抓分练5 轴对称和中心对称-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（冀教版 河北专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 5　 轴对称和中心对称 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 热点情境·巴黎奥运会 巴黎奥运会已落下 帷幕,在以下给出的运动图片中,属于轴对 称图形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 如图,OP 平分∠AOB,PC⊥OA 于点 C,点 D 在 OB 上,若 PC = 3,OD = 6,则△POD 的面 积为(　 　 ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 如图,点 P 在线段 AB 外,且 PA =PB. 求证: 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 在证明该 结论时,三位同学辅助线的作法如下: 甲:作∠APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C. 乙:过点 P 作 PC⊥AB,垂足为 C. 丙:过点 P 作 PC⊥AB 于点 C,且 AC=BC. 其中,正确的是(　 　 ) A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 全对 4. 如图,直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公 路,现要建一个货物中转站,要求它到三条 公路 的 距 离 相 等, 则 可 供 选 择 的 地 址 有(　 　 ) A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,∠AOB 内一点 P,P1,P2 分别是 P 关 于 OA、OB 的对称点,P1P2 交 OA 于点 M,交 OB 于点 N. 若△PMN 的周长是 6 cm,则 P1P2 的长为(　 　 ) A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 3 cm 6. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = 3,AC = 4,BC= 5,EF 垂直平分 BC,点 P 为直线 EF 上的任一点,则 AP+BP 的最小值是(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. 如图,△ABC 与△ADE 关于点 A 成中心对称, 则线段 BC 与 DE 的大小关系是　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,以顶点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于点 M、N,再分别以点 M、N 为圆心,大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,作射 线 AP 交边 BC 于点 D,若 CD = 3,AB = 10, 则△ABD 的面积是　 　 　 　 . 9. 如图,在△ABC 中,边 AB 的垂直平分线分 别交 BC,AB 于点 E,M,边 AC 的垂直平分 线分别交 BC,AC 于点 F,N,△AEF 的周长 是 12. (1)BC 的长度为　 　 　 　 ; (2)若∠B+∠C= 45°,AF= 4,则△ABC 的面 积为　 　 　 　 . 9 河北专版·ZBJ·八年级数学上 三、解答题(共 28 分) 10. (本小题满分 9 分)如图,在 6×6 的方格纸 中,点 A,B,C 均在格点上,试按要求画出 相应格点图形. (1)如图 1,作一条线段,使它是 AB 以点 B 为中心逆时针旋转 90°后的图形; (2)如图 2,作一个轴对称图形,使 AB 和 AC 是它的两条边; (3)如图 3,以点 O 为对称中心,作△DEF, 使△DEF 与△ABC 成中心对称. 图 1 　 图 2 　 图 3 11. (本小题满分 9 分)如图,AC 与 BD 相交于 点 O,且 AC 是 BD 的垂直平分线,OE⊥AB 于点 E,OF⊥AD 于点 F. (1)求证:∠ABC= ∠ADC; (2)若 AB= 13,DF= 6,求 AE 的长. 12. (本小题满分 10 分)如图,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的高,AE 是∠BAD 的平分线, 点 F 为 AE 上一点,连接 BF,∠BFE= 45°. (1)求证:BF 平分∠ABE; (2) 连接 CF 交 AD 于点 G, 若 S△ABF = S△CBF,求证:∠AFC= 90°; (3)在(2) 的条件下,当 BE = 3,AG = 4. 5 时,求线段 AB 的长. 01 10. C 11. 5 (答案不唯一) 　 12. 5 + 3 2 　 13. (1)20　 (2)5 14. 解:(1)原式 = (8 3 - 6 6 ) ÷ 3 + 4 2 = 8 - 6 2 + 4 2 = 8-2 2 ; (2)原式= 10 10 -(5+2-2 10 )= 12 10 -7. 15. 解:(1)∵ 一个正数 x 的两个不同的平方根分别 是 2a-3 和 5-a,∴ 2a-3+5-a= 0,解得 a= -2,∴ x = (2a-3) 2 = 49; (2)将 x= 49,a = -2 代入 x+12a,得 x+12a = 49- 24 = 25. ∵ 25 的平方根为±5,∴ x+12a 的平方根 为±5. 16. 解:(1)∵ 表示 1 和 2的对应点分别为 A、B,∴ AB = 2 -1; (2)∵ 点 B 到点 A 的距离与点 C 到原点 O 的距 离相等,∴ OC= AB = 2 -1,∵ 点 C 在原点左侧, ∴ 点 C 所表示的数为:0-( 2 -1)= 1- 2 ,∴ p = 1 - 2 +1+ 2 = 2; (3)点 C 表示的数为 11- 2 . 【解析】∵ 点 D 在点 O 的左侧,且 DO= 10,∴ 点 D 表示的数为-10,∴ 以点 D 为原点,点 C 表示的数为:1- 2 -(-10)= 11- 2 . 17. 解:(1)m2 +3n2 　 2mn (2)①4　 2 ②由(1)可得,a =m2 +3n2,b = 2mn = 4,∴ mn = 2. 而 a,m,n 均为正整数,∴ m= 1,n = 2 或 m = 2,n = 1. 当 m= 1,n= 2 时,a =m2 +3n2 = 13. 当 m = 2,n = 1 时,a=m2 +3n2 = 7,∴ a= 13 或 7. 基础知识抓分练 5　 轴对称和中心对称 1. D　 2. C　 3. A　 4. D 5. A　 【解析】∵ 点 P 关于 OA 的对称点是 P1,∴ P1M =PM. ∵ 点 P 关于 OB 的对称点是 P2,∴ PN = P2N. ∵ △PMN 的周长 = PM +PN +MN = 6cm,∴ P1P2 =P1M+MN+P2N = PM+PN+MN = 6cm. 故选 A. 6. B　 【解析】连接 PC. ∵ EF 是 BC 的垂直平分线, ∴ BP=PC. ∴ PA+BP=AP+PC. ∴ 当点 A,P,C 在一 条直线上时,PA+BP 有最小值,最小值 = AC = 4. 故 选 B. 7. BC=DE 8. 15　 【解析】作 DE⊥AB 于点 E,由尺规作图可知, AD 是△ABC 的角平分线,∵ ∠C= 90°,DE⊥AB,∴ DE=DC= 3,∴ △ABD 的面积 = 1 2 ×AB×DE = 1 2 ×10 ×3 = 15. 9. (1)12　 (2) 72 5 　 【解析】 (1)∵ EM 为线段 AB 的 垂直平分线,∴ AE=EB. 同理可得 AF =FC,∴ BC = EB+EF+FC = AE+AF+EF = 12. (2) ∵ AE = EB,∴ ∠B= ∠BAE. 同理可得∠C = ∠FAC. ∵ ∠B+∠C = 45°,∴ ∠BAE+∠FAC = 45°,∠BAC = 180°-(∠B+ ∠C)= 135°,∴ ∠EAF = ∠BAC-(∠BAE+∠FAC) = 90°. ∵ AF= 4,AE+AF+EF = 12,∴ AE = 8-EF. ∵ EF2 =AE2 +AF2,∴ EF2 =(8-EF) 2 +16,∴ EF = 5,AE = 3. 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵ S△AEF = 1 2 AE· AF = 1 2 EF·AD,∴ AD = 12 5 . ∴ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 ×12×12 5 = 72 5 . 10. 解:(1)如图 1,线段 BD 即为所求; (2)如图 2,四边形 ABEC 即为所求; (3)如图 3,△DEF 即为所求. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 11. (1)证明:∵ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ AB = AD, CB = CD, 在 △ABC 和 △ADC 中, AB=AD CB=CD AC=AC { , ∴ △ABC≌△ADC(SSS),∴ ∠ABC= ∠ADC; (2)解:由(1)得 AB = AD = 13,∵ DF = 6,∴ AF = AD - DF = 7, ∵ △ABC ≌ △ADC, ∴ ∠BAC = ∠DAC,∵ OE⊥AB,OF⊥AD,∴ ∠AEO = ∠AFO = 90°,在△AEO 和△AFO 中, ∠AEO= ∠AFO ∠EAO= ∠FAO AO=AO { , ∴ △AEO≌△AFO(AAS),∴ AE=AF= 7. 12. (1) 证明:∵ AE 是∠BAD 的平分线,∴ ∠BAD = 2∠BAF,∵ ∠BFE = 45°,∴ ∠FBA+∠BAF = 45°, ∴ 2∠FBA+2∠BAF= 90°,∵ AD 为 BC 边上的高, ∴ ∠EBF + ∠FBA + 2 ∠BAF = 90°, ∴ 2 ∠FBA = ∠EBF + ∠FBA, ∴ ∠EBF = ∠FBA, ∴ BF 平分 ∠ABE; (2)证明:过点 F 作 FM⊥BC 于点 M,FN⊥AB 于 点 N,∵ BF 平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,∴ FM =FN,∵ S△ ABF =S△ CBF,即 1 2 AB·FN= 1 2 BC·FM, ∴ AB = BC, 在 △ABF 和 △CBF 中, BA=BC ∠ABF= ∠CBF BF=BF { , ∴ △ABF ≌ △CBF ( SAS ), ∴ ∠AFB= ∠CFB,∵ ∠BFE = 45°,∴ ∠AFB = 135°, ∴ ∠CFB= 135°,∴ ∠CFE= ∠CFB-∠BFE = 135° -45° = 90°,∴ ∠AFC= 90°; (3)解:∵ △ABF≌△CBF,∴ AF =FC,∵ ∠AFC = ∠ADC= 90°,∠AGF = ∠CGD,∴ ∠FAG = ∠FCE, 在△AFG 和△CFE 中, ∠AFG= ∠CFE AF=CF ∠FAG= ∠FCE { ,∴ △AFG 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 4 页 ≌△CFE(ASA),∴ AG=EC= 4. 5,∵ BE = 3,∴ BC =BE+EC = 7. 5,∵ △ABF≌△CBF,∴ AB = BC = 7. 5. 基础知识抓分练 6　 特殊三角形 1. C　 2. B 　 【解析】 B. 三个角中最大的内角为 180° × 5 2+4+5 ≈82°≠90°,∴ 不是直角三角形. 故选 B. 3. B　 4. C　 5. B　 6. A 7. 30°　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = 60°,AB = BC, ∵ BD ⊥ AC, ∴ ∠DBC = ∠DBA = 1 2 ∠ABC= 30°,∵ DB=DE,∴ ∠DBC= ∠E= 30°. 8. (1)30°　 (2) 3　 【解析】 (1)∵ 直线 DE 是边 AB 的垂直平分线,∴ EB = EA,∴ ∠ABE = ∠A = 30°; (2)∵ EB=EA,BE= 2,∴ AE= 2. ∵ ∠ABE = 30°,DE ⊥AB,∴ DE = 1 2 BE = 1,∵ ∠C = 90°,∠A = 30°,∴ ∠ABC= 60°,∵ ∠ABE = 30°,∴ ∠CBE = ∠ABE = 30°. ∵ EC⊥BC,DE⊥AB,∴ CE=DE= 1,∴ AC=AE +CE= 3. 9. 解:(1)如图所示,DE 即为所求; (2)连接 AE,∵ AB=AC,∠BAC= 120°,∴ ∠B= ∠C = 30°,∵ DE 垂直平分 AB,∴ BE = AE,DE⊥AB,∴ BE=AE= 2DE= 6,∴ ∠BAE = ∠B = 30°,∴ ∠AEC = ∠B+ ∠BAE = 60°, ∴ ∠EAC = 90°, ∴ CE = 2AE = 12,∴ BC=BE+CE= 6+12 = 18. 10. (1)证明:连接 EF. ∵ CF⊥AB,BE⊥AC,∴ △BFC 与△BEC 都为直角三角形,∵ M 为 BC 的中点,∴ EM= 1 2 BC,FM = 1 2 BC,∴ EM = FM,∴ △MEF 是 等腰三角形; (2)在 Rt△EBC 中,∵ ∠EBC = 30°,∴ CE = 1 2 BC = 1 2 ×10 = 5(cm). 11. (1)证明:∵ P 是 AB 的中点,∴ PA =PB,在△APM 和△BPN 中, ∠A=∠B PA=PB ∠APM=∠BPN { ,∴ △APM≌△BPN (ASA),∴ PM=PN; (2)解:∵ ∠A = 50°,∴ 当△APM 为直角三角形 时,∠APM = 90°或∠AMP = 90° . 当∠APM = 90° 时,α = ∠APM = 90°. 当∠AMP = 90°时,∠APM = 180° - ∠AMP - ∠A = 40°, ∴ α = 40°, 综上, 当 △APM 为直角三角形时,α 的度数为 90°或 40°. 12. 解:(1)根据题意得:AP = tcm,BQ = 2tcm,当 t = 2 时,AP= 2cm,BQ = 4cm,∵ △ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,∴ AB = 6cm,∠B = 60°,∴ BP = AB -AP= 4cm,∴ BP = BQ,∴ △BPQ 是等腰三角形, ∵ ∠B= 60°,∴ △BPQ 是等边三角形; (2)△PBQ 中,BP = 6-t,BQ = t,若△PBQ 是直角 三角形, 则 ∠BQP = 90° 或 ∠BPQ = 90°, ① 当 ∠BQP= 90°时,∠B= 60°,∴ ∠BPQ= 30°,∴ BQ= 1 2 BP,即 t = 1 2 (6 - t),解得: t = 2;②当∠BPQ = 90°时,同理得:BP= 1 2 BQ,即 6-t= 1 2 t,解得 t= 4. 综上所述,当 t = 2s 或 t = 4s 时,△PBQ 是直角三 角形. 基础知识抓分练 7 勾股定理、直角三角形全等的判定、反证法 1. B　 【解析】A. 102 +162≠252,∴ 不能组成直角三角 形;B. 12 +12 =( 2 ) 2,能组成直角三角形;C. 62 +82 ≠112,不能组成直角三角形;D. 52 +122≠232,不能 组成直角三角形. 故选 B. 2. B　 3. A　 4. A 5. D　 【解析】作 CD⊥AB 于点 D,∵ ∠C = 90°,AC = 3,BC= 4,∴ AB = AC2 +BC2 = 5,∵ S△ABC = AC·BC 2 =AB·CD 2 ,∴ 3 ×4 2 = 5CD 2 ,解得 CD= 2. 4. 故选 D. 6. A 7. 45°　 【解析】连接 AC,由勾股定理得:AC2 = 22 +12 = 5,BC2 = 22 +12 = 5,AB2 = 12 +32 = 10,∴ AC2 +BC2 = 5+5 = 10 = BA2,∴ △ABC 是直角三角形,∠ACB = 90°,∵ AC=BC,∴ ∠ABC= 45°. 8. 10km 9. (1) 17 　 (2)12 17 17 10. 解:(1)在 Rt△ACD 中,∠D = 90°,AD = 7m,DC = 24m,则由勾股定理可得 AC = AD2 +DC2 = 25m, 在 Rt△ACO 中,∠O= 90°,AC= 25m,CO= 15m,则 由勾股定理可得 AO = AC2 -OC2 = 20m,∴ 小路 AO 的长度为 20m; (2)过 O 作 OB⊥AC 于点 B,∴ 在 Rt△ACO 中, S△AOC = 1 2 AO·OC= 1 2 AC·OB,则 20×15 = 25OB, 解得 OB = 12m,在 Rt△BOC 中,∠OBC = 90°,OC = 15m, OB = 12m, 则由勾股定理 可 得 BC = OC2 -OB2 = 9m,∴ 小狗跑的路程为 OC +CB = 24m,∵ 小狗以 2m / s 的速度奔跑,∴ 小狗奔跑的 时间为 t= 24÷2 = 12( s). ∴ 淇淇与小狗的最近距 离是 12m,此时 t 的值为 12. 11. 解:(1)AB+0. 2 =AD (2)设 AB= x 米,过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,则 BF =DE= 1. 8 米,DF = BE = 8 米,AF = AB-BF = ( x- 1. 8)米,AD= (x+0. 2)米,在 Rt△ADF 中,由勾股 定理得:(x-1. 8) 2 +82 = (x+0. 2) 2,解得 x = 16. 8. 答:学校旗杆的高为 16. 8 米. 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 5 页