专题15 几何图形初步八大重点题型期末复习总结（解析版+原卷版）-2024-2025学年七年级数学提优专题训练及试卷测试(人教版）

专题15 几何图形初步八大重点题型期末复习总结（解析版） 【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】 【例1】（2024秋•鄄城县期末）下列语句正确的有（　　） （1）线段AB就是A、B两点间的距离； （2）画射线AB＝10cm； （3）A，B两点之间的所有连线中，最短的是A，B两点间的距离； （4）在直线上取A，B，C三点，使得AB＝5cm，BC＝2cm，则AC＝7cm． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据两点之间距离的定义可以判断A、C正确与否，根据射线的定义可以判断B错误，画图可以判断D答案中AC的长度是7或3cm，由此可得出正确选项． 【解答】解：因为线段AB的长度是A、B两点间的距离，所以（1）错误； 因为射线没有长度，所以（2）错误； 因为在直线上取A，B，C三点，使得AB＝5cm，BC＝2cm，则AC＝7cm或3cm，所以（4）错误； 因为两点之间，线段最短．即A，B两点之间的所有连线中，最短的是A，B两点间的距离，所以（3）正确． 故选：A． 【点评】本题考查的是线段、射线的定义与性质，要求学生准确把握概念与性质是解决本题的关键． 【变式1-1】（2023秋•嘉陵区期末）如图，线段条数为x，小于平角的角的个数为y，则x+y＝　15　． 【分析】有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．依据线段和角的概念进行判断． 【解答】解：由图可得，线段条数为7，小于平角的角的个数为8， 则x+y＝7+8＝15， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了线段和角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角． 【变式1-2】（2021秋•北辰区期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论： ①图中有两条直线； ②图中有5条线段； ③射线AC和射线AD是同一条射线； ④直线BD经过点C． 其中结论正确的结论是 　①，③　． 【变式1-3】4．（2024秋•长葛市期末）如图，已知A、B、C、D四点，根据下列要求画图： （1）画直线AB、射线AD； （2）画∠CDB； （3）找一点P，使点P既在AC上又在BD上． 【分析】（1）利用直线以及射线的定义画出图形即可； （2）利用角的定义作射线DC，DB即可； （3）连接AC，BD即可得出P点． 【解答】解：（1）如图所示：直线AB、射线AD即为所求； （2）如图所示：∠CDB即为所求； （3）如图所示：点P即为所求． 【点评】此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的定义，正确把握相关定义是解题关键． 【题型 2 根据线段间的关系判断结论】 【例2】（2023秋•乐陵市期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB＝20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（　　） A．若BE﹣DE＝0，则AE﹣CD＝7 B．若BE﹣DE＝2，则AE﹣CD＝7 C．若BE﹣DE＝4，则AE﹣CD＝7 D．若BE﹣DE＝6，则AE﹣CD＝7 【分析】根据线段中点的定义与线段的和差逐项分析可得答案． 【解答】解：由BE﹣DE＝0，可设DE＝x，则BE＝x， ∴AD＝20﹣x﹣x＝20﹣2x， ∵C为AD的中点， ∴AC＝CD＝10﹣x，AE＝20﹣2x+x＝20﹣x， ∴AE﹣CD＝（20﹣x）﹣（10﹣x）＝10，故A错误； 由BE﹣DE＝2，可设DE＝x，则BE＝x+2， ∴AD＝20﹣x﹣（x+2）＝18﹣2x， ∵C为AD的中点， ∴AC＝CD＝9﹣x，AE＝18﹣2x+x＝18﹣x， ∴AE﹣CD＝（18﹣x）﹣（9﹣x）＝9，故B错误； 由BE﹣DE＝4，可设DE＝x，则BE＝x+4， ∴AD＝20﹣x﹣（x+4）＝16﹣2x， ∵C为AD的中点， ∴AC＝CD＝8﹣x，AE＝16﹣2x+x＝16﹣x， ∴AE﹣CD＝（16﹣x）﹣（8﹣x）＝8，故C错误； 由BE﹣DE＝6，可设DE＝x，则BE＝x+6， ∴AD＝20﹣x﹣（x+6）＝14﹣2x， ∵C为AD的中点， ∴AC＝CD＝7﹣x，AE＝14﹣2x+x＝14﹣x， ∴AE﹣CD＝（14﹣x）﹣（7﹣x）＝7，故D正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是解本题的关键． 【变式2-1】（2022秋•安庆期末）如图所示，B在线段AC上，且BC＝3AB，D是线段AB的中点，E是线段BC上的一点BE：EC＝2：1，则下列结论：①ECAE；②DE＝5BD；③BE（AE+BC）；④AE（BC﹣AD），其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案． 【解答】解：∵E是BC的三等分点，BC＝3AB， ∴，， ∴AB＝EC， ∴AB+BE＝EC+BE， ∴AE＝BC， ∴，故①正确； ∵， ∴AE＝3EC， ∵AB＝EC， ∴AE＝3AB， ∵D是线段AB的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵BE＝2AB，AE＝3AB， ∴， ∵BE＝AE﹣AB＝3AB﹣AB＝2AB， ∴， ∴，故③不正确； ∵BC＝3AB，， ∴， ∵AE＝3AB， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键． 【变式2-2】（2020秋•奉化区校级期末）如图，AB＝30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB＝4NQ；④当BQ＝PB时，t＝12，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据BC比AC的4倍少20，可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t＝30s，当P到达B时，此时t＝15s，最后分情况讨论点P与Q的位置． 【解答】解：设AC＝x， ∴BC＝4x﹣20， ∵AC+BC＝AB， ∴x+4x﹣20＝30， 解得：x＝10， ∴BC＝20，AC＝10， ∴BC＝2AC，故①成立， ∵AP＝2t，BQ＝t， 当0≤t≤15时， 此时点P在线段AB上， ∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t， ∵M是BP的中点， ∴MBBP＝15﹣t， ∵QM＝MB+BQ， ∴QM＝15， ∵N为QM的中点， ∴NQQM， ∴AB＝4NQ， 当15＜t≤30时， 此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧， ∴AP＝2t，BQ＝t， ∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30， ∵M是BP的中点 ∴BMBP＝t﹣15 ∴QM＝BQ﹣BM＝15， ∵N为QM的中点， ∴NQQM， ∴AB＝4NQ， 当t＞30时， 此时点P在Q的右侧， ∴AP＝2t，BQ＝t， ∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30， ∵M是BP的中点 ∴BMBP＝t﹣15 ∵QM＝BQ﹣BM＝15， ∵N为QM的中点， ∴NQQM， ∴AB＝4NQ， 综上所述，AB＝4NQ，故②正确，运动过程中，QM的长度保持不变；故③正确； 当0＜t≤15，PB＝BQ时，此时点P在线段AB上， ∴AP＝2t，BQ＝t ∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t， ∴30﹣2t＝t， ∴t＝10， 当15＜t≤30，PB＝BQ时，此时点P在线段AB外，且点P与Q重合， ∴t＝30， 当t＞30时，此时点P在Q的右侧，PB＞QB， 综上所述，当PB＝BQ时，t＝10或30，故④错误； 故选：C． 【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想． 【题型 3根据线段间的关系求线段长度】 【例3】（2023秋•郾城区期末）如图，已知线段AB＝8，BC＝6，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长； （2）在直线CB上取一点N，使得CNBN，请画出图形，并求线段MN的长． 【分析】（1）已知AB＝8，BC＝6，可得AC的长，因为点M是AC的中点，可得AM的长； （2）分点N在线段CB上、点N在线段CB的延长线上两种情况讨论． 【解答】解：∵AB＝8，BC＝6， ∴AC＝2， ∵点M是AC的中点， ∴AM＝CM＝1； （2）①点N在线段CB上时， ， ∵CNBN，BC＝6， ∴BN＝4， ∵MN＝AB﹣AM﹣BN， ∴MN＝3， ②点N在线段CB的延长线上时， ， ∵CNBN，BC＝6， ∴BN＝12， ∵MN＝BN﹣CM﹣BC， ∴MN＝5． 【点评】本题考查了两点间的距离，关键是注意分类讨论． 【变式3-1】（2022秋•承德县期末）根据题意，补全解题过程． 如图，已知点C为线段AB的中点，E为线段AB上一点，且AE：EB＝2：5，若EC＝3，求线段AB的长度． 解：设AE＝2x， ∵AE：EB＝2：5， ∴EB＝　5x　， ∴AB＝AE+　EB　＝　7x　， ∵C为AB的中点， ∴AC＝　或BC　＝　3.5x　， ∴EC＝　AC　﹣AE＝　1.5x　， ∵EC＝3， ∴x＝　2　， ∴AB＝7x＝　14　． 【分析】根据线段之间的关系按照推理过程即可解答． 【解答】解：设AE＝2x， ∵AE：EB＝2：5， ∴EB＝5x， ∴AB＝AE+EB＝7x， ∵C为AB的中点， ∴AC＝BC＝3.5x， ∴EC＝AC﹣AE＝1.5x， ∵EC＝3， ∴x＝2， ∴AB＝7x＝14， 故答案为：5x；EB；7x；或BC；3.5x；AC；1.5x；2；14． 【点评】本题考查了两点间的距离以及推理过程的完整书写，解题的关键是正确理解题干中的信息和把握图中的线段关系． 【变式3-2】（2022秋•白山期末）如图，线段，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN＝20cm，求AC的长． 【分析】设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，所以BC＝CD﹣BD＝3x，所以AC＝AB+BC＝6x，然后由MN＝10，可以求出x的值，即可求出AC的值． 【解答】解：∵线段BDABCD， 设BD＝x cm，则AB＝3x cm，CD＝4x cm， ∴BC＝CD﹣BD＝3x cm， ∴AC＝AB+BC＝6x cm， ∵点M、N分别是线段AB、CD的中点， ∴AMAB＝1.5x cm，NCCD＝2x cm， ∵MN＝AC﹣AM﹣NC＝6x﹣1.5x﹣2x＝2.5x cm， 且MN＝20cm， ∴2.5x＝20， ∴x＝8， ∴AC＝6x＝48（cm）． 【点评】此题考查了两点间的距离，解题关键是：设BD＝x，然后将其他线段用x表示． 【变式3-3】小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M、N分别是AC、BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． （1）根据题意，小明求得MN＝　6　； （2）小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，点C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下两个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长． ②如图2，M、N分别是AC，BC的一个三等分点，且，，则MN＝　　． 【分析】（1）先求出BC＝AB﹣AC＝4，再根据线段中点的定义得到CM＝4，CN＝2，则MN＝CM+CN＝6； （2）①根据线段中点的定义得到，则； ②先求出，则． 【解答】解：（1）∵AB＝12，AC＝8， ∴BC＝AB﹣AC＝4， ∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴， ∴MN＝CM+CN＝6， 故答案为：6； （2）①∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比较线段的长短，两点间的距离，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 【题型 4 钟表中的角度计算】 【例4】（2021秋•武义县期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分钟转过的角度是6度． 解决问题： （1）当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数； （2）8：00开始几分钟后分针第一次追上时针； （3）设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00～9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？ 【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹锐角的度数； （2）设x分钟后分针第一次追上时针，由题意得6x﹣0.5x＝240，解方程可得答案； （3）分三种情况：当OB平分∠QOP时，0.5m＝240﹣6m；当OP平分∠QOB时，0.5m＝2（6m﹣240）；当OQ平分∠BOP时，6m﹣240＝2×0.5m． 【解答】解：（1）∵8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格， ∴夹角是30°×2.5＝75°， ∴分针与时针所夹的锐角的度数是75°； （2）设x分钟后分针第一次追上时针， 6x﹣0.5x＝240， 解得x， 答：8：00开始分钟后分针第一次追上时针； （3）设运动m分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线， 分三种情况： 如图①，当OB平分∠QOP时，∠QOB＝∠POB， ∴0.5m＝240﹣6m， 解得m； 如图②，当OP平分∠QOB时，∠QOB＝2∠POB， ∴0.5m＝2（6m﹣240）， 解得m； 如图③，当OQ平分∠BOP时，∠POB＝2∠QOB， ∴6m﹣240＝2×0.5m， 解得m＝48． 综上，运动分钟或分钟或48分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分钟转过的角度是6度是解题关键． 【变式4-1】（2022秋•宁德期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是 　　． 【分析】根据题意可得当分针转一圈再回到秒针左侧时，秒针再次平分时针与分针夹角，此时经过的时间最少，分针每分钟走，时针每分钟走，根据题意得：∠AOB＝∠BOC＝45°，经过m分钟后，∠AOA1＝360°﹣6°×m，，列出方程，即可得出答案． 【解答】解：∵3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，分针在秒针的左侧，秒针不动， ∴当分针转一圈再回到秒针左侧时，秒针再次平分时针与分针夹角，此时经过的时间最少， 分针每分钟走，时针每分钟走， 根据题意得：∠AOB＝∠BOC＝45°， 经过m分钟后，∠AOA1＝360°﹣6°×m，， ∵OB平分∠A1OB1， ∴∠A1OB＝∠BOB1， ∴∠A1OA+∠AOB＝∠BOC+∠B1OC， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，正确理解题意列出方程是解题的关键． 【变式4-2】（2020秋•亭湖区校级月考）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（t＞0），在OA与OB第三次重合时，当t＝　18　秒时，直线MN平分∠AOB． 【分析】在OA与OB第一次重合前，直线MN不可能平分∠AOB；在OA与OB第一次重合后第二次重合前，由题意得到方程5t＝15t﹣180，解方程即可；5t＝15t﹣180． 【解答】解：在OA与OB第一次重合前，直线MN不可能平分∠AOB； 在OA与OB第一次重合后第二次重合前，∠BON＝5t，∠AON＝15t﹣180， 依题意有：5t＝15t﹣180， 解得t＝18． 在OA与OB第二次重合后第三次重合前，直线MN不可能平分∠AOB； 故当t＝18时，直线MN平分∠AOB． 故答案为：18． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式34-3】（2022秋•郓城县期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB． （1）∠BOM＝　30°　； （2）若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小； （3）如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°． 【分析】（1）根据角平分线的定义求解即可； （2）分两种情况讨论：当OC在∠BOM内时；当OC在∠BOM外时；分别求解即可； （3）设经过t分钟，∠BOM的度数第一次等于50°，由题意可知在OA、OB不动的前提下∠AOB＝100°，由于时针与分钟的运动关系可得方程60+6t﹣0.5t＝100，求出t即可求解． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB， ∴∠BOM∠AOB＝30°， 故答案为：30°； （2）当OC在∠BOM内时， ∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC， ∴∠BON＝∠CON＝10°， ∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝30°﹣10°＝20°； 当OC在∠BOM外时， ∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC， ∴∠BON＝∠CON＝10°， ∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝30°+10°＝40°； 综上所述：∠MON为20°或40°； （3）设经过t分钟，∠BOM的度数第一次等于50°， ∵∠BOM＝50°，OM平分∠AOB， ∴∠AOB＝100°， ∴60+6t﹣0.5t＝100， 解得t， ∴经过分钟，∠BOM的度数第一次等于50°． 【点评】本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义，角的和差运算，时针与分钟旋转角度的关系是解题的关键． 【题型 5 根据角与角之间的关系判断结论】 【例5】（2024秋•吴中区期末）如图，已知∠AOB＝∠BOC＝∠COD，下列结论中错误的是（　　） A．OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD B．∠AOD＝∠AOB+∠AOC C．∠BOC∠AOD﹣∠AOB D．∠COD（∠AOD﹣∠BOC） 【分析】根据角平分线的定义和角的和差判断即可． 【解答】解：A、∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD， ∴OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD，故正确； B、∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD， ∴∠AOC＝∠BOD， ∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD， ∴∠AOD＝∠AOB+∠AOC；故正确； C、∵∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB， ∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD， ∴∠AOC∠AOD， ∴∠BOC∠AOD﹣∠AOB；故错误； D、∵∠AOB＝∠COD， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠BOC﹣∠AOB， ∴2∠COD＝∠AOD﹣∠BOC， ∴∠COD（∠AOD﹣∠BOC）；故正确． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义和角的和差是解题的关键． 【变式5-1】如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（　　） A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC 【分析】先求出2∠BON＝180°﹣2∠AOM，利用角平分线的定义再求解，∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，从而可得答案． 【解答】解：∵∠MON＝90°， ∴∠AOM＝90°﹣∠BON， ∴2∠BON＝180°﹣2∠AOM， ∵OC是∠MOB的平分线， ∴∠MOC＝∠BOC∠MOB， ∴∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON， ∴∠AOM＝180°﹣（180°﹣2∠AOM）﹣2∠CON， ∴∠AOM＝2∠NOC， 故选：B． 【点评】本题考查了角的和差运算，角的平分线定义，熟练运用角的和差关系探究角与角之间的关系是解题的关键． 【变式5-2】（2022秋•闽清县期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，以下四个结论：①；②2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF；③∠AOD＝∠BOC；④．其中正确的结论有 　①②④　（填序号）． 【分析】①根据OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出，，，求出，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出，得出∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC，即可得出结论；③无法证明∠AOD＝∠BOC；④根据，得出∠EOF＝∠COD，∠COF+∠BOF＝2∠COD，即可得出结论． 【解答】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB， ∴，， ， ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB， ∴， 即，故①正确； ②∵∠DOF＝∠DOE﹣∠EOF， ， ∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC， ∴2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF，故②正确； ③∠AOD与∠BOC不一定相等，故③错误； ④根据解析②可知，， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠COF+∠DOF＝∠COD， ∵∠COF+∠BOF＝∠COF+∠AOF＝∠AOC＝2∠COD， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出是解题的关键． 【题型 6根据角与角之间的关系求角度】 【例6】（2022秋•高新区期末）已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD． （1）如图1，若∠AOD＝90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由； （2）作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α． ①如图2，当0°＜α＜60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数； ②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系． 【分析】（1）根据∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可确定两个角的大小； （2）①根据角平分线的定义可得∠AOE＝2∠AOC＝2α，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，根据∠COD＝60°列方程，求出α的值，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD计算即可； ②分两种情况：当0°＜α＜60°时，当60°＜α＜120°时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可． 【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下： ∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°， ∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°， 又∵∠AOB＝120° ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°， ∴∠BOD＝∠AOC； （2）①∵OC恰好平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠EOC＝α， ∴∠AOE＝2∠AOC＝2α， ∵OE为∠AOC的平分线， ∴∠DOE＝∠AOE＝2α， ∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α， ∵∠COD＝60°， ∴3α＝60°， ∴α＝20°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4α＝40°； ②分情况讨论： 当0°＜α＜60°时， ∵∠BOD＝∠AOB﹣∠COD﹣∠AOC＝60°﹣α， ∵∠AOD＝α+60°，OE为∠AOD的平分线， ∴， ∴， ∴； 当60°＜α＜120°时， ∵∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB＝α﹣60°， ∵∠AOD＝α+60°，OE为∠AOD的平分线， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【变式6-1】（2022秋•庄河市期末）如图，OE平分∠BOD，∠AOB＝90°，∠COD＝110°，∠AOD＝40°，求∠COE的度数． 【分析】由余角的定义可求得∠BOD＝50°，再由角平分线的定义可得∠DOE＝25°，即可求∠COE的度数． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOD＝40°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝50°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE∠BOD＝25°， ∵∠COD＝110°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝85°． 【点评】本题主要考查余角，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【变式6-2】O为直线AB上一点，在直线AB同侧作射线OC，OD，使得∠COD＝90°． （1）如图①，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，则∠EOC+∠DOF的度数是 　45　°； （2）如图②，过点O作射线OG，当OG恰好为∠AOD的平分线时，判断∠BOD与∠COG的数量关系． 【分析】（1）由已知得出∠AOC+∠BOD＝90°，由角平分线定义得出∠EOC∠AOC，∠BOD+∠AOC＝180°﹣∠COD，即可得出答案； （2）由已知得出∠GOD＝90°﹣∠COG，由角平分线定义得出∠AOD＝2∠GOD＝2（90°﹣∠COE）＝180°﹣2∠COG，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°， ∵OE为∠AOC的角平分线，OF为∠BOD的角平分线， ∴∠EOC+∠DOF（∠AOC+∠BOD）90°＝45°． 故答案为：45； （2）∵∠COD＝90°， ∴∠COG+∠GOD＝90°， ∴∠GOD＝90°﹣∠COG， ∵OG为∠AOD的角平分线， ∴∠AOD＝2∠GOD＝2（90°﹣∠COE）＝180°﹣2∠COG， ∵∠BOD+∠AOD＝180°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣180°﹣+2∠COG＝2∠COG， 即∠BOD＝2∠COG． 【点评】本题考查了角的计算以及角平分线定义，掌握各个角之间的关系是解题的关键． 【变式6-3】（2023秋•吉林期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC＝2∠AOD．当∠BOC＝40°时，如图1所示，求∠DOE的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝　180　°， ∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝　140　°， ∵∠AOC＝2∠AOD， ∴OD平分∠AOC， ∴　70　°， ∵∠DOE＝∠COD+∠COE，∠COE＝90°， ∴∠DOE＝　160　°． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： （1）请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． （2）判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由． （3）将题目中“∠BOC＝40°”的条件改成“∠BOC＝α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD＝∠BOE成立？请直接写出此时α的值． 【分析】（1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可； （2）由题意，还有∠AOD在∠AOC的外部时的情况，根据平角定义求解即可； （3）由题意，∠BOE＝∠COD＝α﹣90°，∠AOC＝180°﹣α，分∠AOD在∠AOC的内部和∠AOD在∠AOC的外部，由∠AOC＝2∠AOD求出α即可． 【解答】解：（1）∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝180°， ∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝140°， ∵∠AOC＝2∠AOD， ∴OD平分∠AOC， ∴， ∵∠DOE＝∠COD+∠COE，∠COE＝90°， ∴∠DOE＝160°， 故答案为：180；140；70；160； （2）正确，理由如下： 当∠AOD在∠AOC的外部时，如图所示： ∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝180°， ∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝140°， ∵∠AOC＝2∠AOD， ∴∠AOD＝70°， ∵∠COE＝90°， ∴∠BOE＝50°， ∴∠DOE＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠BOE， ∴∠DOE＝60°， 综上所述，∠DOE＝60°或160°； （3）∵∠BOC＝α，∠COD＝∠BOE， ∴∠BOE＝∠COD＝α﹣90°，∠AOC＝180°﹣α， 当∠AOD在∠AOC的内部时，如图， ∵∠AOC＝2∠AOD， ∴OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD，即∠AOC＝2∠COD ∴180°﹣α＝2（α﹣90°）， 解得：α＝120°； 当∠AOD在∠AOC的外部时，如图， ∵∠AOC＝2∠AOD， ∴， ∵∠COD＝∠AOC+∠AOD， ∴， 解得：α＝144°， 综上，α＝120°或144°． 【点评】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键． 【题型7 线段中的分类讨论思想问题】 【例7】（2023秋•青山湖区校级期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝5，则AD的长为 　6或10或16　． 【分析】由于没有图形，故A，B，C，D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可． 【解答】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图： ∵AB＝8，BC＝3，CD＝5， ∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3﹣5＝6， II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图： ∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3+5＝16， III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图： ∴AD＝AB﹣BC﹣CD＝8﹣3﹣5＝0，点A、D重合，不合题意， IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图： ∴AD＝AB﹣BC+CD＝8﹣3+5＝10，点A、D重合，不合题意， 综上所述：AD的长为6或10或16 故答案为：6或10或16． 【点评】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到AD的长度． 【变式7-1】（2022秋•阳城县期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，且AB＝9cm． （1）图中共有 　6　条线段； （2）求AD的长； （3）若点E在直线AB上，且EA＝3cm，直接写出DE的长． 【分析】（1）根据线段的定义找出线段即可； （2）根据线段的中点和两条线段的和的定义，求出结果； （3）由于点E在直线AB上的具体位置不确定，故应分点E在点A的左边和点E在点A的右边两种情况分别求解． 【解答】解：（1）图中有6条线段，它们是线段AC，AD，AB，CD，CB，DB． 故答案为：6． （2）∵点C是线段AB的中点，AB＝9cm， ∴， ∵点D是线段CB的中点， ∴， ∴AD＝AC+CD＝6.75cm （3）当点E在点A的左边，EA＝3cm， ∴DE＝AE+AD＝9.75cm， 当点E在点A的右边，EA＝3cm， ∴DE＝AD﹣AE＝3.75cm 故答案为：3.75cm或9.75cm． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义和线段和差的定义，熟练掌握各线段之间的和差以及倍数关系是解本题的关键． 【变式7-2】（2022秋•洪山区校级期末）已知，直线l上线段AB＝6、线段CD＝2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）． （1）若线段BC＝1，则线段AD＝　7或9　； （2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度； （3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间． 【分析】（1）①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，根据线段的和差即可得到结论； （2）设BC＝x，则AD＝AB+BC+CD＝12+x，根据线段中点的定义得到PDAD＝6x，CQx，于是得到结论； （3）线段CD运动的时间为t，则AM＝2t，BC＝t，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）①当点C在点B的左侧时， ∵AB＝6，BC＝1，CD＝2， ∴AC＝5， ∴AD＝AC+CD＝7， ②当点C在点B的右侧时， ∵AB＝6，BC＝1，CD＝2， ∴AD＝AB+BC+CD＝9， ∴线段AD＝7或9； 故答案为：7或9； （2）设BC＝x， 则AD＝AB+BC+CD＝8+x， ∵点P、Q分别为AD、BC的中点， ∴PDAD＝4x，CQx， ∴PQ＝PD﹣CD﹣CQ＝4x﹣2x＝2； （3）线段CD运动的时间为t， 则AM＝2t，BC＝t， ∴BM＝AB﹣AM＝6﹣2t或BM＝AM﹣AB＝2t﹣6，BD＝BC+CD＝t+2， ∵点N是线段BD的中点， ∴DN＝BNBDt+1， ∵MN＝2DN， ∴6﹣2tt+1＝2（t+1）或（2t﹣6）﹣（t+1）＝2（t+1）， 解得：t＝2或t＝18 故线段CD运动的时间为2s或18s． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，依据线段的和差关系列方程是解决问题的关键． 【变式7-3】（2023秋•宣化区期中）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A﹣C﹣B，若该折线A﹣C﹣B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．若E为线段AC中点，EC＝5cm，CD＝2cm，则BC的长为 　6cm或14cm　． 【分析】分两种情况：点D在线段AC上与点D在线段BC上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解， 【解答】解：当点D在线段AC上时， 则CD+BC＝AD＝AC﹣CD， ∴BC＝AC﹣2CD； ∵E为线段AC中点，EC＝5cm， ∴AC＝2EC＝10（cm）， ∴BC＝AC﹣2CD＝10﹣2×2＝6（cm）； 当点D在线段BC上时，如图， 则CD+AC＝BD＝BC﹣CD， ∴BC＝AC+2CD； ∵E为线段AC中点，EC＝5cm， ∴AC＝2EC＝10cm， ∴BC＝AC+2CD＝10+2×2＝14（cm）； 综上，BC的长为6cm或14cm； 故答案为：6cm或14cm． 【点评】本题考查了线段的和差运算，线段中点，新定义折中点等知识，分类讨论，结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键． 【题型8 角度中的分类讨论思想问题】 【例8】（2022秋•路南区期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． （1）求∠AOD的度数； （2）作射线OE，使，求∠COE的度数； （3）在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF＝3∠BOH，∠COE＞90°，直接写出∠AOH的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义即可求解； （2）分情况讨论当射线OE在AB上方和下方，即可求解； （3）根据∠COE＞90°确定射线OE在AB下方，求得∠BOH，即可得∠AOH． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝140°， ∵OD平分∠AOC， ∴； （2）①当射线OE在AB上方时，， ∵∠BOE+∠COE＝∠BOC， ∴， ∴∠COE＝24°； ②当射线OE在AB下方时，， ∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC， ∴， ∴∠COE＝120°； ∴∠COE的度数为24°或120°． （3）∵∠COE＞90°， ∴射线OE在AB下方， ， ∠EOH＝∠COE+∠COD+∠DOF+∠FOH﹣360°， 80°﹣∠BOH＝120°+70°+3∠BOH+90°﹣360°， ∴∠BOH＝40°，∠AOH＝180°﹣40°＝140°， ， ∠AOE＝360°﹣∠EOC﹣∠AOC＝360°﹣120°﹣140°＝100°， ∠COH＝∠FOH+∠COE+∠AOD+∠DOF+∠AOE﹣360°， 40°+∠BOH＝90°+120°+70°+3∠BOH+100°﹣360°， ∠BOH＝10°，∠AOH＝180°﹣10°＝170°， ∴∠AOH的度数为140°或170°． 【点评】本题考查了角平分线的定义，角的倍数关系等．根据题意进行分类讨论是解题关键． 【变式38-1】（2022春•松北区期末）已知∠AOB＝18°，∠AOC＝3∠AOB，则∠BOC的度数是 　36°或72°　． 【分析】由题意，分OB在∠AOC的内部或外部进行分类讨论，然后结合已知条件利用角的和差倍分进行计算即可． 【解答】解：如图，当OB在∠AOC的内部时， ∵∠AOB＝18°，∠AOC＝3∠AOB， ∴∠AOC＝54°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝54°﹣18°＝36°； 如图，当OB在∠AOC的外部时， ∵∠AOB＝18°，∠AOC＝3∠AOB， ∴∠AOC＝54°， ∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝54°+18°＝72°； 综上，∠BOC的度数为36°或72°， 故答案为：36°或72°． 【点评】本题考查角的和差倍分运算，结合已知条件，分OB在∠AOC的内部或外部进行分类讨论并画出对应图形是解题的关键． 【变式8-2】（2022秋•封开县期末）在同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝25°，∠COD＝50°，∠BOD＞15°，求∠BOD的度数． 【分析】分当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部时，当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，三种情况画出图形求解即可． 【解答】解：如图1所示，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时， ∵∠AOC＝25°，∠COD＝50°， ∴∠AOD＝25°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝65°； 如图2所示，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部时， ∵∠AOC＝25°，∠COD＝50°， ∴∠AOD＝75°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD＝∠AOB+∠AOD＝165°； 如图3所示，当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时， ∵∠AOC＝25°，∠COD＝50°， ∴∠AOD＝25°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD＝∠AOB+∠AOD＝115°； 综上所述，∠BOD的度数为65°或115°或165°． 【点评】本题主要考查了几何中角度的计算，画出对应图形是解题的关键． 【变式8-3】（2024秋•石家庄期中）【问题驱动】已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝44°，求∠DOE的度数； （2）如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　　（用含有α的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　　（用含有α的式子表示），不必说明理由． 【分析】（1）由已知可求出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣44°＝136°，再由∠COD＝90°、OE平分∠BOC求出∠DOE的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出∠DOE的度数即可； （3）由∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝180°可得∠BOC＝180°﹣∠AOC，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣44°＝136°， ∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣68°＝22°； （2）由（1）得，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）．理由如下： ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC， ∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴， ∴； （4）∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 几何图形初步八大重点题型期末复习总结（原卷版） 【题型1 直线、射线、线段、角的相关概念辨析】 【例1】（2024秋•鄄城县期末）下列语句正确的有（　　） （1）线段AB就是A、B两点间的距离； （2）画射线AB＝10cm； （3）A，B两点之间的所有连线中，最短的是A，B两点间的距离； （4）在直线上取A，B，C三点，使得AB＝5cm，BC＝2cm，则AC＝7cm． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（2023秋•嘉陵区期末）如图，线段条数为x，小于平角的角的个数为y，则x+y＝　 　． 【变式1-2】（2021秋•北辰区期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论： ①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线； ④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是 　 　． 【变式1-3】4．（2024秋•长葛市期末）如图，已知A、B、C、D四点，根据下列要求画图： （1）画直线AB、射线AD； （2）画∠CDB； （3）找一点P，使点P既在AC上又在BD上． 【题型 2 根据线段间的关系判断结论】 【例2】（2023秋•乐陵市期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB＝20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（　　） A．若BE﹣DE＝0，则AE﹣CD＝7 B．若BE﹣DE＝2，则AE﹣CD＝7 C．若BE﹣DE＝4，则AE﹣CD＝7 D．若BE﹣DE＝6，则AE﹣CD＝7 【变式2-1】（2022秋•安庆期末）如图所示，B在线段AC上，且BC＝3AB，D是线段AB的中点，E是线段BC上的一点BE：EC＝2：1，则下列结论：①ECAE；②DE＝5BD；③BE（AE+BC）；④AE（BC﹣AD），其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2-2】（2020秋•奉化区校级期末）如图，AB＝30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB＝4NQ；④当BQ＝PB时，t＝12，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型 3根据线段间的关系求线段长度】 【例3】（2023秋•郾城区期末）如图，已知线段AB＝8，BC＝6，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长； （2）在直线CB上取一点N，使得CNBN，请画出图形，并求线段MN的长． 【变式3-1】（2022秋•承德县期末）根据题意，补全解题过程． 如图，已知点C为线段AB的中点，E为线段AB上一点，且AE：EB＝2：5，若EC＝3，求线段AB的长度． 解：设AE＝2x， ∵AE：EB＝2：5，∴EB＝　 　， ∴AB＝AE+　 　＝　 　， ∵C为AB的中点，∴AC＝　 　＝　 　， ∴EC＝　 　﹣AE＝　 　， ∵EC＝3，∴x＝　 　，∴AB＝7x＝　 ． 【变式3-2】（2022秋•白山期末）如图，线段，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN＝20cm，求AC的长． 【变式3-3】小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M、N分别是AC、BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． （1）根据题意，小明求得MN＝　 　； （2）小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，点C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下两个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长． ②如图2，M、N分别是AC，BC的一个三等分点，且，，则MN＝　　． 【题型 4 钟表中的角度计算】 【例4】（2021秋•武义县期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分钟转过的角度是6度． 解决问题： （1）当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数； （2）8：00开始几分钟后分针第一次追上时针； （3）设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00～9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？ 【变式4-1】（2022秋•宁德期末）如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是 　 ． 【变式4-2】（2020秋•亭湖区校级月考）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，设转动的时间为t秒（t＞0），在OA与OB第三次重合时，当t＝　 　秒时，直线MN平分∠AOB． 【变式4-3】（2022秋•郓城县期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB． （1）∠BOM＝　 　； （2）若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小； （3）如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°． 【题型 5 根据角与角之间的关系判断结论】 【例5】（2024秋•吴中区期末）如图，已知∠AOB＝∠BOC＝∠COD，下列结论中错误的是（　　） A．OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD B．∠AOD＝∠AOB+∠AOC C．∠BOC∠AOD﹣∠AOB D．∠COD（∠AOD﹣∠BOC） 【变式5-1】如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（　　） A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC 【变式5-2】（2022秋•闽清县期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，以下四个结论：①；②2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF；③∠AOD＝∠BOC；④．其中正确的结论有 　 　（填序号）． 【题型 6根据角与角之间的关系求角度】 【例6】（2022秋•高新区期末）已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD． （1）如图1，若∠AOD＝90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由； （2）作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α． ①如图2，当0°＜α＜60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数； ②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系． 【变式6-1】（2022秋•庄河市期末）如图，OE平分∠BOD，∠AOB＝90°，∠COD＝110°，∠AOD＝40°，求∠COE的度数． 【变式6-2】O为直线AB上一点，在直线AB同侧作射线OC，OD，使得∠COD＝90°． （1）如图①，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，则∠EOC+∠DOF的度数是 　 °； （2）如图②，过点O作射线OG，当OG恰好为∠AOD的平分线时，判断∠BOD与∠COG的数量关系． 【变式6-3】（2023秋•吉林期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC＝2∠AOD．当∠BOC＝40°时，如图1所示，求∠DOE的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝　 　°， ∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝　 　°， ∵∠AOC＝2∠AOD， ∴OD平分∠AOC， ∴　 　°， ∵∠DOE＝∠COD+∠COE，∠COE＝90°， ∴∠DOE＝　 　°． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： （1）请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． （2）判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由． （3）将题目中“∠BOC＝40°”的条件改成“∠BOC＝α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD＝∠BOE成立？请直接写出此时α的值． 【题型7 线段中的分类讨论思想问题】 【例7】（2023秋•青山湖区校级期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝5，则AD的长为 　 ． 【变式7-1】（2022秋•阳城县期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，且AB＝9cm． （1）图中共有 　 　条线段； （2）求AD的长； （3）若点E在直线AB上，且EA＝3cm，直接写出DE的长． 【变式7-2】（2022秋•洪山区校级期末）已知，直线l上线段AB＝6、线段CD＝2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）． （1）若线段BC＝1，则线段AD＝　 　； （2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度； （3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间． 【变式7-3】（2023秋•宣化区期中）如图，有公共端点C的两条线段AC，BC组成一条折线A﹣C﹣B，若该折线A﹣C﹣B上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”．若E为线段AC中点，EC＝5cm，CD＝2cm，则BC的长为 　 ． 【题型8 角度中的分类讨论思想问题】 【例8】（2022秋•路南区期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． （1）求∠AOD的度数； （2）作射线OE，使，求∠COE的度数； （3）在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF＝3∠BOH，∠COE＞90°，直接写出∠AOH的度数． 【变式38-1】（2022春•松北区期末）已知∠AOB＝18°，∠AOC＝3∠AOB，则∠BOC的度数是 　 　． 【变式8-2】（2022秋•封开县期末）在同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝25°，∠COD＝50°，∠BOD＞15°，求∠BOD的度数． 【变式8-3】（2024•石家庄期中）【问题驱动】已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝44°，求∠DOE的度数； （2）如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　　（用含有α的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　 （用含有α的式子表示），不必说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$