抓分练7 等腰三角形与角的平分线-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（沪科版 安徽专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 7　 等腰三角形与角的平分线 一、选择题(每小题 4 分,满分 20 分) 1. 等腰三角形的一个内角为 50°,它的顶角的 度数是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 65° B. 80° C. 65°或 80° D. 50°或 80° 2. 根据下列条件,不能得到等边三角形的 是(　 　 ) A. 有两个角是 60°的三角形 B. 有一个角是 60°的等腰三角形 C. 有两个角相等的等腰三角形 D. 腰长和底边长相等的等腰三角形 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠BCD= 30°,CD 是△ABC 的高,且 BD = 2,则 AD 的 长为(　 　 ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,点 E 为∠BAC 平分线 AP 上一点,AB = 5,△ABE 的面积为 15,则点 E 到直线 AC 的距离为(　 　 ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 新定义 定义:过△ABC 的一个顶点作一条 直线 m,若直线 m 能将△ABC 恰好分成两 个等腰三角形,则称△ABC 为“奇妙三角 形” . 如图,下列标有度数的四个三角形中, 不是“奇妙三角形”的是(　 　 ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题 5 分,满分 15 分) 6. 如图,在△ABC 中,AB= 6,AC= 7,BD、CD 分 别平分∠ABC、∠ACB,过点 D 作直线 EF 平 行于 BC,交 AB、AC 于 E、F,则△AEF 的周 长为　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,在由边长为 1 的小正方形组成的 5×5 的网格中,点 A,B 在小方格的顶点上,要在 小方格的顶点确定一点 C,连接 AC 和 BC, 使△ABC 是等腰三角形. 则方格图中满足 条件的点 C 的个数有　 　 　 　 个. 8. 如图,△ABC 是等边三角形,点 D 是 BC 延长 线上一点,DE⊥AB 于点 E,EF⊥BC 于点 F. (1)∠D= 　 　 　 　 ; ( 2 ) 若 CD = 3AE, CF = 6, 则 AC 的 长 为　 　 　 　 . 三、解答题(共 40 分) 9. (9 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,F 是 BC 上一点,∠AFC = 60°,BC = 8,BF = 2,求 AF 的长. 31 安徽专版·ZBK·八年级数学上 10. 尺规作图 (9 分)如图,△ABC 是等腰三 角形,AD 是 BC 边上的高. (1)尺规作图:作△ABC 的角平分线 BE, 交 AD 于点 F;(不写作法,保留作图痕迹) (2)若∠ABF= 35°,求∠AFB 的度数. 11. (10 分)在△ABC 中,AB = AC,以 BC 为边 在同侧作等边△BDC,连接 AD. (1)如图 1,则∠ADB 的度数是　 　 　 　 °; (2)如图 2,作∠ABM = 60°,在 BM 上截取 BE,使 BE=BA,连接 CE,判断 CE 与 AD 的 数量关系,并说明理由. 图 1 　 　 图 2 12. (12 分) 如图,在△ABC 中,AB = AC = 2, ∠B= 40°,点 D 在线段 BC 上运动(D 不与 B、C 重合),连接 AD,作∠ADE = 40°,DE 交线段 AC 于 E. (1)当∠BDA= 115°时,∠BAD= 　 　 　 　 ; 点 D 从 B 向 C 运 动 时, ∠BDA 逐 渐 变　 　 　 　 (填“大”或“小”); (2)当 DC= 2 时,求证:△ABD≌△DCE; (3)在点 D 的运动过程中,△ADE 的形状 也在改变,判断当∠BDA 等于多少度时, △ADE 是等腰三角形. 41 10. (1)证明:∵ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ AB = AD,CB = CD,在△ABC 和△ADC 中, AB=AD CB=CD AC=AC { ,∴ △ABC≌△ADC (SSS),∴ ∠ABC= ∠ADC; (2)解:由(1)得 AB = AD = 13,∵ DF = 6,∴ AF = AD-DF = 7,∵ △ABC≌△ADC,∴ ∠BAC = ∠DAC,∵ OE⊥AB, OF⊥AD, ∴ ∠AEO = ∠AFO = 90°,在△AEO 和△AFO 中, ∠AEO= ∠AFO ∠EAO= ∠FAO AO=AO { ,∴ △AEO≌△AFO(AAS),∴ AE = AF= 7. 11. 解:(1)∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC,∴ MC= MA,NC=NB,∴ △CMN 的周长=CM+CN+MN =MA+MN +NB=AB= 7; (2)连接 CF,∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC, ∴ ∠CDF= ∠CEF = 90°,∵ ∠MFN = 72°,∴ ∠ACB = 2× 180°-90°- 90°- 72° = 108°,∴ ∠A+∠B = 180°- 108° = 72°,∵ MC=MA,NC=NB,∴ ∠MCA= ∠A,∠NCB = ∠B, ∴ ∠ACM+ ∠BCN = ∠A+ ∠B = 72°,∴ ∠MCN = 108° - 72° = 36°. 12. (1)证明:∵ l 是 AB 的垂直平分线,∴ DA = DB,∵ DB = DC,∴ DA=DC,∴ ∠CAD= ∠ACD; (2)证明:∵ AC = AB,∴ ∠ABC = ∠ACB,∵ DB = DC,∴ ∠DCB= ∠DBC,∴ ∠ACD = ∠ABD,在△ACD 和△ABD 中, DC=DB ∠ACD= ∠ABD AC=AB { , ∴ △ACD ≌ △ABD ( SAS ), ∴ ∠CDA= ∠BDA, ∴ ∠CDF = ∠BDF. ∵ CD = BD,DF = DF,∴ △CDF≌△BDF(SAS),∴ CF =BF,∴ F 是 BC 的 中点. 基础知识抓分练 7　 等腰三角形与角的平分线 1. D　 2. C 3. A　 【解析】∵ ∠ACB = 90°,∠BDC = 90°,∴ ∠BCD = ∠A = 30°,∵ BD= 2,∴ BC= 4,∴ AB= 8,∴ AD=AB-BD = 6. 故 选 A. 4. B　 【解析】过点 E 作 EM⊥AC,EN⊥AB,垂足分别为 M, N,∵ E 为∠BAC 平分线 AP 上一点,∴ EM = EN,∵ AB = 5,△ABE 的面积为 15,∴ 1 2 AB×EN = 15,∴ EN = 6,∴ EM = 6,即点 E 到直线 AC 的距离为 6. 故选 B. 5. C 6. 13 　 【解析】 ∵ EF∥BC, ∴ ∠EDB = ∠DBC, ∠FDC = ∠DCB,∵ ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线相交于点 D, ∴ ∠EBD = ∠DBC, ∠FCD = ∠DCB, ∴ ∠EDB = ∠EBD, ∠FDC= ∠FCD,∴ ED=EB,FD=FC,∵ AB = 6,AC = 7,∴ △AEF 的周长=AE+EF+AF = AE+ED+FD+AF = AE+EB+ FC+AF=AB+AC= 6+7 = 13. 7. 6 8. (1)30°　 (2)10　 【解析】 (1)由题意得∠B = 60°,∵ DE ⊥AB,∴ ∠D= 90°-∠B= 30°;(2)设 AC 与 DE 相交于点 G,∵ DE⊥AB,∠A = 60°,∴ ∠AGE = ∠CGD = 30°,∵ ∠D = 30°,∴ CG=CD,设 AE = x,则 CD =CG = 3x,在 Rt△AEG 中,AG= 2AE = 2x,∴ AB = BC = AC = AG+CG = 5x,∴ BE = 4x,BF= 5x- 6,在 Rt△BEF 中,BE = 2BF,即 4x = 2(5x- 6),解得 x= 2,∴ AC= 10. 9. 解:过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,∵ AE⊥BC,AB = AC,∴ ∠AEF = 90°, BE = 1 2 BC = 4, ∴ EF = BE - BF = 2, 在 Rt△AEF 中,EF = 2,∠AFE = 60°,∴ ∠FAE = 30°,AF = 2EF= 4,即 AF= 4. 10. 解:(1)如图所示,线段 BE、点 F 即为所求; (2)∵ BE 平分∠ABC,∠ABF = 35°,∴ ∠FBD = ∠ABF = 35°. ∵ AD 是 BC 边上的高,∴ AD⊥BC,∴ ∠BDF = 90°, ∴ ∠AFB= ∠BDF+∠FBD= 90°+35° = 125°. 11. 解:(1)150　 (2)CE=AD. 理由如下:∵ △BDC 为等边三角形,∴ BC =BD,∠DBC = 60°. ∵ ∠ABE = ∠DBC = 60°,∴ ∠ABE- ∠DBM= ∠DBC- ∠DBM,∴ ∠ABD = ∠EBC,在△ABD 和 △EBC 中, AB=EB ∠ABD= ∠EBC BD=BC { , ∴ △ABD ≌ △EBC (SAS),∴ AD=CE. 12. (1)25°　 小 (2)证明:∵ ∠EDC+∠ADE = ∠DAB+∠B,∠B = ∠EDA = 40°,∴ ∠EDC = ∠DAB,∵ AB = AC, ∴ ∠B = ∠C,在 △ABD 和 △DCE 中, ∠DAB= ∠EDC AB=DC ∠B= ∠C { , ∴ △ABD ≌ △DCE(ASA); (3)解:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C = 40°,①当 AE = AD 时, ∠ADE= ∠AED = 40°,∵ ∠AED>∠C,∴ 此时不符合题 意;②当 AD = DE 时,即∠DAE = ∠DEA = 1 2 × ( 180° - 40°) = 70°,∵ ∠BAC = 180°-∠B-∠C = 180°-40°-40° = 100°,∴ ∠BAD = ∠BAC-∠DAE = 100°- 70° = 30°,∴ ∠BDA= 180°-30°-40° = 110°;③当 EA =ED 时,∠ADE = ∠DAE= 40°,∴ ∠BAD = ∠BAC-∠DAE = 100°- 40° = 60°,∴ ∠BDA = 180° - ∠BAD- ∠B = 180° - 60° - 40° = 80°;综上所述,当∠BDA= 110°或 80°时,△ADE 是等腰 三角形. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)∵ y-2 与 x-1 成正比例,∴ 设 y-2 = k(x-1),∵ x = 3 时,y= 4,∴ 4-2 = (3-1)k,∴ k = 1,∴ y 与 x 之间的函 数表达式为:y= x+1; (2)把 y= -2 代入 y= x+1,可得:-2 = x+1,解得:x= -3. 2. 解:(1)把 A(m,2)代入 y = x 得 m = 2,则点 A 的坐标为 (2,2),把 A(2,2)代入 y= kx-k 得 2k-k= 2,解得 k= 2,∴ m= 2,k= 2; (2)由(1)得一次函数解析式为 y= 2x-2. 令 y = 0,则 2x- 2 = 0,解得 x= 1,∴ C 点坐标为(1,0),∴ OC = 1,∴ S△AOC = 1 2 ×1×2 = 1. 设直线 DE 的解析式为 y = k′x+b,由平移, 得点 D 的坐标为(3,0),k′= 2,把 D(3,0)代入 y = k′x+b, 得 0 = 2×3+b,∴ b= -6,∴ 直线 DE 解析式为 y = 2x-6. 解 方程组 y= 2x-6 y= x{ 得 x= 6 y= 6{ ,∴ E 点坐标为( 6,6),S△EOD = 1 2 ×3×6 = 9,∴ 四边形 ACDE 的面积 = S△EOD -S△AOC = 9-1 = 8. (3)自变量 x 的取值范围是 x<2. 3. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求; 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBK·八年级数学上　 第 5 页