专题02 直线和圆的方程（7大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题02 直线与圆的方程 直线的斜率与倾斜角、方向向量 1．（23-24高二下·河南驻马店·期末）直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（23-24高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 6．（23-24高二上·河南·阶段练习）若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 7．（23-24高二上·河南·期末）直线的斜率为（    ） A． B． C． D．-3 直线与直线的位置关系 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 3．（23-24高二上·河南郑州·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 4．（23-24高二上·河南·期末）已知直线与垂直，则（    ） A．0 B．0或 C． D．0或 5．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与平行，则a的值为（    ） A．0 B． C．或0 D．或0 6．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线和互相垂直，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知直线和平行，则实数（    ） A．3 B．3或 C． D．或4 8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知直线：与：平行，则 ． 直线方程的求解 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C．1012 D．2024 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (1)求边上的高所在直线方程； 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线垂直；②一个方向向量为； 问题：已知直线过点，且______. (1)求直线的一般式方程； 8．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (1)求直线的方程； 距离问题 1．（20-21高二上·天津北辰·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B．0 C．1 D． 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 3．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值. 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (2)求点到直线的距离． 5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ． 圆的方程求解 1．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西·阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线过定点A. (1)求点A的坐标； (2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程. 6．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； 8．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； 9．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (2)求圆的标准方程； 10．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (1)求圆的方程； 弦长问题 1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二下·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ． 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若，从中任选一个值，求此时相应的弦长． 5．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知圆，直线． (2)当圆的面积最大时，求直线被圆截得的弦长． 6．（23-24高二上·河南南阳·期末）在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线垂直；②一个方向向量为； 问题：已知直线过点，且______. (2)若直线与圆相交于、两点，求弦的长. 7．（2023·天津北辰·三模）直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为 ． 8．（23-24高三上·河北·期末）已知平面内点与两个定点的距离之比等于2. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 9．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. (2)若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 10．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 11．（21-22高二上·云南昭通·阶段练习）已知圆的方程为． (1)直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程； 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知是虚数单位，集合，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．无数个 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆，圆，则与的位置关系是（   ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）圆：与圆：的位置关系不可能是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 5．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 6．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 7．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知圆：，圆：． (1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔ 圆上动点问题 1．（23-24高二下·河南开封·期末）在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 7．（23-24高二上·湖南·期末）若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为 ． 8．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点P为圆：上任一点，点Q为圆：上任一点，则的最小值为 . 9．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. (2)点为圆上任意一点，求的最大值和最小值． 已知直线与圆的位置关系求方程 1．（23-24高二上·河南开封·期末）已知直线 l与直线垂直，且与圆相切，则直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； 3．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (2)求与直线AB平行且与圆C相切的直线的方程． 6．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知圆过点和，且圆心在直线上. (2)经过点的直线与圆相切，求的方程. 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； 求参数 1．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆：与圆：（）外切，则 . 3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知圆：，圆：． (2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 4．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 5．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知直线：和曲线：有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆，若直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的最小值是 ． 8．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）若直线l：始终平分圆C：的周长，则的最小值为 ． 9．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若圆与圆只有唯一的公共点，则 . 圆中的综合问题 1．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（    ） A．当与圆相切于点时， B．点到圆上点的距离的最大值为5 C．点到圆上点的距离的最小值为2 D．若点在上，与圆相交于点，则 4．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．的最小值为 D．的面积的最大值为2 5．（23-24高二上·辽宁·期末）已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为 ，直线的方程为 . 6．（23-24高二上·河南·期末）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求的值； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆的方程 直线的斜率与倾斜角、方向向量 1．（23-24高二下·河南驻马店·期末）直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 【答案】B 【分析】由给定直线的位置求出倾斜角即得. 【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是. 故选：B 2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设倾斜角为，由题意可得，即可求出． 【详解】直线的斜率为，设直线倾斜角为， 则，，． 故选：C． 3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式求出，再根据斜率与倾斜角的关系判断即可. 【详解】因为，，所以， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：D 4．（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由题意与向量共线，所以由对应分量成比例即可求解. 【详解】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得. 故选：C. 5．（23-24高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 6．（23-24高二上·河南·阶段练习）若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用斜率公式即可求解. 【详解】过两点的直线斜率为，所以，解得，. 故选：A. 7．（23-24高二上·河南·期末）直线的斜率为（    ） A． B． C． D．-3 【答案】C 【分析】把直线方程化成斜截式，再求出斜率即得. 【详解】直线，即，所以该直线的斜率为. 故选：C 直线与直线的位置关系 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】C 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】 根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. 3．（23-24高二上·河南郑州·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线无交点，利用平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于无解，则表示两直线无交点， 故两直线是平行关系，因此，解得，经检验满足题意， 故选：C 4．（23-24高二上·河南·期末）已知直线与垂直，则（    ） A．0 B．0或 C． D．0或 【答案】B 【分析】根据两直线垂直的条件，列出等式，即可求出结果. 【详解】因为，则有，解得或， 故选：B. 5．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与平行，则a的值为（    ） A．0 B． C．或0 D．或0 【答案】C 【分析】利用直线平行求得，再进行检验即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，两直线分别为，，显然平行，满足题意； 当时，两直线分别为，，也平行，满足题意； 综上，或. 故选：C. 6．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线和互相垂直，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 7．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知直线和平行，则实数（    ） A．3 B．3或 C． D．或4 【答案】A 【分析】由直线平行的充要条件运算即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知直线：与：平行，则 ． 【答案】/0.2 【分析】由两条直线平行的充要条件，可得的值． 【详解】因为两条直线平行，所以，解得． 故答案为：． 直线方程的求解 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果. 【详解】直线的方程化为截距式方程为，因此，直线在轴上的截距为. 故选：C. 2．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C．1012 D．2024 【答案】B 【分析】利用截距的定义，结合直线方程即可得解. 【详解】因为，令，得， 所以直线在y轴上的截距为. 故选：B. 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设与轴交于，然后分类讨论：，则直线的斜率可求，结合所过的点直线方程可知. 【详解】由题意设与轴的交点为，则其与轴的交点为， 当时，过原点，斜率为，故方程为； 当时，斜率为，故方程为，即； 故选：C. 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B 5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意求得直线方程再逐个检验点是否在直线上即可得出结论. 【详解】由题意可知，直线l的方程可表示为， 即； 经检验可得点，，在直线l上，不在直线l上. 故选：ACD 6．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (1)求边上的高所在直线方程； 【答案】(1) 【分析】（1）求出的中点的坐标，利用垂直关系得到高所在直线的斜率，得到高所在直线方程； 【详解】（1）由题意可知，为的中点， ，， ． 又， ． 所在直线方程为，即． 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线垂直；②一个方向向量为； 问题：已知直线过点，且______. (1)求直线的一般式方程； 【答案】(1) 【分析】 （1）若选①根据垂直关系得到所求直线的斜率，利用点斜式求解；若选②根据方向向量直接求所求直线的斜率，然后利用点斜式求解直线方程. 【详解】（1）（1）若选①，因为直线的斜率为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 依题意，直线的方程为，即； 若选②，因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 直线的方程为，即. 8．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (1)求直线的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）法一：利用直线的斜截式方程及两直线平行的条件及点斜式即可求解； 法二：利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解； 【详解】（1）法一：由，得， 所以直线的斜率为， 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 法二：依题意可设直线的方程为， 由于直线过点，所以，所以 所以直线的方程为 距离问题 1．（20-21高二上·天津北辰·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据平行直线的性质，结合平行线间的距离公式进行求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以有，所以有， 又因为这两条平行线间距离为， 所以有，或舍去， 所以， 故选：B 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 3．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值. 【答案】 (3)最大值，最小值. 【分析】（3）根据圆的性质及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由，得， 所以直线的斜率为， 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）由题意知，作出图形如图所示，    圆过，所以中点为， 直线垂直平分线记为，由得， 所以直线的方程为即， 又圆心在轴上，即上， 联立，解得， 所以圆心坐标为， 半径 所以圆的标准方程为. （3）由（2）知，圆心，半径为，作出图形如图所示，    所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离最大值为； 点到直线的距离最小值为. 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (2)求点到直线的距离． 【答案】 (2) 【分析】（2）联立两直线得到点的坐标，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由题意可知，为的中点， ，， ． 又， ． 所在直线方程为，即． （2）由，解得，所以． 又直线方程为，即． 点到直线的距离． 5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出的最小值，从而得到答案. 【详解】由可知直线，所以当且时，有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 圆的方程求解 1．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，，，的坐标，根据垂直关系联立方程组可分别求出，的坐标，根据，，三点在圆上，分别求线段，的垂直平分线所在直线方程，通过联立解方程组求解圆心的坐标，即可求解圆的方程. 【详解】    由得，由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的定义求出圆的方程即可. 【详解】由圆经过点和，可知圆心在直线上， 又圆心在直线上， 所以的坐标为，半径， 所以圆的面积为． 故选：D． 3．（23-24高二上·广西·阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出线段的垂直平分线，依题意圆的圆心在直线上， 故设该圆圆心为，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径，根据，得到方程求出的值，即可得解. 【详解】由题意可知，点为过两点且和轴相切的圆的切点，线段中点坐标为，又， 所以线段的垂直平分线方程为， 所以以为弦的圆的圆心在直线上， 故设该圆圆心为，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径， 又，所以，解得或， 当时，是钝角，故舍去. 所以此时圆的方程为.    故选：C 4．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程. 【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或， 故选：BC. 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线过定点A. (1)求点A的坐标； (2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将化为，解方程组，即可得出答案； （2）联立方程组，得出B点坐标，进而求出圆心以及半径，即可得出答案. 【详解】（1）可化为， 令，得， 所以，直线过定点. （2）当时，， 联立方程组，解得， 即. 因为，所以线段的中点，即圆心的坐标为， 所以，， 故以为直径的圆的标准方程为. 6．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； 【答案】(1) 【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程. 【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； 【答案】(1) 【分析】（1）设出圆心坐标利用圆过两点以及圆心位置即可求得圆心坐标和半径，可得圆C的标准方程； 【详解】（1）如下图所示： 设圆心，因为圆心C在直线上，所以， 因为A，B是圆上的点，所以， 根据两点间距离公式，有，即， 解之可得，， 所以圆心，半径， 所求圆的标准方程为． 8．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； 【答案】(1) 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解； 【详解】（1）解：设圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以圆的方程为. 9．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (2)求圆的标准方程； 【答案】 (2) 【分析】（2）法一：根据已知条件及圆心在弦的垂直平分线上，进而求出垂直平分线方程，联立方程组求出圆心，利用两点间的距离求出半径，结合圆的标准方程即可求解； 法二：利用待定系数法设出圆的方程，再结合点在圆上即可求解； 【详解】（1）依题意可设直线的方程为， 由于直线过点，所以，所以 所以直线的方程为 （2）法一：由题意知，作出图形如图所示，    圆过，所以中点为， 直线垂直平分线记为，由得， 所以直线的方程为即， 又圆心在轴上，即上， 联立，解得， 所以圆心坐标为， 半径 所以圆的标准方程为. 法二：设圆的一般方程为，圆过， 所以，解得， 所以圆的一般方程为， 即. 所以圆的标准方程为. 10．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (1)求圆的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）分析可知圆心在直线上，将直线与直线的方程联立，可求得圆心的坐标，进而可求得圆的半径，由此可得出圆的方程； 【详解】（1）解：因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上， 又因为圆的圆心在直线上， 由，解得，即，圆的半径， 所以，圆的方程为． 弦长问题 1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求圆的圆心和半径，再用点到直线的距离公式求点到直线的距离，再利用弦长公式求. 【详解】设圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】求出圆心到直线的距离，由弦长公式代入求解即可. 【详解】由圆的方程，可知其圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则弦长. 故选：D. 3．（23-24高二下·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ． 【答案】2 【分析】求出圆心及半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解. 【详解】圆C：的圆心为，半径， 圆心到直线l：的距离为， 所以弦长为. 故答案为：2. 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若，从中任选一个值，求此时相应的弦长． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，由距离公式得到，整理即可得解； （2）根据所选的值确定直线的方程，再求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式计算可得. 【详解】（1）设， 由，得， 整理得， 即曲线的方程为. （2）①如果选，此时直线的方程为 而圆的半径，圆心到直线的距离为， 故弦长， ②如果选，此时直线的方程为， 由，解得或， 则直线与圆的两个交点坐标为，， 故弦长. ③如果选，此时直线的方程为， 可知直线经过圆心，圆的半径， 所以弦长. 5．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知圆，直线． (2)当圆的面积最大时，求直线被圆截得的弦长． 【答案】 (2) 【分析】（2）利用配方法求得圆的面积取得最大值时的值，从而利用弦长公式即可得解. 【详解】（2）因为， 故当时，半径取得最大值，则圆的面积最大， 此时，圆的方程为， 圆心到直线的距离， 则所求弦长为， 故当圆的面积最大时，直线被圆截得的弦长为. 6．（23-24高二上·河南南阳·期末）在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线垂直；②一个方向向量为； 问题：已知直线过点，且______. (2)若直线与圆相交于、两点，求弦的长. 【答案】 (2)6 【分析】 （2）利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离然后根据公式求弦长. 【详解】（1）若选①，因为直线的斜率为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 依题意，直线的方程为，即； 若选②，因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 直线的方程为，即. （2）（2）由（1）可得：直线的方程为. 圆的圆心到直线的距离为：. 又圆的半径为， 所以. 7．（2023·天津北辰·三模）直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 因为直线与圆相交截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即， 则，解得，所以直线方程为，即， 综上可得直线方程为或. 故答案为：或 8．（23-24高三上·河北·期末）已知平面内点与两个定点的距离之比等于2. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知等量关系，利用直接步骤法坐标代入关系式化简整理可求轨迹； （2）分斜率存在与不存在两类情况分别求解.当斜率不存在时，验证弦长可得；当斜率存在时，设出点斜式直线方程，利用垂直关系将弦长转化为圆心到直线的距离，由点到直线距离公式得关于的方程求解可得. 【详解】（1）已知， 由题意可知，，坐标代入得， 整理得， 故点的轨迹方程为； （2）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为， 由圆，则圆心为，半径为， 此时弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，不妨设斜率为， 则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离. 因为直线被所截得的线段的长为， 所以，则， 所以，解得， 所以直线的方程为. 综上，满足条件的直线的方程为或. 9．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. (2)若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】 (2)或 【分析】（2）设出直线l的方程，求出圆心C到直线l的距离，借助点到直线距离公式计算作答. 【详解】（2）①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：， 即，所以圆心到直线的距离， 又因为，，所以，解得. 此时直线的方程为. ②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径， 弦长为，符合题意. 综上，直线的方程为或.    10．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】 (2)或 【分析】（2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在的情况下，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，根据圆心到直线的距离求出直线的斜率，综合可得出直线的方程. 【详解】（2）解：设圆心到直线的距离为，则， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 因为圆心为，所以圆心到直线的距离为， 整理可得，解得， 所以，直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或. 11．（21-22高二上·云南昭通·阶段练习）已知圆的方程为． (1)直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程； 【答案】(1)或； 【分析】（1）求出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出对应的直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； 【详解】（1）解：圆的圆心为坐标原点，半径为， 设圆心到直线的距离为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知是虚数单位，集合，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．无数个 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义得出圆的方程，再结合圆与圆的位置关系判断交点即可. 【详解】根据复数的几何意义得 , 圆心 圆心 又因为,, 两圆相交有两个交点，则中的元素个数为2. 故选：B. 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆，圆，则与的位置关系是（   ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【分析】由圆的方程得出两圆圆心坐标和半径大小，再由圆心距和半径之间的关系可得结论. 【详解】易知圆的标准方程为， 可得圆心，半径； 圆的标准方程为， 可得圆心，半径； 显然圆心距，且，即，可得两圆内切. 故选：D 3．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）圆：与圆：的位置关系不可能是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】将圆化为标准方程得出其圆心与半径，根据圆的标准方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离，与两半径距离之和与差对比即可得出答案. 【详解】圆：化为标准方程， 则圆的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 则两圆心距离为， 所以两圆不可能外切. 故选：D. 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】BD 【分析】根据点与圆的位置关系判断A；圆的圆心在上，判断B；圆与圆位置关系判断判断C；根据圆与圆相内切，得到的最大值，判断D. 【详解】圆：，整理得，圆心为，半径为 对于A选项，由于点到圆圆心的距离为，故点在圆外，故A错误； 对于B选项，由于满足，故圆关于直线对称，故B正确； 对于C选项，由于圆：，圆心，半径为3，两圆圆心距为， 所以圆与圆内切，故C错误； 对于D选项，点在圆上，点在圆上，因为圆与圆内切， 所以的最大值为圆的直径6，故D正确， 故选：BD. 5．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】 (2)或 【分析】（2）根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可． 【详解】 （2）设，则， 解得，；或，， 故所求圆的方程为或. 6．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】 (2) 【分析】（2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长． 7．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知圆：，圆：． (1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔ 【答案】(1) 【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解； 【详解】（1）圆：即， 当时，圆：， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为， 圆：的圆心，半径， 圆心到公共弦所在直线的距离， 则两圆的公共弦长为. 圆上动点问题 1．（23-24高二下·河南开封·期末）在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的坐标为，则点的坐标为，利用坐标代换法求出轨迹方程即可. 【详解】设点的坐标为，点的坐标为， 依题意点在圆上，可得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 2．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【详解】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目阿波罗尼斯圆的条件不妨取，使得，从而将所求转化为，根据题意，所表示的圆与圆相同可解得点坐标，再利用三角形两边之和大于第三边得到 (当且仅当在线段上时取等)即可得解. 【详解】设，不妨取，使得， 则， 整理得， 此方程与相同， 所以有，解得， 所以， 所以，当且仅当在线段上时，取等号. 因为，所以在圆内； ，所以在圆外； 所以线段与圆必有交点（记为）， 当重合时，，为其最小值， 故选：C. 4．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，得点轨迹方程，，故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值，点轨迹方程与直线联立方程组，求出点的坐标即可. 【详解】设，由，得，化简得， 由，得，所以， 故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 此时线段的方程为，由并结合， 解得故此时点的坐标为. 故选：C. 5．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从斜率角度考虑，可看作圆上的点与点连线的斜率，数形结合，利用点到直线距离公式进行求解. 【详解】可看作圆上的点与点连线的斜率， 如图，只需求出临界状态：相切时的斜率， 设直线为， 则圆心到直线距离，解得：， 所以的取值范围为. 故选：D 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可. 【详解】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·湖南·期末）若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为 ． 【答案】1 【分析】 利用圆关于直线对称可知该直线过圆心，可得，再利用定点到圆上点距离的最值的求法即可求得结果. 【详解】 由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心， 则，解得， 则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为， 易知圆心与的距离为， 故点与该圆上任意一点的距离的最小值为． 故答案为：1 8．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点P为圆：上任一点，点Q为圆：上任一点，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】根据两圆方程可分别求得其圆心和半径，判断出两圆位置关系即可求得最小距离为1. 【详解】由题知圆半径为，圆心坐标为， 圆：可改写成，即圆半径为，圆心坐标为， 易知，，所以两圆的位置关系为内含， 所以的最小值为． 故答案为：1 9．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】 (2) 【分析】78．（21-22高二上·云南昭通·阶段练习）已知圆的方程为． (2)点为圆上任意一点，求的最大值和最小值． 【答案】 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（2）取点，则，数形结合可得出的最大值和最小值，即可得解. 【详解】（1）解：圆的圆心为坐标原点，半径为， 设圆心到直线的距离为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）解：取点，则， 如下图所示，设直线交圆于点、， 由图可知，当点与点重合时，取最小值，且， 当点与点重合时，取最大值，且. 因此，的最大值为，最小值为. （2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 已知直线与圆的位置关系求方程 1．（23-24高二上·河南开封·期末）已知直线 l与直线垂直，且与圆相切，则直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【详解】直线与直线垂直，可设直线为， 圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为． 因为直线与圆相切，所以，解得或， 所以直线的方程是或． 故选：CD． 2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； 【答案】(1) 【分析】（1）求出直线PC的方程，再与直线联立求出圆心坐标即可求解作答. 【详解】（1）因为圆与直线相切于点 所以过点与直线垂直的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 由，解得圆心.所以半径. 故圆的标准方程为：； 3．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； 【答案】(1) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， 【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (2)求与直线AB平行且与圆C相切的直线的方程． 【答案】 (2) 【分析】（2）由直线平行可设直线方程为，再由直线与圆相切可求得直线方程. 【详解】（1）如下图所示： 设圆心，因为圆心C在直线上，所以， 因为A，B是圆上的点，所以， 根据两点间距离公式，有，即， 解之可得，， 所以圆心，半径， 所求圆的标准方程为． （2）直线斜率为，所以所求直线的斜率也为， 设所求直线方程为， 所以圆心C到该直线的距离为，解之得， 所以所求直线方程为：． 6．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知圆过点和，且圆心在直线上. (2)经过点的直线与圆相切，求的方程. 【答案】 (2)或 【分析】（2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以圆的方程为. （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； 【答案】(1)或 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与否，再待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线； 【详解】（1）由圆：得圆心，半径， 当直线斜率存在时，设：，即， 所以，解得， 所以切线为，即， 当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线， 所以直线的方程为：或； 求参数 1．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆：与圆：（）外切，则 . 【答案】1 【分析】由两圆外切可得圆心距等于半径，即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径为， ∵圆与圆外切，∴，解得. 故答案为：. 3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知圆：，圆：． (2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】 (2)不存在，理由见解析 【分析】（2）假设存在实数a，根据两圆内含关系列不等式并求解，可判断a的存在性． 【详解】（2）不存在，理由如下： 圆：可化为， 则圆心，半径， 又圆：的圆心，半径， 假设存在实数a，使得圆和圆内含， 则圆心距， 即，此不等式无解， 故不存在实数a，使得圆和圆内含. 4．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由点和圆的位置关系，圆的一般方程可表示圆的条件，列出两个不等式进行求解即可. 【详解】由表示圆， 标准方程是, 所以，解得， 由点在圆外， 即， 所以或， 综上. 故答案为：. 5．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知直线：和曲线：有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将曲线：化为，若直线与曲线有交点，则由图可求出直线与曲线相切时切线得斜率，其中用到圆心到直线的距离等于半径求解即可. 【详解】因为，所以直线恒过定点， 曲线：化简即为： ， 如图所示： 由图可知，若直线与曲线有交点，则直线介于与之间即可， 由圆心到直线的距离等于半径得： ，整理得：，解得：或（舍）， 同理，由圆心到直线的距离等于半径得： ，整理得：，解得：（舍）或， 所以. 故选：C 6．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可． 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 7．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆，若直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知直线过定点，且点在圆内，根据圆的性质结合垂径定理求弦长的最小值. 【详解】因为直线，即， 可知直线过定点， 又因为圆的圆心，半径， 且， 即点在圆内，可知直线与圆相交， 由圆的性质可知：当且仅当时，取到最小值. 故答案为：. 8．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）若直线l：始终平分圆C：的周长，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据直线过圆心可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由题意，直线经过圆心， 故， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：8 9．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若圆与圆只有唯一的公共点，则 . 【答案】或 【分析】求出两圆圆心坐标与半径长，分两圆外切和内切两种情况讨论，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，其中， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，两圆外切或内切，且， 若两圆外切，则，即，解得； 若两圆内切，则，即，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 圆中的综合问题 1．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，根圆的弦长求出，根据两点的距离公式求出，再求出即可. 【详解】取的中点，连接，则， 圆的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 【答案】AD 【分析】根据题意，对y分类讨论，画出图形，对于A,找出最大值，运用两点间距离求解；对于B,对m分类讨论，解方程可解；对于C,作出临界状态的切线，求出切线方程即可；对于D,找出封闭图形，借助扇形和三角形面积公式计算. 【详解】曲线.当， 当. 曲线可以看作是以点和为圆心，半径为的两段优弧组成，构成“8”字形， 不含圆的虚线部分，如图., 对于A,曲线上两点间的最大距离为,故A正确. 对于B,因为点在曲线上，将点代入曲线方程. 当时，，解得或. 当时，，展开解得.此时无解. 所以或，选项B错误. 对于C,直线与曲线有公共点,则如图在切线a，b之间即可. 当直线与上圆切时，则，解得，则. 同理，可得当直线与下圆切时，求得，则. 则，选项C错误. 对于D,在，则，则, 则扇形的面积为. 直角三角形的面积为. 则弓形面积为. 圆的面积为：. 曲线C所围成的封闭图形的面积为两个圆的面积减去两个弓形面积即可. 即为.选项D正确. 故选：AD. 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（    ） A．当与圆相切于点时， B．点到圆上点的距离的最大值为5 C．点到圆上点的距离的最小值为2 D．若点在上，与圆相交于点，则 【答案】AB 【分析】结合切线长公式计算可判断A项，运用圆上的点到圆外一定点的距离的最大值为，最小值为（为圆心到圆外定点的距离）可判断B项、C项，运用圆内弦长公式计算可判断D项. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为2， 对于A项，如图所示，    则，故A项正确； 对于B项，    如图所示，点到圆上点的距离的最大值为，故B项正确； 对于C项，    如图所示，点到圆上点的距离的最小值为，故C项错误． 对于D项，    直线的方程为，则点到直线的距离， 所以，故D项错误． 故选：AB. 4．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．的最小值为 D．的面积的最大值为2 【答案】ABD 【分析】将直线整理成关于的方程，令其系数为0，即可得出直线过的定点，判断A；利用得出直线的斜率，即可判断B；当直线与垂直时，取得最小值，再利用几何法求弦长，即可判断C；由，结合弦长公式与基本不等式，即可判断D. 【详解】对于选项A：将直线整理为：， 令，解得，即直线过定点，故选项A正确； 对于选项B：由题意知，，则直线的斜率为， 若，则直线即直线的斜率为，解得：，故选项B正确； 对于选项C：因为直线过定点，所以当直线与垂直时，取得最小值， 此时，故选项C错误； 对于选项D：设点到直线的距离为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的面积的最大值为2，故选项D正确； 故选：ABD. 5．（23-24高二上·辽宁·期末）已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为 ，直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意可知，则，当与直线垂直时最小，结合点斜式方程可求解直线PM方程，进而求出点P的坐标；利用勾股定理可得，以为圆心，为半径作圆，将两圆方程相减即可求出直线AB方程. 【详解】的标准方程为，其圆心为，半径为2.如图，    由题意可知，则， 所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 所以直线的方程为，即. 联立，解得， 所以点的坐标为，. 在Rt中，，同理. 以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦，   的方程为，即， 两圆方程相减得，即直线的方程为. 故答案为：； 6．（23-24高二上·河南·期末）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求的值； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程. 【答案】 (2)或 【分析】（2）利用等面积法求解即可. 【详解】（1）由题意可知圆的圆心为，半径. 因为，所以，从而， 即，两边平方整理得， 又因为，所以. （2）由（1）知圆，点在圆上， 又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心， 显然直线的斜率不为0，设其方程为， 点到直线的距离为. 根据三角形的面积公式可得. 所以，解得， 所以直线的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$