精品解析：湖北省十堰市竹溪县九年一贯制学校第一教联体2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

九年一贯制学校第一教联体2024—2025学年度上学期 九年级数学期中测试题 注意事项： 1．本卷共4页，24小题，满分120分，考试时限120分钟． 2．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并在答题卡规定的位置认真填涂证考证号． 3．选择题必须用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，按照题目在答题卡对应的答题区域内作答，超出答题区域和在试卷、草稿纸上答题无效．要求必须保持答题卡的整洁，字体工整，笔迹清晰． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义．将代入求解即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：． 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方公式将方程化成的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 3. 下列各选项中，哪一项是关于的二次函数( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中当时不是二次函数，则A不符合题意； B、不是二次函数，则B不符合题意； C、不是二次函数，则C不符合题意； D、是二次函数，则D符合题意； 故选：D． 4. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 【答案】A 【解析】 【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A. 考点：二次函数图象的平移法则. 5. 二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（　　） A. （1，1） B. （2，2） C. （1，2） D. （1，3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点坐标公式，可得答案． 【详解】解：的顶点横坐标是，纵坐标是， 的顶点坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是 6. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为　　 A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程解的定义就可以得到关于的方程，从而求得的值． 【详解】解：关于的方程的一个根为， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．解题的关键是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 7. 某商品原售价250元，经过连续两次降价后售价为200元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设平均每次降百分率为x，根据等量关系式：原售价×=连续两次降价后售价，列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降百分率为x，根据题意得： ， 故选：B． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 9. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 10. 如图所示，是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的增减性可得，④正确，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，②正确． ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，①正确． ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， ∴时，，③错误． ∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴时，y随x增大而减小， ∵， ∴，④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】x＝1 【解析】 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的对称轴． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的对称轴是直线， 故答案是：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握将抛物线解析式化为顶点式． 12. 一元二次方程x2+3x=0的解是_____． 【答案】0，-3 【解析】 【分析】利用提公因式法把方程变形为ab=0的形式，构成两个一元一次方程解答即可. 【详解】x2＋3x＝0 x（x+3）=0 x=0或x+3=0 解得x1＝0，x2＝－3. 故答案为x1＝0，x2＝－3. 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是利用提公因式法把方程化为ab=0的形式. 13. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将，代入数值计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为， ， ， 故答案是：． 14. 一条抛物线和的图象形状相同，且函数有最小值，顶点坐标是，则此抛物线的函数关系式为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是掌握抛物线的解析式为． 因为顶点坐标是，因此设抛物线的解析式为，由条件可以得出，代入解析式就可以求出结论． 【详解】解：∵图象顶点坐标为， 设函数解析式是． ∵形状与抛物线相同，且函数有最小值， ∴，因而解析式是：． 故答案为：． 15. 在抛物线上有和三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则和的大小关系为____________________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据题意得到，对称轴，再根据增减性即可得到答案． 【详解】∵抛物线与y轴的交点在正半轴上， ∴，解得：， ∴该抛物线开口向下. ∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和三点，到对称轴由远到近依次是点C、A、B， ∴. 三、解答题（本题共9小题，共计75分）． 16. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程． （1）方程移项后运用直接开平方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得： 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 17. 已知二次函数的图象经过、两点，求这个二次函数的解析式 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将、两点代入解析式利用待定系数法即可求解． 【详解】将、两点代入解析式得： 解得 ∴二次函数解析式为． 18. 已知抛物线与轴有两个不同的交点，试求的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数图像与轴交点问题，根据抛物线与轴有两个不同的交点，得出且，进而求出的取值范围． 【详解】解：抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴且， 解得：且． 19. 如图所示：抛物线与x轴相交于，两点，与直线相交于，两点． （1）求，两点坐标． （2）求，两点坐标． （3）写出当时的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，根据抛物线与直线的交点解不等式； （1）令解方程，即可求解； （2）联立直线与抛物线解析式，解方程组即可求解； （3）根据抛物线开口向下，以及与直线的交点坐标，写出直线在抛物线下方的部分的自变量的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：当时， 解得：， ∴ 【小问2详解】 解：解方程组，得 或， ∴ 【小问3详解】 解：∵抛物线开口向下，与直线相交于两点． ∴当时， 20. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 【答案】（1） 证明：， 故方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）求出即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合得出，代入计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 21. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰三角形的底边，若，恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义： （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）根据等腰三角形定义可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则，可求出，再解方程得到，据此根据三角形周长计算公式求解即可．， 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，恰好是另外两条腰的长， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， ∴等腰三角形的腰长为4， ∴等腰三角形的周长为． 22. 如图所示，已知在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． （1）如果分别从同时出发后 ， ， （2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果分别从同时出发，那么几秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 【答案】（1）4，4 （2）2或4 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，二次函数的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解几何问题，二次函数图象的性质求最值的方法是解题的关键． （1）根据行程问题可得出发后，，，由此即可求解； （2）运动时间为，则，可得，由此列式求解即可； （3）根据题意可得，，由列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， 出发后，，， ∴， 故答案为：4，4； 【小问2详解】 解：点的时间为：，点的时间为：， 设运动时间为，则， ∴，， ∴， ∴，整理得，， 解得，， ∴或后，的面积等于； 【小问3详解】 解：， 由（2）可得，， ∴， ， ∵， ∴当时，四边形的面积最小，最小是． 23. 丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+160 （2）销售单价应定为50元 （3）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元 【解析】 【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160； （2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元； （3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【小问1详解】 解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b， 把（35，90），（40，80）代入得：， 解得， ∴y＝﹣2x+160； 【小问2详解】 根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200， 解得x1＝50，x2＝60， ∵规定销售单价不低于成本且不高于54元， ∴x＝50， 答：销售单价应定为50元； 【小问3详解】 设每天获利w元， w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55， 而x≤54， ∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元）， 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积最大值； （3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积最大值为 （3）存在，M点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式，过点P作轴交BC于G，设，则，表示的面积，运用二次函数的性质求出最大值即可； （3）分三种情况进行讨论：当时；当时；当时；进而得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 令，则， 解得或， ∴， 设直线BC的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过点P作轴交BC于G， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为32； 【小问3详解】 ①存在点M，使得为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设， ∴，，， 当时，， 解得（舍）或， ∴； 当时，， 解得或， ∴或； 当时，， 解得， ∴； 综上所述：M点坐标为或或或； 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合－面积问题以及特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年一贯制学校第一教联体2024—2025学年度上学期 九年级数学期中测试题 注意事项： 1．本卷共4页，24小题，满分120分，考试时限120分钟． 2．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并在答题卡规定的位置认真填涂证考证号． 3．选择题必须用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，按照题目在答题卡对应的答题区域内作答，超出答题区域和在试卷、草稿纸上答题无效．要求必须保持答题卡的整洁，字体工整，笔迹清晰． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各选项中，哪一项是关于的二次函数( ) A. B. C. D. 4. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 5. 二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（　　） A. （1，1） B. （2，2） C. （1，2） D. （1，3） 6. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为　　 A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 7. 某商品原售价250元，经过连续两次降价后售价为200元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 10. 如图所示，是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的对称轴是直线______． 12. 一元二次方程x2+3x=0的解是_____． 13. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，则___________ 14. 一条抛物线和的图象形状相同，且函数有最小值，顶点坐标是，则此抛物线的函数关系式为______________ 15. 在抛物线上有和三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则和的大小关系为____________________________ 三、解答题（本题共9小题，共计75分）． 16. 解下列方程 （1） （2） 17. 已知二次函数的图象经过、两点，求这个二次函数的解析式 ． 18. 已知抛物线与轴有两个不同的交点，试求的取值范围． 19. 如图所示：抛物线与x轴相交于，两点，与直线相交于，两点． （1）求，两点坐标． （2）求，两点坐标． （3）写出当时的取值范围 20. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 21. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰三角形的底边，若，恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． 22. 如图所示，已知在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． （1）如果分别从同时出发后 ， ， （2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果分别从同时出发，那么几秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 23. 丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积最大值； （3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $