4.2.2 离散型随机变量的分布列-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(B版) 4．2.2　离散型随机变量的分布列 知识点一　求离散型随机变量的分布列 1．一袋中装有4个同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，用X表示取出球的最大号码，求X的分布列． 解：由题意知，X的取值范围是{2，3，4}， 且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 2.某校10名学生组成该校科技创新周志愿服务队(简称科服队)，他们参加活动的有关数据统计如下： 参加活动次数 1 2 3 人数 2 3 5 (1)从科服队中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率； (2)从科服队中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列． 解：(1)这3人参加活动次数各不相同的概率P＝＝. (2)由题意知，ξ的取值范围是{0，1，2}， P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝＝， P(ξ＝2)＝＝＝. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 知识点二　离散型随机变量分布列的性质 3．随机变量ξ的取值范围为{1，2，3，…，10}，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为(　　) A. B. C．110 D．55 答案：B 解析：∵随机变量ξ的取值范围是{1，2，3，…，10}，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝. 4．已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，其中a是常数，则P(0≤X<2)的值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：根据题意，有P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝1，解得a＝，则P(0≤X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 5．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为________． X 0 1 2 3 P m2 2m2 1－2m＋m2 1－3m 答案： 解析：依题意，m2＋2m2＋(1－2m＋m2)＋(1－3m)＝1，整理得4m2－5m＋1＝0，解得m＝1或m＝.当m＝1时，2m2＝2>1，1－3m＝－2<0，不符合题意；当m＝时，m2＝，2m2＝，1－2m＋m2＝，1－3m＝，符合题意．所以m的值为. 知识点三　两点分布 6．袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝求随机变量X的分布列． 解：由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，所以P(X＝1)＝1－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 7.某人投篮的命中概率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，求随机变量X的分布列． 解：由题意知，X服从两点分布，设1次投篮不命中的概率为p，则命中的概率为3p，由分布列的性质可得p＋3p＝1. 解得p＝. 所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝. 故随机变量X的分布列为 X 0 1 P 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 利用分布列的性质判断分布列 利用分布列的性质求参数及事件的概率 两点分布的判断 分布列的性质与基本不等式相结合 利用分布列的性质并结合参数间的等量关系求多个参数的值及事件的概率 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★★★ ★★ ★★ 对点 利用分布列的性质求概率 两点分布的概率、利用随机变量之间的关系求概率 利用概率之间的关系并结合分布列的性质求概率 利用分布列的性质求参数及事件的概率 求离散型随机变量的分布列 一、选择题 1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　) A. X －2 0 2 4 P 0.5 0.2 0.3 0 B. X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 C. X 1 2 3 P － D. X 1 2 3 P lg 1 lg 2 lg 5 答案：C 解析：C项中，P(X＝1)＜0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，故C项不是分布列． 2．随机变量X的分布列如下表所示： X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 2m 则P(X≤2)＝(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 答案：C 解析：由分布列的性质可得，0.1＋m＋0.3＋2m＝1，可得m＝0.2，所以P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＝0.3. 3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　) A．掷一个质地均匀的骰子，所得点数为随机变量X B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X 答案：A 解析：A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，B，C，D中的随机变量X均服从两点分布．故选A. 4．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为(　　) X 0 1 2 3 P a b A. B. C. D. 答案：C 解析：由分布列的性质可知a＋b＝，而a2＋b2≥＝.故选C. 5．[多选]已知随机变量X的分布列如下表所示，且2b＝a＋c，则(　　) X －1 0 1 P a b c A.a＝ B．b＝ C．c＝ D．P(|X|＝1)＝ 答案：BD 解析：由分布列的性质，得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.故选BD. 二、填空题 6．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.□5 0.10 0.10 0.1□ 0.20 根据该表可知X取奇数值的概率是________． 答案：0.45 解析：由离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝2)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.10＋0.15＝0.45. 7．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8.令Y＝3X－2，则P(Y＝1)＝________． 答案：0.2 解析：∵Y＝1，且Y＝3X－2，∴X＝1，∴P(Y＝1)＝P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝0.2. 8．一批产品分为四级，其中抽到一级产品的概率是抽到二级产品概率的两倍，抽到三级产品的概率是抽到二级产品概率的一半，抽到四级产品的概率与抽到三级产品的概率相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ＝2)＝________，P(ξ＞1)＝________． 答案：　 解析：依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列的性质，得1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)，∴4P(ξ＝2)＝1，解得P(ξ＝2)＝，∴P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，∴P(ξ>1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝. 三、解答题 9．(2024·山东德州高二阶段测试)设随机变量X的概率分布P＝ak，k＝1，2，3，4，5，6. (1)求常数a的值； (2)求P和P的值． 解：(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＋6a＝1，得a＝. (2)由题意知，P＝P＋P＋P＝4a＋5a＋6a＝15a＝. P＝P＋P＋P＋P＝2a＋3a＋4a＋5a＝14a＝. 10．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2，3，4，5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3，4，5，6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列． 解：依题意，η的取值范围是{5，6，7，8，9，10，11}． 则P(η＝5)＝＝， P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝， P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝， P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝. 所以η的分布列为 η 5 6 7 8 9 10 11 P 7 学科网（北京）股份有限公司 $$