4. 7 5. 9　 【解析】∵ 拱跨 AB = 60m,以 AB 的中点 O 为坐标 原点,∴ AO=BO= 30m,∴ A 的坐标为(30,0),B 的坐 标为( -30,0),设抛物线解析式为 y = a( x+30) ( x- 30),∵ AE= 2(m),DE⊥AB 且 DE= 1. 16m,∴ OE=AO -AE= 30-2 = 28m,∴ D 的坐标为(28,1. 16),∴ a(28+ 30)(28-30)= 1. 16,解得 a= -0. 01,∴ 抛物线解析式 为 y= -0. 01(x+30)(x-30),当 x= 0 时,y = 9,∴ 桥拱 最高点到桥面的距离 OC 为 9m. 6. 解:(1)设 y 关于 x 的函数表达式为 y = a( x-5) 2 +4. 把(0, 96 49 )代入表达式得 96 49 = a(0 - 5) 2 + 4,解得 a = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 3 页