5.2.1 基本初等函数的导数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 5．2　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 知识点一　求导公式的直接运用 1．若f(x)＝log2x，则f′(2)＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为f′(x)＝，所以f′(2)＝.故选C. 2．给出下列结论：①(eln x)′＝ln x；②′＝cos；③若f(x)＝，则f′(3)＝－；④′＝－.其中正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：C 解析：因为eln x＝x，所以(eln x)′＝(x)′＝1，所以①错误；因为sin＝，而′＝0，所以②错误；因为′＝(x－2)′＝－2x－3，所以f′(3)＝－，所以③正确；因为′＝′＝－x＝－，所以④正确． 3．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g(2)＝，则m＝________. 答案：－2 解析：∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，∵g(2)＝2m，g(2)＝，∴2m＝－4，∴m＝－2. 4．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝logx； (3)y＝；(4)y＝22x. 解：(1)y′＝()′＝(x)′＝x. (2)y′＝＝－. (3)y′＝′＝(x－5)′＝－5x－6＝－. (4)y′＝(22x)′＝(4x)′＝4x·ln 4. 知识点二　利用导数公式解决与切线有关的问题 5．(2024·江苏镇江高二期末)已知直线y＝ex与曲线y＝ln x相切于点P，则点P的坐标为(　　) A． B． C．(－e，1) D． 答案：B 解析：设切点为P(x0，y0)，由y＝ln x得y′＝，因为直线y＝ex与曲线y＝ln x相切于点P，所以＝e，解得x0＝，y0＝ln ＝－1，所以P. 6．[多选]若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝sinx B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 答案：AD 解析：设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．对于A，y＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，则f′(0)·f′(π)＝－1，故函数y＝sinx具有T性质；对于B，y＝f(x)＝ln x的导函数为f′(x)＝，则f′(x1)·f′(x2)＝>0，故函数y＝ln x不具有T性质；对于C，y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，则f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故函数y＝ex不具有T性质；对于D，y＝f(x)＝x2的导函数为f′(x)＝2x，则f′·f′＝－1，故函数y＝x2具有T性质．故选AD. 7．已知曲线f(x)＝. (1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1，0)的切线方程． 解：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－. (1)显然P(1，1)为切点，所求切线的斜率为k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)， 即y＝－x＋2. (2)显然Q(1，0)不在曲线f(x)＝上， 则可设过该点的切线的切点为A， 那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－. 则切线方程为y－＝－(x－a)．① 将Q(1，0)代入切线方程，得0－＝－(1－a)． 解得a＝，代入方程①，整理可得切线方程为y＝－4x＋4. 一、选择题 1．已知曲线f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则这样的切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 答案：B 解析：∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.当x＝1时，f(1)＝1，切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0；当x＝－1时，f(－1)＝－1，切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0，∴斜率为3的切线有2条． 2．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 答案：A 解析：f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1，又f′(－1)＝－2，所以α＝2.故选A. 3．(2024·河南洛阳高二阶段测试)已知曲线f(x)＝ln x的一条切线为y＝x＋a－3，则实数a的值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 解析：因为f′(x)＝，令＝1，得x＝1，切点为(1，0)，代入y＝x＋a－3得a＝2.故选C. 4．(2024·浙江绍兴高二期末)设曲线f(x)＝sinx在点P处的切线为l，则直线l的斜率不可能为(　　) A． B． C．1 D． 答案：D 解析：因为f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx∈[－1，1]，又曲线f(x)＝sinx在点P处的切线为l，所以直线l的斜率的取值范围是[－1，1]． 5．[多选]下列求导运算正确的是(　　) A．(3x)′＝3xln x B．()′＝ C．(cosx)′＝－sinx D．(log2e)′＝0 答案：BCD 解析：(3x)′＝3xln 3，故A错误；()′＝(x)′＝x＝，故B正确；(cosx)′＝－sinx，故C正确；因为log2e是常数，所以(log2e)′＝0，故D正确．故选BCD. 二、填空题 6．已知点P在曲线y＝sinx上，直线l是以点P为切点的切线，则a＝________，直线l的方程为________________． 答案：　y＝x＋－ 解析：由题意，得a＝sin＝.因为y＝sinx，所以y′＝cosx，所以y′|x＝＝cos＝，故直线l的方程为y－＝，即y＝x＋－. 7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________． 答案：1 解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－，因为x>0，所以x＝1. 8．(2024·河南郑州高二期末)记函数y＝ex的图象为C1，作C1关于直线y＝x的对称曲线得到C2，则曲线C1上任意一点与曲线C2上任意一点之间距离的最小值为__________． 答案： 解析：由题意可知y′＝ex，设A(a，ea)为曲线C1上的一点，令过点A的切线斜率为k＝ea＝，解得a＝－ln 2，所以A，所以点A到直线y＝x的距离为d＝＝，所以曲线C1上任意一点与曲线C2上任意一点之间距离的最小值为2d＝. 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝x8；(2)y＝sin； (3)y＝cos；(4)y＝logx. 解：(1)y′＝8x7. (2)y′＝′＝0. (3)y＝cos＝sinx，y′＝(sinx)′＝cosx. (4)y′＝＝－. 10．讨论关于x的方程ln x＝kx解的个数． 解：如图，方程ln x＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝ln x交点的个数． 设直线y＝kx与y＝ln x相切于点P(x0，ln x0)，则kx0＝ln x0. 因为(ln x)′＝，所以k＝，kx0＝1＝ln x0. 所以x0＝e，k＝. 结合图象，知 当k≤0或k＝时，方程ln x＝kx有一个解； 当0<k<时，方程ln x＝kx有两个解； 当k>时，方程ln x＝kx无解． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$