七年级期末压轴题（23大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（浙教版2024）

浙教版七年级上学期期中常考压轴题专题 目录 类型一、绝对值化简 1 类型二、绝对值的意义 2 类型三、多个有理数的乘法 3 类型四、图形的规律题 3 类型五、无理数的小数与整数部分 4 类型六、程序型的实数运算 4 类型七、实数运算的规律题 5 类型八、整式的化简求值 6 类型九、新定义下的实数运算 6 类型十、整式加减中的无关型问题 6 类型十一、绝对值方程 6 类型十二、求方程中的参数问题 7 类型十三、新定义的一元一次方程 7 类型十四、一元一次方程的应用——行程问题 7 类型十五、一元一次方程的应用——工程问题 8 类型十六、一元一次方程的应用——分段收费问题 9 类型十七、一元一次方程的应用——方案选择问题 10 类型十八、一元一次方程的应用——数轴上的动点问题 11 类型十九、线段的中点相关问题 12 类型二十、线段的n等分点问题 13 类型二十一、角平分线相关计算问题 15 类型二十二、角的n等分线问题 16 类型二十三、动角问题 17 类型一、绝对值化简 1．的最小值是，，那么的值为（   ） A． B． C．0 D．不确定 2．如图，数轴上的三点、、分别表示有理数，，． (1)填空：_____0，_____0，_____0；（填“”、“>”或“=”） (2)化简：． 3．数轴是重要的数学工具，体现了数形结合思想，解决以下问题： (1)如图在数轴上有数，，在数轴上标出数，，并借助数轴比较，，，的大小，用连接； (2)如图在数轴上有数，，， 若，，原点在刻度上，请在数轴上标出原点； 在的条件下，化简：． 类型二、绝对值的意义 4．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么A，两点之间的距离为．回答下列问题： (1)数轴上表示2和5之间的距离是 　　；数轴上表示1和之间的距离是 　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 　　；如果，那么的值为 　　； (3)说出表示的几何意义 　　，其最小值是 　　； (4)求的最小值，并写出过程． 5．阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题． 如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数， (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： 若点在线段上，则________； 若，求点表示的有理数； 求的最小值以及此时的值（直接写出答案即可）． 6．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 类型三、多个有理数的乘法 7．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．如果4个不等的整数满足，那么等于 ． 9．如果，，，那么这四个数中有 个负数． 10．如果四个不同的整数a，b，c，d满足，求的值． 类型四、图形的规律题 11．找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ） A． B． C． D． 12．用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第个图案中有黑色棋子（   ） A．301颗 B．304颗 C．307颗 D．310颗 13．如图是一组有规律的图案．第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，按照这个规律排列，由2020个基础图形组成的图案的序号是（     ） A．671 B．672 C．673 D．674 类型五、无理数的小数与整数部分 14．规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 15．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 16．确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 类型六、程序型的实数运算 17．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C．2 D． 18．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 19．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 类型七、实数运算的规律题 20．观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题： ， ， ， ． (1)试猜想 ( ) = ； (2)试猜想 ( )(用含n的代数式表示结果）； (3)按上述规律计算的值． 21．下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）观察发现：__________ ． （2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即 ；②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即 ； （ 3 ）定义“”是一种新的运算，若，，，求的值． 22．观察下列各式： ； −； ； (1)你发现的规律是 (用含n的式子表示)； (2)用规律计算： ． 类型八、整式的化简求值 23．若，则的值为 ． 24．（1）已知、满足：，是最大的负整数，先化简再求值：； （2）已知，，求代数式的值. 25．化简并求值：，其中、满足. 类型九、新定义下的实数运算 26．对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如： ．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 27．我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ． 28．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 类型十、整式加减中的无关型问题 29．x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）的值与x的取值无关，则﹣a+b的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2 30．已知代数式3x2+2bx﹣y+4﹣ax2+7x+5y的值与字母x的取值无关，求a、b的值． 31．已知两个关于m、n的多项式A=mn－3m2、B=－6m2+5mn+2，且B+kA化简后不含m2项. （1）求k的值; （2）若m、n互为倒数，求B+kA的值. 类型十一、绝对值方程 32．已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 33．已知关于x的方程有三个解，则 . 34．解方程：． 类型十二、求方程中的参数问题 35．k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ． 36．已知关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为 ． 37．当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解． 类型十三、新定义的一元一次方程 38．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 39．定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”. (1)判断当时是否为方程的“友好系数”，写出判断过程； (2)方程“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由． 40．在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“久久方程”． (1)已知关于的方程：①，②，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“久久方程”，请求出的值． (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“久久方程”，求出的值． 类型十四、一元一次方程的应用——行程问题 41．某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了500千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了．，两市相距 千米． 42．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，问这条跑道长多少米？ 43．甲、乙两班同学到千米外的少年宫参观活动，但只有一辆车，且一次只能坐一个班的同学，已知两个班步行速度相同都是千米/时，汽车载人时速度是千米/时，空车时速度是千米/时．如果要使甲、乙两班的同学同时到达且时间最短，那么这个最短时间是多少？ 44．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间之比为，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用了9小时．问：甲、乙两港相距多少千米？ 45．某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： (1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟； (2)记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为． ①______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值． 类型十五、一元一次方程的应用——工程问题 46．用型机器和型机器生产同样的产品，已知5台型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台型机器比型机器一天多生产1个产品． (1)求每箱装多少个产品． (2)现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需要几天完成．（用含有的代数式表示） (3)若每台型机器一天的成本费用是110元，每台型机器一天的成本费用是100元，可以运作的型机器最少18台，最多20台，现要在一天内完成38箱产品的生产，请直接写出总成本的最小值_______． 47．利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖． (1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积． (2)现该学校有26个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？ 48．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作． （1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？ （2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 类型十六、一元一次方程的应用——分段收费问题 49．移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 50．某通讯公司推出A、B两种话费套餐，套餐详情如表一． 表一 月基本费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/） 被叫 免费数据流量/ 600 0.15 免费 15 99 500 0.15 免费 20 套餐补充说明： （1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费． （2）数据流量． （3）流量超出后，A套餐按5元标准收取，不满按0.03元/收取． （4）流量超出后，B套餐按5元标准收取，满15元后按3元收取，不满按计算． 表二是小张今年六月份手机流量使用情况的统计表，每个时间段以为标准，超出部分记为正数，不足部分记为负数（单位：）． 表二 1日-5日 6日-10日 11日-15日 16日-20日 21日-25日 26日-30日 200 100 300 200 根据以上材料回答下列问题： （1）已知小王使用A套餐，某月主叫时间为，使用流量，共产生109元月结话费，求的值； （2）若小张今年六月份主叫时间不超过，根据表二计算并判断哪种套餐更合算． 51．小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小区．为了鼓励节约用水，幸福小区对自来水的收费标准作如下规定： 用水量（立方米） 的部分 以上的部分 费用（元/立方米） 另外：每立方米收污水处理费1元． (1)月小真家用水立方米，交费 ___________元；小善家用水立方米，交费 ___________元． (2)幸福小区某个家庭用水量记为x立方米，请列式表示应交费___________元？ (3)已知小美家月份缴水费元，他家月用水多少立方米？ 类型十七、一元一次方程的应用——方案选择问题 52．根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的付款． 素材2： 学校计划添置 100张课桌和x把椅子． 问题解决 【任务1】(1)请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用． 【任务2】(2)若，分别计算两种方案的费用． 【任务3】在(2)的条件下，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方案． 53．曙光双语学校月日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔，双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵元，买支双色圆珠笔和支单色圆珠笔共需要元． (1)问双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若三色圆珠笔市场上根据球珠直径有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 球珠直径 单价 元 元 元 现在学校用元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选择哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时的值和总费用． 54．自开展全区读书宣传活动以来，某书店出租店生意非常火爆，为此开设两种租书方式，方式一：零星租书，每本收费1元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费12元，租书费每本0.4元．小彬经常来该店租书，若小彬每月租书数量为x本． （1）分别写出两种租书方式下，小彬每月应付的租书金额（用含x的代数式表示）； （2）若小彬在一月内为班级租24本书，试问选用哪种租书方式合算？ （3）小彬每月如何根据租书的情况选择省钱的租书方式？请通过计算验证你的看法． 类型十八、一元一次方程的应用——数轴上的动点问题 55．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为55，现有一动点P以6个单位/秒的速度从B点出发，同时另一动点Q恰好以4个单位/秒的速度从A点出发： (1)若P向左运动，同时Q向右运动，在数轴上的C点相遇，求C点对应的数． (2)若P向左运动，同时Q向左运动，在数轴上的D点相遇，求D点对应的数． (3)若P向左运动，同时Q向右运动，当P与Q之间的距离为20个单位长度时，求此时Q点所对应的数． 56．已知：数轴上点、、对应的数分别为、、，且满足， (1)求数________，________； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为个单位长度/秒，求经过多长时间，两点的距离为； (3)在（2）的条件下，若点运动至点处立刻以原速返回，折返至点后停止运动，点运动到点也以原速返回，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数． 57．已知a是最大的负整数， ，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点 D到点A 的距离刚好是3，则点 D 叫做点A 的“幸福点”．则点 A 的幸福点D 所表示的数应该是 ； (3)若动点 P 从点B 出发沿数轴向正方向运动，动点Q同时从点A 出发也沿数轴向正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q？ 类型十九、线段的中点相关问题 58．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 59．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 60．已知，线段AB上有三个点C、D、E，，，D、E为动点（点D在点E的左侧），并且始终保持． （1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长； （2）如图2，点F为线段BC的中点，，求AE的长； （3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． 类型二十、线段的n等分点问题 61．如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 62．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒． ①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值； ②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______． 63．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 64．点在线段上，． (1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；    ①在还未到达点时，的值为 ； ②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值； (2) 若是直线上一点，且．则的值为 ． 类型二十一、角平分线相关计算问题 65．已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 66．综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    67．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 类型二十二、角的n等分线问题 68．如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） (1)角的三等分线___________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数； (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值． 69．定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．    (1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为 ； (2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线． ①当恰好为的三等分线时，求的值； ②在旋转过程中，若，求的取值范围． 70．【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”例如，如图，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线． 【知识运用】 (1)如图，，射线是射线的友好线，则为多少度； (2)如图，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； ②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．请直接写出所有答案； 类型二十三、动角问题 71．如图1，已知，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数； (2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（OE在的内部）时，且，试求x． 72．如图，在的内部引一条射线，则图中共有个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线______这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数； (3)如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时的值． 73．【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为________； (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方，设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版七年级上学期期中常考压轴题专题 目录 类型一、绝对值化简 1 类型二、绝对值的意义 3 类型三、多个有理数的乘法 7 类型四、图形的规律题 8 类型五、无理数的小数与整数部分 10 类型六、程序型的实数运算 12 类型七、实数运算的规律题 13 类型八、整式的化简求值 16 类型九、新定义下的实数运算 18 类型十、整式加减中的无关型问题 20 类型十一、绝对值方程 21 类型十二、求方程中的参数问题 23 类型十三、新定义的一元一次方程 24 类型十四、一元一次方程的应用——行程问题 27 类型十五、一元一次方程的应用——工程问题 31 类型十六、一元一次方程的应用——分段收费问题 34 类型十七、一元一次方程的应用——方案选择问题 37 类型十八、一元一次方程的应用——数轴上的动点问题 41 类型十九、线段的中点相关问题 44 类型二十、线段的n等分点问题 48 类型二十一、角平分线相关计算问题 55 类型二十二、角的n等分线问题 60 类型二十三、动角问题 66 类型一、绝对值化简 1．的最小值是，，那么的值为（   ） A． B． C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的应用，解决本题的关键是判断出、、的大小．根据题意，因为的最小值是，求出，得出，因为，所以，得出，所以，，所以，，，，求出，据此解答． 【详解】解：， 的最小值是0， 的最小值是， ． ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 2．如图，数轴上的三点、、分别表示有理数，，． (1)填空：_____0，_____0，_____0；（填“”、“>”或“=”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． （1）根据数轴上，右边的数总比左边的大和有理数的加法法则判断即可； （2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：，， ，， 故答案为：，，； （2），， 3．数轴是重要的数学工具，体现了数形结合思想，解决以下问题： (1)如图在数轴上有数，，在数轴上标出数，，并借助数轴比较，，，的大小，用连接； (2)如图在数轴上有数，，， 若，，原点在刻度上，请在数轴上标出原点； 在的条件下，化简：． 【答案】(1)数轴见解析， (2)数轴见解析； 【分析】本题考查了在数轴上表示数，借助数轴比较大小，去绝对值化简． （1）根据数轴上，的位置关系可得：，，，据此在数轴上标出，，进而即可判断大小关系； （2）根据数轴上，的位置关系，结合，，即可确定原点的位置； 根据数轴上，，的位置关系可得，进而即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 根据数轴，得：； （2）如图所示，即为所求 ，， ， 原式 ． 类型二、绝对值的意义 4．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么A，两点之间的距离为．回答下列问题： (1)数轴上表示2和5之间的距离是 　　；数轴上表示1和之间的距离是 　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 　　；如果，那么的值为 　　； (3)说出表示的几何意义 　　，其最小值是 　　； (4)求的最小值，并写出过程． 【答案】(1)3，4 (2)，或0 (3)数轴上表示点到1和两点的距离和，4 (4)1019090 【分析】本题考查的是两点间的距离公式，绝对值的几何意义； （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据两点间的距离公式及绝对值的性质求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得答案； （4）根据绝对值的几何意义可知：当时所求式子的值最小，然后去掉绝对值符号计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是； 故答案为：3，4； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 由题意得：， ， 或0， 故答案为：，或0； （3）解：表示的几何意义是：数轴上表示点到1和两点的距离和， 由表示的几何意义可知，当x在和之间时，点到1和两点的距离和最小，最小值为， 故答案为：数轴上表示点到1和两点的距离和，4； （4）解：的中间一项是， 当时，有最小值， ， 的最小值为1019090． 5．阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题． 如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数， (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： 若点在线段上，则________； 若，求点表示的有理数； 求的最小值以及此时的值（直接写出答案即可）． 【答案】(1) 或； (2) ； 或； 有最小值，最小值为，此时 【分析】（1）根据两点之间的距离公式可得，再建立绝对值方程可得的值； （2）由点在线段上，根据绝对值的意义即可求解； 分点在点左侧，点在点和点之间，点在点右侧时三种情况分析即可； 分位于点左侧，位于点与点之间，位于点与点之间，位于点右侧时四种情况分析即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得：或， 故答案为： 或； （2）∵点在线段上， ∴， 故答案为：； 由题意得：当点在点左侧时，即时， ，解得：； 当点在点和点之间时，即时， ，无解； 当点在点右侧时，即时， ，解得：； ∴点表示的有理数或； 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点右侧时，即时， ， ∴， 综上可知：有最小值，最小值为，此时． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． 6．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时， ，当时，取得最小值为； 当时， ，当时，取得最小值为； 当时， ，当接近时，取得最小值接近为； 当时， ，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 类型三、多个有理数的乘法 7．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有多少个，最小的值是多少． 【详解】解：∵，， ∴a、b、c为两个负数，一个正数， ∵，，， ∴， 分三种情况讨论， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， ∴，，则． 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论． 8．如果4个不等的整数满足，那么等于 ． 【答案】 【分析】因为，，，都是四个不同正整数，所以、、、都是不同的整数，四个不同的整数的积等于9，这四个整数为、、1、2，由此求得，，，的值，问题得解． 【详解】解：因为， 每一个因数都是整数且都不相同， 那么只可能是，1，，3， 由此得出、、、分别为6、4、8、2，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题． 9．如果，，，那么这四个数中有 个负数． 【答案】1/一 【分析】本题考查了有理数的加法与乘法的应用，关键是能根据已知和有理数的运算法则进行判断a、 b 、c 、d的符号．根据，，得出a、b异号，c、d中至少有一个正数，即c、d中最多有1个负数，再由负因数的个数是1个或3个．即可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b互为相反数，即a、b异号， ∵， ∴c、d中至少有一个正数，即c、d中最多有1个负数， ∴a、b、c、d中最多有2个负数， 又∵， ∴负因数的个数是1个或3个． ∴这四个数中负数有1个． 故答案为：1． 10．如果四个不同的整数a，b，c，d满足，求的值． 【答案】40 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据、、、是四个不同的整数可知四个括号内的值分别是：，，据此可得出结论． 【详解】解：∵整数a，b，c，d各不相同， ∴整数，，，也各不相同， 又∵， ∴， ∴． 类型四、图形的规律题 11．找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的规律变化类，根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可求解，通过图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据图形变化规律可知： 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， ， ∴当为奇数时，黑色正方形的个数为， 当为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第个图形中黑色正方形的数量是， 故选：． 12．用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第个图案中有黑色棋子（   ） A．301颗 B．304颗 C．307颗 D．310颗 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得出规律“第n个图形中黑色棋子的个数为”，找到正确的规律是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中有颗黑色棋子； 第二个图形中有颗黑色棋子； 第三个图形中有颗黑色棋子； ， 则第n个图形中黑色棋子的个数为， 第100个图形中黑色棋子的个数为个， 故选：B． 13．如图是一组有规律的图案．第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，按照这个规律排列，由2020个基础图形组成的图案的序号是（     ） A．671 B．672 C．673 D．674 【答案】C 【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多3个基础图形，第n个图案的基础图形的个数是，，再把2020代入进行计算即可得解． 本题主要考查了规律图形变化．解决问题的关键是熟练掌握变化部分的变化规律 “后一个图案比前一个图案多3个基础图形”，是解决问题的关键． 【详解】第1个图案基础图形的个数：； 第2个图案基础图形的个数：； 第3个图案基础图形的个数：； …； 第n个图案基础图形的个数就应该为：， 解得，． 故选：C． 类型五、无理数的小数与整数部分 14．规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，有理数的加减混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据的定义，分别求出的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ， ， ， ，， 至的值均为1，至的值均为2，至的值均为3，至的值均为4，至的值均为5，至的值均为6， ． 故选：A． 15．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 【答案】 【分析】由，可得a+b=33，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，．∴． 答：的值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键． 16．确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】（1）整数部分是3，小数部分是；（2）12 【分析】（1）仿照题例，可直接求出的整数部分和小数部分； （2）根据题例，先确定a、b，再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即． 故的整数部分是3，小数部分是； （2）∵， ∴，即， 同理：， ∴的小数部分为a=， 的小数部分为b=， ∴=4×（+）+8=12． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题关键． 类型六、程序型的实数运算 17．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查程序流程图与实数的运算，根据流程图，进行计算即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出， 故选A． 18．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 19．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 类型七、实数运算的规律题 20．观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题： ， ， ， ． (1)试猜想 ( ) = ； (2)试猜想 ( )(用含n的代数式表示结果）； (3)按上述规律计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）（2）通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首项加尾项的一半的平方，根据此规律列式计算可得答案； （3）根据上述所发现的规律，的值等于减去 ． 【详解】（1） ； 故答案为， （2） ； 故答案为 （3）＝（） （） ＝ 【点睛】本题考查有理数求和的有关规律，关键是仔细观察题干，总结出共性规律． 21．下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）观察发现：__________ ． （2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即 ；②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即 ； （ 3 ）定义“”是一种新的运算，若，，，求的值． 【答案】（1）；；（2）①；②；（ 3 ）． 【分析】（1）利用材料中的“拆项法”解答即可； （2）①先变形为，再利用（1）中的规律解题；②先变形为，再逆用分数的加法法则即可分解； （3）按照定义“”法则表示出，再利用（1）中的规律解题即可． 【详解】解：（1）观察发现： ， ＝ ＝ ＝； 故答案是：；. （2）初步应用： ①=； ②； 故答案是：；. （ 3 ）由定义可知： ＝ = = =. 故的值为． 【点睛】考查了有理数运算中的规律型问题：数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 22．观察下列各式： ； −； ； (1)你发现的规律是 (用含n的式子表示)； (2)用规律计算： ． 【答案】（1）； (2) 【分析】（1）由题意可知：分母是两个连续自然数的积，分子是1的两个分数相乘的积的相反数等于以这两个自然数为分母，分子为1的两个分数的和，且绝对值大的分数为负数，得出第个算式为； （2）利用发现的规律拆分计算即可． 【详解】解：（1）发现的规律是第个算式为； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的运算，正确理解题意，找出运算的规律是关键 类型八、整式的化简求值 23．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先对进行变形，转化为，然后代入后面的整式中，进行化简即可求解． 【详解】 ①． ①等式两边同乘得，代回原式． ． 故答案为． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，整体代入是解决本题的关键，本题也可以先对后面的整式进行化简变形，然后代入即可． 24．（1）已知、满足：，是最大的负整数，先化简再求值：； （2）已知，，求代数式的值. 【答案】（1），90；（2）5ab+4（a+b），22 【分析】（1）分别计算出x、y、z的值，代入化简后的多项式进行计算； （2）将多项式化简，再将，整体代入计算. 【详解】（1）， ， ， ∵， ∴x-2=0，y+3=0， ∴x=2，y=-3， ∵是最大的负整数， ∴z=-1， ∴原式=90； （2） =3ab+6a+4b-2a+2ab， =5ab+4a+4b， =5ab+4（a+b）， ∵，， ∴原式=50-28=22 【点睛】此题考查整式的化简求值，将整式正确化简是解题的关键，再将字母的值或代数式的值代入计算即可解答问题. 25．化简并求值：，其中、满足. 【答案】3a2b﹣ab2﹣4，50 【分析】先将多项式去括号，再合并同类项，得到最简结果后，将a与b的值代入计算即可得到答案. 【详解】原式＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b﹣4， ＝3a2b﹣ab2﹣4， ∵（a+2）2+|b-3|=0， ∴a+2=0，b-3=0， ∴a = -2，b=3， ∴原式＝36+18﹣4＝50． 【点睛】此题考查整式的化简求值，正确化简整式是计算的前提，解题时注意去括号、合并同类项. 类型九、新定义下的实数运算 26．对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如： ．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的实数运算、无理数的估算，求一个数的立方根；根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：∵， ∴ 又∵，即 ∵和为两个连续整数， ∴ ∴ ∴的立方根值为， 故选：D． 27．我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ． 【答案】301 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握算术平方根的意义及新定义的意义是解题的关键；根据的意义，对每个无理数进行估算即可． 【详解】解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； ∴ ． 故答案为：301． 28．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 类型十、整式加减中的无关型问题 29．x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）的值与x的取值无关，则﹣a+b的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【答案】D 【详解】根据整式的加减法，去括号合并同类项可得x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）= x2+ax﹣y﹣bx2+x-9y-3=（1-b）x2+（a+1）x+（-1-9）y-3，由于值与x的值无关，可得1-b=0，a+1=0，解得a=-1，b=1，因此可求-a+b=2. 故选D. 点睛：此题主要考查了整式的值与字母无关形的题目，解题关键是明确无关的主要特点是系数为0，然后通过整式的化简，让相关的系数为0即可求解. 30．已知代数式3x2+2bx﹣y+4﹣ax2+7x+5y的值与字母x的取值无关，求a、b的值． 【答案】a＝6，b＝﹣． 【分析】先合并同类项，再根据题意得出3- a=0，2b+7=0，求出即可 【详解】3x2+2bx﹣y+4﹣ax2+7x+5y ＝（3﹣ a）x2+（2b+7）x+4y+4， ∵代数式 3x2+2bx﹣y+4﹣ax2+7x+5y 的值与字母 x 的取值无关， ∴3﹣a＝0，2b+7＝0， 解得：a＝6，b＝﹣． 31．已知两个关于m、n的多项式A=mn－3m2、B=－6m2+5mn+2，且B+kA化简后不含m2项. （1）求k的值; （2）若m、n互为倒数，求B+kA的值. 【答案】（1）k=-2（2）5 【详解】试题分析：（1）根据题意直接代入化简，然后根据不含有的项，即为其系数为0，可求解k的值； （2）根据倒数的意义得到mn=1，然后化简B+kA可求值. 试题解析：（1）B+kA=（－6m2+5mn+2）+k（mn－3m2） =-6 m2+5mn+2+kmn-3k m2 =（-6-3k）m2+（5+k）mn+2 由不含m2项，可知-6-3k=0， 解得k=-2 （2）因为m、n互为倒数， 所以mn=1 所以B+kA =（－6m2+5mn+2）+k（mn－3m2） =（-6-3k）m2+（5+k）mn+2 =（5+k）mn+2 =3+2 =5 类型十一、绝对值方程 32．已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【答案】4 【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【详解】解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程． 33．已知关于x的方程有三个解，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程．根据题意得：，根据绝对值的定义，结合已知条件列出关于a的一元一次方程，求解之后判断答案即可； 【详解】解；根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∵关于x的方程有三个解，则有两个相等， 显然，不成立， 若，得到（舍去）； 若，得到，，（舍去）； 若，得到，，，（符合题意）； 若，得到，，（舍去）； 故答案为：． 34．解方程：． 【答案】时，；时 【分析】令，，得，，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求值. 【详解】 解：①当时，， ，不存在； ②当时，，； ③当时，，， 的解是时，；时． 【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将的值分段去绝对值解方程． 类型十二、求方程中的参数问题 35．k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ． 【答案】 【分析】先求得一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有整数解的情况确定的取值即可 . 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有整数解， ∴，则， ∴或或或， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，理解一元一次方程整数解的意义是解题的关键． 36．已知关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为 ． 【答案】3或7． 【分析】解方程用含有k的式子表示x，再根据5除以几得正整数，求出整数k． 【详解】解：， 解得，， ∵k为整数，关于x的方程的解为正整数， ∴k-2=1或k-2=5， 解得，k=3或k=7， 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k为整数，确定未知数的系数的值． 37．当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解． 【答案】时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时方程的正整数解为；时，方程的正整数解为． 【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 【详解】， ， 因为方程有正整数解， 所以，即， 所以， 要使方程有正整数解，则为正整数即可， 因此，k的所有可能取值为， 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 当时方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为． 【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键． 类型十三、新定义的一元一次方程 38．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由题意，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：，． ．． 关于的方程与方程是“美好方程”， ， ； （2）解：“美好方程”的两个解的和为1， 另一个方程的解为：． 两个解的差为8， 或． 或； （3）解： ．． 关于的一元一次方程和是“美好方程”， 关于的一元一次方程的解为． 关于的一元一次方程可化为：． ． ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 39．定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”. (1)判断当时是否为方程的“友好系数”，写出判断过程； (2)方程“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由． 【答案】(1)1 (2)有限个，分别为1，0，2，-1 【分析】（1）把代入，解方程得，根据“友好系数”定义即可求解； （2）解关于x方程得，得到当，，，时，满足方程的解x为整数，求出k的值为：1，0，，，2，-1，，，根据友好系数”定义得k的值为1，0，2，-1.，从而得到结论． 【详解】（1）解：当时，原方程化为：， 整理得：， 解得：， 即当时，方程的解为整数． 根据新定义可得：是方程的“友好系数”； （2）解：， 去分母得：， 整理得：， 方程的解为：， 当，，，时，满足方程的解x为整数， 此时k的值为：1，0，，，2，-1，，， 经检验，取上述k的值，均不为0， 其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1． 所以方程“友好系数”的个数是有限个， 分别为1，0，2，-1． 【点睛】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义“友好系数”，正确解出含有字母系数的一元一次方程是解题关键，注意当时，若x为整数，则为6的整数因数． 40．在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“久久方程”． (1)已知关于的方程：①，②，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“久久方程”，请求出的值． (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“久久方程”，求出的值． 【答案】(1)② (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出三个方程的解，再验证即可； （2）先解方程，求得或，再求出关于的方程的解，根据题意可分别求得的值； （3）由及，可求得，代入中，可求得与的关系，从而可求得结果． 【详解】（1）解：解得：；解得，；解得：，而，所以是一元一次方程的“久久方程”； 故答案为：②； （2）解：∵， ∴， 即或， 解得：或； 对于，去分母得：， 去括号、移项、合并同类项得：； 由题意，当时，，解得：； 当时，，解得：；     所以或； （3）解：由题意，，即 由得：， 所以， 则， 把上式代入中，整理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是新定义题，考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，求代数式的值等知识，有一定的综合性，理解题中新定义，会解含有参量的一元一次方程是解题的关键． 类型十四、一元一次方程的应用——行程问题 41．某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了500千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了．，两市相距 千米． 【答案】750 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设市到市相距千米，根据从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市，得到，两市相距千米，再根据到中午只行驶了上午原计划的三分之一，以及到傍晚汽车行驶了500千米，且再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地列出方程进行求解即可． 【详解】解：设市到市相距千米，由题意，得：，两市相距千米， 根据题意，得：， 解得：， ∴， ∴，两市相距750千米； 故答案为：750． 42．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，问这条跑道长多少米？ 【答案】跑道长为400米 【分析】本题主要考查应用类问题的知识点，解答本题的关键是熟练弄清楚追及类问题过程，此题有一定的难度．设一开始时甲的速度是，于是乙的速度便是．再设跑道长是，根据题干条件求出甲乙两人的速度之比，再根据甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，即可求出椭圆的跑道长． 【详解】解：设一开始时甲的速度是，于是乙的速度便是．再设跑道长是， 则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为． 甲跑完第一圈，乙跑了，乙再跑余下的，甲已折返，且以的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了， 这时，乙折返并以的速度跑着． 从这时起，甲、乙速度之比是，即． 所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的的，而乙跑了它的，即第二次相遇时距出发点． 可见两次相遇点间的距离是（米，即（米，（米 答：跑道长为400米． 43．甲、乙两班同学到千米外的少年宫参观活动，但只有一辆车，且一次只能坐一个班的同学，已知两个班步行速度相同都是千米/时，汽车载人时速度是千米/时，空车时速度是千米/时．如果要使甲、乙两班的同学同时到达且时间最短，那么这个最短时间是多少？ 【答案】这个最短时间是小时 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据题意建立方程； 根据每个班步行时间+坐车时间=车辆行驶时间建立方程求解即可. 【详解】解：设每个同学步行千米， 则 （小时） 答：这个最短时间是小时. 44．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间之比为，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用了9小时．问：甲、乙两港相距多少千米？ 【答案】20千米 【分析】本题是比的应用，一元一次方程的应用，①根据平时逆水航行时间：顺水航行时间可得出平时逆水航行速度∶顺水航行速度；②雨天逆水航行时间+顺水航行时间=9，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度．据此列方程求解即可． 【详解】解：设水流速度平时速度为x千米/时． 根据题意得：， 解得， 设甲、乙两港相距S千米， 根据题意得：， 解得． 答：甲，乙两港相距20千米． 45．某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： (1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟； (2)记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为． ①______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值． 【答案】(1)90，60 (2)①；②或125 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）直接根据表中数据解答即可； （2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可； ②先求出， A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟， 故答案为：90，60； （2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟， G1002次列车从A站到C站共需分钟， ∴， ∴， 故答案为：； ②（千米/分钟），， （千米/分钟）． ， A与B站之间的路程为360． ， 当时，G1002次列车经过B站． 由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车． ⅰ．当时，， ，，（分钟）； ⅱ．当时，， ，，（分钟），不合题意，舍去； ⅲ．当时，， ，，（分钟），不合题意，舍去； ⅳ．当时，， ，，（分钟）． 综上所述，当或125时，． 类型十五、一元一次方程的应用——工程问题 46．用型机器和型机器生产同样的产品，已知5台型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台型机器比型机器一天多生产1个产品． (1)求每箱装多少个产品． (2)现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需要几天完成．（用含有的代数式表示） (3)若每台型机器一天的成本费用是110元，每台型机器一天的成本费用是100元，可以运作的型机器最少18台，最多20台，现要在一天内完成38箱产品的生产，请直接写出总成本的最小值_______． 【答案】(1)12 (2) (3)2490元 【分析】（1）设每台型机器一天生产个产品，则每台型机器一天生产个产品，根据题意可列方程为，解方程可得，然后计算每箱装的产品数量即可； （2）结合（1）可知每台型机器一天生产20个产品，故每台型机器一天生产19个产品，根据题意列出代数式即可； （3）分别求出当运行型机器数量为18台、19台和20台时，还需要的型机器数量，然后结合题意求出运行总成本并比较即可获得答案． 【详解】（1）解：设每台型机器一天生产个产品，则每台型机器一天生产个产品， 由题意，可得 ， 解得 ， 所以 （个）， 答：每箱装12个产品； （2）由（1）可知，每台型机器一天生产20个产品，故每台型机器一天生产19个产品， 根据题意，现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产， 则需要的天数为 （天）； （3）①当使用型机器18台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产， 可有 ，结合题意，可知还需要运行型机器6台， 则总成本为元； ②当使用型机器19台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产， 可有 ，即还需要运行型机器4台， 则总成本为元； ③当使用型机器20台时，为满足生产要求，即要在一天内完成38箱产品的生产， 可有 ，结合题意，可知还需要运行型机器3台， 则总成本为元． 因为， 所以，要在一天内完成38箱产品的生产，总成本的最小值为2490元． 故答案为：2490元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式等知识，理解题意，正确找到等量关系并列出方程或代数式是解题关键． 47．利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖． (1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积． (2)现该学校有26个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？ 【答案】(1)15 (2)16 【分析】（1）设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为，根据每名一级技工比二级技工一天多铺2瓷砖列方程求解即可； （2）设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）解：设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为， 根据题意可知： ，解得：． 答：每个宿舍需要铺瓷砖为15． （2）解：设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为， 原来每名一级技工每天铺瓷砖的面积为 ， 原来每名二级技工每天铺瓷砖的面积为10， ，解得：， ． 答：每名二级技工每天需要铺16瓷砖才能按时完成任务． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意、理清等量关系、列出方程是解题的关键． 48．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作． （1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？ （2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】（1）甲、乙合作6天才能把该工程完成；（2）由甲、乙合作18天完成更省钱． 【分析】（1）设甲、乙两队合作天，甲队单独完成这项工程需要30天，乙队单独完成这项工程需要45天，列出方程，解答即可； （2）把在工期内的情况进行比较即可. 【详解】解：（1）设甲、乙合作天才能把该工程完成． ， 解得． 答：甲、乙合作6天才能把该工程完成． （2）当甲队独做时：万元 乙队单独完成超时，所以乙队不能独做． 当甲、乙两队全程合作时：设甲、乙合作天完成全工程． ， 解得：    万元． 105万元>99万元． 答：由甲、乙合作18天完成更省钱． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 类型十六、一元一次方程的应用——分段收费问题 49．移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 【答案】(1)元 (2) (3)当使用流量小于或大于且小于时，使用A套餐更省钱；当当使用流量等于或等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于且小于等于或大于时，使用B套餐更省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）分别计算出两种方式的收费，再根据费用相同建立方程求解即可； （3）当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元，则选择套餐A更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则，解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；据此可得答案． 【详解】（1）解： 元， ∴他的月结话费为元； （2）解；由题意得，， 解得； （3）解：设贝贝的爸爸使用流量， 当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元， ∵， ∴选择套餐A更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 综上所述，当使用流量小于或大于且小于时，使用A套餐更省钱；当当使用流量等于或等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于且小于等于或大于时，使用B套餐更省钱． 50．某通讯公司推出A、B两种话费套餐，套餐详情如表一． 表一 月基本费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/） 被叫 免费数据流量/ 600 0.15 免费 15 99 500 0.15 免费 20 套餐补充说明： （1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费． （2）数据流量． （3）流量超出后，A套餐按5元标准收取，不满按0.03元/收取． （4）流量超出后，B套餐按5元标准收取，满15元后按3元收取，不满按计算． 表二是小张今年六月份手机流量使用情况的统计表，每个时间段以为标准，超出部分记为正数，不足部分记为负数（单位：）． 表二 1日-5日 6日-10日 11日-15日 16日-20日 21日-25日 26日-30日 200 100 300 200 根据以上材料回答下列问题： （1）已知小王使用A套餐，某月主叫时间为，使用流量，共产生109元月结话费，求的值； （2）若小张今年六月份主叫时间不超过，根据表二计算并判断哪种套餐更合算． 【答案】（1）；（2）B套餐更合算 【分析】（1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费，由此列方程即可求解； （2）根据主叫时间不超过，可知使用两种套餐均无主叫超时费；根据表二计算出六月份使用流量，根据计费规则计算出两种套餐的月结话费，比较大小即可． 【详解】解：（1）由题意知，小王使用流量，流量免费， 则， 解得； （2）主叫时间不超过，因此使用两种套餐均无主叫超时费； 由表二知，小张六月份使用流量为：， 使用A套餐费用为：（元）， 使用B套餐费用为：（元）， ， 因此B套餐更合算． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是看懂两个套餐的计费规则． 51．小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小区．为了鼓励节约用水，幸福小区对自来水的收费标准作如下规定： 用水量（立方米） 的部分 以上的部分 费用（元/立方米） 另外：每立方米收污水处理费1元． (1)月小真家用水立方米，交费 ___________元；小善家用水立方米，交费 ___________元． (2)幸福小区某个家庭用水量记为x立方米，请列式表示应交费___________元？ (3)已知小美家月份缴水费元，他家月用水多少立方米？ 【答案】(1)， (2) (3)小美家月用水立方米 【分析】（1）用水量在的供水价格加污水处理费用，即可求得小真家的交费金额，用水量为立方米的供水价格加污水处理费用与用水量的供水价格加污水处理费用，即可求得小真家的交费金额； （2）当用水量时，可求得应交费用为 （3）由（2）知，小美家月份用水量超过立方米，设小美家月用水立方米，可得到方程，即可求得小美家月份用水量 【详解】（1）∵月小真家用水立方米， ∴小真家交费为：（元） ∵小善家用水立方米， ∴小善家交费为：（元） 故答案为：， （2）当时，应交费用为： （元） 故答案为： （3）由（2）知，当用水量为立方米时，应交费用为：（元）， ∵， ∴小美家月份用水量超过立方米， 设小美家月用水立方米， ∴， 整理得：， 解得：， 答：小美家月用水立方米 【点睛】本题考查了电费和水费问题(一元一次方程的应用)及有理数的混合运算，解题的关键是：根据数量关系，正确列出一元一次方程 类型十七、一元一次方程的应用——方案选择问题 52．根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的付款． 素材2： 学校计划添置 100张课桌和x把椅子． 问题解决 【任务1】(1)请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用． 【任务2】(2)若，分别计算两种方案的费用． 【任务3】在(2)的条件下，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方案． 【答案】【任务1】方案一：元，方案二：元；【任务2】该校选择方案二更省钱；【任务3】100张桌子全部用方案一买，剩下的椅子用方案二买． 【分析】（1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用； （2）当时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解； （3）按以下三种方式分别计算出各自所需费用并进行比较即可：①全按方案一购买；②全按方案二购买；③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子，再按方案二购买200把椅子． 【详解】解：（1）方案一：（元）， 方案二：（元）． （2）当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， ∴该校选择方案二更省钱； （3）当时， 由（2）可知，①全按方案一购买：元； ②全按方案二购买：元； ③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子， ， ， ∴先按方案一购买100张桌子，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子最省． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值等知识，理解两种优惠方案，从而正确写出代数式是解决问题的关键． 53．曙光双语学校月日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔，双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵元，买支双色圆珠笔和支单色圆珠笔共需要元． (1)问双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若三色圆珠笔市场上根据球珠直径有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 球珠直径 单价 元 元 元 现在学校用元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选择哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【分析】() 设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， 则，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得：， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． 54．自开展全区读书宣传活动以来，某书店出租店生意非常火爆，为此开设两种租书方式，方式一：零星租书，每本收费1元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费12元，租书费每本0.4元．小彬经常来该店租书，若小彬每月租书数量为x本． （1）分别写出两种租书方式下，小彬每月应付的租书金额（用含x的代数式表示）； （2）若小彬在一月内为班级租24本书，试问选用哪种租书方式合算？ （3）小彬每月如何根据租书的情况选择省钱的租书方式？请通过计算验证你的看法． 【答案】（1）方式一：x 元；方式二：（12+0.4x）元；（2）方式二合算；（3）当每月租书少于20本时，选择方式一租书合算；当每月租书等于20本时，两种租书方式收费一样多；当每月租书多于20本时，选择方式二租书合算 【分析】（1）根据题意列出代数式即可，方式一是x元，方式二是(12+0.4x)元； （2）把x=24代入两种方式下的代数式求值比大小即可； （3）先计算出两种租书方式收费一样多的租书数量x，然后分“租书数量＞x，租书数量=x，租书数量＜x”三种情况制定方案即可． 【详解】（1）方式一：x 元； 方式二：(12+0.4x)元； （2）方式一：24×1=24(元)，方式二：12+0.4×24=21.6(元) ∵21.6＜24， ∴选择方式二合算． 答：选择方式二合算． （3）如果两种租书方式收费一样多，则： x=12+0.4x 解得：x=20． 当每月租书少于20本时，选择方式一租书合算； 当每月租书等于20本时，两种租书方式收费一样多； 当每月租书多于20本时，选择方式二租书合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，难度低但很经典，锻炼了学生们的方案制定能力，很好地结合了生活中的案例，是一道不错的应用题． 类型十八、一元一次方程的应用——数轴上的动点问题 55．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为55，现有一动点P以6个单位/秒的速度从B点出发，同时另一动点Q恰好以4个单位/秒的速度从A点出发： (1)若P向左运动，同时Q向右运动，在数轴上的C点相遇，求C点对应的数． (2)若P向左运动，同时Q向左运动，在数轴上的D点相遇，求D点对应的数． (3)若P向左运动，同时Q向右运动，当P与Q之间的距离为20个单位长度时，求此时Q点所对应的数． 【答案】(1)19 (2) (3)11或27 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，考查数轴表示数的意义和方法，相遇问题、追及问题的数量关系及应用，列方程求出相应的时间是解决问题的关键． （1）设出运动时间为x秒，根据P点运动的路程Q点运动的路程A、B两点之间的距离列方程求出相遇时间，进而求出点C所对应的数； （2）设出运动时间为y秒，根据P点运动的路程Q点运动的路程A、B两点之间的距离列方程求出追及时间，进而求出点D所表示的数； （3）分两种情况，相遇前为20，和相遇后为20分别进行解答即可． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，， 解得：， 因此C点对应的数为； （2）解：设运动时间为y秒，， 解得：， 点D对应的数为； （3）解：①相遇前时， 设运动时间为a秒，， 解得：， 因此Q点对应的数为； ②相遇后时， 设运动时间为b秒，， 解得：， 因此Q点对应的数为． Q点对应的数为11或27． 56．已知：数轴上点、、对应的数分别为、、，且满足， (1)求数________，________； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为个单位长度/秒，求经过多长时间，两点的距离为； (3)在（2）的条件下，若点运动至点处立刻以原速返回，折返至点后停止运动，点运动到点也以原速返回，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)当或时，，两点的距离为 (3)在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数为或 【分析】本题主要考查数轴与动点的关系，两点之间距离的计算，一元一次方程的综合， （1）根据绝对值、偶次幂的非负性即可求解； （2）根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出点P，Q表示的数，根据点，两点的距离为列方程求解即可； （3）分类讨论：点与点在向右运动时的第一次相遇，点的路程等于点的路程加上，由此列式求解；点到达后返回时与点相遇；点都在返回的过程中相遇；根据行程问题中的数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点表示的有理数是，点表示的有理数的是，点 从向右运动的速度为个单位每秒，点从向右的运动速度为个单位每秒，设运动时间为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当点在点的左边时，， 解得，； 当点在点的右边时，， 解得，； 综上所述，当或时，，两点的距离为； （3）解：点表示的有理数是， ∴，， ∴点从的时间为，从的时间也是，点从的时间为，从的时间为，且， ①点与点在向右运动时的第一次相遇，点的路程等于点的路程加上， ∴， 解得，， 此时表示的数为：； ②点到达后返回时与点相遇， ∴， 解得，， ∵，符合题意， ∴此时表示的数为； ③点都在返回的过程中相遇， 当到的时间为，此时点从表示的数为， ∴当时，假设点相遇， ∴， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数为或． 57．已知a是最大的负整数， ，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点 D到点A 的距离刚好是3，则点 D 叫做点A 的“幸福点”．则点 A 的幸福点D 所表示的数应该是 ； (3)若动点 P 从点B 出发沿数轴向正方向运动，动点Q同时从点A 出发也沿数轴向正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q？ 【答案】(1)，，，见解析 (2)或2 (3)运动2秒后，点P 可以追上点Q 【分析】（1）根据最大的负整数是，，的相反数是4，解答即可． （2）根据平移思想解答即可． （3）根据点P和点Q分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，秒过后，点P运动的路程为，点Q运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据最大的负整数是，，的相反数是4， 得，，． 数轴表示如下： ． （2）解：根据题意，得点D表示的数为或， 故答案为：或2． （3）解：根据点P和点Q分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，秒过后，点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 又A起始数为，B起始数为， 根据题意，得， 解得． 【点睛】本题考查了最大的负整数，绝对值，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，一元一次方程的应用之追及问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 类型十九、线段的中点相关问题 58．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：线段，线段和的中点分别为，， ， 线段和的中点，， ， 发现规律： ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段规律性问题，与中点有关的计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度． 59．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 【答案】（1）6；（2）6；（3）或2 【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE， (2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE， (3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出． 【详解】解：如图 (1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点， ∴DC=2，BC=EC=4 ∴DE=DC+CE=6 (2)∵AB= 12， BC= m ∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点 ∴DC=6-m，BC=EC= ∴DE=DC+CE=6 (3)由题意得，如图所示， 或 AP=3t，BQ= 6t ∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12 ∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12 解得t=或t= 2 故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6. 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式． 60．已知，线段AB上有三个点C、D、E，，，D、E为动点（点D在点E的左侧），并且始终保持． （1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长； （2）如图2，点F为线段BC的中点，，求AE的长； （3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）由，，求解，再利用E为BC中点，求解 再求解 最后利用，从而可得答案； （2）由点F为线段BC的中点，求解，再求解，，再利用，即可得到答案； （3）如图3，以为原点建立数轴，则分别表示先确定的最长运动时间，再在运动后，表示对应的数为 对应的数为 求解，再分两种情况列方程即可得到答案． 【详解】解：（1）如图1， ，， E为BC中点时， , （2）如图2， 点F为线段BC的中点， ， （3）如图3，以为原点建立数轴，则分别表示 由运动开始前： 的最长运动时间为： 运动后，由题意可得：对应的数为 对应的数为 当时， ， 经检验：符合题意， 当时， 经检验：符合题意， 综上：当或时，AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． 【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． 类型二十、线段的n等分点问题 61．如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【答案】（1） 4 ；1；（2）①线段BP的长为 2t ；②当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可； （2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t, ②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其余两点的内二倍分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可． 【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为 4 ；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1； （2）① 则线段BP的长为 2t． ② 当P在线段AB上时，有以下两种情况： 如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP， 所以50-2t = 2×2t， 解得t=； 如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP， 所以2t=2（50-2t）， 解得t=； 当P在点A左侧时，有以下两种情况： 如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA， 所以50=2（2t-50） 解得t=； 如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA， 所以2t-50=2×50， 解得t=75； 综上所述：当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键． 62．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒． ①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值； ②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______． 【答案】(1)30或15 (2)①4秒或14秒；②秒或秒或135秒 【分析】本题考查了线段n等分点的计算，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）分、两种情况求解即可； （2）①分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况列方程求解即可； ②分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）当时，； 当时，． 综上所述：的长为或． 故答案为30或15； （2）①当点P、点Q相遇前，由题意得， ， 解得； 当点P、点Q相遇后，由题意得， ， 解得． 综上可知，t的值为4秒或14秒； ②当时，． 点P、点Q相遇前， 当时，由题意，得 ， 解得； 当时，由题意，得 ， 解得； 点P、点Q相遇后， 当时，由题意，得 ， 解得； 当时，由题意，得 ， 解得（舍去）； 综上可知，t的值为秒或秒或135秒． 故答案为：秒或秒或135秒． 63．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)①当为或时，点是线段的三等分点；②的值为或或 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）①点是线段的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ 故答案为：3； （2）由题意可得：， ∴， 点是线段的三等分点，分两种情况： 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：当为或时，点是线段的三等分点； 由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 点，点分别是，的三等分点，的值为或或． 64．点在线段上，． (1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；    ①在还未到达点时，的值为 ； ②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值； (2) 若是直线上一点，且．则的值为 ． 【答案】（1）①；②;（2）或或或 【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解； （2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可． 【详解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB， ∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s， ∴QB=2PC， ∴CQ=2AC-2PC=2AP， ∴ ②设运动秒 ， 分两种情况 A:在右侧， ，分别是，的中点 ，， ∴ B:在左侧， ，分别是，的中点 ，， ∴ （2）∵BC=2AC． 设AC=x，则BC=2x， ∴AB=3x， ①当D在A点左侧时， |AD-BD|=BD-AD=AB=CD， ∴CD=6x， ∴ ； ②当D在AC之间时， |AD-BD|=BD-AD=CD， ∴2x+CD-x+CD=CD， x=-CD（不成立）， ③当D在BC之间时， |AD-BD|=AD-BD=CD， ∴x+CD-2x+CD=CD， CD=x， ∴； |AD-BD|=BD-AD=CD， ∴2x-CD-x-CD=CD， ∴CD= ； ④当D在B的右侧时， |AD-BD|=BD-AD=CD， ∴2x-CD-x-CD=CD， CD=6x， ∴． 综上所述，的值为或或或 【点睛】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键． 类型二十一、角平分线相关计算问题 65．已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 【答案】(1) ； ；成立，理由见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据已知角的度数求出，再根据平角定义求出的度数即可；由中求出的结果即可求解； 根据已知角的度数表示出，再根据平角定义表示出的度数，可得和的数量关系； （）依据前面的方法表示出，表示出，可得和 的数量关系； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确认图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 由中的结果可得， 故答案为：； 中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 66．综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（） ； ；（）；（）． 【分析】（）先求出的长，再根据线段的中点的定义求出的长，即可求出的长；方法同上； （）根据角平分线的定义得出，，再根据 即可求解； （）求出的度数，根据， ，得出，，根据求解即可； 本题考查了线段的和差，线段中点的定义，角的和差，角平分线的定义，根据图形得出线段之间的等量关系、角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； ∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； （）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ， 即的度数为； （）∵，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 67．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 类型二十二、角的n等分线问题 68．如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） (1)角的三等分线___________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数； (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值． 【答案】(1)是 (2)，，， (3)或或 【分析】（1）若为的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义； （2）根据“幸福线”的定义可得当时，当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的“幸福线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸福线”可分类进行求解． 【详解】（1）解：若为的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”； 故答案为：是． （2）解：由题意得： ∵，射线为的“幸福线”， ∴①当时，则有：； ②当时，则有； ③当时，则有； ④当时，则有：，； 综上所述：当射线为的“幸福线”时，∠AOC的度数为，，，； （3）解：∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时在与重合之前，如图所示： ∴，， 是的“幸福线”，则有以下三类情况： ①，即（舍去）， ②，即， ③，即； ④，即（舍去）； 当时，在与重合之后，如图所示： ∴，， 是的“幸福线”，则有以下三类情况： ①，即（不符合题意，舍去）， ②，即（不符合题意，舍去）； ③，即； ④，即不存在； 综上可知，或或． 【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键． 69．定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．    (1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为 ； (2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线． ①当恰好为的三等分线时，求的值； ②在旋转过程中，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由角的三等分线定义，即可计算； （2）①分两种情况讨论，表示出有关的角，即可求n的值；②分两种情况，表示出有关的角，即可求出n的取值范围． 【详解】（1）解：，、是的两条三等分线， ， 故答案为：； （2）①当时，   ， ． 当时，   ， 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$">∴∠DOD′>75°，不符合题意， 的值是； ②当在内部时，   ， ， ， ， ， 当 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$">∠COD′+∠AOD′>35°时， ， ， ， 当在射线下方时，   ， ， ， ， ， 当 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$">∠COD′+∠AOD′>35°时， ， ， ， 的取值范围是或． 【点睛】本题考查角的计算，有一定难度，关键是注意要分情况讨论． 70．【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”例如，如图，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线． 【知识运用】 (1)如图，，射线是射线的友好线，则为多少度； (2)如图，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； ②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．请直接写出所有答案； 【答案】(1)35° (2)①存在，秒或30秒；②秒或秒或30秒或36秒 【分析】（1）根据“友好线”的含义即可完成； （2）①分两种情况：与相遇之前，根据减去、旋转的角度的和等于列出方程即可；与相遇之后，根据、旋转的角度的和减去等于列出方程即可；②分相遇前与相遇后两种情况：相遇前又分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；相遇后也分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；根据“友好线”的含义即可求得t的值． 【详解】（1）解：∵射线是射线的“友好线”，且， ∴ ． （2）射线与重合时，（秒） ①存在 当的度数是时，，， 有两种可能： 若在相遇之前，则，即， ； 若在相遇之后，则，即， ； 综上所述，当秒或30秒时，的度数是． ②相遇之前： （I）如图1， 是的“友好线”时，则， 即， ； （II）如图2， 是的“友好线”时，则， 即， ； 相遇之后： （III）如图3， 是的“友好线”时，则 即， ； （Ⅳ）如图4， 是的“友好线”时，则 即， ； 所以，综上所述，当秒或秒或30秒或36秒时，、、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了角的运算，角的旋转定义，解一元一次方程等知识，读懂题目提供的材料，正确分类解决是本题的关键． 类型二十三、动角问题 71．如图1，已知，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数； (2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（OE在的内部）时，且，试求x． 【答案】(1)； (2)当它们旋转秒或秒时； (3)； 【分析】（1）本题考查绝对值的非负性及完全平方的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解可得到答案； （2）本题考查动角问题，根据运动问题得到，，再根据列式求解即可得到答案； （3）本题考查有关角平分线的计算，根据为的平分线得到，根据运动结合列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：由题意可得，设时间为秒， ，， 当相遇前时， ， 解得：， 当相遇后时， ， 解得：， 综上所述：当它们旋转秒或秒时； （3）解：∵为的平分线， ， 设时间为秒，由题意可得， ，，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 72．如图，在的内部引一条射线，则图中共有个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线______这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数； (3)如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时的值． 【答案】(1)是； (2)或或； (3)或或． 【分析】（）根据角平分线的定义即可求解； （）分三种情况：①是的角平分线；是的三等分线，且更小；③是的三等分线，且更大进行解答即可求解； （）分三种情况：①；②；③；分别画出图形列出方程解答即可求解； 本题考查了“定分线”的定义，一元一次方程的几何应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：一个角的角平分线是这个角的“定分线”， 故答案为：是； （2）解：①当是的角平分线时，； ②当是的三等分线时，且更小时， ； ③当是的三等分线时，且更大时， ； 综上，的度数为或或； （3）解：①当时，如图， 则， 解得； ②当时，如图， 则， 解得； ③当时，如图， 则， 解得； 综上，的值为或或． 73．【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为________； (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方，设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)72 (2)10.5秒或20.5秒 (3)存在；7秒或14.5秒或22秒 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、角的和、差、倍、分的计算、角平分线的定义等知识，正确地用代式表示射线及射线转过的度数是解题的关键． （1）由，，得，于是得到问题的答案； （2）分两种情况讨论，一是在外部，且时，则，于是得，求得；二是在内部，且时，由，得，于是得，求得； （3）分三种情况讨论，列方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：72． （2）当在外部，且时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当在内部，且时， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （3）存在， 当时，， ∴当时，与重合，此时三角板停止旋转， 当平分C时，则， ∴， 解得； 当平分时，则， ∴， 解得； 当平分时，则：， ∴， 解得：； 综上所述，或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$