抓分练5 整式的乘法与因式分解-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 5　 整式的乘法与因式分解 一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. 下列运算正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4m-m= 4 B. (a2) 3 =a5 C. (x+y) 2 = x2 +y2 D. a2·a3 =a5 2. 当 x>0,y>0,且 x≠y 时,x2(x-y) +y2(y-x) 的值(　 　 ) A. 总是为正 B. 总是为负 C. 可能为正,也可能为负 D. 不能确定正负 3. 新趋势·新定义 如果一个正整数能表示为 两个正整数的平方差,那么称这个正整数 为“智慧数”,如:因为 16 = 52 - 32,所以 16 就是一个“智慧数”,下面 4 个数中不是“智 慧数”的是(　 　 ) A. 2 021 B. 2 022 C. 2 023 D. 2 024 4. 在一次数学活动课中,小林用如图所示的 1 张小正方形纸片 A,4 张大正方形纸片 B 和 若干张长方形纸片 C 恰好拼成一个新的正 方形(将纸片进行无空隙,无重叠拼接),则 小林共用长方形纸片 C 为(　 　 ) A. 2 张 B. 4 张 C. 6 张 D. 8 张 5. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码, 有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方 便. 原理是:如对于多项式 x4 -y4,因式分解 的结果是(x-y)(x+y)(x2 +y2),若取 x= 9,y = 9,则各个因式的值是:x-y= 0,x+y= 18,x2 +y2 = 162,于是就可以把“018162”作为一个 六位数的密码. 对于多项式 x3 -xy2,取 x = 50,y = 20,用上述方法产生的密码不可能 是(　 　 ) A. 503070 B. 507030 C. 307040 D. 703050 6. 如图,在一块边长为 a 的正方形花圃中,两 纵两横的 4 条宽度为 b 的人行道把花圃分 成 9 块,下面是四种计算种花部分土地总面 积的代数式:①(a- 2b) 2;②a2 - 4ab;③a2 - 4ab+b2;④a2-4ab+4b2.其中正确的有(　 　 ) A. ② B. ①③ C. ①④ D. ④ 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 7. 若 x2 +kx+ 81 是完全平方式,则 k 的值应 是　 　 　 　 . 8. 生活情境·土地租赁 某农户租两块土地种植 沃柑. 第一块是边长为 a m 的正方形,第二块 是长为(a+10)m,宽为(a+5)m 的长方形,则 第二块比第一块的面积多了　 　 　 　 . 9. 已知关于 x 的多项式 mx-n 与 2x2 -3x+4 的 乘积结果中不含 x 的二次项,且常数项为 -6,则 m+n 的值为　 　 　 　 . 10. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、 公式法,但有一部分多项式只用上述方法 就无法分解,如 x2 -2xy+y2 -16. 通过观察, 前三项符合完全平方公式,进行变形后可 以与第四项结合,再应用平方差公式进行 分解:x2 -2xy+y2 -16 = (x2 -2xy+y2 ) -16 = (x-y) 2 -42 = (x-y+4) (x-y-4),这种分解 因式的方法叫分组分解法. 利用上述方法 分解因式:4x2 +12xy+9y2 -9 = 　 　 　 　 . 9 情境期末·ZBR·八年级数学上 三、解答题(共 25 分) 11. (8 分)计算: (1)54 ÷52 ×5-1; (2)(4a3b-6a2b2 +12ab3) ÷2ab. 12. (8 分)仔细阅读下面例题: 已知二次三项式 x2 +5x+m 有一个因式是 x +2,求另一个因式以及 m 的值. 解:设另一个因式为 x+n,得 x2 +5x+m= (x +2)(x+n),则 x2 +5x+m= x2 +(n+2)x+2n, 则 n+2 = 5,2n=m,解得:n= 3,m= 6. ∴ 另一个因式为 x+3,m= 6. 类比上面方法解答: (1)若二次三项式 x2 -x-12 可分解为( x+ 3)(x-a),则 a= 　 　 　 　 ; (2)若二次三项式 2x2 -bx- 6 有一个因式 是(2x+3),求另一个因式以及 b 的值. 13. (9 分)阅读材料: 若 x 满足(9-x)(x-4)= 4,求(9-x) 2 +(x- 4) 2 的值. 解:设 9-x=a,x-4 = b,则(9-x) (x-4)= ab = 4,a+b= (9-x) +(x-4)= 5, ∴ (9-x) 2 +(x-4) 2 = a2 +b2 = (a+b) 2 - 2ab= 52 -2×4 = 17. 类比应用: (1)若(3-x) (x-2) = -1,求(3-x) 2 +( x- 2) 2 的值; (2)若(n-2 024) 2 +(2 023-n) 2 = 10,则(n -2 024)(2 023-n)的值为　 　 　 　 　 　 ; (3)已知正方形 ABCD 的边长为 a,点 P 和 点 R 分别是边 AB 和 CD 上的点,且 AP = 4,CR= 2,分别以 BP 和 DR 为边长作正方 形 PBEF 和正方形 DMNR. 若图中阴影部 分长方形的面积是 4,请求出正方形 PBEF 和正方形 DMNR 的面积和. 01 (-1,-3),P3(5,3),P4(-1,1),∴ P4 与 P 重合,四次一个 循环,∵ 2024÷4 = 506,∴ P2024 与 P4 重合,∴ P2024(-1,1) . 10. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (2)由图可知,A1(-1,2),B1(-3,1),C1(2,-1); (3)S△ABC = 3×5- 1 2 ×2×1- 1 2 ×3×3- 1 2 ×2×5 = 9 2 . 11. (1)证明:∵ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ AB = AD,CB = CD,在△ABC 和△ADC 中, AB=AD CB=CD AC=AC { ,∴ △ABC≌△ADC (SSS),∴ ∠ABC= ∠ADC; (2)解:由(1)得 AB=AD= 13,∵ DF= 6,∴ AF=AD-DF = 7,∵ △ABC≌△ADC,∴ ∠BAC = ∠DAC,∵ OE⊥AB,OF ⊥AD,∴ ∠AEO = ∠AFO = 90°,在△AEO 和△AFO 中, ∠AEO= ∠AFO ∠EAO= ∠FAO AO=AO { ,∴ △AEO≌ △AFO( AAS),∴ AE = AF = 7. 12. 解:(1)∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC,∴ MC = MA,NC=NB,∴ △CMN 的周长 =CM+CN+MN =MA+NB +MN=AB= 7; (2)∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC,∴ ∠CDF = ∠CEF= 90°,∵ ∠MFN = 72°,∴ ∠ACB = 360°-90°- 90° -72° = 108°,∴ ∠A+∠B = 180°-108° = 72°,∵ MC =MA, NC = NB, ∴ ∠MCA = ∠A, ∠NCB = ∠B, ∴ ∠ACM + ∠BCN= ∠A+∠B= 72°,∴ ∠MCN= 108°-72° = 36°. 13. 证明:(1)∵ l 是 AB 的垂直平分线,∴ DA = DB,∵ DB = DC,∴ DA=DC,∴ ∠CAD= ∠ACD; (2)延长 AD,与 BC 交于点 F,∵ AC = AB, ∴ ∠ABC = ∠ACB, ∵ DB = DC, ∴ ∠DBC = ∠DCB, ∴ ∠ACD = ∠ABD, 在 △ACD 和 △ABD 中, DC=DB ∠ACD= ∠ABD AC=AB { , ∴ △ACD≌△ABD(SAS),∴ ∠CAD= ∠BAD,∵ AC =AB,∴ F 是 BC 的中点. 基础知识抓分练 4　 等腰三角形与最短路径问题 1. C　 2. B　 3. D 4. B　 【解析】连接 CE,∵ △ABC 是等边三角形,AD 是中 线,∴ AD 垂直平分 BC,∴ BE=EC,∴ BE+EF=EC+EF,∴ 当点 C,点 E,点 F 三点共线,且 CF⊥AB 时,EC+EF 值最 小,即 BE+EF 的值最小. ∵ △ABC 是等边三角形,AD⊥ BC,CF⊥AB,∴ AD =CF = 6,即 BE+EF 的最小值是 6. 故 选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短 或垂线段最短等结论. 连接 CE,由题意可得 BE = EC,将 FE+EB 转化为 FE+CE,当点 C,点 E,点 F 三点共线,且 CF⊥AB 时,EC+EF 值最小,即 BE+EF 的值最小,此时 CF 的长度为 BE+EF 的最小值. 5. C　 【解析】∵ ∠B= 30°,∠C = 40°,∴ ∠BAC = 180°-30°- 40° = 110°,∵ DA=DB,EA=EC,∴ ∠B = ∠DAB = 30°,∠C = ∠EAC= 40°,∴ ∠DAE= ∠BAC-∠BAD-∠CAE = 110°- 30°-40° = 40°. 故选 C. 6. D　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相 交于点 O,∴ ∠OBC = 1 2 ABC,∠OCB = 1 2 ∠ACB,∠A+ ∠ABC+∠ACB = 180°,∴ ∠OBC+∠OCB = 90°- 1 2 ∠A,∴ ∠BOC= 180°-(∠OBC+ ∠OCB) = 90° + 1 2 ∠A,故②正 确;∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,∴ ∠OBC = ∠OBE, ∠OCB = ∠OCF, ∵ EF∥BC, ∴ ∠OBC = ∠EOB, ∠OCB = ∠FOC, ∴ ∠EOB = ∠OBE, ∠FOC= ∠OCF,∴ BE=OE,CF =OF,∴ EF =OE+OF =BE +CF,故①正确;过点 O 作 OM⊥AB 于 M,作 ON⊥BC 于 N,连接 OA,∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相 交于点 O,∴ ON = OD = OM = m,∴ S△AEF = S△AOE +S△AOF = 1 2 AE·OM+ 1 2 AF·OD= 1 2 OD·(AE+AF)= 1 2 mn,故④ 正确;∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,∴ 点 O 到△ABC 各边的距离相等,故③正确. 故选 D. 7. 21 或 24　 8. 6 9. 45°或 0°或 90° 　 【解析】∵ ∠ACB = 120°,∠PCB = α,∴ ∠ACP= 120°-α,①当 PC=PD 时,此时∠PCD = ∠PDC = 120°-α,∵ ∠CPD+∠PCD+∠PDC = 180°,∴ 30°+(120°- α)+(120°-α)= 180°,∴ α = 45°;②当 CD = CP 时,此时 ∠CDP= ∠CPD = 30°,∵ ∠CPD+∠PCD+∠PDC = 180°, ∴ 30°+(120°-α)+30° = 180°,∴ α = 0°,此时点 P 与点 B 重合;③当 CD=PD 时,此时∠PCD= ∠CPD= 30°,∴ 120° -α= 30°,∴ α = 90°;综上可知,点 P 在滑动时,α = 45°或 0°或 90°时,△PCD 的形状是等腰三角形. 10. 证 明: ∵ ABCDE 是 正 五 边 形, ∴ ∠E = ∠EDC = (5-2)×180° 5 = 108°,∴ ∠EDA = 180° -∠E 2 = 36°,∠FDC = ∠EDC-∠EDA = 72°,∵ BF∥ED,∴ ∠DFG = ∠EDA = 36°,∠FGD= 180°- 36°- 72° = 72°,∴ ∠FDC = ∠FGD, ∴ FD=FG,∴ △DFG 是等腰三角形. 11. 解:(1)△DEF 是等边三角形,理由如下:∵ AB =AD,∠A = 60°,∴ △ABD 为等边三角形,∴ ∠ADB= ∠ABD = 60°, ∵ CE∥AB,∴ ∠DEF = ∠A = 60°,∠EFD = ∠ABD = 60°, ∴ △DEF 是等边三角形; (2)连接 AC 交 BD 于点 O,∵ AB =AD,CB =CD,∴ AC 垂 直平分 BD,∴ AO⊥BD,∴ ∠BAO = ∠DAO = 30°,∵ CE∥ AB,∴ ∠ACE= ∠BAO= ∠DAO,∴ AE=CE = 7,∴ DE =AD -AE= 12-7 = 5,∵ △DEF 是等边三角形,∴ EF=DE= 5, ∴ CF=CE-EF= 2. 12. (1)证明:∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ OA =OB,∵ AB = AC, D 为 BC 中点,∴ AD⊥BC,∴ AD 是 BC 的中垂线,∴ OB =OC,∴ OA=OC,∴ △OAC 是等腰三角形; (2)解:∵ AB = AC,D 为 BC 中点,∴ ∠DAC = ∠BAD = 20°,∴ ∠BAC= 40°,∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ EF⊥AB, ∴ ∠AFE = 50°,∵ OA = OC,∴ ∠OCA = ∠OAC = 20°,∴ ∠COF= ∠AFE-∠OCA= 50°-20° = 30°. 基础知识抓分练 5　 整式的乘法与因式分解 1. D 2. A　 【解析】x2(x-y)+y2(y-x)= x2(x-y) -y2(x-y)= (x- y)(x2 -y2)= (x-y) 2(x+y),∵ x> 0,y> 0,且 x≠y,∴ (x- y) 2(x+y)>0. 故选 A. 3. B　 【解析】设 k 是正整数,∵ (k+1) 2 -k2 = (k+1+k)(k+1 -k)= 2k+1,∴ 除 1 外,所有的奇数都是智慧数,所以 A,C 选项都是智慧数,不符合题意;∵ (k+1) 2 -(k-1) 2 = (k+1 +k-1)(k+1-k+1)= 4k,∴ 除 4 外,所有的能被 4 整除的 偶数都是智慧数,所以 D 选项是智慧数,不符合题意,B 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 3 页 选项 2022 不是奇数也不是 4 的倍数,不是智慧数,符合 题意. 故选 B. 4. B　 【解析】设共用长方形纸片 C 为 m 张,则:拼成的大正 方形的面积为 a2 +mab+ 4b2,∴ a2 +mab+ 4b2 为完全平方 式,∴ m= 4 或 m = -4(舍去),∴ 共用长方形纸片 C 为 4 张. 故选 B. 5. C　 【解析】∵ x3 -xy2 = x(x2 -y2)= x( x+y) ( x-y),∵ x = 50,y= 20,则各个因式的值为 x= 50,x+y= 70,x-y= 30,∴ 产生的密码不可能是 307040. 故选 C. 6. C　 【解析】由平移法可得,种花土地总面积是以(a-2b) 为边长的正方形,∴ 种花土地总面积 = (a-2b) 2;∵ 种花 土地的面积等于大正方形的面积减去阴影部分的面积, 即种花土地总面积为 a2 -(4ab-4b2)= a2 -4ab+4b2,∴ ① ④正确. 故选 C. 7. ±18 8. (15a+50)m2 　 【解析】由题意得:(a+10)(a+5)-a2 = a2 + 5a+10a+50-a2 =(15a+50)m2,∴ 第二块比第一块的面积 多了(15a+50)m2 . 9. 1 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】根据多项式乘多项式进行计算,根据题意令 x2 项的系数为 0,且常数项为-6,得出 m,n 的值,进而即 可求解. 10. (2x+3y+3)(2x+3y-3) 11. 解:(1)54 ÷52 ×5-1 = 54-2 ×5-1 = 25× 1 5 = 5; (2) ( 4a3b - 6a2b2 + 12ab3 ) ÷ ( 2ab) = ( 4a3b) ÷ ( 2ab) - (6a2b2 )÷(2ab)+(12ab3 )÷(2ab)= 2a2 -3ab+6b2 . 12. 解:(1)4　 【解析】设 x2 -x-12 =(x+3)(x-a),所以 x2 -x -12 = x2 +(3-a)x-3a,所以-3a= -12,解得 a= 4; (2)设另一个因式为(x+n),则 2x2 -bx- 6 = (2x+ 3) (x+ n),2x2 -bx-6 = 2x2 +(2n+3)x+3n,∴ 3n = -6,2n+3 = -b, 解得 n= -2,b= 1,所以另一个因式为 x-2,b 的值为 1. 13. 解:(1)设 3-x= p,x-2 = q,则(3-x)(x-2)= pq = -1,(3- x)+(x-2)= p+q= 1,∴ (3-x) 2 +(x-2) 2 = p2 +q2 = (p+q) 2 -2pq= 1-2×(-1)= 3; (2)- 9 2 　 【解析】设 n- 2 024 = r,2 023 -n = s,则( n- 2 024) 2 +(2 023-n) 2 = r2 +s2 = 10,(n- 2 024) +(2 023- n)= r+s= -1,∵ r2 +s2 =( r+s) 2 -2rs,∴ (n-2 024)(2 023- n)= rs=( r +s) 2 -( r2 +s2) 2 = 1-10 2 = - 9 2 ; (3)由题意可知:BP=AB-AP = a-4,DR =CD-CR = a-2, ∴ (a-4)-(a- 2) = - 2. 图中阴影部分的面积为(a- 4) (a-2)= 4,则正方形 PBEF 和正方形 DMNR 的面积和 为:(a-4) 2 +(a-2) 2 = [(a-4) -(a-2)] 2 +2(a-4) (a- 2)= 4+2×4 = 12. 基础知识抓分练 6　 分式及分式的运算 1. B　 2. B 3. C 　 【解析】将分式3x +y xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍可得 3·2x+2y 2x·2y = 1 2 ·3x +y xy ,∴ 原分式缩小 2 倍. 故选 C. 4. D 5. C　 【解析】根据题意得 P = n m2 -1 ,Q = n (m-1) 2 ,∴ P-Q = n m2 -1 - n (m-1) 2 = n(m-1)-n(m+1) (m+1)(m-1) 2 = n· -2 (m+1)(m-1) 2 , ∵ m>1,∴ (m+1)(m-1) 2 >0,∴ P-Q<0,即 P<Q,所以选项 C 正确;∵ P Q = n m2 -1 ÷ n (m-1) 2 = n (m+1)(m-1) ·(m -1) 2 n = m-1 m+1 ,∴ P=m -1 m+1 Q,所以选项 D 错误. 故选 C. 6. D　 【解析】由 a+b+c= 2,两边平方,得 a2 +b2 +c2 +2ab+2bc +2ac= 4,将已知代入,得 ab+bc+ac= 1 2 ;由 a+b+c= 2 得 c -1 = 1-a-b,∴ ab+c-1 =ab+1-a-b = (a-1)(b-1),同理, 得 bc+a-1 =(b-1)(c-1),ca+b-1 =(c-1)(a-1),∴ 原式 = 1 (a-1)(b-1) + 1 (b-1)(c-1) + 1 (c-1)(a-1) = c-1+a-1+b-1 (a-1)(b-1)(c-1) = -1 (ab-a-b+1)(c-1) = -1 abc-ac-bc+c-ab+a+b-1 = -1 1- 1 2 +2-1 = - 2 3 . 故选 D. 7. A 　 【解析】 ∵ P - Q = ( x - 1) - 1 x-1 = (x-1) 2 -1 x-1 = x2 -2x+1-1 x-1 = x 2 -2x x-1 = x(x-2) x-1 ,∴ 当 2>x>1 时,x-1>0,x> 0,x-2<0,则x(x -2) x-1 <0,即 P<Q,∴ 结论①不对;当 x< 0 时,x-1<0,x- 2< 0,则x(x -2) x-1 < 0,即 P<Q,∴ 结论②对. 故选 A. 8. x x2 +1 (答案不唯一) 9. a +b b 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】根据分式的除法法则:分式除以分式,把除式 的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘进行计算即可, 注意结果要化到最简. 10. x2 +x　 【解析】由题意得 x 2 △ = x x2 -1 ÷ 1 x-1 = x x2 -1 ·(x-1) = x x+1 ,∴ △ = x 2(x+1) x = x2 +x. 11. 解:( b a - a b )÷a +b ab = b 2 -a2 ab · ab a+b = (b+a)(b-a) ab · ab a+b = b -a,当 a= 2024,b= 2025 时,原式= 2025-2024 = 1. 12. 解:(1)P= [(a +2)(a-2) (a-2) 2 - 1 a-2 ]·a +2 a+1 = (a +2 a-2 - 1 a-2 ) · a+2 a+1 =a+1 a-2 ·a +2 a+1 =a+2 a-2 ; (2)∵ DE 垂直平分线段 AC,∴ EA = EC,∴ △ECB 的周 长=EC+EB+BC=EA+EB+BC = AB+BC = 7+5 = 12,∴ a = 12,∴ P= 12 +2 12-2 = 7 5 . 13. 解:(1)c= a b -a+b,∴ c= -3 5 -(-3)+5 = - 3 5 +3+5 = 7 2 5 , ∴ a,b 的“传承数”c 的值为 7 2 5 ; (2)∵ x2 + 1 x2 = 2,即(x+ 1 x ) 2 -2x· 1 x = 2,∴ (x+ 1 x ) 2 = 4,x+ 1 x = ±2,∵ c 是 a,b 的“传承数”,∴ c= a b -a+b = 1 x -1+x= x+ 1 x -1. ∵ x+ 1 x = 2 或-2,∴ x+ 1 x -1 = 1 或-3, ∴ a,b 的“传承数”为 1 或-3. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 4 页