专题06 锐角三角函数常考几何模型专项训练（8大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题06 锐角三角函数常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 锐角三角函数与三角形综合 题型二 锐角三角函数与四边形综合 题型三 锐角三角函数与圆综合 题型四 锐角三角函数与一次函数综合 题型五 锐角三角函数与二次函数综合 题型六 锐角三角函数与相似综合 题型七 锐角三角函数的翻折模型 题型八 锐角三角函数的最值模型 【经典例题一 锐角三角函数与三角形综合】 1．（23-24九年级·山西大同·阶段练习）如图，已知点M，N分别是矩形边和的中点，点E在边上，将沿折叠，使点C恰好落在线段上的点F处，得到三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海杨浦·一模）如图，△ABC中，，，，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点处，点B落在点处，若C、B、恰好在一直线上，则AB的长为 ． 3．（2024·广东江门·二模）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮． (1)如图1，在中，，，若在顶点B，C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图2，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得数量上，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边． （1）如图，中，，，D是BC边上一点． ，证明是平方三角形； （2）在（1）的条件下，若，求． （3）若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边，若三角形中存在一个角为60°，求c的值； 5．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）在九年级上册第章图形的相似时，学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】小明想了两种证明定理的方法： （）延长至点，使，连接． （）过点作的平行线交的延长线于点．请从小明的两种证明方法中选择一种证明三角形中位线定理． 【定理应用】如图②，在中，延长到，使，取的中点，连接交于点，求的值． 【能力提升】如图③，在中，点在上，且，点分别是的中点，连接，并延长交的延长线于点，连接．若，，，则的面积为__________． 【经典例题二 锐角三角函数与四边形综合】 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于 ． 3．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，，分别为，的中点，四边形的一边经过点，，对角线分别与，交于点、． (1)求证：四边形为菱形． (2)当，时，求的长． 4．（2024·吉林四平·二模）【数学实验】如图①，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，求光线与纸板左上方所成的的度数； 【实验探究】聪明的小明根据该数学实验，将两个短边长相等的平行四边形纸片和按如图②方式放置，两张纸片重叠部分的图形记作四边形．若，，，求四边形的面积； 【实验应用拓展】如图③，将图②中的平行四边形纸片绕点M旋转一定的角度，使得，若，，，则四边形的面积为____________． 5．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，中，，，为点在射线上，点在射线上，，将线段绕点逆时针旋转，点落在点处，连接． (1)求证四边形是平行四边形； (2)设，四边形的面积是，关于的函数图像如图所示，点是函数图像上一点 ① ； ②过点在上方作线段，使得，且（尺规作图）； ③连接，说明点是定点； ④点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，且直线与轴构成的锐角的正切值是，求的值． 【经典例题三 锐角三角函数与圆综合】 1．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，△ABC内接于圆O，∠BOC=120°，AD为圆O的直径．AD交BC于P点且PB=1，PC=2，则AC的长为( ) A． B． C．3 D．2 2．（2024·陕西咸阳·三模）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”．如图所示，现有一斛，其外圆直径为5尺（古代长度单位），两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，则此斛底面的正方形的边长为 尺．    3．（2024·海南海口·一模）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径的圆，交于点． (1)求证：≌； (2)如果，，，求的长． 4．（2024·江苏南京·中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D． （1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 5．（2024·陕西·模拟预测）如图所示， 1．问题提出：如图1，在半径为3的中，，为弦，则的最大值为 ． 2．问题探究：如图2，在中，，，，D为上任意一点，E为上任意一点，连接，，求的最小值． 3．问题解法：如图3，某同学运用电脑编程设计了一款游戏，在一个“曲边”中，，为线段，，为一段弧线，所在的圆与相切，D为上一点，一只电子蚂蚁从点A出发，其爬行路径为折线，其中，在段爬行的过程中，当时，电子蚂蚁停止移动．已知所在圆的半径为6，的长度为．结合题意，问当电子蚂蚁停止爬行时，线段是否存在最小距离？若存在，求出的最小距离；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 锐角三角函数与一次函数综合】 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数分别与轴、轴交于点、，若sin，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北随州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C，若，则k的值为 ． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，A点的横坐标是1，过点A作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的值． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图像，直接写出当时，x的取值范围； (3)过点B作直线，交第四象限的反比例函数图像于点C，当线段被x轴分成两部分时，直接写出与x轴所交锐角的正切值． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，一次函数的图象交y轴于点B． (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图，直线交反比例函数图象一象限分支于点F，连接，作射线轴．求证：射线平分； (3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数一、三象限分支上的点，连接、、，若点B是的“蓉心”，求点D的坐标． 【经典例题五 锐角三角函数与二次函数综合】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点， 是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则a的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    3．（2024·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． (1)若，求顶点D的坐标及线段的长； (2)当时，二次函数的最小值为，求m的值； (3)连接，，，若，求点C的坐标． 4．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、（在左侧），与轴交于，一次函数的图象经过、两点． (1)分别求出、的值； (2)在二次函数图象上是否存在点，且满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接，，已知． (1)求的值； (2)求的正切值； (3)若点在线段上，且，请直接写出点的坐标． 【经典例题六 锐角三角函数与相似综合】 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．6 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE=，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与△AED相似，则PN的长为 ． 3．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在矩形中，E是的中点，F为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，分别交和直线于点N，M，已知，，若与相似，则的长为多少？    4．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，已知正方形，将边绕点顺时针旋转得到，连接并延长，过点作射线于点，连接． (1)如图1，当时，求和的度数； (2)如图2，当时，过点作于点，连接，． ①证明：； ②在的旋转过程中，是否存在与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级上·上海·期中）已知矩形中，，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线交于点． (1)如图，当点在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于点，设，，求与的函数解析式，并写出定义域； (3)①如图，直线与边交于点，若与相似，求的正切值； ②如图，当直线与的延长线交于点，若和面积相等，请直接写出的长． 【经典例题七 锐角三角函数的翻折模型】 1．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，矩形 中，E在边上，将沿翻折，得到，延长交于G， 连接．若．则的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 2．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 3．（2024·浙江温州·二模）如图，在中，点D是的中点，点E在上，将沿翻折至，使点F落在上，延长与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2024·江苏宿迁·模拟预测）在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．    (1)求证：； (2)若，则的值为 ； (3)若，则的长为 ． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 【经典例题八 锐角三角函数的最值模型】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州遵义·一模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长最小是 ． 3．（2024·云南文山·二模）如图甲，是的直径，点P在上，且，点M是外一点，与 相切于点B，连接，过点A作交于点C，连接交于点 D． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的值； (3)如图乙，在（2）的条件下，延长至 N，使 在上找一点 Q，使得 的值最小，请求出其最小值． 4．（2024·广东茂名·二模）综合探究 素材：一张矩形纸片． 操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部． (1)如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数； (2)如图2，当落在对角线上时，求的长； (3)连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长． 5．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形中，，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式，并证明为直角三角形； (2)在x轴上求作一点 P ，使 的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 锐角三角函数常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 锐角三角函数与三角形综合 题型二 锐角三角函数与四边形综合 题型三 锐角三角函数与圆综合 题型四 锐角三角函数与一次函数综合 题型五 锐角三角函数与二次函数综合 题型六 锐角三角函数与相似综合 题型七 锐角三角函数的翻折模型 题型八 锐角三角函数的最值模型 【经典例题一 锐角三角函数与三角形综合】 1．（23-24九年级·山西大同·阶段练习）如图，已知点M，N分别是矩形边和的中点，点E在边上，将沿折叠，使点C恰好落在线段上的点F处，得到三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证四边形是矩形，得到，由折叠的性质可，，，得到，可以得到，则，得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点M，N分别是矩形边和的中点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠，使点C恰好落在线段上的点F处，得到三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、特殊角的三角函数、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 2．（2024·上海杨浦·一模）如图，△ABC中，，，，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点处，点B落在点处，若C、B、恰好在一直线上，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】作于点，作于点．则，设，，则，，即可利用表示出的长，在直角中利用勾股定理求得的值，进而求得，得到的长． 【详解】解：作于点，作于点．则． ， ． 设，，则，， 在直角△中，， 则， ， ， ， ， ． 则， 解得：． 又中， 即， 解得：， 则，． 故答案是：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确理解旋转的性质，作出辅助线，得到和的关系． 3．（2024·广东江门·二模）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮． (1)如图1，在中，，，若在顶点B，C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图2，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，得到，，结合垂直平分，得到，根据，计算，根据三角形的面积公式，计算即可． （2）根据在中，，为边上的高，得，作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E，计算即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用，线段的垂直平分线，熟练掌握勾股定，三角函数是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）在中， ∵，为边上的高， ∴， 作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， ∴，， ∴， ∴ ． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得数量上，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边． （1）如图，中，，，D是BC边上一点． ，证明是平方三角形； （2）在（1）的条件下，若，求． （3）若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边，若三角形中存在一个角为60°，求c的值； 【答案】（1）见解析；（2）；（3）c的长为4或或 【分析】（1）证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质即可解决问题； （2）根据是平方三角形求出，再证明可求得，，从而可得结论； （3）因a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a=2，三角形中存在一个角为60°，只有∠B或∠C=60°，∠A不可能为60°，当∠B=60°，BC=2，分两种情形：如图1中，①当c=a2时．②如图2中，当b=a2=4时，作CH⊥AB于H．求出AB即可．当∠C=60°，b=4时，可得c=2． 【详解】解：（1）如图3中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是平方三角形． （2）如图4中，作于H． 在中，∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴设，则， ∵ ∴ 由勾股定理得， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． （3）因为a，b，c是平方三角形的三条边，平方边，三角形中存在一个角为60°， 只有或，不可能为60°， 当，， 如图1中，①当时，∵，∴． 如图2中，当时，作于H． 在中，∵，，， ∴，， 在中，， ∴． 当时，，． 综上所述，c的长为4或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了平方三角形的定义，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 5．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）在九年级上册第章图形的相似时，学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】小明想了两种证明定理的方法： （）延长至点，使，连接． （）过点作的平行线交的延长线于点．请从小明的两种证明方法中选择一种证明三角形中位线定理． 【定理应用】如图②，在中，延长到，使，取的中点，连接交于点，求的值． 【能力提升】如图③，在中，点在上，且，点分别是的中点，连接，并延长交的延长线于点，连接．若，，，则的面积为__________． 【答案】定理证明：（）证明见解析；（）证明见解析；定理应用：；能力提升：． 【分析】定理证明：（）延长至点，使，连接，证明，可得，，即得，，可得四边形是平行四边形，得到，，进而可得，；（）过点作的平行线交的延长线于点，证明，得到，，进而得，即得四边形是平行四边形，得到，，即可得，； 定理应用：如图②，连接，由三角形中位线性质可得，，进而由可得，据此即可求解； 能力提升：作，于，则，可得，得到，得到，，进而得，又由，得到，可得，得到，再根据三角函数可得，，由可得，进而由勾股定理得，得到，可得，最后根据即可求解． 【详解】定理证明：（）延长至点，使，连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； （）过点作的平行线交的延长线于点， ∵， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； 定理应用：如图②，连接， ∵点为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 能力提升：作，于，则， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【经典例题二 锐角三角函数与四边形综合】 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，作的角平分线交于，过点作于，由题意可得，，，由得到，再证明，得到，，进而得到，由可得，求得，，再勾股定理可得，，，得到，由求出，再利用勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，作的角平分线交于，过点作于，则， ∵，，， ∴，，， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， 当时，， ∴不合，舍去， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于 ． 【答案】 【分析】延长，交于G，过D作于H，则，，由折叠得，有，设，则，利用勾股定理求得和，根据等面积求得，即可得，，，根据解直角三角形得，结合平行线的判定和性质得即可． 【详解】解：延长，交于G，过D作于H，如图： ∵正方形的边长为2，M是的中点， ∴，， ∴， ∵将四边形沿翻折得到四边形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ； 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形和平行线的判定和性质，解题的关键是做辅助线和找到对应的边角关系． 3．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，，分别为，的中点，四边形的一边经过点，，对角线分别与，交于点、． (1)求证：四边形为菱形． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，则易得四边形为平行四边形，再证即可； （2）设，由菱形的性质及，得，从而有；由得，由此求得a的值，再由勾股定理即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； ∵，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：设， ∵四边形为菱形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正切函数定义，菱形的判定与性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 4．（2024·吉林四平·二模）【数学实验】如图①，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，求光线与纸板左上方所成的的度数； 【实验探究】聪明的小明根据该数学实验，将两个短边长相等的平行四边形纸片和按如图②方式放置，两张纸片重叠部分的图形记作四边形．若，，，求四边形的面积； 【实验应用拓展】如图③，将图②中的平行四边形纸片绕点M旋转一定的角度，使得，若，，，则四边形的面积为____________． 【答案】[数学实验]； [实验探究]；[实验应用拓展] 【分析】[数学实验]由题意知，，如图①，则，，然后作答即可； [实验探究]如图②，过作于，则，证明四边形是平行四边形，则，证明四边形是平行四边形，根据，求解作答即可； [实验应用拓展]如图③，过作于，过作于，则，，同理（2）四边形是平行四边形，证明四边形是矩形，根据，求解作答即可． 【详解】[数学实验]解：由题意知，， 如图①， ∴，， ∴， ∴的度数为； [实验探究]解：如图②，过作于， ∴， 由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的面积为； [实验应用拓展]解：如图③，过作于，过作于， ∴，， 同理（2）四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正弦等知识，熟练掌握平行线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正弦是解题的关键． 5．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，中，，，为点在射线上，点在射线上，，将线段绕点逆时针旋转，点落在点处，连接． (1)求证四边形是平行四边形； (2)设，四边形的面积是，关于的函数图像如图所示，点是函数图像上一点 ① ； ②过点在上方作线段，使得，且（尺规作图）； ③连接，说明点是定点； ④点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，且直线与轴构成的锐角的正切值是，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②图见解析；③见解析；④ 【分析】（1）根据直角三角形的性质及旋转的性质可知，再利用平行线的性质可知，最后利用平行四边形的判定即可解答； （2）①根据平行四边形的面积公式可知，再根据等腰直角三角形的性质可知进而即可解答； ②根据线段垂直平分线的性质及尺规作图法即可解答； ③根据旋转的性质及直角三角形的性质即可解答； ④根据直角三角形的判定及平行线的判定可知，再利用函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（）可知四边形是平行四边形，过点作于点， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形的面积是， ∴， ∵是函数图像上一点， ∴， ∴， 故答案为； ②如图所示，线段即为所求， ③∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵线段的长度是一个定值， ∴点是定点； ④过点作轴的垂线，过点作于点， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∵点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上， ∴，， ∴， ∵直线与轴构成的锐角的正切值是， ∴， 由①可知， ∴， ∴，， ∴， 解得： 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，函数的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，尺规作图法，平行线的性质，掌握函数与几何图形的关系是解题的关键． 【经典例题三 锐角三角函数与圆综合】 1．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，△ABC内接于圆O，∠BOC=120°，AD为圆O的直径．AD交BC于P点且PB=1，PC=2，则AC的长为( ) A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】延长CO交⊙O于E，连接BE，由CE是⊙O的直径，推出∠EBC=90°，根据含30°直角三角形定理可求得BC，CE，进而求得OA=OD=，通过计算证得，由相似三角形的判定证得△OCP∽△BCE，即可证得∠POC=∠PBE=90°，根据勾股定理即可求得结论． 【详解】延长CO交⊙O于E，连接BE， ∵CE是⊙O的直径， ∴∠EBC=90°， ∵∠BOC=120° ∴∠BAC=∠BOC=60° ∴∠BEC=∠BAC=60°， ∴∠ECB=30°， ∴CE=2BE， ∵PB=1，PC=2， 则BC=3， ， ∴CE=， 则OA=OD=， ∵,， ∴， 又∵∠OCP=∠BCE， ∴△OCP∽△BCE， ∴∠POC=∠PBE=90°， ∴AC2=OA2+OC2=6， ∴AC=. 故选A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，特殊角的函数值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线和熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解决问题的关键． 2．（2024·陕西咸阳·三模）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”．如图所示，现有一斛，其外圆直径为5尺（古代长度单位），两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，则此斛底面的正方形的边长为 尺．    【答案】 【分析】根据正方形性质确定为等腰直角三角形，为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径，根据特殊角的三角函数值求出，问题得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴为直径， 由题意得 ∴ ∴ ∴正方形的边长为尺 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形性质，锐角三角函数等，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径． 3．（2024·海南海口·一模）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径的圆，交于点． (1)求证：≌； (2)如果，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）EC=. 【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出AD=BC，根据圆的半径相等可得出AB=AE，结合等腰三角形的性质和平行线的性质可得出∠B=∠EAD，从而利用SAS可证得结论；（2）在RT△ABC中，可求出BC，过圆心A作AH⊥BC，垂足为H，则BH=HE，则结合cos∠B的值，可求出BH、EH的长度，继而根据EC=BC-BE即可得出答案． 试题解析：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD， ∵AB=AE(AB与AE为圆的半径)， ∴∠AEB=∠B， ∴∠B=∠EAD， 在△ABC和△EAD中,， 故可得△ABC≌△EAD. (2)∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， 在Rt△ABC中,cos∠B=， 又∵cos∠B=，AB=6， ∴BC=10， 过圆心A作AH⊥BC，垂足为H， 则BH=HE， 在Rt△ABH中,cos∠B=， 则可得， 解得：BH=， ∴BE=， 故可得EC=BC−BE=. 4．（2024·江苏南京·中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D． （1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）直线CA与⊙O的切线；（2）S阴=； 【分析】（1）连接OA，根据切线的判定进行证明；（2）先求OA，再求，阴影面积等于： 【详解】（1）直线CA与⊙O相切． 如图，连接OA． ∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠C＝∠B＝30°，∠DOA＝2∠B＝60°． ∴∠CAO＝90°，即OA⊥CA． ∵点A在⊙O上， ∴直线CA与⊙O相切． （2）∵AB＝4，AB＝AC， ∴AC＝4． ∵OA⊥CA，∠C＝30°， ∴OA＝AC·tan30°＝4·＝4． ∴ ∴阴影面积等于： 【点睛】掌握圆的切线定理，扇形面积公式，正切应用. 5．（2024·陕西·模拟预测）如图所示， 1．问题提出：如图1，在半径为3的中，，为弦，则的最大值为 ． 2．问题探究：如图2，在中，，，，D为上任意一点，E为上任意一点，连接，，求的最小值． 3．问题解法：如图3，某同学运用电脑编程设计了一款游戏，在一个“曲边”中，，为线段，，为一段弧线，所在的圆与相切，D为上一点，一只电子蚂蚁从点A出发，其爬行路径为折线，其中，在段爬行的过程中，当时，电子蚂蚁停止移动．已知所在圆的半径为6，的长度为．结合题意，问当电子蚂蚁停止爬行时，线段是否存在最小距离？若存在，求出的最小距离；若不存在，请说明理由． 【答案】1．12； 2．； 3．存在，，理由见解析． 【分析】（1）根据直径是最长的弦得出答案； （2）根据轴对称和垂线段最短得出点E的位置，再根据勾股定理求出答案； （3）设圆心O，连接相应线段，再根据弧长公式求出，可得出是等边三角形，根据切线的性质得出，再根据勾股定理求出，即可求出的最小值，进而得出答案． 1．解：当，为直径时，的值最大，最大值为． 故答案为：12； 2．解：作点A关于直线的对称点F，过点F作，交于点D，交于点E． 根据对称性可知，， ∴， 要求最小，即求最小， 当点D，E，F三点共线，且时，最小． 在中，， ∴， 在中， ， 即， 解得， 的最小值是； 3．解存在，． 设圆心为点O，连接， ∵的长度是，且的半径是6， ∴， 解得， 即． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 即， 解得． 在中， ， 根据三题意可知， 即． ∴的最小值为． 在中， ， 即， 解得． 当电子蚂蚁停止爬行时，线段AE存在最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、弧长公式、特殊角的三角函数值、三角形的三边关系、切线的性质、等边三角形的性质和判定、根据轴对称求线段和最小，勾股定理是求线段长的常用方法． 【经典例题四 锐角三角函数与一次函数综合】 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数分别与轴、轴交于点、，若sin，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式求得图象与x轴、y轴的交点坐标，再由sin，求出AB，利用勾股定理求出OA=，由此即可利用OA=1求出k的值. 【详解】∵, ∴当x=0时，y=-k，当y=0时，x=1， ∴B（0，-k），A（1,0）， ∵sin， ∴， ∵OB=-k， ∴AB=， ∴OA== ∴=1， ∴k=， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质，勾股定理，三角函数，解题中综合运用，题中求出AB，利用勾股定理求得OA的长是解题的关键. 2．（2024·湖北随州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C，若，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】如图，过点A作轴，垂足为D，根据题意设出点A的坐标，然后根据一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，可以求得a的值，进而求得k的值即可． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为D， ∵， ∴设点A的坐标为， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正切，反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，A点的横坐标是1，过点A作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的值． 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）由题意可得，然后代入一次函数解析式求得a,从而求得一次函数和反比例函数的解析式； （2）先求得直线与x轴的交点D的坐标，再确定的长度，然后根据勾股定理求得，最后根据正弦的定义即可解答． 【详解】（1）解：（1）把代入可得, ∴ 把代入得，解得， ∴一次函数和反比例函数的解析式分别为、． （2）解：∵， ∴， ∴， 设直线与x轴的交点为D，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、正弦的定义等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图像，直接写出当时，x的取值范围； (3)过点B作直线，交第四象限的反比例函数图像于点C，当线段被x轴分成两部分时，直接写出与x轴所交锐角的正切值． 【答案】(1)， (2)或 (3)与x轴所交锐角的正切值为1或． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据图像，只需求得一次函数图像位于反比例函数图像上方的点的横坐标取值范围即可求解； （3）设直线交x轴于H，设，，过B作轴于E，过C作轴于F，易得，分两种情况：当时或当时，利用相似三角形的性质可得，列出方程，进而求得m、t，利用正切定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将点代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； 将代入中，得，则， 将、代入中，得 ，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：根据图像，当或时，； （3）解：设直线交x轴于H，设，，， 过B作轴于E，过C作轴于F， 则，，，，， ∴， 当时，则，即， 解得，，经经验，，是原方程的根， ∴， ∴． 即与x轴所交锐角的正切值为1． 当时，则，即， 解得，，经经验，，是原方程的根， ∴， ∴． 即与x轴所交锐角的正切值为． 综上：与x轴所交锐角的正切值为1或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，涉及待定系数法求函数表达式、函数与不等式的关系、相似三角形的判定及性质、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，一次函数的图象交y轴于点B． (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图，直线交反比例函数图象一象限分支于点F，连接，作射线轴．求证：射线平分； (3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数一、三象限分支上的点，连接、、，若点B是的“蓉心”，求点D的坐标． 【答案】(1)，反比例函数的表达式为 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数解析式， （1）根据点在上，求出的值，得到点C的坐标，根据点C在上，即可求得反比例函数解析式； （2）根据与的交点求点坐标，再求直线解析式，根据经过、求直线解析式，根据直线与轴交点求得，再根据等腰三角形三线合一定理即可求解； （3）根据新定义的含义先画出图形，再分类讨论：当，当，当，再利用函数的交点坐标的含义建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：点在上， ，即， 点在上， ，即， ，反比例函数的表达式为． （2）解：点是与的交点， ， 设直线解析式为，经过，则， 直线解析式为， 点是与的交点， ∴， 设直线解析式为，经过、， ，解得， 直线解析式为， 设直线与轴交于点，则当时，，即， 设直线与轴交于点，则当时，，即， 设直线与轴交于点， 轴，， ， ，，， ，，即， ，即， ， ∴， 射线平分． （3）如图，∵为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设为，则， 解得：， ∴为， ∴， 解得：或， ∴或， 当，且平分时，而，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：为， ∴， 解得：或， ∴； 当，且平分时， 同理可得：， 直线为， ∴， 解得：或， ∴； 如图，当，且平分时， 同理可得：，为， 此时不符合题意舍去 如图，当，且平分时， 同理可得：同理可得：， 直线为， 此时不符合题意，舍去， 当，都不符合题意，舍去， 综上：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，利用待定系数法求解函数解析式，函数的交点问题，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 【经典例题五 锐角三角函数与二次函数综合】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点， 是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形、二次函数的图像和性质，解题的关键是利用数形结合思想，及等边三角形的性质确定二次函数的顶点，建立等式． 先根据等边三角形的性质求出的值，并确定Q为二次函数的顶点，再结合求出，得出Q，A，B的坐标，再将Q，A，B代入解析式得方程组，计算即可求出a的值． 【详解】解：过点Q作，垂足为D， ∵为等边三角形， ∴，，， ∴Q为二次函数的顶点， ∵， ∴， ∴， ， ， 将Q，A，B代入解析式得 解得： 故选：B． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】 过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可． 【详解】解：连接，过作，过作，    令，即， 解得或1， ，， ，， ， ． ， 根据垂线段最短可知，的最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题． 3．（2024·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． (1)若，求顶点D的坐标及线段的长； (2)当时，二次函数的最小值为，求m的值； (3)连接，，，若，求点C的坐标． 【答案】(1)，6 (2) (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形、一次函数的图象和性质、二次函数的图象与性质： （1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或5，即可求解； （2）当时，函数在时取得最小值，即；当时，同理可解． （3）过C作x轴平行线l，过D作于点M，求出，，，得，证明，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 顶点， 令， 则 解得：或 ，， ； （2）解：二次函数对称轴为直线， ①当时，当时，时函数值最小， ， ， ，所以舍去； ②当时，时函数值最小， ， ， ， ； ③当时，时函数值最小， ， ， ，舍去； 综上所述，； （3）解：由整理得：， ，， ， ， ， 过C作x轴平行线l，过D作于点M， 则， ， ， ， ， ， ，，， ∴ ，解得：（负值舍）， 4．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、（在左侧），与轴交于，一次函数的图象经过、两点． (1)分别求出、的值； (2)在二次函数图象上是否存在点，且满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）利用解直角三角形的方法求出，得到，进而求解． 【详解】（1）解：令，则或， 即点、的坐标分别为：、， 将点的坐标代入一次函数表达式得：，则， 则一次函数表达式为：， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 即，； （2）解：存在，理由： 设交于点，过点作于点， 则， 而，则， 设，则， 在中，， 则， 设直线解析式为， 由点、的坐标得，解得， 则直线的表达式为：， 设点， 则， 解得：， 则点， 由点的坐标得，同理可求直线的表达式为：， 当点在轴左侧时，同理可求直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 则点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、平行四边形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性． 5．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接，，已知． (1)求的值； (2)求的正切值； (3)若点在线段上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，求出点坐标，再将点代入中，即可求的值； （2）连接，利用勾股定理判断出，再求； （3）过点作交于点，利用等积法，求出，再由，求出，设，根据，解出的值即可求点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， ， 将点代入中， ，解得； （2）解：， ， 令，则，解得或， ， 连接，如图所示： ，，， ，，， ， ， ； （3）解：过点作于点，如图所示： ，，， ，，， ， ，解得， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， ， 设， ，解得或， 当点在点下方时，是钝角，则不合题意，舍去， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数值，勾股定理是解题的关键． 【经典例题六 锐角三角函数与相似综合】 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．6 【答案】B 【分析】当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，如图1，根据角平分线的定义得到∠PBD＝∠CBD，根据等腰三角形的性质得到PB＝PD，同理，DQ＝CQ，设AP＝4x，AQ＝3x，根据勾股定理得到PQ＝5x，根据题意列方程即可得到结论；当∠APQ＝∠ACB时，△APQ∽△ACB，由勾股定理得到BC＝10，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝DG，根据三角形的面积公式得到DE＝＝2，四边形AEDF是正方形，推出△PED∽△DFQ∽△CAB，求得＝＝＝，得到PE＝，FQ＝，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，如图1， ∵DB平分∠ABC， ∴∠PBD＝∠CBD， ∵PD∥BC， ∴∠PDB＝∠DBC， ∴∠PBD＝∠PDB， ∴PB＝PD， 同理，DQ＝CQ， ∵∠APQ＝∠ABC， ∴tan∠APQ＝tan∠ABC＝＝＝， ∴设AP＝4x，AQ＝3x， ∴PQ＝5x， ∵PB＝PD＝8﹣4x，PQ＝CQ＝6﹣3x， ∴8﹣4x+6﹣3x＝5x， ∴x＝， ∴PQ＝5x＝； 当∠APQ＝∠ACB时，△APQ∽△ACB， ∵AB＝8，AC＝6，∠A＝90°， ∴BC＝10， 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G， ∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB， ∴DE＝DF＝DG， ∵S△ABC＝DE（AB+AC+BC）＝AB•AC， ∴DE＝＝2，四边形AEDF是正方形， ∴DF∥AP， ∴∠EPD＝∠FDQ， 同理∠EDP＝∠FQD， ∴△PED∽△DFQ∽△CAB， ∴＝＝＝， ∴PE＝，FQ＝， ∴PD＝＝＝，DQ＝＝＝， ∴PQ＝PD+DQ＝+＝， 综上所述，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，角平分线的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE=，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与△AED相似，则PN的长为 ． 【答案】0或或 【分析】首先根据tan∠ADE=求得AE=3，根据勾股定理求出DE=5，由M为ED的中点得DM=EM=，根据tan∠ADE=求得PM=， 然后分三种情况，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵正方形ABCD的边长为4，tan∠ADE==， AE=3， ∴DE=， ∵M为ED的中点， ∴DM=EM=， ∴在Rt△PMD中，PM=DM∙an∠ADE=×=， 如图： 点N在线段PM上，时 ，即， ∴， ∴； 点N在线段PM的延长线上，时 ，即， ∴， ∴； 点N在线段PM的延长线上，时 ，即， ∴， ∴． 故答案为：0或或． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，利用正切值求边长，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在矩形中，E是的中点，F为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，分别交和直线于点N，M，已知，，若与相似，则的长为多少？    【答案】1或3 【分析】本题考查三角形图形变换的应用，熟练掌握折叠、三角形相似、三角形全等及三角函数的性质是解题关键． 分两种情况：当时，，然后根据三角函数的性质可得解； 当时，，然后根据三角函数的性质可得解． 【详解】解：由已知与相似，与全等，所以可以分为两种情况： 当时，，， 四边形是矩形，， ，， ， ，， ，， ； 当时，，， ， ， 故答案为：1或3． 4．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，已知正方形，将边绕点顺时针旋转得到，连接并延长，过点作射线于点，连接． (1)如图1，当时，求和的度数； (2)如图2，当时，过点作于点，连接，． ①证明：； ②在的旋转过程中，是否存在与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①见解析；②存在， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，进而得出，根据平角的定义得出，根据等腰直角三角形的性质得出，即可求解； （2）①设交于点，根据等边对等角证明，根据三角形的内角和定理得出，得出，根据，继而即可得证； ②当与相似，则是等腰直角三角形，当时，如图所示，过点作于点，证明，，得出，继而即可求解． 【详解】（1）解：正方形，将边绕点顺时针旋转得到，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； （2）①解：如图，设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴当与相似，则是等腰直角三角形， ∵，当时，三点共线，则点与点重合，不合题意， 同理当时，不合题意， 当时，如图所示，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质，求正切，掌握旋转的性质是解题的关键． 5．（24-25八年级上·上海·期中）已知矩形中，，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线交于点． (1)如图，当点在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于点，设，，求与的函数解析式，并写出定义域； (3)①如图，直线与边交于点，若与相似，求的正切值； ②如图，当直线与的延长线交于点，若和面积相等，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】（）根据，结合矩形性质可得四边形为平行四边形，根据平行线的性质得到，再由折叠性质可得，，进而得到，即可得，即可求解； （）根据折叠的性质可得垂直平分，从而得到，可证得，进而由相似三角形的性质即可求解； （）①设， 分和两种情况解答即可求解；②连接，分别过作于点，交延长线于点，则，根据，可得，从而得到，进而得到四边形为矩形，则有，可得到，再根据垂直平分线的性质可得，即得，从而得到，利用勾股定理求出即可求解. 【详解】（1）解：如图，∵在矩形中，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 由翻折知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵在矩形中，， ∴， 由折叠可得，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的定义域为； （3）解：①设， 当时，， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上，； ②如图，连接，分别过作于点，交延长线于点，则， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由()知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，折叠性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【经典例题七 锐角三角函数的翻折模型】 1．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，矩形 中，E在边上，将沿翻折，得到，延长交于G， 连接．若．则的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，三角函数，掌握相关图形的性质是解题的关键. 先推出, 得到即可求出，根据勾股定理即可求出，进一步得到，由翻折的性质，知, 从而求出. 【详解】∵四边形是矩形, ∴, ∴, ， ， ∵， ∴, ， ∴, ∵将沿翻折, 得到, ∴． 故选: C． 2．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．由矩形与折叠的性质，得到，，利用锐角三角函数，得出，，，再根据同角的余角相等，得到，再结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：3． 3．（2024·浙江温州·二模）如图，在中，点D是的中点，点E在上，将沿翻折至，使点F落在上，延长与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是： （1）利用翻折的性质，等边对等角以及三角形外角的性质可得出，然后利用平行线的判断即可得证； （2）利用平行线分线段成比例可求出，利用勾股定理可求出，利用正切的定义可求出，利用平行线分线段成比例可求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：沿翻折至，点是的中点， ，， ， 又， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ，且点是BC的中点， ， 点是AB的中点， ， ． 4．（2024·江苏宿迁·模拟预测）在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．    (1)求证：； (2)若，则的值为 ； (3)若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）由折叠的性质得出，，，由勾股定理求出，设，则，，由相似三角的性质得出，可求出的长，则可得出答案； （3）设，则，由折叠知，，，由相似三角形的性质得出，，则可得出方程求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 由翻折可知，， ，， ， ． （2）解：把沿翻折，使点恰好落在边上的点处， ，，， 四边形是矩形， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得． ， ， 故答案为：； （3）解：设，则， 由折叠知，，， ， ， ，， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）设，相交于点M，证明，利用全等三角形性质即可解题； （2）设与交于点G，利用矩形和垂直的性质证明，得到，即可解题； （3）过点C作交的延长线于点H，得到四边形为矩形，利用矩形和垂直的性质证明，利用相似三角形性质即可证明； （4）过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，证明，得到，利用锐角三角函数得到，设，则，利用勾股定理建立等式求出的值，得到，，利用等面积法求得，即可解题． 【详解】（1）解：如图1，设，相交于点M， ， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：1； （2）如图2，设与交于点G， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， 即， 故答案为： ； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 即； （4）如图4所示，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， 设， 则， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查全等三角形性质和判定，矩形的性质，相似三角形性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，翻折的性质，等面积法，解题的关键是作辅助线构造相似三角形． 【经典例题八 锐角三角函数的最值模型】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定出的周长的最小值就是的最小值，然后利用将军饮马问题的模型构造出的周长的最小值，再利用勾股定理求出，进而解决问题． 【详解】解：连接交于点，连接，， 四边形是菱形， 对角线所在直线是其一条对称轴，点，点关于直线对称，与是等边三角形， ， ， 是的中点， ， 的周长， 要求的周长的最小值可先求出的最小值即可， 而的最小值就是的长， 过点作，交的延长线于点， 四边形是菱形， ， ， 在中， ，， 在中， ，， ， 的周长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键． 2．（2024·贵州遵义·一模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长最小是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而解求得，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，如图， ∵，， ∴， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴, 在中，， ∴的长最小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，求到圆上一点的最小距离，斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键． 3．（2024·云南文山·二模）如图甲，是的直径，点P在上，且，点M是外一点，与 相切于点B，连接，过点A作交于点C，连接交于点 D． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的值； (3)如图乙，在（2）的条件下，延长至 N，使 在上找一点 Q，使得 的值最小，请求出其最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据平行线的性质及各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，再由切线的判定即可证明； （2）根据切线长定理得出，然后利用相似三角形的判定和性质确定，利用正切函数的定义即可求解； （3）根据勾股定理确定，在上取点D，使 ，利用相似三角形的性质得出求 的值最小，相当于求最小值，当D、Q、N共线时，最小，作 于点 H，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵在与中， ， ∴， ∴ ， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵是 的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ； （3）解：在中，， ∴， ， ∴上取点D，使 ， ∴，D为定点， 且， ∴恒成立， ∴求 的值最小，相当于求最小值， ∴当D、Q、N共线时，最小， 如图，作 于点 H， 可得 ， 即 的最小值为 ． 【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质及解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 4．（2024·广东茂名·二模）综合探究 素材：一张矩形纸片． 操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部． (1)如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数； (2)如图2，当落在对角线上时，求的长； (3)连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长． 【答案】(1) (2) (3)点落在对角线上时，线段长度最小，此时的长为3 【分析】（1）根据折叠的性质得到是等边三角形. 则，再根据折叠的性质得到，即可得到答案； （2）由折叠的性质得到，再由同角的余角相等即可得到，由即可求出的长； （3）由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小， 根据勾股定理得到，由折叠得：，，，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：连接， 由折叠得：，垂直平分. ∵在上， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∴， ∵， ∴. （2）依题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）点落在对角线上时，线段长度最小时的长为3. 理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图， 中，， 由折叠得：，，， 设，则，， 根据勾股定理得，， 则 解得 ∴线段长度最小时的长为3. 【点睛】此题考查了解直角三角形、矩形的折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形中，，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式，并证明为直角三角形； (2)在x轴上求作一点 P ，使 的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；最小值是 【分析】（1）过点 A 作 轴于点 E，过点 B 作轴于点D，通过证明，得到A，B两点的坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，通过全等得到，进而得到，从而得到结论； （2）过点 C 在 x 轴下方作射线 ，使，过点 B 作 ，垂足为 M，交 x 轴于点 P，则，根据解直角三角形求出，根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，过点 B作轴，垂足为 F，根据解直角三角形求出P点坐标，进而求出的长度，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图 1，过点 A 作 轴于点 E，过点 B 作轴于点D， 则， ∵点， ，， ， ， ， ， ， ∴点B的坐标是， ∵点在反比例函数 的图象上， ，解得 ， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ， ∴反比例函数的解析式是 ， ， ， 又， ， ， 为直角三角形； （2）如图2，过点 C 在 x 轴下方作射线 ，使，过点 B 作 ，垂足为 M，交 x 轴于点 P，则， ， ， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小， 过点 B作轴，垂足为 F， ， ， ， ， ， ， 综上可知，点 使 的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题考查了求反比例函数综合，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂线段最短，正确作出辅助线构造直角三角形，是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$