抓分练7 分式方程-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 安徽专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 7　 分式方程 一、选择题(每题 4 分,共 20 分) 1. 解分式方程 x 2x-1 + 2 1-2x = 3 时,去分母化为 一元一次方程,正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x+2 = 3 B. x-2 = 3 C. x+2 = 3(2x-1) D. x-2 = 3(2x-1) 2. 若关于 x 的分式方程3x -2 x+1 = m x+1 +1 的解为 负数,则 m 的值可能是(　 　 ) A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 3. “孔子周游列国”是流传很广的故事. 有一 次孔子和学生们到距离他们住的驿站 15 公 里的书院参观,学生们步行出发,1 小时后, 孔子乘牛车出发,牛车的速度是学生们步 行的速度的 1. 5 倍,且孔子和学生们同时到 达该 书 院. 设 学 生 们 步 行 的 速 度 为 x 公里 /时,则可列方程为(　 　 ) A. 15 x = 15 1. 5x +1 B. 15 x +1 = 15 1. 5x C. 15 x-1 = 15 1. 5x D. 15 x+1 = 15 1. 5x 4. 若关于 x 的分式方程 kx x-1 -2k-1 1-x = 2 无解,则 k 的值为(　 　 ) A. k= - 1 3 B. k= 1 C. k= 1 3 或 2 D. k= 0 5. 下表是学习分式方程应用时,老师板书的 问题和两名同学所列的方程. 甲、乙两地相距 1 400 km,乘高铁列车从甲 地到乙地比乘特快列 车少用 9 h,已知高铁 列车的平均行驶速度 是特快列车的 2. 8 倍. 小明: 1 400 x -1 400 2. 8x = 9 小红: 1 400 y = 2. 8×1 400 y+9 下列判断正确的是(　 　 ) A. 小明设的未知数是高铁列车的平均速度 B. 小红设的未知数是乘特快列车从甲地到 乙地的时间 C. 高铁列车的平均速度是 100 km / h D. 特快列车从甲地到乙地的时间是 14 h 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 6. 请根据所给方程 6 x + 6 x+5 = 1,联系生活实际, 编写一道应用题(要求题目完整,题意清 楚,不要求解方程) 　 . 7. 在解分式方程: x -1 x2 -4 +2 = 1 x2 +2x 的过程中,去 分母 时, 需 方 程 两 边 都 乘 以 最 简 公 分 母　 　 　 　 . 8. 某汽车测评机构对 A 款电动汽车与 B 款燃 油汽车进行对比调查,发现 A 款电动汽车 平均每公里充电费用比 B 款燃油车平均每 公里燃油费用少 0. 6 元. 当充电费和燃油费 用均为 200 元时. A 款电动汽车的行驶里程 是 B 款燃油车的 4 倍. 则 A 款电动汽车平 均每公里充电费用为　 　 　 　 元. 9. 若关于 x 的一元一次不等式组 x-2 3 <x+1 x+a≤3 ì î í ï ï ï ï 至 少有 2 个整数解,且关于 y 的分式方程y -a y-2 + 1 2-y = -1 的解是正整数,则所有满足条件 的整数 a 的值之和是　 　 　 　 . 31 安徽专版·ZBR·八年级数学上 三、解答题(共 30 分) 10. (8 分)解分式方程: (1) x 2x-5 + 5 5-2x = 1; (2) 1 x+3 - 2 3-x = 12 x2 -9 . 11. (10 分)某服装店用 4 500 元购进一批衬 衫,很快售完,服装店老板又用 2 100 元购 进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次 的一半,但进价每件比第一批降低了 10 元. (1)这两次各购进这种衬衫多少件? (2)若第一批衬衫的售价是 200 元 / 件. 老 板想让这两批衬衫售完后的总利润为 1 950 元,则第二批衬衫每件售价多少元? 12. (12 分)我们把形如 x+ab x = a+b(a、b 不为 零),且两个解分别为 x1 = a,x2 = b 的方程 称为“十字分式方程” . 例如:x+ 5 x = 6 为“十字分式方程”,可化为 x+1 ×5 x = 1+5,∴ x1 = 1,x2 = 5. 再如:x+ 6 x = -5 为“十字分式方程”,可化 为 x+ ( -2) ×( -3) x = ( - 2) + ( - 3),∴ x1 = -2,x2 = -3. 应用上面的结论,解答下列问题: (1)若 x+ 8 x = -6 为“十字分式方程”,则 x1 = 　 　 　 　 ,x2 = 　 　 　 　 ; (2)请利用上述方法求“十字分式方程” x+ 12 x-2 = -6 的解; (3)若“十字分式方程” x- 3 x = - 6 的两个 解分别为 x1 =m,x2 =n,求 n m +m n 的值. 41 ab a+b = b-a,当 a= 2024,b= 2025 时,原式 = 2025-2024 =1. 12. 解: ( 1) P = [ (a+2)(a-2) (a-2) 2 - 1 a-2 ] · a+2 a+1 = ( a+2 a-2 - 1 a-2 )· a+2 a+1 = a +1 a-2 · a+2 a+1 = a +2 a-2 ; (2)∵ DE 垂直平分线段 AC,∴ EA =EC,∴ △ECB 的 周长=EC+EB+BC=EA+EB+BC = AB+BC = 7+5 = 12, ∴ a= 12,∴ P= 12+2 12-2 = 7 5 . 13. 解:(1)c= a b -a+b,∴ c = -3 5 -( -3) +5 = - 3 5 +3+5 = 7 2 5 ,∴ a,b 的“传承数”c 的值为 7 2 5 ; (2)∵ x2 + 1 x2 = 2,即(x+ 1 x ) 2 -2x· 1 x = 2,∴ (x+ 1 x ) 2 = 4,x+ 1 x = ±2. ∵ c 是 a,b 的“传承数”,∴ c = a b -a+ b= 1 x -1+x= x+ 1 x -1. ∵ x+ 1 x = 2 或-2,∴ x+ 1 x -1 = 1 或-3,∴ a,b 的“传承数”为 1 或-3. 14. 解:(1)当 x= 1 时,P-Q= x+2- 8x x+2 = 1+2- 8 3 = 1 3 ; (2)∵ P-Q = x+2- 8x x+2 = (x +2) 2 -8x x+2 = (x -2) 2 x+2 . ∵ x> 0,∴ (x-2) 2 x+2 >0,当 x= 2 时, (x-2) 2 x+2 = 0,∴ 当 x>0 且 x≠2 时,P>Q;当 x= 2 时,P=Q; (3)∵ y= 4 P - Q 12 ,P= x+2,Q = 8x x+2 ,∴ y = 4 P - Q 12 = 4 x+2 - 8x 12(x+2) = 12 -2x 3(x+2) = -2(x+2) +16 3(x+2) = - 2 3 + 16 3(x+2) . ∵ x、y 均为非零整数,∴ x= -3 时,y = -6,xy = 18;x = -6 时,y= -2,xy= 12;x= -18 时,y = -1,xy = 18;综上 所述:xy 的值为 18 或 12. 15. 解:(1) a b -a +1 b+1 = a(b +1) b(b+1) -b(a +1) b(b+1) = a -b b2 +b . ∵ b>a>0, ∴ b2 +b>0,a-b<0,∴ a-b b2 +b <0,∴ 说明所得分式 a+1 b+1 的 值是增大了; (2)①甲所购饲料的平均单价是: 800m+800n 800×2 = m +n 2 (元 /千克);乙所购饲料的平均单价是: 800×2 800 m +800 n = 2mn m+n (元 /千克); ② m+n 2 - 2mn m+n = (m +n) 2 2(m+n) - 4mn 2(m+n) = (m -n) 2 2(m+n) . ∵ m,n 是正数,且 m≠n,∴ (m-n) 2 2(m+n) >0,∴ m+n 2 > 2mn m+n ,∴ 乙 所购饲料的平均单价低. 基础知识抓分练 7　 分式方程 1. D　 【解析】∵ x 2x-1 + 2 1-2x = 3,∴ x 2x-1 - 2 2x-1 = 3,方程 两边同时乘(2x-1),可得:x-2 = 3(2x-1) . 故选 D. 2. C　 【解析】去分母,得:3x-2 = m+x+1,移项,合并同 类项,得:2x= 3+m,系数化 1,得:x= 3+m 2 . ∵ 该分式方 程的解为负数,且分式方程有意义,∴ 3+m 2 <0 3+m 2 ≠-1 ì î í ï ï ï ï ,∴ m<-3 且 m≠-5,故选 C. 3. A　 4. C 5. D　 【解析】设特快列车的平均行驶速度为 x km / h, 由题意得: 1400 x - 1400 2. 8x = 9. 解得:x = 100,经检验 x = 100 是原分式方程的解,设高铁列车从甲地到乙地的 时间为 y h,由题意得: 1400 y = 2. 8× 1400 y+9 ,解得:y = 5, 经检验 y = 5 是原分式方程的解,则特快列车从甲地 到乙地的时间是 5+9 = 14(h),故选项 A、B、C 错误. 故选 D. 6. 一项工作,甲乙合作需 6 天完成,甲独做比乙独做多 用 5 天,乙独做需几天? (答案不唯一) 7. x(x+2)(x-2) 8. 0. 2　 【解析】设 A 款电动汽车平均每公里充电费用 为 x 元,则 B 款燃油车平均每公里燃油费用为( x+ 0. 6)元,根据题意得: 200 x = 200 x+0. 6 ×4,解得 x = 0. 2,经 检验,x= 0. 2 是所列方程的解,且符合题意,∴ A 款电 动汽车平均每公里充电费用为 0. 2 元. 9. 2　 【解析】 x-2 3 <x+1① x+a≤3② { ,解不等式①得:x>- 52 ,解不 等式②得:x≤3-a,则根据题意可知,不等式组的解 集为:- 5 2 <x≤3 -a. ∵ 关于 x 的一元一次不等式组 x-3 3 <x+1 x+a≤3 { 至少有 2 个整数解,则该不等式的整数解 至少包含:-2,-1,∴ 3-a≥-1,解得:a≤4,分式方程 y-a y-2 + 1 2-y = -1 去分母得:y-a-1 = 2-y,解得:y = a+3 2 . ∵ a≤4,∴ y= a+3 2 ≤ 7 2 . ∵ y 是正整数,且 y≠2,∴ y = 1 或 y= 3,∴ a = -1 或 a = 3,∴ 满足条件的整数 a 的 和为-1+3 = 2. 10. 解:(1)原方程化为 x 2x-5 - 5 2x-5 = 1. 方程两边同时乘 上(2x-5)得:x-5 = 2x-5. 解得:x = 0. 检验:将 x = 0 代入 2x-5≠0,∴ x= 0 是原方程的解; (2)两边同时乘以(x+3) (x-3)得:x-3+2( x+3) = 12,解得 x = 3,检验:把 x = 3 代入得(x+3) (x-3) = 0,所以分式方程无解. 11. 解:(1)设第二次购进衬衫 x 件,则第一次购进衬衫 2x 件,依题意,得 4 500 2x -2 100 x = 10,解得 x = 15. 经检 验,x= 15 是所列分式方程的解,且符合题意,∴ 2x = 30. 故第一次购进衬衫 30 件,第二次购进衬衫 15 件; (2)第一次购进衬衫的单价为 4 500÷30 = 150(元 / 件),第二次购进衬衫的单价为 150 - 10 = 140(元 / 件) . 设第二批衬衫每件售价为 y 元 /件,依题意,得 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 5 页 (200-150) ×30+(y-140) ×15 = 1 950,解得 y = 170, 故第二批衬衫每件售价为 170 元. 12. 解:(1) -2　 -4 (2)∵ x+ 12 x = -6 为“十字分式方程”,∴ x-2+ 12 x-2 = - 8,∴ x-2+ ( -2) ×( -6) x-2 = ( -2) +( -6),∴ x-2 = -2 或 x-2 = -6,∴ x1 = 0,x2 = -4; (3)∵ “十字分式方程” x- 3 x = -6 的两个解分别为 x1 =m,x2 = n,∴ x1x2 =mn= -3,x1 +x2 =m+n= -6,∴ n m + m n =m 2 +n2 mn = (m +n) 2 -2mn mn = 36 +6 -3 = -14. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)原式= ab(a2 +2ab+b2)= ab(a+b) 2; (2)原式= (m-1) -n2(m-1) = (m-1) (1-n2 ) = (m- 1)(1+n)(1-n) . 2. 解:原式= x(m-2)[4-3(m-2)] = x(m-2)(10-3m) . ∵ x= 1. 5,m= 6,∴ 原式= 1. 5×4×( -8)= -48. 3. 解:(1)原式= (a3 -2a2 ) +(6a-12) = a2(a-2) +6(a- 2)= (a-2)(a2 +6); (2)原式= (m2n-mn2) -(2m-2n)= mn(m-n) -2(m- n)= (m-n) (mn-2) . ∵ m-n = 5,mn = 1,∴ 原式 = 5× (1-2)= -5; (3)△ABC 为等腰三角形,理由如下:∵ a2 +c2 = 2ac- ab+bc,∴ a2 +c2 -2ac+ab-bc = 0,∴ (a-c) 2 +b(a-c) = 0,∴ (a-c)(a+b-c)= 0. ∵ a,b,c 为△ABC 的三边长, ∴ a+b-c>0,∴ a-c = 0,∴ a = c,∴ △ABC 为等腰三角 形. 4. 解: ( 1) 原式 = x4y· ( 4x2y2 ) + x6y3 = 4x6y3 + x6y3 = 5x6y3; (2)原式= 2024+3+1+3 = 2031. 5. 解:(x-2) (x2 +mx+1) = x3 +mx2 +x-2x2 -2mx-2 = x3 + (m-2)x2 +(1-2m)x-2. ∵ 关于 x 的多项式 x-2 与 x2 +mx+1 的乘积中不含 x 的一次项,∴ 1-2m = 0,解得 m= 1 2 . 6. 解:(1)B (2)①4　 【解析】∵ 4a2 -b2 = 24,即(2a+b) (2a-b)= 24,而 2a+b= 6,∴ 2a-b= 24÷6 = 4; ②原式= (242 -232) +(222 -212 ) +(202 -192 ) +…+(22 -1)= (24 + 23) (24 - 23) +(22 + 21) ( 22 - 21) +( 20 + 19)(20-19) +…+(2+1) (2-1)= 24+23+22+21+20+ 19+…+2+1 = 24 ×(24+1) 2 = 300. 7. 解:(1)方程两边乘 x(2x+1),得 3(2x+1) +x(2x+1) = 2x2,解得 x= - 3 7 ;检验:当 x = - 3 7 时,x(2x+1) ≠0, 故原分式方程的解为 x= - 3 7 ; (2)方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1) 2 -4 = x2 -1, 解得 x= 1. 检验:当 x= 1 时,(x+1)(x-1)= 0,所以原 分式方程无解. 8. 解:原式 = [ 3x+4 (x+1)(x-1) - 2x +2 (x+1)(x-1) ] ÷ (x+2) 2 x+1 = x+2 (x+1)(x-1) · x+1 (x+2) 2 = 1 x2 +x-2 ,∵ x = ±1,-2 时,原 分式无意义,且-2≤x≤2,∴ x 可以为 0 或 2. 当 x = 0 时,原式= - 1 2 . 9. 解:(1) 设每个 B 型机器人每小时搬运 xkg 化工原 料,则每个 A 型机器人每小时搬运(x+30) kg 化工原 料,根据题意,得: 900 x+30 = 600 x ,解得 x = 60. 经检验,x = 60 是所列方程的解且符合题意,∴ x+30 = 90,因此, 每个 A 型机器人每小时搬运 90kg 化工原料,每个 B 型机器人每小时搬运 60kg 化工原料; (2)设增加 y 个 B 型机器人,依题意,得:8×90×5+60 ×(5-2)y≥4500,解得 y≥5. ∵ y 为正整数,∴ y 的最 小值为 5. 因此,至少要增加 5 个 B 型机器人. 10. 解:AD=A′D′　 Rt△ABC≌Rt△A′B′C 证明: ∵ ∠C = ∠C′ = 90°, AD = A′ D′, AC = A′ C′, ∴ Rt△ADC≌Rt△A′D′C′( HL),∴ CD = C′D′. ∵ AD 与 A′D′分别为 BC 与 B′C′边上的中线,∴ 点 D 和点 D′分别是 BC 与 B′C′的中点,∴ BC = 2CD,B′C′ = 2C′D′, ∴ BC = B′ C′, 在 △ABC 和 △A′ B′ C′ 中, AC=A′C′ ∠C= ∠C′ BC=B′C′{ ,∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SAS) . 11. 解:【观察猜想】(1)EF =BE+DF　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD,∠D = ∠BAD = ∠ABC = 90°, ∴ ∠ABG = 90°. 在 △ABG 和 △ADF 中, AB=AD ∠ABG= ∠D BG=DF{ ,∴ △ABG≌△ADF(SAS) . ∴ ∠BAG = ∠DAF,AG= AF. ∵ ∠EAF = 45°,∴ ∠GAE = ∠BAG+ ∠BAE= ∠DAF+∠BAE= 90°-∠EAF = 45°. ∴ ∠GAE = ∠EAF. 在△AEG 和△AEF 中, AG=AF ∠GAE= ∠FAE AE=AE{ ,∴ △AEG≌△AEF(SAS) . ∴ EG = EF. ∴ EF = EG = BE+ BG=BE+DF. 【类比探究】(2)BE=EF+DF. 理由如下:在 BC 上取 点 G,使 BG = DF. 连接 AG. ∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ AB= AD,∠ADC = ∠BAD = ∠B = 90°,∴ ∠ADF = 90°. 在 △ABG 和 △ADF 中, AB=AD ∠B= ∠ADF BG=DF{ , ∴ △ABG≌△ADF( SAS) . ∴ ∠BAG = ∠DAF,AG = AF. ∵ ∠EAF= 45°,∴ ∠EAD+∠DAF = ∠EAD+∠BAG = 45°. ∴ ∠GAE= ∠BAD-( ∠EAD+∠BAG) = 90°-45° = 45°. ∴ ∠GAE = ∠EAF. 在 △AEG 和 △AEF 中, AE=AE, ∠GAE= ∠FAE, AG=AF{ ∴ △AEG≌ △AEF( SAS) . ∴ GE = EF. ∴ BE=BG+GE=DF+EF. 【拓展应用】(3) △ADE 的面积为 5. 　 【解析】在点 A 的右侧作 FA⊥AD,且使 AF = AD,连接 EF,FC. 则 ∠DAF= ∠BAC = 90°. ∴ ∠B+∠ACB = 90°,∠BAD = ∠CAF. 在 △ABD 和 △ACF 中, AB=AC, ∠BAD= ∠CAF, AD=AF.{ ∴ △ABD≌ △ACF ( SAS) . ∴ ∠B = ∠ACF,BD = CF, S△ABD = S△ACF . ∴ ∠ECF = ∠ACF + ∠ACB = ∠B + ∠ACB= 90°,S四边形ADCF = S△ACD +S△ACF = S△ACD +S△ABD = S△ABC = 12. ∵ ∠DAE = 45°,∴ ∠EAF = 45°. ∴ ∠DAE = ∠EAF. 在△ADE 和△AFE 中, AD=AF, ∠DAE= ∠FAE, AE=AE,{ ∴ 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 6 页