6.8 余角和补角 学案 2024—2025学年浙教版数学七年级上册

第六章 几何图形 6.8 余角和补角学习目标 学习目标： 1. 理解余角和补角的概念，准确判断两个角是否互为余角或补角; 2. 掌握余角和补角的性质，能运用性质进行简单的角度计算和推理; 3. 学会运用余角和补角的知识解决实际问题，如在几何图形中求角度、解释生活中的角度现象等。 核心素养目标： 1. 培养空间感知：观察分析图形中余角和补角，建立空间观念。 2. 锻炼逻辑推理：运用性质推理计算，提升逻辑思维。 3. 增强应用意识：用知识解决生活中角度问题。 学习重点：余角和补角的概念及性质，能准确判断两个角的关系。 学习难点：理解余角和补角性质的推导过程，运用性质解决复杂的角度计算和几何证明问题。 预习自测 一、知识链接 1.如果两个锐角的和是一个________，我们就说这两个角________，简称________，也可以说其中一个角是另一个角的________。 2.如果两个角的和是一个_______，我们就说这两个角互为_______，简称_______，也可以说其中一个角是另一个角的_______。 3.当∠α＝∠β时，就有∠α的余角与∠β的余角相等，也就是说，________________________。 同样可以得到：________________________。 4.方位角:以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的_________为方位角。 5.方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，如南偏西20°。当与南北方向夹角为___________时，常简称东北、东南、西北、西南，如北偏东___________为东北方向。 二、自学自测 1.已知∠α＝60°32′，∠α的余角是多少度？∠α的补角是多少度？ 2.（1）已知∠α的余角是∠α 的 2 倍，求∠α 的度数。 （2）已知∠1的补角是∠1的3倍，求∠1的度数。 课堂探究 一、创设情境、导入新课 台球桌面上，A球受击打后的运动轨迹如图。若∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？ 二、合作交流、新知探究 探究一：引入概念 如图，在Rt∠AOB 的内部画射线 OC，则有∠1＋∠2＝Rt∠AOB。∠3＋∠4与Rt∠AOB相等吗？怎样判断？ 如图，类似地，在平角∠AOB 的内部画射线OC，则有∠AOC＋∠BOC＝∠AOB。∠α＋∠β与平角∠AOB相等吗？怎样判断？ 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。例如，p5页图中，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。∠3与∠4呢？ ∠3与∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4也是∠3的余角。 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。例如，p6页图中，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角。∠α与∠β呢？ ∠α与∠β互为补角，∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。 【强调】：注意 (1)互余、互补是两个角之间的关系，若三个角的和等于 90°或180°，不能称为互余或互补. (2)互余、互补只与两个角的角度有关，与位置无关. (3) ∠α的余角可以记作 90°- ∠α， ∠α的补角可以记作180°-∠α. 方位角:以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。 注意： 方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，如南偏西20°。当与南北方向夹角为45°时，常简称东北、东南、西北、西南，如北偏东45°为东北方向。 探究二：例题讲解 教材第188页： ▶做一做 1.如图，已知∠1＝42°，∠2＝138°，∠3＝48°。图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。 2.如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由。 3. 填空： (1)∠α的余角＝90°－________ ； (2)∠β的余角＝ ________－∠β。 你能得出什么结论？ ▶例1 如图，已知∠AOC＝∠BOD＝Rt∠。指出图中还有哪些角相等，并说明理由。 ▶例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。 课堂练习 【例1】已知∠a=25°30'，则它的余角为（ ） A.25°30' B.64°30' C.74°30' D.154°30' 【例2】若α=70°，则α的补角的度数是（ ） A.130° B.110° C.30° D.20° 【例3】如图，点O在直线AB上角为∠COB=∠EOD=90°，那么下列说法错误的是( ) A.∠1与∠2相等 B.∠AOE与∠2互余 C.∠AOD与∠1互补 D.∠AOE与∠COD互余 【例4】如图，若在飞机飞行时，用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向的夹角作为“飞行方位角”，从A到B的“飞行方位角”为35°，即∠NAB=35°，从A到D的“飞行方位角”比从A到B的“飞行方位角”的4倍少10°，从A到C的飞行线恰好是从A到D的“飞行方位角”的平分线，且∠EAD=90° (1)求从A到D的“飞行方位角”的度数; (2)求∠EAC的度数. 【选做】5.如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它北偏东30°的方向上，海岛B在它南偏东60°方向上，则下列结论:①∠NOA=30°；②图中∠NOB的补角有两个，分别是∠SOB和∠EOA；③图中有4对互余的角；④货轮O在海岛B的北偏西60°的方向上。 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【选做】6.若∠β是∠α的补角，∠γ是∠α的余角，且∠β与∠γ的和是平角，则∠β是∠α的_____。 课堂总结 知识点1 余角和补角 1.如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。 3.性质:同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 知识点2 方位角 方位角:以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。 作业布置 必做题： 1.如图，将一副三角尺按不同的方式摆放，下列摆放方式中，∠α与∠β互余的是______(填序号). 2.如图，点O在直线AB上，∠AOC=∠BOD=20°，则图中互补的角的对数是( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 3.如图，将一副三角尺的直角顶点重合摆放在桌面上，若∠BOC=33°，则∠AOD=______。 4.A，B，C三个城的位置如图所示，A在C的南偏西30°方向上，且∠ACB=145°，则B在C的方向上______。 选做题： 5.如图，点O是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90.若∠AOB=∠COD，射线OA，OB分别经过刻度线40和60，∠COD在刻度线OM的右侧，则下列说法:①∠AOC=∠BOD；②若∠AOC与∠BOC互补，则射线OD经过刻度线165；③若∠MOC=3∠COD，则图中共有6对角互为余角，其中正确的是______(填序号)。 6.如图，射线OC，OD在∠AOB内，∠AOB 和∠BOC互为补角，∠BOD=∠AOB，若∠COD比∠BOD大m° (m<30)，则∠AOC=______(用含m的式子表示). 拓展题：将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O. (1)如图(1)，若∠AOD=35°，求∠BOC的度数。 (2)若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O顺时针旋转，某一时刻的位置如图(2)所示，试猜想在转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系?请说明理由. 参考答案 【预习自测】 1.【解析】⸪∠a=60°32 ⸫这个角的余角的度数为:90°-60°32=29°28' 这个角的补角的度数为:180°-60°32=119°28'2. 2.(1)依据题意可知:90°-∠α =2∠α化简得:3∠α =90°，解之得:∠α = 30° (2)依据题意可知:180°-∠1=3∠1化简得:4∠1=180°，解之得:∠1= 45° 【作业布置】 必做 1.① 【解析】①题图中∠α+∠β=180°-90°=90°，所以∠α与∠β互余，故①符合题意；②题图中∠α=∠β，不一定互余，故②不合题意;③题图中∠α+∠β=180°-45°+180°-45°=余270°，不是互余关系，故③不合题意;④题图中∠α+∠β=180°，不是互余关系，故④不合题意.故答案为①. 2.D 【解析】因为∠AOC=∠BOD=20°，且∠AOB=180°，所以∠AOD=∠BOC=160°，所以互补的角有∠AOC与∠AOD，∠AOC与∠BOC，∠BOD与∠AOD，∠BOD与∠BOC共4对，故选D. 3.147【解析】因为∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠DOB+∠BOC=90°，所以∠AOB+∠COD=∠AOC +∠BOC+∠DOB+∠BOC=180°.因为∠AOD=∠AOC+∠DOB+∠COB，所以∠AOD=180°-∠BOC=180°-33° =147°.故答案为147. 4.【解析】(1)由题可知∠NAB=35°，∠NAD=4∠NAB-10°，所以∠NAD=4×35°-10°=130°，即从A到D的“飞行方位角"的度数为130° (2)由题可知AC平分∠NAD，所以∠NAC=∠DAC=1/2∠NAD=65°.因为∠EAD=90°，所以∠EAC=∠EAD-∠DAC=90°-65°=25°。 选做 5.①③ 【解析】①因为∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，所以∠AOC=∠BOD，故原说法正确;②由题意可得∠AOB=60°-40°=20°=∠COD.因为∠AOC+∠BOC=180°，所以∠AOB+∠BOC+∠BOC=180°，即20°+∠BOC+∠BOC=180°所以∠BOC=80°，所以∠EOD=60°+80°+20°=160°，即射线OD经过刻度线160°，故原说法错误;③因为∠MOC=3∠COD=60°，∠MOB=90°-60°=30°，所以∠BOC=90°，所以∠BOM和∠COM互为余角.因为射线OM经过刻度线90，所以∠EOM=∠FOM=90°所以∠AOE和∠AOM，∠BOE和∠BOM，∠COM和∠COF，∠DOM和∠DOF，∠BOE和∠COF互为余角，即共有6对角互为余角故原说法正确.综上，正确的有③，故答案为①③. 6.(36-m)【解析】因为∠AOB 和∠BOC互为补角，所以∠AOB+∠BOC=180°.因为∠BOD=∠AOB，所以3∠BOD+∠BOC=180°，即∠BOC=180°-3∠BOD.因为∠COD+∠BOD=∠BOC，所以180°-3∠BOD=∠COD+∠BOD，所以∠COD+4∠BOD=180°，因为∠COD比∠BOD大m°(m<30)，所以∠COD=∠BOD+m°，所以5∠BOD+m°=180°，所以∠BOD=(36+m)°，所以∠COD=(36+m)°，所以∠BOC=(72+m)°，所以∠AOB=180°-∠BOC=(108-m)°，所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=(108-m)°-(72+m)°=(36-m)°.故答案为(36-m). 拓展 【解析】(1)因为∠AOD=35°，∠AOB=∠COD=90°，所以∠BOD=90°-35°=55°，所以∠BOC=90°-∠BOD=90°-55°=35. (2)∠AOC+∠BOD=180°理由如下:当三角板AOB与三角板DOC有重叠部分时，因为∠AOB=∠COD=90°， 所以∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°，因为∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，所以∠AOC+∠BOD=180°.当三角板AOB与三角板DOC没有重叠部分时，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°。因为∠AOB=∠COD=90°所以∠AOC+∠DOB=180° 学科网（北京）股份有限公司 $$