专项1 大题抢分练(分考点针对练习解答题-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 安徽专用）

安徽专版·八年级数学·上册　 第 1 页 安徽专版·八年级数学·上册　 第 2 页 安徽专版·八年级数学·上册　 第 3 页　 　 　 　 专项 1 追梦专项一　 大题抢分练 　 因式分解 1. (8 分)因式分解: (1)a3b+2a2b2 +ab3;　 　 　 　 　 　 (2)(m-1) +n2(1-m) . 2. (8 分)(六安期末)先因式分解,再计算求值:4x(m-2) -3x(m- 2) 2,其中 x= 1. 5,m= 6. 3. 学习情境·阅读理解 (9 分)阅读下列材料:某校“数学社团”活 动中,研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式 法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如:“m2 -mn+ 2m-2n”,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式, 后两项也可以提取公因式,前后两部分分别分解因式后产生了 新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分 解了,过程为 m2 -mn+2m-2n = (m2 -mn) +(2m-2n)= m(m-n) + 2(m-n)= (m-n) (m+2) . “社团”将此种因式分解的方法叫做 “分组分解法”,请在这种方法的启发下,解决以下问题: (1)分解因式:a3 -2a2 +6a-12; (2)已知 m-n= 5,mn= 1,求 m2n-mn2 -2m+2n 的值; (3)△ABC 的三边 a,b,c 满足 a2 +c2 = 2ac-ab+bc,判断△ABC 的 形状并说明理由. 　 整式的乘法 4. (8 分)计算: (1)x4y·( -2xy) 2 +(x2y) 3;　 　 (2) -2 024 -( - 1 3 ) -1 +π0 + 9 . 5. (8 分)如果关于 x 的多项式 x-2 与 x2 +mx+1 的乘积中不含 x 的 一次项,求 m 的值. 6. (9 分)如图 1,边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方 形,把图 1 中的阴影部分拼成一个平行四边形(如图 2 所示). (1)上述操作能验证的公式是　 　 　 　 (请选择正确的一个); A. a2 +ab=a(a+b)　 　 　 　 B. a2 -b2 = (a-b)(a+b) C. a2 -2ab+b2 = (a-b) 2 (2)请应用上面的公式完成下列各题: ①若 4a2 -b2 = 24,2a+b= 6,则 2a-b= 　 　 　 　 ; ②计算:242 -232 +222 -212 +202 -192 +…+22 -1. 图 1 　 　 　 图 2 　 分式及分式方程 7. (8 分)解方程: (1) 3 x +1 = 2x 2x+1 ;　 　 　 　 　 　 　 　 (2)x +1 x-1 - 4 x2 -1 = 1. 8. (8 分)(扬州期末)先化简(3x +4 x2 -1 - 2 x-1 ) ÷x 2 +4x+4 x+1 ,然后在-2≤ x≤2 的范围内选择一个合适的整数作为 x 的值代入求值. 9. (9 分)(长春中考)某化工厂用 A,B 两种型号的机器人搬运化工 原料,已知每个 A 型机器人比每个 B 型机器人每小时多搬运 30 kg,每个 A 型机器人搬运 900 kg 所用的时间与每个 B 型机器人 搬运 600 kg 所用的时间相等. (1)求 A,B 两种机器人每小时分别搬运多少化工原料? (2)某化工厂有 4 500 kg 化工原料需要搬运,要求搬运所有化工 原料的时间不超过 5 小时,现计划先由 8 个 A 型机器人搬运 2 小 时,再增加若干个 B 型机器人一起搬运,问至少增加多少个 B 型 机器人才能按要求完成任务? 专项 1 　 　 　 　 　安徽专版·八年级数学·上册　 第 4 页 安徽专版·八年级数学·上册　 第 5 页 安徽专版·八年级数学·上册　 第 6 页 　 三角形的全等 10. 学习情境·命题证明 (9 分)证明命题:“一条直角边相等且另 一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”,要根据题 意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程. 下面 是小颖根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证. 　 　 已知:在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中,∠C= ∠C′= 90°,AC=A′C′, AD 与 A′D′分别为 BC,B′C′边上的中线且　 　 　 　 　 　 . 求证:　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 11. (10 分)【观察猜想】(1)我们知道,正方形的四条边都相等,四 个角都为直角. 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,连接 AE,AF,EF,并延长 CB 到点 G,使 BG = DF,连 接 AG. 若 ∠EAF = 45°, 则 BE, EF, DF 之 间 的 数 量 关 系 为 ; 【类比探究】 ( 2) 如图 2,当点 E 在线段 BC 的延长线上,且 ∠EAF= 45°时,试探究 BE,EF,DF 之间的数量关系,并说明 理由; 【拓展应用】(3)如图 3,在 Rt△ABC 中,AB=AC,D,E 在 BC 上, ∠DAE= 45°,若△ABC 的面积为 12,BD·CE = 4,请直接写出 △ADE 的面积. 图 1 　 图 2 　 图 3 　 轴对称 12. (8 分)如图,在正方形网格中,直线 l 与网格线重合,点 A,C, A′,B′均在网格点上. (1)已知△ABC 和△A′B′C′关于直线 l 对称,请在图上把△ABC 和△A′B′C′补充完整; (2)在以直线 l 为 y 轴的坐标系中,若点 A 的坐标为(a,b),求 点 A′的坐标; (3)在直线 l 上画出点 P,使得 PA+PC 最短. 13. (9 分)如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,CD = AB,∠BDA = ∠B,AE 是△ABD 的中线. (1)若∠BAD= 60°. ①求证:△ABD 是等边三角形; ②求∠C 的度数; (2) 过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F, 若 BD = 2DF, 求证: AD 平 分∠EAC. 14. (9 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E. 此时点 E 恰为 AB 的 中点. (1)求∠CAD 的大小; (2)若 BC= 9,求 DE 的长. 15. (11 分)数学课上,李老师出示了如下框中的题目. 　 　 在等边三角形 ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且 ED = EC,如图,试确定线段 AE 与 DB 的大 小关系,并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况,探索结论 当点 E 为 AB 的中点时,如图 1,确定线段 AE 与 DB 的大小关 系. 请你直接写出结论:AE　 　 　 　 DB (填“ >”“ <”或“ = ”) . (2)特例启发,解答题目 解:题目中,AE 与 DB 的大小关系是:AE 　 　 　 　 DB(填“ >” “ <”或“ = ”) . 理由如下: 如图 2,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F. (请你完成以下解答过 程) (3)拓展结论,设计新题 在等边三角形 ABC 中,点 E 在直线 AB 上,点 D 在直线 BC 上, 且 ED=EC. 若△ABC 的边长为 1,AE= 2,求 CD 的长(请你直接 写出结果). 图 1 　 　 图 2 　 (200-150) ×30+(y-140) ×15 = 1 950,解得 y = 170, 故第二批衬衫每件售价为 170 元. 12. 解:(1) -2　 -4 (2)∵ x+ 12 x = -6 为“十字分式方程”,∴ x-2+ 12 x-2 = - 8,∴ x-2+ ( -2) ×( -6) x-2 = ( -2) +( -6),∴ x-2 = -2 或 x-2 = -6,∴ x1 = 0,x2 = -4; (3)∵ “十字分式方程” x- 3 x = -6 的两个解分别为 x1 =m,x2 = n,∴ x1x2 =mn= -3,x1 +x2 =m+n= -6,∴ n m + m n =m 2 +n2 mn = (m +n) 2 -2mn mn = 36 +6 -3 = -14. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)原式= ab(a2 +2ab+b2)= ab(a+b) 2; (2)原式= (m-1) -n2(m-1) = (m-1) (1-n2 ) = (m- 1)(1+n)(1-n) . 2. 解:原式= x(m-2)[4-3(m-2)] = x(m-2)(10-3m) . ∵ x= 1. 5,m= 6,∴ 原式= 1. 5×4×( -8)= -48. 3. 解:(1)原式= (a3 -2a2 ) +(6a-12) = a2(a-2) +6(a- 2)= (a-2)(a2 +6); (2)原式= (m2n-mn2) -(2m-2n)= mn(m-n) -2(m- n)= (m-n) (mn-2) . ∵ m-n = 5,mn = 1,∴ 原式 = 5× (1-2)= -5; (3)△ABC 为等腰三角形,理由如下:∵ a2 +c2 = 2ac- ab+bc,∴ a2 +c2 -2ac+ab-bc = 0,∴ (a-c) 2 +b(a-c) = 0,∴ (a-c)(a+b-c)= 0. ∵ a,b,c 为△ABC 的三边长, ∴ a+b-c>0,∴ a-c = 0,∴ a = c,∴ △ABC 为等腰三角 形. 4. 解: ( 1) 原式 = x4y· ( 4x2y2 ) + x6y3 = 4x6y3 + x6y3 = 5x6y3; (2)原式= 2024+3+1+3 = 2031. 5. 解:(x-2) (x2 +mx+1) = x3 +mx2 +x-2x2 -2mx-2 = x3 + (m-2)x2 +(1-2m)x-2. ∵ 关于 x 的多项式 x-2 与 x2 +mx+1 的乘积中不含 x 的一次项,∴ 1-2m = 0,解得 m= 1 2 . 6. 解:(1)B (2)①4　 【解析】∵ 4a2 -b2 = 24,即(2a+b) (2a-b)= 24,而 2a+b= 6,∴ 2a-b= 24÷6 = 4; ②原式= (242 -232) +(222 -212 ) +(202 -192 ) +…+(22 -1)= (24 + 23) (24 - 23) +(22 + 21) ( 22 - 21) +( 20 + 19)(20-19) +…+(2+1) (2-1)= 24+23+22+21+20+ 19+…+2+1 = 24 ×(24+1) 2 = 300. 7. 解:(1)方程两边乘 x(2x+1),得 3(2x+1) +x(2x+1) = 2x2,解得 x= - 3 7 ;检验:当 x = - 3 7 时,x(2x+1) ≠0, 故原分式方程的解为 x= - 3 7 ; (2)方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1) 2 -4 = x2 -1, 解得 x= 1. 检验:当 x= 1 时,(x+1)(x-1)= 0,所以原 分式方程无解. 8. 解:原式 = [ 3x+4 (x+1)(x-1) - 2x +2 (x+1)(x-1) ] ÷ (x+2) 2 x+1 = x+2 (x+1)(x-1) · x+1 (x+2) 2 = 1 x2 +x-2 ,∵ x = ±1,-2 时,原 分式无意义,且-2≤x≤2,∴ x 可以为 0 或 2. 当 x = 0 时,原式= - 1 2 . 9. 解:(1) 设每个 B 型机器人每小时搬运 xkg 化工原 料,则每个 A 型机器人每小时搬运(x+30) kg 化工原 料,根据题意,得: 900 x+30 = 600 x ,解得 x = 60. 经检验,x = 60 是所列方程的解且符合题意,∴ x+30 = 90,因此, 每个 A 型机器人每小时搬运 90kg 化工原料,每个 B 型机器人每小时搬运 60kg 化工原料; (2)设增加 y 个 B 型机器人,依题意,得:8×90×5+60 ×(5-2)y≥4500,解得 y≥5. ∵ y 为正整数,∴ y 的最 小值为 5. 因此,至少要增加 5 个 B 型机器人. 10. 解:AD=A′D′　 Rt△ABC≌Rt△A′B′C 证明: ∵ ∠C = ∠C′ = 90°, AD = A′ D′, AC = A′ C′, ∴ Rt△ADC≌Rt△A′D′C′( HL),∴ CD = C′D′. ∵ AD 与 A′D′分别为 BC 与 B′C′边上的中线,∴ 点 D 和点 D′分别是 BC 与 B′C′的中点,∴ BC = 2CD,B′C′ = 2C′D′, ∴ BC = B′ C′, 在 △ABC 和 △A′ B′ C′ 中, AC=A′C′ ∠C= ∠C′ BC=B′C′{ ,∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SAS) . 11. 解:【观察猜想】(1)EF =BE+DF　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD,∠D = ∠BAD = ∠ABC = 90°, ∴ ∠ABG = 90°. 在 △ABG 和 △ADF 中, AB=AD ∠ABG= ∠D BG=DF{ ,∴ △ABG≌△ADF(SAS) . ∴ ∠BAG = ∠DAF,AG= AF. ∵ ∠EAF = 45°,∴ ∠GAE = ∠BAG+ ∠BAE= ∠DAF+∠BAE= 90°-∠EAF = 45°. ∴ ∠GAE = ∠EAF. 在△AEG 和△AEF 中, AG=AF ∠GAE= ∠FAE AE=AE{ ,∴ △AEG≌△AEF(SAS) . ∴ EG = EF. ∴ EF = EG = BE+ BG=BE+DF. 【类比探究】(2)BE=EF+DF. 理由如下:在 BC 上取 点 G,使 BG = DF. 连接 AG. ∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ AB= AD,∠ADC = ∠BAD = ∠B = 90°,∴ ∠ADF = 90°. 在 △ABG 和 △ADF 中, AB=AD ∠B= ∠ADF BG=DF{ , ∴ △ABG≌△ADF( SAS) . ∴ ∠BAG = ∠DAF,AG = AF. ∵ ∠EAF= 45°,∴ ∠EAD+∠DAF = ∠EAD+∠BAG = 45°. ∴ ∠GAE= ∠BAD-( ∠EAD+∠BAG) = 90°-45° = 45°. ∴ ∠GAE = ∠EAF. 在 △AEG 和 △AEF 中, AE=AE, ∠GAE= ∠FAE, AG=AF{ ∴ △AEG≌ △AEF( SAS) . ∴ GE = EF. ∴ BE=BG+GE=DF+EF. 【拓展应用】(3) △ADE 的面积为 5. 　 【解析】在点 A 的右侧作 FA⊥AD,且使 AF = AD,连接 EF,FC. 则 ∠DAF= ∠BAC = 90°. ∴ ∠B+∠ACB = 90°,∠BAD = ∠CAF. 在 △ABD 和 △ACF 中, AB=AC, ∠BAD= ∠CAF, AD=AF.{ ∴ △ABD≌ △ACF ( SAS) . ∴ ∠B = ∠ACF,BD = CF, S△ABD = S△ACF . ∴ ∠ECF = ∠ACF + ∠ACB = ∠B + ∠ACB= 90°,S四边形ADCF = S△ACD +S△ACF = S△ACD +S△ABD = S△ABC = 12. ∵ ∠DAE = 45°,∴ ∠EAF = 45°. ∴ ∠DAE = ∠EAF. 在△ADE 和△AFE 中, AD=AF, ∠DAE= ∠FAE, AE=AE,{ ∴ 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 6 页 △ADE≌△AFE( SAS) . ∴ DE = EF,S△ADE = S△AFE . ∵ BD·CE= 4,∴ CF·CE = 4. ∵ ∠ECF = 90°,∴ S△CEF = 1 2 CF·CE= 2. ∴ S四边形ADEF = S四边形ADCF -S△CEF = 12-2 = 10. ∵ S△ADE = S△AFE,∴ S△ADE = 1 2 S四边形ADEF = 1 2 ×10 = 5. 12. 解:(1)如图,△ABC 和△A′B′C′即为所求; (2)A′( -a,b); (3)如图,点 P 即为所求. 13. (1)①证明:∵ ∠BAD = 60°,∠BDA = ∠B,∴ ∠BAD = ∠B= ∠BDA= 60°,∴ △ABD 是等边三角形; ②解:∵ △ABD 是等边三角形,∴ AB = AD. ∵ CD = AB,∴ CD = AD,∴ ∠DAC = ∠C,∴ ∠BDA = ∠DAC+ ∠C= 2∠C. ∵ ∠BDA= 60°,∴ ∠C= 30°; (2)证明:∵ ∠BDA= ∠B,∴ AB = AD. ∵ AE 是△ABD 的中线,∴ AE⊥BD,BE = DE,∴ ∠AED = 90°,BD = 2DE. ∵ DF⊥AC,BD= 2DF,∴ ∠AFD = 90° = ∠AED, DE=DF. ∴ 点 D 在∠EAC 的平分线上,∴ AD 平分 ∠EAC. 14. 解:(1)∵ DE⊥AB 且 E 为 AB 的中点,∴ DE 垂直平 分 AB,∴ AD=BD,∴ ∠B= ∠BAD. ∵ AD 是∠CAB 的 平分线,∴ ∠CAD= ∠BAD. ∵ ∠C= 90°,∴ 3∠CAD= 90°,∴ ∠CAD= 30°; (2)∵ AD 是∠CAB 的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴ DC=DE. ∵ ∠CAD= ∠BAD= ∠B = 30°,∴ BD = 2DE, ∴ BD= 2DC. ∵ BC = 9,∴ BD+CD = 9,∴ 3DE = 9,∴ DE= 3. 15. 解:(1)= (2)= 理由如下:过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F. 在等边 △ABC 中,∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°,AB = BC = AC. ∵ EF∥BC,∴ ∠AEF= ∠ABC,∠AFE= ∠ACB,∴ ∠AEF= ∠AFE= ∠BAC= 60°,∴ AE=AF=EF,∴ AB- AE= AC - AF,即 BE = CF. ∵ ED = EC, ∴ ∠EDB = ∠ECB. ∵ ∠ABC = ∠EDB+∠BED,∠ACB = ∠ECB+ ∠FCE. ∴ ∠BED = ∠FCE. 在△DBE 和△EFC 中, ED=CE ∠DEB= ∠ECF EB=CF { ,∴ △DBE≌△EFC( SAS),∴ DB = EF,∴ AE=BD; (3)CD 的长是 3 或 1. 　 【解析】①如图 1,过点 E 作 EF⊥CD 于点 F. ∵ AB = AC = 1,AE = 2,∴ B 是 AE 的 中点. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC = BC = 1, ∠ABC = 60°, ∴ ∠DBE = ∠ABC = 60°, BE = 1, ∴ ∠AEF= 30°,∴ BF= 1 2 BE= 1 2 ,∴ CF = 1 2 +1 = 3 2 . ∵ ED=EC,EF⊥CD,∴ CD= 2CF = 3;②如图 2,过 A 作 AN⊥BC 于 N,过 E 作 EM⊥CD 于 M. ∵ AB =BC = 1, AE= 2,∴ BE = 3. ∵ ∠ABC = 60°,∴ ∠BEM = 30°,∴ BM= 1 2 BE= 3 2 ,∴ CM =BM-BC = 1 2 . ∵ EC =ED,EM ⊥CD,∴ CD= 2CM= 1. 综上,CD 的长是 3 或 1. 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【方法总结】本题综合考查了等边三角形的性质和判 定,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定等 的应用. 解(2)小题的关键是构造全等三角形后求出 BD=EF. 解(3)小题的关键是分情况讨论,做到不漏 解. 本题探究过程中用到的从特殊到一般的思想方法 是数学研究中常用的方法. 追梦专项二　 重难易错专练 类型一　 三角形 1. D　 【解析】设这个多边形的边数为 n,由题意得:(n- 2)·180° = 360°+540°,解得:n= 7. 故选 D. 2. B　 3. A　 4. A 5. B　 【解析】延长 EF,交 CD 于点 G. ∵ ∠ACB = 180°- 50°- 60° = 70°,∴ ∠ECD = ∠ACB = 70°. ∵ ∠DGF = ∠DCE+∠E,∴ ∠DGF = 70°+30° = 100°. ∵ ∠EFD = 110°,∠EFD= ∠DGF+∠D,∴ ∠D = 10°. 而图中∠D = 20°,∴ ∠D 应减少 10°. 故选 B. 6. 6　 【解析】当 4cm 为腰长时,16-4×2 = 8(cm) . ∵ 4+4 = 8(cm),∴ 4cm、4cm、8cm 不能组成三角形;当 4cm 为底边时, 1 2 ×(16-4)= 6( cm),4cm、6cm、6cm 能组 成三角形. 综上所述,该等腰三角形的腰长为 6cm. 7. 8　 【解析】∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ BD = CD,∴ △ABD 的周长-△ADC 的周长= (AB+AD+BD)-(AC+ AD+CD)= AB-AC= 3,又∵ AB+AC= 13,∴ AB= 8. 8. 50°　 【解析】如图. ∵ ∠ABD,∠ACD 的平分线交于点 P,∴ ∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,由三角形的内角和定理得, ∠A + ∠1 = ∠P + ∠3. ∵ ∠ACD - ∠ABD= 64°,即∠3+∠4-∠1-∠2 = 64°,∴ ∠3-∠1 = 32°. ∵ ∠P= 18°,∴ ∠A = ∠P+∠3-∠1 = 18°+32° = 50°. 类型二　 全等三角形 1. A　 2. A 3. A　 【解析】延长 CD 到点 E,使 DE = CD,连接 AE. ∵ CD 是边 AB 上的中线,∴ AD=BD. ∵ ∠ADE = ∠CDB, DE=CD,∴ △ADE≌△BDC(SAS),∴ AE = BC = 4,在 △ACE 中,AC-AE<CE<AC+AE,∴ 8-4<2CD<8+4,∴ 2<CD<6. 故选 A. 4. C　 【解析】过点 P 作 PF⊥BC,垂足为 F,延长 FP 交 AD 于点 M,∴ ∠BFP = 90°. ∵ AD∥BC,∴ ∠BFP = ∠DMP= 90°. ∵ BP 平分∠ABC,PE⊥AB,PF⊥BC,∴ PE=PF= 4. ∵ AP 平分∠BAD,PE⊥AB,PM⊥AD,∴ PE=PM= 4,∴ MF = PM+PF = 8,∴ 点 P 到 AD 与 BC 的距离之和为 8. 故选 C. 5. AB=AC 6. 8　 【解析】在 Rt△ABC 中,∵ BD 是△ABC 的角平分 线,DE ⊥ AB, ∠C = 90°, ∴ DE = DC,又 ∵ ∠DEB = ∠DCB= 90°,BD = BD. ∴ Rt△BDE≌Rt△BDC(HL), ∴ BE=BC,∵ CA = CB,∴ CA = BE,∴ △AED 的周长 = AE+ED+AD=AE+DC+AD=AE+AC=AE+BE=AB= 8. 7. 3. 5 　 【解析】 延 长 AE 交 BC 于点 F. ∵ BD 平分 ∠ABC,∴ ∠ABD = ∠DBC = 1 2 ∠ABF. ∵ BE⊥AF,∴ 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 7 页