专题4 指数函数与对数函数（考点精讲）-【中职专用】2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题4 指数函数与对数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 7 考点一：根式与分数指数幂的互化 7 考点二：指数与指数运算 9 考点三：指数函数解析式 10 考点四：指数不等式 11 考点五：比较幂的大小 12 考点六：指数方程 14 考点七：指对互化 14 考点八：对数式的化简、求值 15 考点九：对数函数的定义域 16 考点十：比较对数值的大小 18 考点十一：求复合函数的单调区间 19 【考纲要求】 （1）有理数指数幂和实数指数幂：了解n次根式、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的概念；理解实数指数幂的运算法则。 （2）指数函数：了解指数函数的定义；理解指数函数的图像和性质。 （3）对数的概念：了解对数的概念及性质；了解常用对数与自然对数的表示方法。 （4）对数的运算：了解积、商、幂的对数及运算法则。 （5）对数函数：了解对数函数的定义、图像和性质。 （6）指数函数与对数函数应用举例：初步掌握从实际情境中抽象出指数函数、对数函数模型解决简单实际问题的方法。 【考向预测】 1. 指数幂的运算； 2．指数函数的图象和性质的简单应用； 3．解简单的指数方程、不等式； 4．幂式大小的比较； 5. 指数式与对数式的互化； 6.对数性质的应用； 7.利用对数运算法则和对数换底公式进行对数的化简、求值； 8. 对数函数的图象和性质的应用； 9. 解简单对数方程； 10. 对数函数在实际问题中的简单应用． 【知识导图】 【知识清单】 一、根式与指数幂 1. 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2. 分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3. 实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 4. 幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇非偶 函数 奇 函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 二、指数函数 1. 指数函数定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2. 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 三、对数函数 1. 对数的定义 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2. 指数式与对数式的互化 3. 常用对数和自然对数 以10为底的对数叫作常用对数,并把记作lg_N.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为ln_N. 4.对数的性质： ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)． 5.对数恒等式： alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0) 6.对数的换底公式： logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 7.对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 8. 对数函数的定义 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 9.对数函数的图象和性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：(－∞，＋∞) 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 【考点分类剖析】 考点一：根式与分数指数幂的互化 例1．的值为（    ） A． B． C．2 D．4 例2．将化为分数指数幂，其形式是（    ） A． B． C． D． 例3．用根式的形式表示下列各式(x>0)． ①x；②x－. 【变式探究】1．（1）求值： （2）用分数指数幂表示 2．下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 3. （    ） A．0 B． C．1 D．2 考点二：指数与指数运算 例1．计算下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ． 例2． . 【方法规律】1.幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数． 2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数． 【变式探究】1. 化简所得的结果是 ． 2. 计算，所得结果为 考点三：指数函数解析式 例1．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 例2．若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】1. 已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 考点四：指数不等式 例1．解不等式：（其中且）． 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1. 解不等式. 2. 函数的定义域为 考点五：比较幂的大小 例1．已知，则m，n的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 例2．的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式探究】1.已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点六：指数方程 例1．解方程：. 【变式探究】1. 解方程：. 考点七：指对互化 例1．指数式与对数式互化. （1） （2） . 例2．若，则的值是 . 【变式探究】1. 已知，则x= . 2. 已知，则（    ） A．2 B．3 C． D． 考点八：对数式的化简、求值 例1．计算：的值（ ） A．0 B． C．2 D．3 例2．计算： ． 【变式探究】1． . 2．的值是（    ） A．1 B． C． D．2 考点九：对数函数的定义域 例1．不等式的解集为 . 例2．函数的定义域是 . 【变式探究】1．不等式的解集是 . 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点十：比较对数值的大小 例1．比较下列各组数的大小． (1)log3.10.5与log3.10.2； (2)与； (3)log56与log65. 【变式探究】1．比较大小： (1)log22 log2； (2)log0.50.6 log0.50.4. 考点十一：求复合函数的单调区间 例1．函数的单调递增区间是 . 【变式探究】1．函数的单调增区间是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 指数函数与对数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 7 考点一：根式与分数指数幂的互化 7 考点二：指数与指数运算 9 考点三：指数函数解析式 10 考点四：指数不等式 11 考点五：比较幂的大小 12 考点六：指数方程 14 考点七：指对互化 14 考点八：对数式的化简、求值 15 考点九：对数函数的定义域 16 考点十：比较对数值的大小 18 考点十一：求复合函数的单调区间 19 【考纲要求】 （1）有理数指数幂和实数指数幂：了解n次根式、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的概念；理解实数指数幂的运算法则。 （2）指数函数：了解指数函数的定义；理解指数函数的图像和性质。 （3）对数的概念：了解对数的概念及性质；了解常用对数与自然对数的表示方法。 （4）对数的运算：了解积、商、幂的对数及运算法则。 （5）对数函数：了解对数函数的定义、图像和性质。 （6）指数函数与对数函数应用举例：初步掌握从实际情境中抽象出指数函数、对数函数模型解决简单实际问题的方法。 【考向预测】 1. 指数幂的运算； 2．指数函数的图象和性质的简单应用； 3．解简单的指数方程、不等式； 4．幂式大小的比较； 5. 指数式与对数式的互化； 6.对数性质的应用； 7.利用对数运算法则和对数换底公式进行对数的化简、求值； 8. 对数函数的图象和性质的应用； 9. 解简单对数方程； 10. 对数函数在实际问题中的简单应用． 【知识导图】 【知识清单】 一、根式与指数幂 1. 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2. 分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3. 实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 4. 幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇非偶 函数 奇 函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 二、指数函数 1. 指数函数定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2. 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 三、对数函数 1. 对数的定义 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2. 指数式与对数式的互化 3. 常用对数和自然对数 以10为底的对数叫作常用对数,并把记作lg_N.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为ln_N. 4.对数的性质： ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)． 5.对数恒等式： alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0) 6.对数的换底公式： logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 7.对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 8. 对数函数的定义 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 9.对数函数的图象和性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：(－∞，＋∞) 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 【考点分类剖析】 考点一：根式与分数指数幂的互化 例1．的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的运算求得正确答案. 【详解】. 故选：C 例2．将化为分数指数幂，其形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把根式化为分数指数幂进行运算． 【详解】=(2=(2×=(=. 故选：B． 例3．用根式的形式表示下列各式(x>0)． ①x；②x－. [解析]　①x＝； ②x－＝. 【变式探究】1．（1）求值： （2）用分数指数幂表示 【答案】 【分析】根据次方根及分数指数幂运算即可. 【详解】（1）； （2）. 故答案为： 2．下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 3. （    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】. 故选：D. 考点二：指数与指数运算 例1．计算下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 7 8 【分析】根据指数运算公式计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）． 故答案为：7，8， 例2． . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质计算直接得出结果. 【详解】原式. 故答案为：. 【方法规律】1.幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数． 2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数． 【变式探究】1. 化简所得的结果是 ． 【答案】10 【分析】利用分数指数幂及根式的运算法则化简即可. 【详解】. 故答案为：. 2. 计算，所得结果为 【答案】 【分析】根据指数幂运算性质即可求解. 【详解】 考点三：指数函数解析式 例1．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 例2．若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【详解】设（且），则， 解得，故. 故选：D 【变式探究】1. 已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 考点四：指数不等式 例1．解不等式：（其中且）． 【答案】答案见解析 【分析】对分类讨论，再结合指数函数单调性解不等式即可求解. 【详解】当时，； 当时，． 综上，当时，解集为；时，解集为． 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的单调性直接求解即可. 【详解】由题意得，所以，解得． 故选：D. 【变式探究】1. 解不等式. 【答案】 【分析】 根据指数型复合函数的单调性建立不等式，解之即可求解. 【详解】因为在上为增函数，且， 所以，解得. 2. 函数的定义域为 【答案】 【分析】根据被开方数大于等于零建立不等式，解出即可. 【详解】令，得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 考点五：比较幂的大小 例1．已知，则m，n的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即可. 【详解】函数是R上的减函数，由，得. 故选：B 例2．的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质比较大小即可. 【详解】由在R上单调递减， 知， 而， 所以, 故选：B. 【变式探究】1.已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出即可求解. 【详解】， 所以 故选：A. 2. 已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出即可求解. 【详解】， 所以 故选：A. 考点六：指数方程 例1．解方程：. 解：把指数式化为对数式，可得，. 【变式探究】1. 解方程：. 解：虽然底数不相同，但可以化为相同的底数2. 原方程可化为. 考点七：指对互化 例1．指数式与对数式互化. （1） （2） . 【答案】 【分析】根据指数式和对数式互化的规定：底数不变，指数变对数，幂值变真数进行变换即得. 【详解】（1）由可得：；由可得. 故答案为：； 例2．若，则的值是 . 【答案】16 【分析】将对数式化为指数式可得. 【详解】由可得， 所以. 故答案为：16 【变式探究】1. 已知，则x= . 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系直接得解. 【详解】由，得. 故答案为： 2. 已知，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】指数式化为对数式，得出结果. 【详解】因为，所以. 故选：D 考点八：对数式的化简、求值 例1．．计算：的值（ ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得； 【详解】. 故选：B 例2．计算： ． 【答案】5 【分析】根据指数运算法则和换底公式得到答案. 【详解】． 故答案为：5 【变式探究】1． . 【答案】13 【分析】利用指对数运算律计算. 【详解】原式. 故答案为：13. 2．的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据换底公式的结论运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 考点九：对数函数的定义域 例1．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性以及对数函数的定义域可得 ，解不等式组即可. 【详解】因为为减函数，则，解得， 故不等式的解集为， 故答案为： 例2．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由表达式中的每个部分有意义得到不等式组，解之即可得到定义域为. 【详解】为了让函数的表达式有意义，需要. 解得，所以函数的定义域是. 故答案为：. 【变式探究】1．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据对数函数的性质计算可得； 【详解】解：因为，又在定义域上单调递增， 所以，所以，所以不等式的解集为； 故答案为： 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 考点十：比较对数值的大小 例1．比较下列各组数的大小． (1)log3.10.5与log3.10.2； (2)与； (3)log56与log65. 【答案】(1)log3.10.5>log3.10.2 (2) (3)log56>log65 【分析】（1）由在(0,＋∞)上是增函数，即可求得结果. （2）由在(0,＋∞)上是减函数，即可求得结果. （3）利用中间变量及对数的单调性，即可求得结果. 【详解】（1）因为在(0,＋∞)上是增函数，所以log3.10.5>log3.10.2. （2）法一：因为在(0,＋∞)上是减函数，所以. 法二：＝－3，＝－2，由－3<－2知. （3）因为log56>log55＝1，log65<log66＝1，所以log56>log65. 【变式探究】1．比较大小： (1)log22 log2； (2)log0.50.6 log0.50.4. 【答案】 (1)> (2)< 【分析】均为同底的对数，利用对数单调性即可比较大小； 【详解】(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2>，所以log22>log2. (2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数， 且0.6>0.4，所以log0.50.6<log0.50.4. 考点十一：求复合函数的单调区间 例1．函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】利用复合函数单调性的判断方法可求该函数的单调增区间. 【详解】函数的定义域为， 令，， 则当时，为增函数； 则当时，为减函数； 而 始终是一个减函数，所以的增区间为， 填. 【变式探究】1．函数的单调增区间是 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性，及对数型函数的定义域即可得出答案. 【详解】解：由函数，则，即， 故定义域为， 令，为增函数， 且也是增函数， 所以函数的单调增区间是. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$