试卷4 唐河2023学年下期期终阶段性文化素质监测试题-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

情境期末·九年级数学　 第 1 页 情境期末·九年级数学　 第 2 页 情境期末·九年级数学　 第 3 页 试卷 4 唐河秋期期终阶段性文化素质监测试题 测试范围:九上~九下第 27 章　 　 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列关于 x 的方程中,是一元二次方程的有(　 　 ) A. x2 + 1 x2 = 0 B. (x-1)(x+2)= 1 C. ax2 +bx+c= 0 D. 3x2 -2xy-5y2 = 0 2. 下列计算错误 ∙∙ 的是(　 　 ) A. 3+2 2 = 5 2 B. 8 ÷2 = 2 C. 2 × 3 = 6 D. 8 - 2 = 2 3. 如图,点 D 为△ABC 外一点,AD 与 BC 边的交点为 E,AE= 3,DE= 5,BE= 4,要使△BDE∽△ACE,且 点 B、D 的对应点为 A、C,那么需要添加的一个条件是(　 　 ) A. CE= 20 3 B. CE= 15 4 C. AC=BD D. AC∥BD 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如上折线统计图, 则符合这一结果的试验最有可能是(　 　 ) A. 从装有相同质地的 3 个红球和 2 个黄球的暗箱中随机取一个红球 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀” C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币,两次都出现反面 D. 抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子,向上一面的点数之和超过 7 5. 某超市一月份的营业额为 200 万元,已知第一季度的总营业额共 1 000 万元,如果平均每月增长率 为 x,则由题意列方程应为(　 　 ) A. 200(1+x) 2 = 1 000 B. 200+200×2x= 1 000 C. 200+200×3x= 1 000 D. 200[1+(1+x) +(1+x) 2] = 1 000 6. 若∠A 是锐角,下列说法正确的是(　 　 ) A. tanA>sinA B. (sinA-1) 2 = sinA-1 C. cosA= tan(90°-∠A) D. sinA+cosA= 1 7. 已知△ABC 中,AD∥BC,CD 交 AB 于 E,EF∥BC,AE ∶EB= 1 ∶2,S△ADE = 1,则 S△AEF = (　 　 ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 8. 如图,已知 AB 是☉O 的直径,DA 与☉O 相切于点 A,EC ( =CB ( . 则下列结论中不一定正确的是(　 　 ) A. BA⊥DA B. OC∥AE C. ∠COE= 2∠EAC D. OD⊥AC 9. 已知抛物线 y= x2 +bx+c 的部分图象如图所示,以下结论:①abc>0;②方程 x2 +bx+c = 0 的根是 x1 = -1,x2 = 3;③抛物线上有三点( -1,y1),(1,y2),(4,y3),则 y1 >y3 >y2;④若-1<x<2,则 y 的取值范围 是-4≤y<0;其中正确的有(　 　 ) A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 1,BC = 2,连结 AC,以对角线 AC 为边,按逆时针方向作矩形 ACC1B1, 使矩形 ACC1B1 ∽矩形 ADCB;再连结 AC1,以对角线 AC1 为边,按逆时针方向作矩形 AC1C2B2,使矩 形 AC1C2B2∽矩形 ACC1B1,…,按照此规律作下去,则边 AC2 023 的长为(　 　 ) A. 5 ×( 5 2 ) 2 023 B. 2×( 5 2 ) 2 022 C. 5 ×22 023 D. 2×( 5 ) 2 023 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 计算:( 2 +1)( 2 -1) - 6 3 +2sin45° = 　 　 　 　 . 12. 如果关于 x 的一元二次方程 kx2 - 3k+1 x+ 1 = 0 有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范围 是　 　 　 　 . 13. 如图,泗洲塔前有一棵高 4 米的小树 CD,发现水平地面上点 E、树顶 C 和塔顶 A 恰好在一条直线 上,测得 BD= 57 米,D、E 之间有一个花圃距离无法测量;然后,在 E 处放置一平面镜,沿 BE 后退, 退到 G 处恰好在平面镜中看到树顶 C 的像,EG= 2. 4 米,测量者眼睛到地面的距离 FG 为 1. 6 米; 已知 AB⊥BG,CD⊥BG,FG⊥BG,点 B、D、E、G 在同一水平线上,则泗洲塔的高度 AB 为　 　 　 　 米. 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 14. 如图,在菱形 ABCD 中,AC= 8,BD= 4,AC 交 BD 于点 O,E 为 OD 的中点,连结 CE 并延长,交 AD 于 点 F,点 G 为 CF 的中点,连结 OG,则 OG= 　 　 　 　 . 15. 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC = 90°,AB =AC = 2,直角三角板含 45°角的顶点 P 在边 BC 上移动(点 P 不与 B,C 重合),直角三角板的一条直角边始终经过点 A,斜边与边 AC 交于点 Q. 当 △ABP 为等腰三角形时,CQ 的长为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题满分 75 分) 16. (共 10 分,每题 5 分)计算: (1) | 3 -2 | - 12 ×tan60°+2cos30°+( 1 2 ) -1;　 　 　 　 (2)解方程:2x(x-1)= 3(x-1). 17. (8 分)某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动. 文峰中学对本校 100 名参加选拔 赛的同学的成绩按 A、B、C、D 四个等级进行统计,绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图. 　 　 　 成绩等级 频数(人数) 频率 A 4 0. 04 B m 0. 51 C n D 合计 100 1 　 　 　 　 　 　 (1)求 m= 　 　 　 　 ,n= 　 　 　 　 ; (2)在扇形统计图中,求“C 等级”所对应圆心角的度数; (3)成绩等级为 A 的 4 名同学中有 1 名男生和 3 名女生,现从中随机挑选 2 名同学代表学校参加 全市比赛,请用树状图法或列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率. 18. (8 分)如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 AD 上的点,点 F 在边 CD 上,且 CF= 3DF,∠BEF= 90°. (1)求证:△ABE∽△DEF; (2)若 AB= 6,延长 EF 交 BC 的延长线于点 G,求 BG 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 试卷 4 　 情境期末·九年级数学　 第 4 页 情境期末·九年级数学　 第 5 页 情境期末·九年级数学　 第 6 页 19. (9 分)如图,在一条笔直的高速公路 l 上有 A、B 两个观测站,AB= 2 100 m,从 A 站测得文物保护点 C 在其北偏东 45°方向上,从 B 站测得文物保护点 C 在其北偏东 23°方向上,若现在想修建一个以 文物保护点 C 为中心,半径为 3 000 m 的文物观赏园,试问公路 l 是否在文物观赏园的范围内? (参考数据:sin23°≈0. 4,cos23°≈0. 9,tan23°≈0. 4, 2 ≈1. 4) 20. (10 分)小李在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,球飞行路线满足抛物线 y = - 1 5 x2 + 8 5 x(如图 所示),其中 y(m)是球的飞行高度,x( m)是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有 2 m. (1)请写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标; (2)请求出球洞距离击球点的水平距离; (3)若小李再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行的路线应 满足怎样的抛物线? 求其表达式. 21. (10 分)中秋节吃月饼是中国传统习俗,在“中秋节”来临前,某超市购进一种品牌月饼,每盒进价 是 40 元,并规定每盒售价不得少于 50 元,日销售量不低于 350 盒. 根据以往销售经验发现:当每 盒售价定为 50 元时,日销售量为 500 盒;每盒售价每提高 1 元,日销售量减少 10 盒. 设每盒售价 为 x 元,日销售量为 p 盒. (1)当 x= 60 时,p= 　 　 　 　 ; (2)当每盒售价定为多少元时,日销售利润 W(元)最大? 最大利润是多少元? (3)小强说:“当日销售利润最大时,日销售额不是最大. ”小红说:“当日销售利润不低于 8 000 元 时,每盒售价 x 的范围为 60≤x≤80. ”你认为他们的说法正确吗? 若正确,请说明理由;若不正确, 请直接写出正确的结论. 22. (10 分)【揭示关系】如图 1,在 Rt△ABC 中∠C = 90°,∠A = 30°,BC = 1,AB = 2,AC = 3 . 即 BC ∶AC ∶ AB= 1 ∶ 3 ∶2. 因此,对于含 30°角的直角三角形的三边关系,可以作为问题解决的条件直接使用. 图 1 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 图 3 (1)问题解决:如图 2,在 Rt△AOB 中,∠AOB = 90°,∠OAB = 30°,点 C 在边 OB 上,点 D 在 AO 边 上,∠OCD= 30°,点 E,F 分别为 OA、AC 的中点. 则EF OD = 　 　 　 　 ,OE OB = 　 　 　 　 . (2)类比探究:将图 2 中△OCD 绕点 O 逆时针旋转 α(90°<α<180°)后,得到△OC′D′,点 C,D 的对 应点分别为点 C′,D′,连结 AC′,BD′,得到图 3. 若点 M 是 AC′的中点,连结 OM. ①求证:△EOM∽△OBD′; ②线段 OM 和 BD′之间存在怎样的数量关系和位置关系? 写出你的结论,并进行证明. 23. (10 分)如图,抛物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C(0,3),且 A( -1,0),D 是 对称轴与 x 轴的交点. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上有一点 M,使得 MA+MC 的值最小,求此点 M 的坐标; (3)在抛物线的对称轴上是否存在 P 点,使△PCD 是等腰三角形,如果存在,请直接写出 P 点坐 标;如果不存在,请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19. 解:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD∥BC,∴ ∠CBF= ∠AEF,∠BCF = ∠EAF,∴ △CBF∽ △AEF,∴ CF AF = BC AE = 4 3 ,∴ CF CA = 4 7 . ∵ FG∥BC,AD∥BC,∴ FG∥AD, ∴ FG AD =CF CA = 4 7 ,∴ FG= 4 7 ×4 = 16 7 . 20. 解:(1)∵ m= 3,∴ 原方程可化为 2x2 -5x-3 = 0,因式 分解为(x-3)(2x+1)= 0,∴ x1 = - 1 2 ,x2 = 3,∴ 当 m= 3 时,该方程的实数根为 x1 = - 1 2 ,x2 = 3; (2)∵ 关于 x 的一元二次方程 2x2 -5x-m = 0 有两个 不相等的实数根,∴ Δ= ( -5) 2 -4×2×( -m) >0,解得 m>- 25 8 ,∴ m 的取值范围为 m>- 25 8 . 21. 解:小王能求出信号塔 DE 的高,理由如下:过 B 作 BF⊥DE 于 F,则 EF =BC = 3m,BF =CE,在 Rt△ABC 中. ∵ AB = 5m,BC = 3m,∴ AC = AB2 -BC2 = 4m,在 Rt△ADE 中. ∵ ∠DAE= 45°,∴ AE=DE,设 AE =DE = xm,∴ BF= (4+x) m,DF = ( x- 3) m,在Rt△BDF 中, tan38. 7° = DF BF = x -3 4+x ≈0. 80,解得 x= 31,经检验 x= 31 是原方程的解, ∴ DE = 31m,答:信号塔 DE 的高 为 31m. 22. 解:(1)设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y= kx+b(k≠0),将(35,550)、(40,500)代入 y = kx+ b,得 35k+b= 55040k+b= 500{ . 解得: k= -10 b= 900{ ,∴ 年销售量 y 与销 售单价 x 的函数关系式为 y= -10x+900; (2)根据题意得:(x-30) ( -10x+900) = 8000. 整理, 得:x2 -120x+3500 = 0,解得:x1 = 50,x2 = 70. ∵ 此设 备的销售单价不得高于 60 万元,∴ x = 50. 答:该设 备的销售单价应是 50 万元. 23. 解:(1)BE=AD　 【解析】∵ 将线段 CD 绕点 D 顺时 针旋转 n°得到线段 ED,∴ ∠CDE = n°,DC = DE. ∵ n = 60,∴ ∠CDE = ∠BAC = 60°. ∵ AB = AC,∴ △ABC 和△DCE 都是等边三角形,∴ BC = AC,CD = CE, ∠DCE= ∠ACB= 60°,∴ ∠BCE = ∠ACD,∴ △BCE≌ △ACD(S. A. S. ),∴ BE=AD; (2)BE= 2AD,理由如下:由旋转,得∠CDE = n°,DC =DE. ∵ n = 90,∴ ∠CDE = ∠BAC = 90°. ∵ AB = AC, ∴ △ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形,∴ CE = 2 CD,BC = 2 AC,∠ACB = ∠DCE = 45°,∴ CE CD = BC AC = 2 ,∠BCE= ∠ACD,∴ △BCE∽△ACD,∴ BE AD = CE CD = 2 ,∴ BE= 2AD; (3) 41或 5　 【解析】当 D 在 A 上方时,如图 1,过 E 作 EH⊥AC 交 CA 延长线于 H,由(2)知,BE = 2 AD,CE = 2 CD. ∵ AD = 1,∴ BE = 2 . ∵ n = 90,∴ ∠BAC= ∠HAB= 90°. ∵ BE∥AC,∴ ∠ABE = ∠BAC = 90°. ∵ EH⊥AC,∴ ∠H = 90°,∴ 四边形 ABEH 是矩 形,∴ AH=BE= 2 ,EH=AB. ∵ AB=AC= 4 2 ,∴ CH= AC+AH = 5 2 ,EH = AB = 4 2 ,∴ CE = CH2 +EH2 = (5 2 ) 2 +(4 2 ) 2 = 82 ,∴ 82 = 2 CD,解得 CD = 41 ;当 D 在 A 下方时,如图 2,过点 E 作 EH⊥ AC,垂足为 H,同理可得 EH = AB = AC = 4 2 ,AH = BE = 2AD= 2 ,∴ CH=AC-AH= 4 2 - 2 = 3 2 ,∴ CE = EH2 +CH2 = (4 2 ) 2 +(3 2 ) 2 = 5 2 . ∵ CE = 2 CD,∴ 5 2 = 2 CD,∴ CD = 5;综上所述,CD 的长为 41 或 5. 图 1 　 　 图 2 唐河秋期期终阶段性文化素质监测试题 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B D A C D C A 1. B　 【解析】A. 不是整式方程,故本选项错误. B. 原方 程可化为 x2 +x-3 = 0,符合一元二次方程的定义,故本 选项正确;C. 方程二次项系数可能为 0,故本选项错 误;D. 方程含有两个未知数,故本选项错误. 故选 B. 2. A　 【解析】A. 3 与 2 2 不是同类项,不能合并. 故选项 A 错误,符合题意. 故选 A. 3. B　 【解析】∵ ∠AEC = ∠BED,△BDE∽△ACE,∴ BE AE =DE CE ,即 4 3 = 5 CE ,∴ CE = 15 4 . ∴ 需要添加的一个条件 是 CE= 15 4 . 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查了相似三角形的判定:两边成比 例且夹角相等的两个三角形相似,此判定方法要合理 使用公共角或对顶角. 4. B　 【解析】A. 从装有相同质地的 3 个红球和 2 个黄 球的暗箱中随机取一个红球,取到的红球的概率是 3 5 = 0. 6,不符合题意;B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中, 小明随机出的是“剪刀”的概率为 1 3 ≈0. 33,符合题 意;C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币,两次都出现 反面的概率是 1 4 = 0. 25,不符合题意;D. 抛掷两枚质 地均匀的正六面体骰子,向上一面的点数之和超过 7 的概率为 5 12 ,不符合题意. 故选 B. 5. D 6. A　 【解析】在 Rt△ACB 中,∠C = 90°,AC = b,BC = a, AB = c,则:tanA = a b ,sinA = a c . ∵ b<c,∴ tanA>sinA;故 A 正确,符合题意;∵ 0 <sinA< 1,∴ (sinA-1) 2 = 1 - sinA;故 B 错误,不符合题意;∵ cosA = b c , tan(90° - ∠A)= tanB = b a ,∴ cosA≠tan(90°-∠A);故 C 错误, 不符合题意;∵ sinA = a c ,cosA = b c ,∴ sinA+cosA = a+b c ≠1,sin2A+cos2A= a2 +b2 c2 = c 2 c2 = 1;故 D 错误,不符合题 意. 故选 A. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 16 页 7. C　 【解析】∵ AD∥EF∥BC,∴ AE EB = AF FC = 1 2 ,∴ EF AD = CF AC = 2 3 ,∴ S△AEF ∶ S△ADE = EF ∶ AD = 2 ∶ 3. ∵ S△ADE = 1,∴ S△AEF = 2 3 . 故选 C. 8. D　 【解析】∵ AB 是☉O 的直径,AD 切☉O 于点 A,∴ BA⊥DA,故 A 正确;∵ EC ( = CB ( ,∴ ∠EAC = ∠CAB. ∵ OA=OC,∴ ∠CAB= ∠ACO,∴ ∠EAC = ∠ACO,∴ OC∥ AE,故 B 正确;∵ ∠COE 是 CE ( 所对的圆心角,∠CAE 是 CE ( 所对的圆周角,∴ ∠COE = 2∠CAE,故 C 正确; 只有当 AE ( =CE ( 时 OD⊥AC,故本选项不一定正确. 故 选 D. 9. C　 【解析】把(-1,0)和(0,-3)代入 y = x2 +bx+c 得: 1-b+c= 0 c= -3{ ,解得: b= -2 c= -3{ ,∴ y = x 2 -2x-3,∴ a = 1,b = -2,c= -3,∴ abc= 1×(-2)×(-3)>0,故①正确;令 y= 0,则 x2 -2x-3 = 0,解得:x1 = -1,x2 = 3,故②正确;把 (-1,y1),(1,y2),(4,y3)分别代入 y = x 2 -2x-3 得:y1 = 0,y2 = -4,y3 = 5,∴ y3 >y1 >y2,故③错误;∵ -1<x<2, 对称轴为 x= 1,∴ y 的最小值为-4,当 x= -1 时,y = 0, 当 x= 2 时,y= -3,∴ y 的取值范围为-4≤y<0,故④正 确;综上所述,正确的有①②④. 故选 C. 10. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD⊥DC,∴ AC= AB2 +BC2 = 1+4 = 5 . ∵ 按逆时针方向作矩 形 ABCD 的相似矩形 ACC1B1,∴ 矩形 ACC1B1 的边长 和矩形 ABCD 的相似比为 5 ∶2,∴ 矩形 ACC1B1 的对 角线和矩形 ABCD 的对角线的比 5 ∶2. ∵ 矩形 ABCD 的对角线为 5 ,∴ 矩形 AB1C1C 的对角线 AC1 = 5 × 5 2 = 5 2 ,依此类推,矩形 AB2C2C1 的对角线和矩形 AB1C1C 的对角线的比为 5 ∶2,∴ 矩形 AB2C2C1 的对 角线 AC2 = 5 ×( 5 2 ) 2 ,∴ 矩形 AB3C3C2 的对角线 AC3 = 5 ×( 5 2 ) 3,按此规律第 n 个矩形的对角线 ACn = 5 ×( 5 2 ) n ∴ AC2023 = 5 ×( 5 2 ) 2023 . 故选 A. 二、填空题 11. 1　 【解析】原式= 2-1- 2 +2× 2 2 = 2-1- 2 + 2 = 1. 12. - 1 3 ≤k<1 且 k≠0　 【解析】根据题意得 k≠0,3k+1 ≥0 且 Δ = ( 3k+1 ) 2 - 4k> 0,解得- 1 3 ≤k< 1 且 k ≠0. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】本题考查了根的判别式:一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的根与 Δ= b2 -4ac 有如下关系:当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根;当 Δ = 0 时,方 程有两个相等的实数根;当 Δ<0 时,方程无实数根. 13. 42　 【解析】由题意得:∠CED = ∠FEG. ∵ AB⊥BG, CD⊥BG,FG⊥BG,∴ ∠ABE = ∠CDE = ∠FGE = 90°, ∴ △CDE∽△FGE,∴ CD FG =DE EG ,∴ 4 1. 6 = DE 2. 4 ,解得:DE = 6. ∵ ∠CED = ∠AEB,∴ △CDE∽ △ABE,∴ CD AB = DE EB ,∴ 4 AB = 6 6+57 ,解得:AB = 42,∴ 泗洲塔的高度 AB 为 42 米. 14. 2 5 3 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC = 8,BD = 4,∴ ∠AOD = 90°,OB = OD = 1 2 BD = 2,OC = OA = 1 2 AC = 4. 在 Rt △AOD 中, 由 勾 股 定 理, 得 AD = OA2 +OD2 = 2 5 . ∵ 点 G 为 CF 的中点,∴ OG 是 △CAF 的中位线. ∴ OG = 1 2 AF,OG∥AF,∴ ∠DFE = ∠OGE,∠FDE= ∠GOE. ∵ 点 E 为 OD 的中点,∴ DE = OE. 在 △DEF 和 △OEG 中, ∠DFE= ∠OGE ∠FDE= ∠GOE DE=OE{ , ∴ △DEF≌△OEG(A. A. S. ) . ∴ OG = DF. ∵ DF+AF = AD= 2 5 ,∴ OG+AF=OG+2OG= 2 5 ,∴ OG= 2 5 3 . 15. 1 或 2 2 -2　 【解析】∵ △ABC 为等腰直角三角形, AB=AC= 2,∴ BC = 2 2 ,∠B = ∠C = 45°. ∵ ∠APC = ∠B+ ∠BAP, 即 ∠APQ + ∠CPQ = ∠B + ∠BAP, 而 ∠APQ= 45°,∴ ∠BAP = ∠CPQ,∴ △CPQ∽△BAP, ∴ CQ BP =CP BA ,当 PB = PA 时,则 AP⊥BC,此时 BP = CP = 1 2 BC= 2 ,∴ CQ= 2 × 2 2 = 1;当 BP= AB = 2 时,此 时 PC= 2 2 -2,∴ CQ= 2 2 -2,当 AB=AP 时,此时不 存在,综上所述,CQ 的长为 1 或 2 2 -2. 三、解答题 16. 解:(1)原式= 2- 3 -2 3 × 3 +2× 3 2 +2 = 2- 3 -6+ 3 +2 = -2; (2)移项,得 2x(x-1) -3(x-1)= 0,分解因式,得(x- 1)(2x-3)= 0,所以 x-1 = 0 或 2x-3 = 0,解得 x1 = 1, x2 = 3 2 . 17. 解:(1) 51　 30　 【解析】m = 0. 51×100 = 51(人),D 组人数= 100×15% = 15(人),n = 100-4-51-15 = 30 (人) . (2)C 等级的学生共有 30 人. ∴ 所占的百分比为:30 ÷100 = 30%,∴ C 等级所对应扇形的圆心角度数为: 360°×30% = 108°; (3)列表如下. ∵ 共有 12 种等可能的结果,选中 1 名 男生和 1 名女生的结果有 6 种. ∴ P(选中 1 名男生 和 1 名女生)= 6 12 = 1 2 . 男 女 1 女 2 女 3 男 (女 1,男) (女 2,男) (女 3,男) 女 1 (男,女 1) (女 2,女 1)(女 3,女 1) 女 2 (男,女 2)(女 1,女 2) (女 3,女 2) 女 3 (男,女 3)(女 1,女 3)(女 2,女 3) 18. 解:( 1) ∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ ∠A = ∠D = 90°. ∵ ∠BEF = 90°, ∴ ∠ABE + ∠AEB = ∠AEB + ∠DEF= 90°,∴ ∠ABE= ∠DEF,∴ △ABE∽△DEF; (2) ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB = AD = CD = 6, AD∥BG. ∵ CF= 3FD,∴ DF= 1. 5,设 DE= x. ∵ △ABE 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 17 页 ∽△DEF,∴ DF AE =DE AB ,即 1. 5 6-x = x 6 ,解得:x = 3,∴ DE = 3. ∵ AD∥BG,∴ ∠DEF = ∠G. ∵ ∠DFE = ∠CFG,∴ △CGF∽△DEF,∴ DE CG =DF CF . ∵ CF = 3FD,∴ 3 CG = 1 3 , ∴ CG= 9,∴ BG=BC+CG= 15. 19. 解:公路 l 不在文物观赏园的范围内,理由:如图. 由 题意得:∠CAD = 90° - 45° = 45°,∠EBC = 23°,BE∥ CD,∴ ∠BCD= 23°,设 BD = x 米. ∵ AB = 2100 米,∴ AD= AB +BD = ( 2100 + x) 米,在 Rt △BCD 中,CD = BD tan23° ≈ x 0. 4 = 2. 5x(米),在 Rt△ACD 中,CD = AD· tan45° = ( 2100 + x) 米, ∴ 2. 5x = 2100 + x,解得: x = 1400,∴ CD = 2100 +x = 3500 (米) . ∵ 3500 米> 3000 米,∴ 公路 l 不在文物观赏园的范围内. 20. 解:(1)∵ y= - 1 5 x2 + 8 5 x = - 1 5 (x2 -8x)= - 1 5 (x-4) 2 +16 5 . ∵ - 1 5 <0,∴ 开口向下,顶点为(4, 16 5 ),对称轴 为 x= 4; (2)令 y= 0,则- 1 5 x2 + 8 5 x = 0,解得 x1 = 0(舍去),x2 = 8,8+2 = 10(米),答:球洞距离击球点的水平距离 为 10 米; (3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞 行的最大水平距离为 10m,∴ 抛物线的对称轴为直 线 x = 5,顶点为(5, 16 5 ),设此时对应的抛物线表达 式为 y= a(x-5) 2 + 16 5 ,把(0,0)代入表达式得:25a+ 16 5 = 0,解得 a= - 16 125 ,∴ 抛物线表达式为 y = - 16 125 ( x -5) 2 + 16 5 . 21. 解:(1)400　 【解析】由题意可得,p= 500-10(x-50) = -10x+1000,即每天的销售量 p(盒)与每盒售价 x (元)之间的函数关系式是 p = -10x+1000( x≥50), 当 x= 60 时,p= -10×60+1000 = 400; (2)由题意可得,W = ( x- 40) [ 500 - 10 ( x - 50)] = -10x2 + 1400x- 40000 = - 10( x- 70) 2 + 9000,由题可 知:每盒售价不得少于 50 元,日销售量不低于 350 盒,∴ x≥50p≥350{ ,即 x≥50 500-10(x-50)≥350{ ,解得 50≤x ≤65. ∴ 当 x= 65 时,W 取得最大值,此时 W = 8750, 答:当每盒售价定为 65 元时,每天销售的利润 W (元)最大,最大利润是 8750 元; (3)小强正确,小红错误. 理由如下:∵ 50≤x≤65,设 日销售额为 y 元,y = x·p = x( -10x+1000) = -10x2 + 1000x= -10(x-50) 2 +25000,当 x = 50 时,y 值最大, 此时 y= 25000,由(2)可知当 x= 65 时日销售利润最 大,即日销售利润最大时,销售额不是最大,∴ 小强 正确. 小红:当日销售利润不低于 8000 元时,即 W≥ 8000,-10( x-70) 2 +9000≥8000,解得:60≤x≤80. ∵ 50≤x≤65,∴ 当日销售利润不低于 8000 元时,60 ≤x≤65. 故小红错误,当日销售利润不低于 8000 元 时,60≤x≤65. 22. (1) 3 2 　 3 2 　 【解析】∵ ∠O = 90°,∠DCO = 30°,∴ OD= 3 3 OC. ∵ AE = EO,AF = FC,∴ EF = 1 2 OC,∴ EF OD = 1 2 OC 3 3 OC = 3 2 . ∵ ∠BAO = 30°,∴ AO = 3 OB. ∵ AE = EO,∴ EO= 3 2 OB,∴ EO OB = 3 2 . (2)①证明:∵ 点 E,M 分别是 OA,AC′的中点,∴ EM 是△AOC′的中位线, ∴ EM∥OC′,EM = 1 2 OC′, ∴ ∠OEM+∠AOC′= 180°. ∵ ∠AOB = ∠C′OD′= 90°,∴ ∠BOD′ + ∠AOC′ = 180°, ∴ ∠OEM = ∠BOD′. ∵ ∠OAB = ∠OC′D′ = 30°,∴ EO EM = 1 2 OA 1 2 OC′ = OA OC′ = 3OB 3OD′ = OB OD′ ,∴ EO OB = EM OD′ ,∴ △EOM∽△OBD′; ②解:结论:OM = 3 2 BD′,OM⊥BD′,理由如下:延长 MO 交 BD′于 N, 由 ① 可知, △EOM ∽ △OBD′, ∴ ∠EOM= ∠OBD′, OM BD′ = EO OB = 1 2 OA OB = 3 2 OB OB = 3 2 ,∴ OM = 3 2 BD′. ∵ ∠AOB = 90°, ∴ ∠EOM + ∠BON = 180° - ∠AOB = 90°, ∴ ∠OBD′ + ∠BON = 90°, ∴ ∠BNO= 180°-90° = 90°,∴ OM⊥BD′. 23. 解:(1)将点 C(0,3),A( -1,0)代入 y = -x2 +bx+c,∴ c= 3 -1-b+c= 0{ ,解得 c= 3 b= 2{ ,∴ 抛物线的解析式为 y = -x2 +2x+3; (2)∵ y= -x2 +2x+3 = -(x-1) 2 +4,∴ 抛物线的对称 轴为直线 x = 1. ∵ A、B 点关于直线 x = 1 对称,连结 BC 交对称轴于点 M,此时 AM+CM=BM+CM=BC,∴ MA+CM 的最小值为 BC 的长,当 y = 0 时,-x2 +2x+3 = 0,解得 x= -1 或 x = 3,∴ B(3,0),设直线 BC 的解 析式为 y= kx+3,把 B(3,0)代入,得 3k+3 = 0,解得 k = -1,∴ 直线 BC 的解析式为 y = -x+3,当 x = 1 时,y = -1+3 = 2,∴ M(1,2); (3)存在 P 点,P 点坐标为( 1, 5 3 ) 或( 1,6) 或( 1, 10 )或(1,- 10 )　 【解析】理由如下:设 P(1,t) . ∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,∴ D(1,0),当 PC = PD 时,1+( t-3) 2 = t2,解得 t = 5 3 ,∴ P(1, 5 3 );当 PC =CD 时,1+( t-3) 2 = 12 +32,解得 t= 0(舍)或 t = 6,∴ P(1,6);当 PD=CD 时,t2 = 12 +32,解得 t = 10 或 t = - 10 ,∴ P(1, 10 )或(1,- 10 );综上所述:P 点坐 标 为 ( 1, 5 3 ) 或 ( 1, 6) 或 ( 1, 10 ) 或 ( 1, - 10 ) . 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 18 页