专题4.7 线段计算的常用思想方法【八大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（北师大版2024）

专题4.7 线段计算的常用思想方法【八大题型】 【北师大版2024】 【题型1 方程思想之设关键线段】 1 【题型2 方程思想之设比例份数】 2 【题型3 整体思想】 3 【题型4 分类讨论思想之分点位置的差异】 5 【题型5 分类讨论思想之点在直线上和线段上的差异】 5 【题型6 数形结合思想】 6 【题型7 线段的计算之多结论问题】 7 【题型8 线段的计算之求线段比】 8 知识点1：方程思想之设关键线段 条件:BC-AC=. 结论:设AC=，则BC=+,AB=2+. 【题型1 方程思想之设关键线段】 【例1】（23-24七年级·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为的中点，点P为延长线上一动点，点E为的中点，则的值是 ． 【变式1-1】（23-24七年级·河南许昌·期末）如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【变式1-2】（23-24七年级·江西抚州·阶段练习）直线l上有线段，点C在直线l上（与点A、点B不重合），且，M是中点，N是中点，请画出示意图，并求的长． 【变式1-3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长； (2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 知识点2：方程思想之设比例份数 条件:AC:CD:DB=:b:c. 结论:设AC=，则CD=b,DB=c. 【题型2 方程思想之设比例份数】 【例2】（23-24七年级·重庆丰都·期末）如图，点在线段上，是的中点，是的中点，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2-1】（2024七年级·全国·竞赛）如图，若延长到点，使，点为的中点，，则线段的长度是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 【变式2-3】（23-24七年级·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点3：整体思想 条件:点C,D在线段AB上,AC=x,CD=，DB=b-x. 结论:AB=x++b-x=+6. 条件:C为AB 上一点,AC=a-x,CB=b+x. 结论:AB=-x+b+x=+b. 【题型3 整体思想】 【例3】（2024七年级·全国·竞赛）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，是的中点，是线段的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【变式3-2】（23-24七年级·辽宁大连·期末）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M﹑N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段AM的长度为______； (2)当t为何值时，M、N两点重合？ (3)若点P为AM中点，点Q为BN中点．问：是否存在时间t，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）已知题目：“如图，线段上依次有四个点，其中点是线段的中点，点是线段的中点，若线段，线段，求线段的长．”嘉淇说题目少条件，若给出，就能求出的长；老师说题目不少条件，可以把看作一个整体解题． (1)按照嘉淇的思路，求出的长； (2)按照老师的思路，给出解答过程． 知识点4：分类讨论思想 条件:C为直线AB 上一点. 结论:当C在线段AB上时，AC1=AB-BC1； 当C在线段AB的延长线上时,AC2=AB+BC2 条件:C为AB的n等分点 结论:AC1=AB,AC2=AB. 【题型4 分类讨论思想之分点位置的差异】 【例4】（23-24七年级·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（23-24七年级·浙江金华·开学考试）已知线段，点B是线段的中点，点D是线段上一点，且，则线段的长为（    ） A．3 B．3或7 C．8或3 D．8 【变式4-2】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）如图，已知线段，点为上一点且，点是的中点． (1)求的长度； (2)点是直线上一点，且，求的长． 【变式4-3】（23-24七年级·河南驻马店·期末）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，则线段的长是（    ） A．2 B．4 C．2或14 D．4或14 【题型5 分类讨论思想之点在直线上和线段上的差异】 【例5】（23-24七年级·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知线段，C为直线上一点，且，M，N分别是、的中点，则等于（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式5-1】（23-24七年级·山东潍坊·阶段练习）已知是直线上的一点，，，是的中点，的长为 ． 【变式5-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式5-3】（23-24七年级·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【题型6 数形结合思想】 【例6】（23-24七年级·湖南娄底·期末）某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．A区 B．B区 C．C区 D．不确定 【变式6-1】（23-24七年级·重庆九龙坡·开学考试）数轴是中学数学教材中数形结合的第一个实例，它使点与实数之间建立起一一对应的关系，揭示了“数”和“形”之间的内在联系．小华在一张长方形纸条上画了一条数轴，进行如下操作：如图①，在数轴上剪下12个单位长度（从到9）后得到的一条线段，过线段上某点将纸条向左折叠；如图②，然后在重叠部分的某处剪一刀，展开后得到三条线段，发现有折痕的线段长度为6，另外两条没有折痕的线段长度之比为，则折痕处对应的点表示的数为 ． 【变式6-2】（23-24七年级·浙江温州·期末）小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 【变式6-3】（23-24七年级·湖北荆州·期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。” (1)【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，问共有多少种不同的票价．聪明的小慧是这样思考这个问题的，她用个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．由此可以得到有________种不同的票价． (2)【迁移应用】六支足球队进行单循环比赛（任意两支球队只进行1场比赛），当比赛到某一天时，统计出五支队已经分别比赛了场球，则队比赛了________场． (3)【拓展创新】某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划路程的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求两市相距多少千米？ 【题型7 线段的计算之多结论问题】 【例7】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式7-1】（23-24七年级·湖北咸宁·期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论： ①图中的点D，P，C，E都是动点； ②ADBE； ③AB=2DE； ④当AC=BC时，点P与点C重合． 其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【变式7-2】（23-24七年级·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①；                 ②若，则； ③；         ④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式7-3】（23-24七年级·江西吉安·阶段练习）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有 ． 【题型8 线段的计算之求线段比】 【例8】（23-24七年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段的中点，M、N分别是线段的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24七年级·湖北随州·期末）如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．图中共有 条线段；若为直线上一点，且，则的值为 ． 【变式8-2】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 【变式8-3】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.7 线段计算的常用思想方法【八大题型】 【北师大版2024】 【题型1 方程思想之设关键线段】 1 【题型2 方程思想之设比例份数】 6 【题型3 整体思想】 10 【题型4 分类讨论思想之分点位置的差异】 14 【题型5 分类讨论思想之点在直线上和线段上的差异】 17 【题型6 数形结合思想】 21 【题型7 线段的计算之多结论问题】 26 【题型8 线段的计算之求线段比】 30 知识点1：方程思想之设关键线段 条件:BC-AC=. 结论:设AC=，则BC=+,AB=2+. 【题型1 方程思想之设关键线段】 【例1】（23-24七年级·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为的中点，点P为延长线上一动点，点E为的中点，则的值是 ． 【答案】 【分析】设，，，分两种情况，当和时，分别求解即可． 【详解】解：设，，， 当时，如下图： 则，，， ，， 则 当时，如下图： 则，，， ，， 则 故答案为： 【点睛】此题考查了线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，正确画出图形，利用分类讨论的思想求解问题． 【变式1-1】（23-24七年级·河南许昌·期末）如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不会，的长为定值 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意求出的长度，根据三等分点的定义求出的长度，即可得到答案； （2）分及两种情况分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：若点P表示的有理数是0， 根据题意可知：， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 若点P表示的有理数是6， ， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 故答案为：；； （2）解：的长不会发生改变； 设点表示的有理数为（且）， 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值． 【变式1-2】（23-24七年级·江西抚州·阶段练习）直线l上有线段，点C在直线l上（与点A、点B不重合），且，M是中点，N是中点，请画出示意图，并求的长． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了求两点之间的距离的应用，关键是求出各个线段的长和关键图形得出之间的关系式．分为三种情况画出图形：①当C在线段上时，②当C在B的右侧时，③当C在A点的左侧时，求出的长，即可求出答案． 【详解】解：（1）当C在线段上时， ∵， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴， ∴； （2）当C在B的右侧时， ∵， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴， ， ∴； （3）当C在A点的左侧时， ． ∵， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴，， ∴； 综合可知，． 【变式1-3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长； (2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，定值为． 【分析】（）根据题意可得的长等于的三分之一，即可求解； （）设，分点在点左侧和右侧两种情况列方程求解即可； （）由式子的值为定值可判断出木棒和木棒重叠，分别求出点与点重合和点与点重合的时间，即可求出的取值范围，由木棒和木棒重叠可得的值为定值即为的值； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，并运用分类讨论的方法分别列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：设， 当点在点左侧时，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在点右侧时，， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴的长为或； （3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值， 定值即为， 当点与点重合时，， 解得； 当点与点重合时，， 解得； ∴当时，式子的值为定值，定值为． 知识点2：方程思想之设比例份数 条件:AC:CD:DB=:b:c. 结论:设AC=，则CD=b,DB=c. 【题型2 方程思想之设比例份数】 【例2】（23-24七年级·重庆丰都·期末）如图，点在线段上，是的中点，是的中点，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了求两点之间的距离，解题的关键是能根据题意得出方程．设，求出，，求出，，根据得出方程，求出即可． 【详解】解：设，则，， 线段、的中点分别是、， ，， ， ， 解得：， ． 故选：D． 【变式2-1】（2024七年级·全国·竞赛）如图，若延长到点，使，点为的中点，，则线段的长度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差定义、线段的中点等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 设，则，利用中点的定义构建方程即可解决问题． 【详解】解：设，则． ∵D为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度是． 故选：B． 【变式2-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论． 由点C是线段的三等分点，可知分两种情况进行讨论，画出图形，结合线段的比例关系，及线段中点的性质即可求解． 【详解】解：∵是线段的中点， ， ①若，如图1所示： ， ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴． ∴； ②若，如图： ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ， ， 故选：C． 【变式2-3】（23-24七年级·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 设， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点3：整体思想 条件:点C,D在线段AB上,AC=x,CD=，DB=b-x. 结论:AB=x++b-x=+6. 条件:C为AB 上一点,AC=a-x,CB=b+x. 结论:AB=-x+b+x=+b. 【题型3 整体思想】 【例3】（2024七年级·全国·竞赛）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，是的中点，是线段的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差计算，熟练掌握线段中点的定义及线段的和差计算是解答本题的关键．先求出，再由线段中点的定义，可得，，由此即可求得的长． 【详解】，， ， 是的中点，是线段的中点， ，， ． 故选C． 【变式3-1】（23-24七年级·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发6秒后； (2)，理由见解析； (3)选，，理由见解析． 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：，，， ； （3）解：选； ，，，， 定值； 变化． 【变式3-2】（23-24七年级·辽宁大连·期末）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M﹑N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段AM的长度为______； (2)当t为何值时，M、N两点重合？ (3)若点P为AM中点，点Q为BN中点．问：是否存在时间t，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当或时， 【分析】（1）直接根据路程=时间×速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 由得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意，，，则， 当分点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， 故当或时，． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． 【变式3-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）已知题目：“如图，线段上依次有四个点，其中点是线段的中点，点是线段的中点，若线段，线段，求线段的长．”嘉淇说题目少条件，若给出，就能求出的长；老师说题目不少条件，可以把看作一个整体解题． (1)按照嘉淇的思路，求出的长； (2)按照老师的思路，给出解答过程． 【答案】(1) (2)，解答过程见解析 【分析】（1）根据中点定义和线段之间的和差关系得到，利用即可得到答案； （2）根据题意得到，点是线段的中点，点是线段的中点，则,，即可得到，利用即可得到答案． 此题考查了线段的和差关系和线段中点的相关计算，弄清线段之间的关系是解题得到关键． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴ （2）∵，，， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴,， ∴， ∴． 知识点4：分类讨论思想 条件:C为直线AB 上一点. 结论:当C在线段AB上时，AC1=AB-BC1； 当C在线段AB的延长线上时,AC2=AB+BC2 条件:C为AB的n等分点 结论:AC1=AB,AC2=AB. 【题型4 分类讨论思想之分点位置的差异】 【例4】（23-24七年级·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． 【变式4-1】（23-24七年级·浙江金华·开学考试）已知线段，点B是线段的中点，点D是线段上一点，且，则线段的长为（    ） A．3 B．3或7 C．8或3 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．根据题意画出图形，根据题意分情况讨论即可得到答案． 【详解】解：①当点在点左侧时， ，点B是线段的中点， ， ， ； ②当点在点右侧时， ，点B是线段的中点， ， ， ； 故选B． 【变式4-2】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）如图，已知线段，点为上一点且，点是的中点． (1)求的长度； (2)点是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出的长，再根据线段中点的定义求解即可； （2）分点D在点P的左边时，点D在点P的右边时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1） ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：如图，点D在点P的左边时， ，，， ， ， ； 点D在点P的右边时， ，，， ， ， ， ， 综上所述：的长为或． 【变式4-3】（23-24七年级·河南驻马店·期末）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，则线段的长是（    ） A．2 B．4 C．2或14 D．4或14 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差计算．根据题意运用分类讨论画出两个图形，运用线段中点的定义与线段的和差即可解答． 【详解】分两种情况讨论： ①如图，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴，即 ∴； ②如图，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为2或14． 故选：C 【题型5 分类讨论思想之点在直线上和线段上的差异】 【例5】（23-24七年级·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知线段，C为直线上一点，且，M，N分别是、的中点，则等于（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离．解答此题时，充分利用了两点间的中点的定义．分当点在上时，当点在的延长线上时两种情况讨论即可． 【详解】解：如图，当点在上时， 又，分别是、的中点， ，， ， ． 当点在的延长线上时， 又，分别是、的中点， ，， ， ． 故选：D． 【变式5-1】（23-24七年级·山东潍坊·阶段练习）已知是直线上的一点，，，是的中点，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算，分两种情况：当点在之间时；当点在点右侧时；分别求解即可得出答案，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当点在之间时， 此时， ∵是的中点， ∴， ∴； 如图，当点在点右侧时，    此时， ∵是的中点， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【变式5-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 【变式5-3】（23-24七年级·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 【题型6 数形结合思想】 【例6】（23-24七年级·湖南娄底·期末）某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．A区 B．B区 C．C区 D．不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式，比较线段的长短，整式的运算，正确求出停靠点分别在A、B、C各点和A区、B区之间时，在B区、C区之间时，员工步行的路程和是解题的关键，要能把线段的概念在现实中进行应用． 【详解】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 因为，即在A区时，路程之和最小，为4500米， 设在A区、B区之间时，设距离A区x米， 则所有员工步行路程之和 ， ∴当时，即在A区时，路程之和最小，为4500米， 设在B区、C区之间时，设距离B区x米， 则所有员工步行路程之和， ， ∴当时，即在B区时，路程之和最小，为5000米， 综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小， 所以停靠点的位置应在A区． 故选：A． 【变式6-1】（23-24七年级·重庆九龙坡·开学考试）数轴是中学数学教材中数形结合的第一个实例，它使点与实数之间建立起一一对应的关系，揭示了“数”和“形”之间的内在联系．小华在一张长方形纸条上画了一条数轴，进行如下操作：如图①，在数轴上剪下12个单位长度（从到9）后得到的一条线段，过线段上某点将纸条向左折叠；如图②，然后在重叠部分的某处剪一刀，展开后得到三条线段，发现有折痕的线段长度为6，另外两条没有折痕的线段长度之比为，则折痕处对应的点表示的数为 ． 【答案】或2/2或4 【分析】先求出另外两条线段的长度分别为：，，然后分两种情况求出折痕处对应的点表示的数即可． 【详解】解：∵展开后得到三条线段，发现有折痕的线段长度为6，另外两条没有折痕的线段长度之比为， ∴另外两条线段的长度分别为： ，， 当较长的一段含有的数有，较短的一段含有的数有9时， 则有折痕的一段中最小的数为：，最大的数为， ∴此时折痕处对应的点表示的数为； 当较长的一段含有的数有9，较短的一段含有的数有时， 则有折痕的一段中最小的数为：，最大的数为：， ∴此时折痕处对应的点表示的数为； 综上分析可知，折痕处对应的点表示的数为或2． 故答案为：或2． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上的中点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点，注意分类讨论． 【变式6-2】（23-24七年级·浙江温州·期末）小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 【答案】(1)总长的长度为 (2)缩进部分的长为，的长为 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）分别求出，的长，根据即可解答； （2）先求出的长，再根据线段中点的定义求出，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴， 答：无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 答：缩进部分的长为，的长为． 【变式6-3】（23-24七年级·湖北荆州·期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。” (1)【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2个车站（来回票价一样），可以从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，问共有多少种不同的票价．聪明的小慧是这样思考这个问题的，她用个点表示车站，每两站之间的票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．由此可以得到有________种不同的票价． (2)【迁移应用】六支足球队进行单循环比赛（任意两支球队只进行1场比赛），当比赛到某一天时，统计出五支队已经分别比赛了场球，则队比赛了________场． (3)【拓展创新】某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划路程的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，求两市相距多少千米？ 【答案】(1)6 (2)3 (3)，两市相距600千米． 【分析】本题考查了线段及一元一次方程的应用，运用数学知识解决生活中的问题． （1）解题的关键是需要掌握正确数线段的方法．先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数； （2）由已知，通过五支队已经分别比赛了场球，进行推理可得答案． （3）可以设，两市相距千米，根据题目的叙述用表示出的长，即可求得． 【详解】（1）解：如图： 从任意站点买票出发且任意两站间的票价都不同，共有种不同的票价，需准备种车票． 故答案为：6； （2）比了5场， 所以与比过， 比了4场， 所以与比过， 比了3场， 所以与比过， 比了3场， 所以与比过， 只比了1场， 所以与比过， 所以与比过． 所以队比赛了3场． 故答案为：3； （3）如图： 设，两市相距千米， ，， ，， 列以下方程：， 解得． 答：，两市相距600千米． 【题型7 线段的计算之多结论问题】 【例7】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点有关的线段和差的计算，线段之间的数量关系，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②；由中点的意义可得，代入可判断③；由，得，代入可得故可判断④ 【详解】解： ， ， ， ， ，即，故①正确； ， ， 、分别是线段、的中点， ， ，故②正确； 、分别是线段、的中点， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ，故④正确， ∴正确的有①②③④． 故选：D． 【变式7-1】（23-24七年级·湖北咸宁·期末）如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论： ①图中的点D，P，C，E都是动点； ②ADBE； ③AB=2DE； ④当AC=BC时，点P与点C重合． 其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】①由题意可知随着C的运动，D、P、E都在动，故正确； ②可以推得当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，AC<BC，故错误； ③由题意及中点的性质可知正确； ④由题意，当AC=BC时，C为DE中点，根据已知，P也为DE中点，所以点P与点C重合． 【详解】解：①∵点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，∴D、E随着C的运动而运动，点P随着D、E的运动而运动，因此，随着C的运动，D、P、E都在动，∴本选项正确； ②∵ ∴当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，由于AC<BC，∴AD<BE，本选项错误； ③由题意可知：， ∴，即AB=2DE，∴本选项正确； ④由③可知，当AC=BC时，DC=EC，所以C为DE中点， 又P也为DE中点，∴点P与点C重合，∴本选项正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查中点的应用，熟练掌握中点的意义和性质并灵活应用是解题关键． 【变式7-2】（23-24七年级·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①；                 ②若，则； ③；         ④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和差关系．结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答． 【详解】解：∵E，F分别是线段的中点．， ∴， ∴， 故①不符合题意； ∵， ∴，即， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故④不符合题意； 故选：B． 【变式7-3】（23-24七年级·江西吉安·阶段练习）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案． 【详解】解： 是的三等分点，， ，， ， ， ， ∴， 故①正确； ∵，， ， 是线段的中点， ， ∴ ， ， 故②错误； ， ， ， ， ， ∴； 故③错误； ，， ， ， ， ∴ 故④正确； 综上，正确的有①④， 故答案为：①④． 【题型8 线段的计算之求线段比】 【例8】（23-24七年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段的中点，M、N分别是线段的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离，关键是由线段中点定义得到，即可求出的值为． 由线段中点定义得到，由，即可得到，由线段中点定义得到，因此，即可求出的值为． 【详解】解：∵分别是线段的中点， ， ， ， ， ∵分别是线段的中点， ， ， ， ， 的值为， 故选：B． 【变式8-1】（23-24七年级·湖北随州·期末）如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．图中共有 条线段；若为直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】 6 或 【分析】本题主要考查了线段的数量问题、线段的中点的性质、线段的和差等知识点，明确各线段间的关系成为解题的关键． 先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答；分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：图中的线段有：共6条线段， 故答案为：6； ∵点为线段的中点，为线段上一点，且， ∴， ∵， ∴点P在的延长线上和点P在的延长线， 如图:当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴，解得：， ∴, ∴， ∴； 如图:当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴，解得：， ∴, ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式8-2】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离和中点的性质等知识点，由和推出，由M为的中点可得出的长，进而可得的长度，由 N为的中点可得出的长度，进而即可求出的值．根据各线段之间的关系求出的长度是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 【答案】(1)①7；②或 (2)或． 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论的位置是解题的关键． （1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得 或 ，则 或，由线段的和差即可得到结论； （2）当点E在线段之间时，设，则，求得，设，得到，求得 ，当点E在点A的左侧，设，则，设，求得，得到，于是得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， ①∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵点C是线段的三等分点，， ∴ 或 ， ∴ 或， ∴或； （2）当点E在线段之间时，如图， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ， ∴ x， ∴； 当点E在点A的左侧，如图， 设，同理， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$