课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（沪科版 安徽专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 11 章　 平面直角坐标系 　 平面内点的坐标 1.平面直角坐标系:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系. 2.平面直角坐标系内点的坐标与有序数对的关系:对于坐标平面内的任意一点,都有唯一的一 个有序实数对(x,y)和它对应;反之,对于任意一个有序实数对(x,y),在坐标平面内都有唯 一的一点和它对应. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】 (1)点 P(x,y)到 x 轴的距离为 | y | ,点 P(x,y)到 y 轴的距离为 | x | . (2)若 AB∥x 轴,则 A,B 两点的纵坐标相同,横坐标之差的绝对值为线段 AB 的长;若 AB⊥ x 轴,则 A,B 两点的横坐标相同,纵坐标之差的绝对值为线段 AB 的长. 3.象限:在平面直角坐标系中,x 轴和 y 轴把坐标平面分成四部分,分别叫 做第一、二、三、四象限(如图) . 坐标轴上的点不属于任何一个象限内. 【注意】“象限”是按“逆时针”方向排列的,不要弄错方向. 4.平面直角坐标系内点的坐标特征 点(a,b)的位置 横、纵坐标的符号 图示 在 象 限 内 在 坐 标 轴 上 第一象限 a>0,b>0 第二象限 a<0,b>0 第三象限 a<0,b<0 第四象限 a>0,b<0 x 轴 正半轴 a>0,b= 0 负半轴 a<0,b= 0 y 轴 正半轴 a= 0,b>0 负半轴 a= 0,b<0 原点 a= 0,b= 0 　 图形在坐标系中的平移 1. 图形在坐标中的平移可以用图形上的任意一点的坐标(x,y)的变化来表示. 2. 平移规律:①点(x,y)向左移动 a(a>0)个单位,可得(x-a,b);向右移动 a(a>0)个单位长度, 可得(x+a,b);②点(x,y)向上移动 b 个单位长度,可得(x,y+b);向下移动 b 个单位长度,可 得(x,y-b) . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 已知 M 到 x 轴的距离为 1,到 y 轴的距离为 2,且 M 在第四象限,则点 M 的坐标为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (1,2) B. ( -1,-2) C. (1,-2) D. (2,-1) 2. 在平面直角坐标系中,将点 P(n-2,2n+4)向右平移 m 个单位长度后得到点的坐标为(4, 6),则 m 的值为(　 　 ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 14 1 安徽专版·ZBK·八年级数学上 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 12 章　 一次函数 　 函数的定义及表示方法 1.函数:一般地,设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于 x 在它允许取值范围内的 每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数. 2.表示函数关系的方法:①列表法;②解析法;③图象法. 3. 一般地,形如y= kx+b(k、b 为常数,且 k≠0)的函数叫做一次函数. 形如y= kx(k 为常数,且 k≠ 0)的函数叫做正比例函数. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 一次函数的图象与性质 1.图象 (1)一次函数 y= kx+b(k、b 为常数,且 k≠0)的图象是经过(0,b)、( - b k ,0)两点的一条直线, 我们称它是直线 y= kx+b(k、b 为常数,且 k≠0) . (2)正比例函数 y= kx(k 为常数,k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线. (3)直线 y= kx+b 与 y 轴交于点(0,b),b 叫做直线 y= kx+b 在 y 轴上的截距,简称截距. (4)直线 y= kx+b 可以看作是由直线 y= kx 平移 | b |个单位长度而得到(当 b>0 时,向上平移; 当 b<0 时,向下平移) . 2.一次函数图象的平移规律: (1)上下平移:直线 y= kx+b 向上平移 n(n>0)个单位长度得到直线 y = kx+b+n;直线 y = kx+b 向下平移 n(n>0)个单位长度得到直线 y= kx+b-n. 简记为:上加下减(只改变 b) . (2)左右平移:直线 y= kx+b 向左平移 m(m>0)个单位长度得到直线 y = k(x+m) +b;直线 y = kx+b 向右平移 m(m>0)个单位长度得到直线 y= k(x-m) +b. 简记为:左加右减(只改变 x) . 3.性质 一次函数 y= kx+b(k,b 为常数,且 k≠0) k,b 的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b= 0 b>0 b<0 b= 0 图象 性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 与 y 轴 交 点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经 过 的 象 限 第一、二、 三象限 第一、三、 四象限 第 一、 三 象限 第一、二、 四象限 第二、三、 四象限 第 二、 四 象限 　 一次函数与方程、不等式 1.二元一次方程与一次函数:一般地,一个二元一次方程可以转化为一次函数 y = kx+b(k,b 为 常数,且 k≠0)的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数,也对应一条直线. 2 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 2.二元一次方程组与一次函数:一般地,从图象的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求 相应的二元一次方程组的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标. 3.两条直线交点的个数与二元一次方程组解的个数的关系:(1)两条直线有一个交点,方程组 只有一个解;(2)两条直线平行(无交点),方程组无解;(3)两条直线重合(有无数个交点), 方程组有无数个解. 4.一元一次不等式与一次函数:因为任何一个一元一次不等式都可以转化为 kx+b>0(或 kx+b< 0)的形式,所以解一元一次不等式 kx+b>0(或 kx+b<0),就是求使一次函数 y = kx+b(k、b 为 常数,且 k≠0)取正值(或负值)时 x 的取值范围. 　 　 　 　 　 　 　 　 一次函数表达式的求法及一次函数的应用 1.用待定系数法求函数表达式 (1)设:设出含有未知数的函数表达式,若已知 y 与 x 成正比例,则设函数表达式 为 y= kx(k≠0);若已知 y 是 x 的一次函数,则设函数表达式为 y= kx+b(k≠0) . (2)列:将已知条件代入函数表达式,得到关于待定系数的方程或方程组. (3)解:解方程(组),求出待定系数. (4)代:将求得的待定系数的值代回所设的函数表达式中,即可得出函数表达式. 2.利用函数图象描述事物变化过程:解决函数图象信息题的关键是将图象信息转化为数字信 息,正确理解图象的起点、交点及终点表示的意义. 3.一次函数和几何图形的综合探究:有关一次函数和几何图形的综合问题,要结合图形分析已 知条件,然后利用几何图形上的点的坐标、点之间的距离、图形的周长以及面积的计算公式、 特殊图形的性质等,找出等量关系,列出一次函数表达式,从而求解相关问题. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 已知点 P( -1,y1)、点 Q(3,y2)在一次函数 y= (2m-1)x+2 的图象上,且 y1 >y2,则 m 的取 值范围是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. m< 1 2 B. m> 1 2 C. m≥1 D. m<1 2. 若以二元一次方程 x+2y-b= 0 的解为坐标的点(x,y)都在直线 y= - 1 2 x+b-1 上,则常数 b = 　 　 　 　 . 3. 某地摊经营者以 10 元 /双的价格购进一批棉袜子,销售一段时间后,剩下的部分打八折 出售,已知该批袜子打折销售后全部卖完,销售总额 y(元)与销售量 x(双)之间的函数关 系图象如图所示. (1)打折销售前,每双袜子的单价是　 　 　 　 元 /双; (2)打折销售后,求销售总额 y(元)与销售量 x(双)之间的函数表达式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)求这批袜子销售完后获得的利润. 3 安徽专版·ZBK·八年级数学上 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 13 章　 三角形中的边角关系、命题与证明 　 与三角形有关的线段 1.三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形. 2.三角形的分类 (1)按角分类:三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形{ { (2)按边分类:三角形 不等边三角形 等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特例){ 3.三角形的三边关系:三角形中任何两边的和大于第三边,三角形中任何两边的差小于第三边. 4.三角形的高、中线与角平分线 (1)三角形的高 ①定义:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线,也叫做三角形 的高. ②画法:作三角形的高的步骤:一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上),二移(移动三 角尺使另一条直角边通过要作高的顶点),三画(画垂线段) . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈【特别提醒】作钝角三角形中钝角两边上的高,要先把这两条边延长. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】锐角三角形的三条高交于三角形内部,直角三角形的三条高交于三角形 直角顶点处,钝角三角形的三条高交于三角形外部. 　 (2)三角形的中线 ①定义:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线. ②重心:三角形的三条中线交于一点,这个交点就是三角形的重心. 任何三角形的重心都在三 角形的内部. ③三角形的中线分成的两个三角形的面积与周长的关系 面积关系:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分; (如图,AD 是△ABC 的边 BC 上的中线,则 S△ABD =S△ACD) 周长关系:三角形的中线将三角形分成的两个三角形的周长之差等于另外两条边长之差. (如图,AD 是△ABC 的边 BC 上的中线,AB>AC,则 C△ABD-C△ACD =AB-AC) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈【拓展延伸】三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ∶1. 　 (3)三角形的角平分线 ①定义:三角形中一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的 角平分线. ②三角形的三条角平分线的交点位置:三角形的三条角平分线交于三角形内一点. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【特别提醒】三角形的高、中线与角平分线的相同点:每个三角形都有三条高、三条中线、三 条角平分线,它们都是线段,它们所在的直线都交于一点. 4 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 　 与三角形有关的角 1.三角形内角和定理:三角形的内角和等于 180°. 2.直角三角形 文字语言 几何语言 图示 推论1 直角三角形的两锐 角互余. 在 Rt△ABC 中,因为∠C = 90°,所以 ∠A+∠B= 90°. 推论2 有两个角互余的三 角形是直角三角形. 在△ABC 中,因为∠A+∠B = 90°,所 以∠C= 90°,即△ABC 是直角三角形. 3.三角形的外角 (1)定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. (2)推论 3:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论 4:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 　 命题1. 命题 (1)对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题. (2)判断性语句是正确的命题,我们称之为真命题,判断性语句是错误的命题,我们称之为 假命题. (3)将命题中的条件与结论互换,便得到一个新命题,这样的两个命题称为互逆命题,其中一 个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题. 2. 反例:符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 一个三角形的两边长为 2 和 6,第三边为偶数,则这个三角形的周长为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 2. 下列命题中,属于假命题的是(　 　 ) A. 如果 a,b 都是正数,那么 ab>0 B. 如果 a2 = b2,那么 a= b C. 如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余 D. 同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行 3. 如图,△ABC 中,∠A= 20°,沿 BE 将此三角形对折,又沿 BA′再一次对折,点 C 落在 BE 上的 C′处,此时∠C′DB= 74°,则原三角形中∠C 的度数为(　 　 ) A. 27° B. 59° C. 69° D. 79° 4. 如图,在△ABC 中,AD,AF 分别为△ABC 的中线和高,BE 为△ABD 的角平分线. (1)若∠BED= 60°,∠BAD= 40°,求∠BAF 的大小. (2)若△ABC 的面积为 40,BD= 5,求 AF 的长. 5 安徽专版·ZBK·八年级数学上 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 14 章　 全等三角形 　 全等三角形 1. 全等形:能够完全重合的两个图形,叫做全等形. 2. 性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 　 三角形全等的判定 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”) . 2. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”) . 3. 三边分别相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”) . 4. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“角角边”或“AAS”) . 5. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简记为“斜边、直角边”或“HL”) . 【注意】用“SAS”判定两个三角形全等时,对应相等的角必须是对应相等的两边的夹角,而不是 其中一边的对角. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 安装空调一般会采用如图的方法固定,其根据的数学原理是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 三角形的稳定性 B. 两点之间的所有连线中,线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 2. 如图所示,点 E、F 在 BC 上,AB=CD,AF=DE,AF、DE 相交于点 G,添加下列哪一个条件, 可使得△ABF≌△DCE. (　 　 ) A. ∠B= ∠C B. AG=DG C. ∠AFE= ∠DEF D. BE=CF 3. 如图,△ABD≌△ACE,BE= 16,DE= 10,则 BC 的长是(　 　 ) A. 24 B. 20 C. 21 D. 22 4. 如图,已知 AB=DC,AB∥CD,E、F 是 AC 上两点,且 AF=CE. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)若∠BCE= 30°,∠CBE= 70°,求∠CFD 的度数. 6 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 15 章　 轴对称图形与等腰三角形 　 轴对称图形 1.轴对称图形:如果一个平面图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个 图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴) 对称. 2.轴对称 (1)定义:平面内两个图形在一条直线的两旁,如果沿着这条直线折叠,这两个图形能够重 合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴. 折叠后重合的两点叫做对应点(也叫 对称点) . (2)轴对称图形与轴对称的区别与联系 关 系 名 称 轴对称图形 轴对称 区别 对象不同 一个图形 两个图形 意义不同 一个特殊的图形 两个图形之间的特殊联系 对称轴的位置 不同 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部,也可能经过两个图形 的内部 对称轴的数量 有一条或多条 只有一条 联系 (1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴 对称图形. (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图 形成轴对称. 3.性质 (1)轴对称的性质:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段 的垂直平分线. (2)轴对称图形的性质:成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分. 　 线段的垂直平分线 1.定义:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. 2.线段的垂直平分线的性质及判定 性质定理 判定定理 图示 文字 语言 线段垂直平分线上的点到 线段两端的距离相等. 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上. 几何 语言 如图,∵ 直线 l⊥AB,垂足为 C,AC = CB,点 P 在 l 上,∴ PA= PB. 如图,已知线段 AB,∵ PA = PB,∴ 点 P 在线段 AB 的垂 直平分线上. 应用 证明线段相等. 确定点在线段的垂直平分 线上. 7 安徽专版·ZBK·八年级数学上 　 画轴对称图形 1.画轴对称图形的方法: (1)找:在原图形上找特殊点(如线段端点); (2)画:画各个特殊点关于对称轴的对称点; (3)连:依次连接各对称点. 2.用坐标表示轴对称: (1)点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x,-y); (2)点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为( -x,y) . 　 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 定理 1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 定理 2:等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和 底边上的高“三线合一” . 2.等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”) . 3.等边三角形的性质:等边三角形三个内角相等,每一个内角都等于 60°. 4.等边三角形的判定:(1)三个角都相等的三角形是等边三角形; (2)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 5.含 30°角的直角三角形的性质: 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 　 角的平分线 1.性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【注意】角平分线的性质可直接用于证明线段相等,但运用时必须符合两个条件: (1)点在角的平分线上;(2)点到角的两边都有垂线段或可以构造出垂线段. 　 尺规作图 1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知:直线 AB 和 AB 上一点 C. 求作:AB 的垂线,使它经过点 C. 作法: (1)作平角 ACB 的平分线 CF. (2)直线 CF 就是所求作的垂线. 2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线 AB 和 AB 外一点 C. 求作:AB 的垂线,使它经过点 C. 作法:(1)任意取一点 K,使点 K 和点 C 在 AB 的两旁; (2)以点 C 为圆心,CK 长为半径作弧,交 AB 于点 D 和 E; (3)分别以点 D 和点 E 为圆心,大于 1 2 DE 的长为半径作弧,两弧相交于点 F; 8 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 (4)作直线 CF. 直线 CF 就是所求作的垂线. 3.作线段的垂直平分线 已知:线段 AB. 求作:线段 AB 的垂直平分线. 作法: (1)分别以点 A,B 为圆心,大于 1 2 AB 长为半径画弧交于点 E,F; (2)过点 E,F 作直线. 则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线. 4.作已知角的平分线 已知:∠AOB. 求作:∠AOB 的平分线. 作法:(1)以 O 为圆心,任意长为半径画弧分别交 OA,OB 于点 M,N; (2)分别以点M,N 为圆心,大于 1 2 MN 长为半径在角的内部画弧交于点 C; (3)作射线 OC,则 OC 为所要求作的∠AOB 的平分线. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【补充拓展】(1)作一个角等于已知角的理论依据是“SSS”; (2)作已知角的平分线的理论依据是“SSS” . 　 最短路径问题 1.理论依据:“两点之间,线段最短”“垂线段最短”等. 2.常见类型 问题 在直线 l 上求 点 P,使 PA + PB 值最小. 在直线 l 上求一 点 P, 使 PA + PB 值最小. 在 l1、 l2 上分别求点 M、 N, 使 △PMN 的 周 长 最 小. 在 l1、 l2 上分别求点 M、 N, 使 四 边 形 PQMN 的周长最小. 作法 连接 AB,与 l 交点即为 P. 作 B 关于 l 的对 称 点 B′, 连 接 AB′,与 l 交点即 为 P. 分别作点 P 关于两直线 的对称点 P′和 P″,连接 P′P″,与两直线交点即为 M、N. 分别作点 Q、P 关于直 线 l1、 l2 的对称点 Q′ 和 P′,连接 Q′P′,与两 直线交点即为 M、N. 图示 3.造桥选址问题:解决“造桥选址”问题,一般用平移的方法,利用平移前后线段相等,把未知的 线段转换到一条直线上,再结合“两点之间,线段最短”解决问题. 9 安徽专版·ZBK·八年级数学上 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 如下字体的四个汉字中,是轴对称图形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 如图,已知△ABC 是等边三角形,点 B、C、D、E 在同一直线上,且 CG=CD,DF=DE,则∠E 的度数为(　 　 ) A. 25° B. 20° C. 15° D. 7. 5° 第 2 题图 　 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥AB 于点 D,则 AD 的长为　 　 　 　 . 4. 如图,在锐角△ABC 中,∠ACB= 50°,AB 边上有一定点 P,M、N 分别是 AC 和 BC 边上的动 点,当△PMN 的周长最小时,∠MPN 的度数是　 　 　 　 . 5. 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠B = 40°,点 D 在线段 BC 上运动(D 不与 B、C 重合),连接 AD,作∠ADE= 40°,DE 交线段 AC 于 E,在点 D 的运动过程中,△ADE 的形状也在改变, 当△ADE 是等腰三角形时,∠BDA 的度数是　 　 　 　 . 6. 如图,在△ABC 中. (1)作∠ABC 的平分线交 AC 于 D,作线段 BD 的垂直平分线 EF 分别交 AB 于 E,BC 于 F, 垂足为点 O;(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,连接 DF,判断 DF 与边 AB 的位置关系,并说明理由. 7. 如图,Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,∠C = 30°,AD⊥BC 于 D,BF 平分∠ABC,交 AD 于 E,交 AC 于 F. (1)求证:△AEF 是等边三角形; (2)求证:BE=EF. 01 　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《课本知识集锦》答案 第 11 章　 平面直角坐标系 1. D 2. C　 【解析】点 P 向右平移 m 个单位长度可得 P′(n- 2+ m,2n+4) . ∵ P′(4,6),∴ n-2+m= 4,2n+4 = 6,解得 n= 1, m= 5. 故选 C. 第 12 章　 一次函数 1. A 2. 2　 【解析】直线 y= - 1 2 x+b-1 变形为 x+2y-2b+2 = 0,所 以-b= -2b+2,解得 b= 2. 3. 解:(1)20 (2)设打折销售后,销售总额 y 与销售量 x 之间的函数 表达式为 y= kx+b,∵ 打八折出售,∴ k = 20×0. 8 = 16,∴ y = 16x+b,把(40,800)代入,得 b= 160,∴ y= 16x+160,当 y = 1120 时,x= 60,∴ x 的取值范围为 40≤x≤60; (3)1120-10×60 = 520(元),答:这批袜子销售完后获得 的利润为 520 元. 第 13 章　 三角形中的边角关系、命题与证明 1. C　 【解析】第三边的取值范围是大于 4 且小于 8,又因 为第三边是偶数. 故第三边是 6. 则该三角形的周长是 6 +6+2 = 14. 故选 C. 2. B 3. D　 【解析】由题意得,∠ABE = ∠EBD,∠EBD = ∠DBC, ∠CDB = ∠C′DB = 74°,∴ ∠ABE = ∠EBD = ∠DBC,∴ ∠ABC= 3 ∠DBC,在 △BCD 中,∠DBC + ∠C + ∠CDB = 180°,∴ ∠DBC+∠C = 180°- 74° = 106°,在△ABC 中,∵ ∠A+∠ABC+∠C= 180°,∴ 20°+2∠DBC+(∠DBC+∠C) = 180°,即 20°+2∠DBC+106° = 180°,∴ ∠DBC = 27°,∴ ∠C= 106°-27° = 79°. 故选 D. 4. 解:(1)∵ ∠BED= ∠ABE+∠BAE,∠BAE = 40°,∴ ∠ABE = 60°-40° = 20°,∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABC = 2∠ABE = 40°,∵ AF 为高,∴ ∠AFB = 90°,∴ ∠BAF = 90°-∠ABF = 90°-40° = 50°; (2)∵ AD 为中线,∴ BC = 2BD = 10,∵ S△ABC = 1 2 AF·BC = 40,∴ AF= 8. 第 14 章　 全等三角形 1. A　 2. D 3. D　 【解析】∵ △ABD≌△ACE,∴ BD=CE=BE-DE= 6,∴ BC=BE+EC= 16+6 = 22. 故选 D. 4. (1)证明:∵ AB∥CD,∴ ∠BAE = ∠FCD,∵ AF =CE,∴ AE =CF,在△ABE 和△CDF 中, AB=CD ∠BAE= ∠DCF AE=CF { ,∴ △ABE ≌△CDF(SAS); (2)解:∵ ∠BCE = 30°,∠CBE = 70°,∴ ∠AEB = ∠BCE+ ∠CBE = 30°+ 70° = 100°,∵ △ABE≌△CDF,∴ ∠CFD = ∠AEB= 100°. 第 15 章　 轴对称图形与等腰三角形 1. A 2. C　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ACB = 60°. ∵ ∠ACB= ∠CGD+∠CDG,∴ ∠CGD+∠CDG = 60°. ∵ CG = CD,∴ ∠CGD = ∠CDG = 30°. ∵ ∠CDG = ∠DFE+∠E,∴ ∠DFE+∠E= 30°. ∵ DF=DE,∴ ∠E = ∠DFE = 15°. 故选 C. 3. 3　 【解析】∵ ∠ACB= 90°,∠A= 30°,AB= 4,∴ ∠B= 60°, BC= 1 2 AB = 2,∵ CD⊥AB,∴ ∠BDC = 90°,∴ ∠BCD = 30°,∴ BD= 1 2 BC= 1,∴ AD=AB-BD= 3. 4. 80° 5. 110°或 80°　 【解析】∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C = 40°,①当 AD=AE 时,∠ADE= ∠AED = 40°,∵ ∠AED>∠C,∴ 此时 不符合;②当 DA=DE 时,即∠DAE= ∠DEA= 1 2 ×(180°- 40°)= 70°,∵ ∠BAC = 180°-40°-40° = 100°,∴ ∠BAD = 100°-70° = 30°,∴ ∠BDA = 180°- 30° - 40° = 110°;③当 EA=ED 时,∠ADE= ∠DAE = 40°,∴ ∠BAD = 100°-40° = 60°,∴ ∠BDA= 180°-60°-40° = 80°;综上所述,当△ADE 是等腰三角形时,∠BDA 的度数是 110°或 80°. 6. 解:(1)如图所示; (2)DF∥AB. 理由: ∵ ∠ABC 的平分线交 AC 于 D, ∴ ∠ABD= ∠CBD,∵ EF 是线段 BD 的垂直平分线,∴ BF = DF,∴ ∠BDF= ∠FBD,∴ ∠ABD= ∠BDF,∴ AB∥DF. 7. 证明:(1)∵ ∠BAC= 90°,∠C= 30°,∴ ∠ABC= 60°,∵ BF 平分 ∠ABC, ∴ ∠ABF = ∠CBF = 30°, ∵ AD ⊥ BC, ∴ ∠ADB= 90°,∴ ∠AEF = ∠BED = 90° - ∠CBF = 60°, ∵ ∠AFB= 90° - ∠ABF = 60°, ∴ ∠AFE = ∠AEF = 60°, ∴ △AEF 是等边三角形; (2)∵ ∠ADB= 90°,∠ABC= 60°,∴ ∠BAE= ∠ABF = 30°, ∴ AE=BE,由(1)知△AEF 是等边三角形,∴ AE =EF,∴ BE=EF. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1　 平面直角坐标系 1. D　 2. D　 3. C　 4. A 5. A　 【解析】由点 D(2,5)的对应点 B 的坐标为(3,3)知, 线段 AB 是由线段 CD 向右平移 1 个单位、向下平移 2 个 单位得到的,所以点 C(-1,2)的对应点 A 的坐标为(-1 +1,2-2),即(0,0) . 故选 A. 6. -3<x< 4　 【解析】∵ 点 P(2x+ 6,x- 4)在第四象限,∴ 2x+6>0 x-4<0{ ,解得-3<x<4. 7. (-3,2) 8. (3,-2)　 【解析】点 A(m+2,m-3)向左平移 3 个单位得 到 A′(m-1,m-3),∵ 点 A′在 y 轴上,∴ m-1 = 0,∴ m= 1, ∴ A(3,-2) . 9. (1)4　 (2)(-4,1)　 【解析】(1)根据题意得,1-a = -3, 解得 a= 4;(2)∵ a= 4,∴ 2a-12 = 2×4-12 = -4,∴ P(-4, -3) . ∵ 点 Q 是由点 P 向上平移 4 个单位得到的,∴ 点 Q (-4,1) . 10. 解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求,C′(5,-2); 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBK·八年级数学上　 第 1 页