第2章特殊三角形之等腰直角三角形专练2024-2025学年 浙教版数学八年级上册

浙江浙教版八年级上学期特殊三角形之等腰直角三角形专练 知识梳理 等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的特点是： （1）两底角等于45°。 （2）两腰相等。 （3）等腰直角三角形三边比例为1：1:. 敲重点：等腰直角三角形具备等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜中线定理，勾股定理，非常容易构造全等三角形，常见辅助线做垂直，连接斜中线。 等腰直角三角形经典图形：K字图全等 经典题型专练 一．选择题 1．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于点F，垂足为E，则不成立的是（　　） A．AD＝BF B．AC+CD＝AB C．AD＝2BE D．BE＝CD 2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB的延长线上，且BD＝AB，连接DC并延长，作AE⊥CD于E，若AE＝4，则△BCD的面积为（　　） A．8 B．10 C．8 D．16 3．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB； ④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，与BC相交于点F，BE⊥AD，交AC延长线于E，且垂足为D，H是AB边的中点，连接CH与AD相交于点G，则下列结论：①AF＝BE；②AF＝2BD；③AG＝BD；④AC+CF＝AB；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在等腰△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝2，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，并保持该直角三角板的两直角边分别与两边AC、BC相交，交点分别为D、E，则AD+BE的值是（　　） A．1 B．2 C． D．2 6．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE＝90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（　　） ①图中的全等三角形共有3对； ②AD＝CE； ③∠CDO＝∠BEO； ④OC＝DC+CE； ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，Rt∠EDF在△ABC内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法正确的是（　　）①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF≤CD． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF＝CD；③∠ADC＝∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 二．填空题 9．在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离是2，若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，∠BAC＝90°，在△ABC的面积是　 　． 10．如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是　 　（填序号） ①BD＝CE；②∠DCB﹣∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）． 三．解答题 11．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，若A点到直线BD的距离为a，则BE的长为　 　． 12．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF＝FE．求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）AF⊥DE． 13．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上． （1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD． （2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长． 14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，∠ABC＝∠ADE，DF＝FE，AF⊥DE．求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）DE2＝BD2+DC2． 15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AF平分∠DAE交BC于F，若BD＝3，CF＝4，求DF的长． 16．如图在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上的一点，EC⊥BC，EC＝BD （1）证明：△ABD≌△ACE； （2）证明：AD⊥AE； （3）若AF⊥DE，F为垂足，AG＝GC，则FG与AC有怎样的位置关系，请说明理由． 17．小孟同学将等腰直角三角板ABC（AC＝BC）的直角顶点C放在一直线m上，将三角板绕C点旋转，分别过A，B两点向这条直线作垂线AD，BE，垂足为D，E． （1）如图1，当点A，B都在直线m上方时，猜想AD，BE，DE的数量关系是　 　； （2）将三角板ABC绕C点按逆时针方向旋转至图2的位置时，点A在直线m上方，点B在直线m下方．（1）中的结论成立吗？请你写出AD，BE，DE的数量关系，并证明你的结论． （3）将三角板ABC继续绕C点顺时针旋转，当点A在直线m的下方，点B在直线m的上方时，请你画出示意图，按题意标好字母，直接写出AD，BE，DE的数量关系结论　 　． 18．如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转． （1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N ①证明：DM＝DN ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积 （2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 19．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点． （1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H． ①若CE＝ED，求∠ECF的度数； ②判断FH与FC的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）②中得出的结论是否发生改变，给出证明． 20．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D在边AB上，DE⊥CD，且DE＝CD，CE交边AB于点F，连接BE． （1）若AC＝6，CD＝7，求线段AD的长； （2）如图2，若CD＝CF，求∠ABE的度数； （3）若CD≠CF，写出线段AC，CD，BE长度之间的等量关系，并说明理由． 21．在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α． （1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O： ①求证：BE＝AD； ②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）； （2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点． 22．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： （1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出　 　． （2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）．如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，F是∠BAC角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点（D、E、A互不重合），在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ①试判断△DEF的形状，并说明理由； ②请直接写出△DEF的面积　 　． 23．如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想 （1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌　 　，故EF、BE、DF之间的数量关系为 　 　； （2）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为 　 　，并给出证明； （3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC＝45°，若BD＝3，EC＝6，求DE的长． 24．如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，∠C＝60°． （1）求BC边上的高线长． （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF，连接PA、PE、PF． ①如图2，当PF⊥AC时，求AP的长． ②如图3，当点P落在BC上时，求证：PF＝FC． 浙江浙教版八年级上学期特殊三角形之等腰直角三角形专练 答案解析 一．选择题 1．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于点F，垂足为E，则不成立的是（　　） A．AD＝BF B．AC+CD＝AB C．AD＝2BE D．BE＝CD 【解析】根据ASA证明Rt△ADC≌Rt△BFC，再证明AF＝AB即可一一判断； 【解答】解：①∵BC＝AC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠EAF＝22.5°， ∵在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F＝90°，∠FBC+∠F＝90°， ∴∠EAF＝∠FBC， ∵BC＝AC，∠EAF＝∠FBC，∠BCF＝∠AEF， ∴Rt△ADC≌Rt△BFC（ASA）， ∴AD＝BF；故A正确； ∴CF＝CD，AC+CD＝AC+CF＝AF， ∵∠CBF＝∠EAF＝22.5°， ∴在Rt△AEF中，∠F＝90°﹣∠EAF＝67.5°， ∵∠CAB＝45°， ∴∠ABF＝180°﹣∠F﹣∠CAB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°， ∴AF＝AB，即AC+CD＝AB，故B正确； ∵△ABF是等腰三角形， ∵BE⊥AD， ∴BE＝BF， ∵BF＝AD， ∴AD＝2BE，故C正确， 故选：D． 2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB的延长线上，且BD＝AB，连接DC并延长，作AE⊥CD于E，若AE＝4，则△BCD的面积为（　　） A．8 B．10 C．8 D．16 【析】过点B作BF⊥CD于F，由“AAS”可证△BFC≌△CEA，可得CF＝AE＝4，BF＝CE，由平行线分线段成比例可求EF＝DF，由三角形中位线定理可求BF＝CE＝2，由三角形面积公式可求解． 【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠BFC＝∠AEC＝90°， ∴∠BCF+∠FBC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACE＝90°， ∴∠ACE＝∠FBC， 又∵BC＝AC， ∴△BFC≌△CEA（AAS）， ∴CF＝AE＝4，BF＝CE， ∵BF⊥CD，AE⊥CD， ∴BF∥AE， ∴， ∴EF＝DF， 又∵AB＝BD， ∴BF＝AE＝2， ∴CE＝BF＝2， ∴EF＝4+2＝6＝DF， ∴△BCD的面积＝×CD×BF＝×（6+4）×2＝10， 故选：B． 3．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB； ④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N．由角平分线的性质得出PM＝PN，PM＝PD，得出PM＝PN＝PD，即可得出①正确； ②首先证出∠ABC+∠MPN＝180°，证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得出∠CPD＝∠CPN，即可得出②正确； ③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM＝∠ABC+∠APB，得出∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由全等三角形的性质得出AD＝AM，CD＝CN，即可得出④正确；即可得出答案． 【解答】解：①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中，， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM＝∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴AD＝AM， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴CD＝CN， ∴AM+CN＝AD+CD＝AC，④正确； 故选：D． 4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，与BC相交于点F，BE⊥AD，交AC延长线于E，且垂足为D，H是AB边的中点，连接CH与AD相交于点G，则下列结论：①AF＝BE；②AF＝2BD；③AG＝BD；④AC+CF＝AB；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①②④只要证明△BCE≌△ACF，△ADB≌△ADE即可解决问题； ③错误，只要证明GB＝GA即可． 【解答】解：∵AD⊥BE， ∴∠FDB＝∠FCA＝90°， ∵∠BFD＝∠AFC， ∴∠DBF＝∠FAC， ∵∠BCE＝∠ACF＝90°，BC＝AC， ∴△BCE≌△ACF（SAS）， ∴EC＝CF，AF＝BE，故①正确， ∵∠DAB＝∠DAE，AD＝AD，∠ADB＝∠ADE＝90°， ∴△ADB≌△ADE（SAS）， ∴BD＝DE，AB＝AE， ∴AF＝2BD，故②正确， 连接BG， ∵CB＝CA，BH＝AH， ∴CH⊥AB， ∴GA＝GB， ∵BG＞BD， ∴AG≠BD，故③错误， ∵BC+CF＝AC+EC＝AE＝AB，故④正确， 故选：C． 5．如图，在等腰△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝2，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，并保持该直角三角板的两直角边分别与两边AC、BC相交，交点分别为D、E，则AD+BE的值是（　　） A．1 B．2 C． D．2 【解析】连接CO，证明△COD≌△BOE（ASA），得到CD＝BE，把问题转化为求AC线段的长． 【解答】解：连接CO， ∵O是AB中点，AC＝BC， ∴CO⊥AB且∠OCD＝45°． ∵三角形ACB是等腰直角三角形， ∴CO＝BO． ∵∠COE+∠EOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°， ∴∠COD＝∠BOE． 在△COD和△BOE中， ， ∴△COD≌△BOE（ASA）． ∴CD＝BE． ∴AC＝AD+CD＝AD+BE． ∵等腰直角三角形的斜边AB＝2， ∴AC＝． ∴AD+BE＝． 故选：C． 6．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE＝90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（　　） ①图中的全等三角形共有3对； ②AD＝CE； ③∠CDO＝∠BEO； ④OC＝DC+CE； ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】根据等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°，CO＝AO＝BO，CO⊥AB，∠ACO＝∠BCO＝45°，求出∠A＝∠ECO，∠B＝∠DCO，∠COA＝∠COB＝90°，∠AOD＝∠COE，∠COD＝∠BOE，根据ASA推出△COE≌△AOD，△COD≌△BOE，根据全等三角形的性质得出S△COE＝S△AOD，AD＝CE，∠CDO＝∠BEO，再逐个判断即可． 【解答】解：∵在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB边上的中点， ∴∠A＝∠B＝45°，CO＝AO＝BO，CO⊥AB，∠ACO＝∠BCO＝45°， ∴∠A＝∠ECO，∠B＝∠DCO，∠COA＝∠COB＝90°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，∠COD＝∠BOE＝90°﹣∠COE， 在△COE和△AOD中 ∴△COE≌△AOD（ASA）， 同理△COD≌△BOE， ∴S△COE＝S△AOD，AD＝CE，∠CDO＝∠BEO，△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍， 在△AOC和△BOC中 ∴△AOC≌△BOC， ∵AD＝CE， ∴CD+CE＝AC， ∵∠COA＝90°， ∴CO＜AC， ∴OC＝DC+CE错误； 即①②③⑤正确，④错误； 故选：C． 7．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，Rt∠EDF在△ABC内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法正确的是（　　）①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF≤CD． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解析】由“ASA”可证△ADE≌△CDF，可得DE＝DF，AE＝CF，可得∠DEF＝∠DFE＝45°，EC＝BF，可判断①，在直角三角形CEF中，由勾股定理可得BF2+AE2＝EF2，可判断②，由特殊位置可求CD的范围，可判断③，即可求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，D为斜边AB的中点， ∴CD＝AD＝DB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AB⊥CD， ∵ED⊥FD， ∴∠EDF＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝△CDF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴DE＝DF，AE＝CF， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°，AC﹣AE＝BC﹣CF，故①正确； ∴EC＝BF， ∵CF2+CE2＝EF2； ∴BF2+AE2＝EF2；故②正确； 当点E与点A重合时，EF＝AC＝CD， 当DE⊥AC时，则DF⊥BC， ∴四边形DECF是矩形， ∴EF＝CD， ∴CD≤EF＜CD，故③错误， 故选：A． 8．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF＝CD；③∠ADC＝∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ ∵△BEF≌△BDF，【解析】①由条件可知∠ECD+∠ADC＝∠E+∠ECD＝90°，可得到∠E＝∠ADC，再结合条件可证明△ADC≌△CEB； ②AD为BC边上的中线，得到BD＝CD，得到∠AFB≠90°，求得DF≠CD； ③BE＝CD＝BD，结合条件可证明△BEF≌△BDF，则有∠E＝∠BDF＝∠ADC，可得结论； ④由③可得EF＝DF，而DF＞FG，故F不可能为EG中点． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，CG⊥AD， ∴∠ECD+∠ADC＝∠E+∠ECD＝90°， ∴∠E＝∠ADC， ∵BE⊥BC， ∴∠EBC＝∠ACD， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴①正确； ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵AG⊥CE， ∴∠AFB≠90°， ∴DF≠CB， ∴DF≠CD， ∴②不正确； ∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点， ∴BE＝CD＝BD， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠DBF＝∠EBF＝45°， 在△BEF和△BDF中， ， ∴△BEF≌△BDF（SAS）， ∴∠E＝∠BDF，又∠E＝∠ADC， ∴∠ADC＝∠BDF， ∴③正确； ∴EF＝DF， 在Rt△DFG中，DF＞FG， ∴EF＞FG， ∴F不是EG的中点， ∴④不正确； 综上可知正确的有①③共两个， 故选：D． 二．填空题 9．在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离是2，若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，∠BAC＝90°，在△ABC的面积是　5　． 【解析】过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，由余角的性质可得∠CAF＝∠BAE，由“AAS”可证△ABE≌△CAF，可得AE＝CF＝1，由勾股定理可求AB的长即可解决问题． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F， ∵a，b之间的距离是1，b，c之间的距离是2， ∴BE＝3，CF＝1， ∵∠BAC＝90°，BE⊥AF ∴∠BAE+∠CAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90° ∴∠CAF＝∠BAE，且AB＝AC，∠AEB＝∠AFC＝90° ∴△ABE≌△CAF（AAS） ∴AE＝CF＝1， ∴在Rt△ABE中，AB＝＝， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝ ∴S△ABC＝•AB•AC＝5 故答案为：5． 10．如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是　①③　（填序号） ①BD＝CE；②∠DCB﹣∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）． 【解析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质一一判断即可． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠EAC ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴△DAB≌△EAC， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确， ∵∠ACB＝45°≠∠DCA，故②错误， ∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°， ∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确， ∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2． ∴BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，故④错误， 故答案为①③． 三．解答题 11．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，若A点到直线BD的距离为a，则BE的长为　2a　． 【解析】延长AD与BC，相交于F，先证△BAD≌△BFD，得AD＝DF，AF＝2a，再证Rt△ACF≌Rt△BCE，得BE＝AF＝2a． 【解答】解：延长AD与BC，相交于F， ∵BD为∠ABC的平分线 ∴∠ABD＝∠FBD ∵∠ADB＝∠BDF＝90°，BD＝BD ∴△BAD≌△BFD ∴AD＝DF ∴AF＝2AD＝2a ∵∠DAC+∠AED＝90°，∠EBC+∠BEC＝90°，∠AED＝∠BEC ∴∠DAC＝∠EBC ∵∠ACF＝∠BCE＝90°，AC＝BC ∴Rt△ACF≌Rt△BCE ∴BE＝AF＝2a． 12．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF＝FE．求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）AF⊥DE． 【解析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝∠BCA＝45°，再求出∠ACE＝45°，从而得到∠B＝∠ACE，然后利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠BCA＝45°， ∵EC⊥BC， ∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠B＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）由（1）知，△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE， 等腰△ADE中，∵DF＝FE， ∴AF⊥DE． 13．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上． （1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD． （2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长． 【解析】（1）根据SAS可证明△ACE≌△BCD； （2）由全等三角形的性质得到BD＝AE，△ADE是直角三角形；由勾股定理可知AD2+AE2＝DE2，则可求出答案． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD． 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）； （2）解：∵△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠CBD＝∠CAE＝45°， 又∵∠CAB＝45°， ∴∠DAE＝∠CAB+∠CAE＝90°． 在Rt△ADE中，由勾股定理可知AD2+AE2＝DE2， 在Rt△CDE中，ED2＝DC2+EC2＝2DC2， ∴AD＝＝＝． 14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，∠ABC＝∠ADE，DF＝FE，AF⊥DE．求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）DE2＝BD2+DC2． 【解析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE； （2）由全等三角形的性质可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，可证∠BCE＝90°，则可得出答案． 【解答】（1）∵DF＝FE，AF⊥DE． ∴AD＝AE， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠ABD＝45°，BD＝CE， ∴∠BCE＝90°， ∴EC⊥BC， ∴DE2＝CD2+CE2， ∴DE2＝CD2+BD2． 15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AF平分∠DAE交BC于F，若BD＝3，CF＝4，求DF的长． 【解析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE即可； （2）由全等三角形的性质得∠ACE＝∠B＝45°，BD＝CE，则∠ECF＝∠ACB+∠ACE＝90°，再由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，则BD2+FC2＝EF2，然后证△DAF≌△EAF（SAS），得DF＝EF，进而求解即可． 【解答】（1）证明：∵AE⊥AD， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝90°， 又∵∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：连接FE，如图所示： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， 由（1）知，△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠B＝45°，BD＝CE， ∴∠ECF＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴CE2+CF2＝EF2， ∴BD2+FC2＝EF2， ∵AF平分∠DAE． ∴∠DAF＝∠EAF， 在△DAF和△EAF中， ， ∴△DAF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF， ∴BD2+FC2＝DF2． ∵BD＝3，CF＝4， ∴DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25， ∴DF＝5． 16．如图在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上的一点，EC⊥BC，EC＝BD （1）证明：△ABD≌△ACE； （2）证明：AD⊥AE； （3）若AF⊥DE，F为垂足，AG＝GC，则FG与AC有怎样的位置关系，请说明理由． 【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B＝∠ACB＝45°，再求出∠ACE＝45°，从而得到∠B＝∠ACE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再求出∠DAE＝∠BAC，然后根据垂直的定义证明即可； （3）连接CF，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，根据等腰直角三角形的性质可得AF＝DF＝EF＝DE，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF＝DE，从而得到AF＝CF，再根据等腰三角形三线合一的性质解答． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵EC⊥BC， ∴∠BCE＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠B＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）证明：∵△ABD≌△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝90°， ∴AD⊥AE； （3）解：FG⊥AC． 理由如下：连接CF，∵△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE， ∵AF⊥DE，AD⊥AE， ∴AF＝DF＝EF＝DE， ∵EC⊥BC， ∴CF＝DE， ∴AF＝CF， 又∵AG＝GC， ∴FG⊥AC． 17．小孟同学将等腰直角三角板ABC（AC＝BC）的直角顶点C放在一直线m上，将三角板绕C点旋转，分别过A，B两点向这条直线作垂线AD，BE，垂足为D，E． （1）如图1，当点A，B都在直线m上方时，猜想AD，BE，DE的数量关系是　DE＝AD+BE　； （2）将三角板ABC绕C点按逆时针方向旋转至图2的位置时，点A在直线m上方，点B在直线m下方．（1）中的结论成立吗？请你写出AD，BE，DE的数量关系，并证明你的结论． （3）将三角板ABC继续绕C点顺时针旋转，当点A在直线m的下方，点B在直线m的上方时，请你画出示意图，按题意标好字母，直接写出AD，BE，DE的数量关系结论　DE＝|BE﹣AD|　． 【解析】（1）先判断出∠CAD＝∠BCE，进而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD＝CE，CD＝BE，最后利用线段的和即可得出结论； （2）先判断出∠CAD＝∠BCE，进而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD＝CE，CD＝BE，最后利用线段的差即可得出结论； （3）先判断出∠CAD＝∠BCE，进而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD＝CE，CD＝BE，最后利用线段的和差即可得出结论． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠ACD+∠BCE＝90°， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∴△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CD+CE＝BE+AD； 故答案为：DE＝BE+AD； （2））∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠ACD+∠BCE＝90°， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∴△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE： （3） Ⅰ、当点A，B在直线m异侧时，如图4，同（2）的方法得，△ACD≌△BCE， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE． Ⅱ、如图5， 同Ⅰ的方法得，DE＝BE﹣AD， 故答案为：DE＝|AD﹣BE|． 18．如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转． （1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N ①证明：DM＝DN ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积 （2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【解析】（1）①连接BD，求出BD＝DC，∠MDB＝∠CDN，∠C＝∠ABD＝45°，根据ASA证△MBD≌△NCD，根据全等三角形的性质推出即可；②根据全等得出△MBD和△NCD的面积相等，求出四边形DMBN的面积等于△BDC的面积，求出即可； （2）连接BD，求出BD＝DC，∠MDB＝∠CDN，∠C＝∠ABD＝45°，根据ASA证△MBD≌△NCD，根据全等三角形的性质推出即可． 【解答】（1）①证明： 连接DB， ∵在Rt△ABC中，AB＝BC，AD＝DC， ∴BD＝DC＝AD，∠BDC＝90°， ∴∠ABD＝∠C＝45°，∠MDB+∠BDN＝90°，∠BDN+∠CDN＝90°， ∴∠MDB＝∠CDN， 在△MBD和△NCD中 ， ∴△MBD≌△NCD（ASA） ∴DM＝DN； ②解：四边形DMBN的面积不发生变化， 由①知：△MBD≌△NCD， ∴S△MBD＝S△NCD， ∴S四边形DMBN＝S△DMB+S△BDN＝S△CND+S△BDN＝S△BDC＝S△ABC＝×1×1＝； （2）DM＝DN仍然成立， 证明：连接DB， 在Rt△ABC中，AB＝BC，AD＝DC， ∴DB＝DC，∠BDC＝90°， ∴∠DCB＝∠DBC＝45°， ∴∠DBM＝∠DCN＝135°， ∵∠NDC+∠CDM＝90°，∠BDM+∠CDM＝90°， ∴∠CDN＝∠BDM， 在△CDN和△BDM中 ， ∴△CDN≌△BDM（ASA）， ∴DM＝DN． 19．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点． （1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H． ①若CE＝ED，求∠ECF的度数； ②判断FH与FC的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）②中得出的结论是否发生改变，给出证明． 【解析】（1）①证明EF＝CE，由三角形外角和定理可求出答案； ②证得△GDA是等腰直角三角形，证得GF＝CE，∠HFG＝∠FCD，证明△CFE≌△FHG，可得出结论； （2）由△EFD为等腰直角三角形，可得出GF＝CE，∠HFG＝∠FCE，证得△ECF≌△GFH，即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵FD＝ED，FD⊥ED， ∴△EFD为等腰直角三角形， ∴EF＝ED， 又∵CE＝ED， ∴EF＝CE， ∴∠CFE＝∠ECF， ∵∠CFE+∠ECF＝∠DEF＝45°， ∴∠EFC＝∠CFE＝22.5°， ②如图1，延长DF交AB于点G， ∵GD⊥CA， ∴∠GDA＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠A＝45°， ∴△GDA是等腰直角三角形， ∴GD＝DA， ∵D是AC的中点， ∴DA＝CD，即GD＝CD， ∵ED＝FD， ∴GF＝GD﹣FD＝CD﹣ED＝CE， ∴∠DGA＝∠FED＝45°， ∴∠CEF＝180°﹣∠FED＝180°﹣∠DGA＝∠HGF＝135°， ∵∠HFG+∠CFD＝90°＝∠FCD+∠CFD， ∴∠HFG＝∠FCD， 在△CFE和△FHG中， ， ∴△CEF≌△FGH（ASA）， ∴CF＝HF； （2）不变． 证明：设FD交AB于G， ∵△GDA和△GDA是等腰直角三角形， ∴∠AGD＝∠FEC＝45°， ∵FD＝DE，DA＝CD＝GD， ∴FG＝FD﹣GD＝ED﹣CD＝EC， ∵∠HFG＝90°+∠CFD＝180°﹣∠FCD＝∠FCE， 在△ECF和△FHG中， ， ∴△ECF≌△GFH（ASA）， ∴CF＝HF． 20．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D在边AB上，DE⊥CD，且DE＝CD，CE交边AB于点F，连接BE． （1）若AC＝6，CD＝7，求线段AD的长； （2）如图2，若CD＝CF，求∠ABE的度数； （3）若CD≠CF，写出线段AC，CD，BE长度之间的等量关系，并说明理由． 【解析】（1）过点C作CM⊥AB于M，由等腰直角三角形的性质得CM⊥AB，∴AM＝BM，CM＝AB＝AM＝BM＝6，再由勾股定理得DM＝，即可求解； （2）过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，证△CDM≌△DEN（AAS），得CM＝DN，DM＝EN，则DM+MN＝CM，由（1）得∠ABC＝45°，CM＝AB＝AM＝BM，证出DM＝BN＝EN，得△BNE是等腰直角三角形，即可解决问题； （3）过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，由（2）可知：EN＝BN＝DM，BE2＝EN2+BN2＝2EN2＝2DM2，则DM2＝BE2，再由AC2＝CM2+AM2，CD2＝CM2+DM2，即可得出结论． 【解答】（1）解：过点C作CM⊥AB于M，如图1， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AC＝6， ∴AB＝AC＝12， ∵CM⊥AB， ∴CM＝AM＝BM＝AB＝6， ∴DM＝＝＝， ∴AD＝AM﹣DM＝6﹣； （2）证明：过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图2， 则∠CMD＝∠DNE＝90°， ∴∠MCD+∠MDC＝90°， ∵DE⊥CD， ∴∠MDC+∠NDE＝90°， ∴∠MCD＝∠NDE， 又∵CD＝DE， ∴△CDM≌△DEN（AAS）， ∴CM＝DN，DM＝EN， ∴DM+MN＝CM， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC ∴∠ABC＝45°， 由（1）知，CM＝AM＝BM＝AB， ∴BM＝MN+BN＝CM＝DM+MN， ∴DM＝BN＝EN， ∴△BNE是等腰直角三角形， ∴∠ABE＝45°； （3）解：AC2+BE2＝2CD2，理由如下： 过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图3， 由（2）可知：EN＝BN＝DM，BE2＝EN2+BN2＝2EN2＝2DM2， ∴DM2＝BE2， 在Rt△ACM中，CM＝AM，AC2＝CM2+AM2， 在Rt△CDM中，CM＝AM，CD2＝CM2+DM2， ∴CD2＝AC2+BE2， ∴AC2+BE2＝2CD2． 21．在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α． （1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O： ①求证：BE＝AD； ②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）； （2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点． 【解析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α， ∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE＝AD； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO， ∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO， ∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO， ∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO， ∴∠BOA＝2α； （2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q， ∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC， ∵∠BCA＝∠AMC， ∴∠BCP＝∠CAM， 在△CBP与△ACM中，， ∴△CBP≌△ACM（AAS）， ∴MC＝BP， 同理，CM＝DQ， ∴DQ＝BP， 在△BPN与△DQN中，， ∴△BPN≌△DQN（AAS）， ∴BN＝ND， ∴N是BD的中点． 22．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： （1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出　DE＝BD+CE　． （2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）．如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，F是∠BAC角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点（D、E、A互不重合），在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ①试判断△DEF的形状，并说明理由； ②请直接写出△DEF的面积　　． 【解析】（1）根据垂直的定义得到∠BDA＝∠CEA＝90°，根据等角的余角相等得到∠CAE＝∠ABD，根据“AAS”证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形得到DE＝BD+CE； （2）根据∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得到∠BAD＝∠ACE，由AAS定理证明△BAD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，DA＝CE，得出结论； （3）①根据等边三角形的性质得到∠BAC＝120°，证明△BAD≌△ACE，得到BD＝AE，证明△BDF≌△AEF，得到DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，求出∠DFE＝60°，根据等边三角形的判定定理得到答案； ②过F作FH⊥DE于点H，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE； （2）（1）中结论成立， 理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）①△DEF是等边三角形， 理由如下：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA， ∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF， ∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠EAF， ∵在△DBF和△EAF中， ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形． ②过F作FH⊥DE于点H， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠DHF＝90°，∠DFH＝30°，DE＝DF， ∵DE＝n， ∴DH＝n，DF＝n， ∴FH＝＝n， ∴S△DEF＝DE×FH＝． 故答案为：． 23．如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想 （1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌　△AFE　，故EF、BE、DF之间的数量关系为 　EF＝DF+BE　； （2）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为 　EF＝DF﹣BE　，并给出证明； （3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC＝45°，若BD＝3，EC＝6，求DE的长． 【解析】（1）先根据旋转的性质得出∠ADG＝∠A＝90°，求出∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，再根据SAS证明△AFE≌△AFG，得出EF＝FG，可得结论EF＝DF+DG＝DF+AE； （2）同理作辅助线：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，证明△EAF≌△GAF，得EF＝FG，所以EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE； （3）同理作辅助线：把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，证明△DAE≌△GAE，得DE＝EG，先由勾股定理求EG的长，从而得结论． 【解答】解：（1）如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，即AB＝AD， 由旋转得：∠ADG＝∠A＝90°，BE＝DG，∠DAG＝∠BAE，AE＝AG， ∴∠FDG＝∠ADF+∠ADG＝90°+90°＝180°， 即点F、D、G共线， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠FAD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAD+∠DAG＝∠FAG＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG＝45°， 在△AFE和△AFG中，， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG， ∴EF＝DF+DG＝DF+EE； 故答案为：△AFE，EF＝DF+BE； （2）如图2，EF＝DF﹣BE，理由如下： 把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上， 由旋转得：BE＝DG，∠DAG＝∠BAE，AE＝AG， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠BAG＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠FAG＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG＝45°， 在△EAF和△GAF中，， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG， ∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE； 故答案为：EF＝DF﹣BE； （3）如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG， 由旋转得：AD＝AG，∠BAD＝∠CAG，BD＝CG， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠ACG＝∠B＝45°， ∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝45°+45°＝90°， ∵EC＝6，CG＝BD＝3， 由勾股定理得：EG＝＝＝3， ∵∠BAD＝∠CAG，∠BAC＝90°， ∴∠DAG＝90°， ∵∠BAD+∠EAC＝45°， ∴∠CAG+∠EAC＝45°＝∠EAG， ∴∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠EAG＝45°， 在△AED和△AEG中， ∴△AED≌△AEG（SAS）， ∴DE＝EG＝3． 24．如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，∠C＝60°． （1）求BC边上的高线长． （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF，连接PA、PE、PF． ①如图2，当PF⊥AC时，求AP的长． ②如图3，当点P落在BC上时，求证：PF＝FC． 【解析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝AD＝x，则x2+x2＝（2）2，解得：x＝2即可； （2）设AP与EF交于点O，由折叠的性质和三角形内角和定理可知∠EAO＝30°，则AE＝，则OE＝，运用勾股定理求出AO，即可解决问题； （3）当点P落在BC上时，则AE＝PE，从而AE＝PE＝BE，可证∠EPA+∠EPB＝°＝90°，则∠CAP＝30°，从而∠CPF＝60°，可知△CPF是等边三角形． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，AB＝2，∠B＝45°， 设BD＝AD＝x，则x2+x2＝（2）2， ∵x＞0， ∴x＝2， ∴BC边上的高线长为2； （2）①设AP与EF交于点O， ∵PF⊥AC，沿EF将△AEF折叠得到△PEF， ∴∠AFE＝＝45°，EF垂直平分AP， ∵∠B＝45°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴∠AEF＝180°﹣75°﹣45°＝60°， ∴∠EAO＝30°， ∵点E为线段AB的中点，AB＝2， ∴AE＝， ∴OE＝， ∴AO＝＝， ∴AP＝2AO＝； ②沿EF将△AEF折叠得到△PEF，当点P落在BC上时，则AE＝PE， ∵点E为线段AB的中点， ∴AE＝BE， ∴AE＝PE＝BE， ∴∠B＝∠EPB，∠EAP＝∠EPA， ∴∠EPA+∠EPB＝°＝90°， 即AP⊥BC， ∵∠C＝60°， ∴∠CAP＝30°， ∵AF＝PF， ∴∠APF＝∠CAP＝30°， ∴∠CPF＝60°， ∴△CPF是等边三角形， ∴PF＝FC 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$