5.1.2 第1课时 导数的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 5．1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 知识点一　函数的平均变化率 1．当自变量从x0变化到x1(x0<x1)时，函数值的变化量与相应自变量的变化量之比是函数(　　) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的导数 D．在区间[x0，x1]上的导数 答案：A 解析：由平均变化率的定义，可知当自变量从x0变化到x1(x0<x1)时，函数值的变化量与相应自变量的变化量之比是函数在区间[x0，x1]上的平均变化率． 2.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为________，函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为________． 答案：　 解析：从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为＝＝.函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为＝＝. 3．求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值． 解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值为3×12＋3×1×＋＝. 知识点二　导数的定义 4.函数f(x)在x0处可导，则 (　　) A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0，h均无关 答案：B 解析：由导数的概念可知， ＝f′(x0)，仅与x0有关，与h无关．故选B. 5．若f′(x0)＝1，则 ＝(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案：B 解析：∵f′(x0)＝ ＝1， ∴ ＝－1， ∴ ＝×(－1)＝－. 6．已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，则x0的值为________． 答案：1 解析：∵f′(x0)＝ ＝ ＝ (6x0＋3Δx)＝6x0＝6，∴x0＝1. 7．设函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)，求下列各式的值： (1) ； (2) . 解：(1) ＝－m ＝－mf′(x0)． (2)原式＝ ＝ － ＝ 4 －5 ＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)． 知识点三　导数的实际意义 8．一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义． 解：因为＝＝＝3，所以由导数的定义， 得f′(2)＝ ＝3，它表示水流在第2 s时的瞬时流速为3 m3/s， 说明在第2 s附近，水管中流过的水量每秒大约增加3 m3. 一、选择题 1．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　) A．－3 B．2 C．3 D．－2 答案：C 解析：根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.故选C. 2．若函数f(x)的图象过原点，f(x)在x＝0处可导，且满足 ＝－1，则f′(0)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：B 解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝ ＝ ＝－1.故选B. 3．(2024·广东广州高二阶段测试)已知函数f(x)＝ax2－2x，若f′(1)＝2，则实数a的值为(　　) A．2 B．－2 C．0 D．1 答案：A 解析：f′(1)＝ ＝ ＝2a－2＝2，解得a＝2. 4．已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则 ＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：A 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(1)＝－f(－1)，所以 ＝ ＝f′(－1)＝1.故选A. 5．(2024·山东济宁高二月考)已知函数f(x)在R上可导，若f′(2)＝3，则 ＝(　　) A．9 B．12 C．6 D．3 答案：B 解析：由导数的定义可知 f′(2)＝ ＝× ＝3，故 ＝3×4＝12. 二、填空题 6．已知函数f(x)＝ax2在区间[1，2]上的平均变化率为，则f(x)＝________，f(x)在区间[－2，－1]上的平均变化率为________． 答案：x2　－ 解析：∵f(x)在[1，2]上的平均变化率＝＝＝3a，∴3a＝，即a＝，故f(x)＝x2.∴f(x)在[－2，－1]上的平均变化率为＝＝＝－. 7．设函数y＝f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________． 答案：1 解析：Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3a·Δx.∴＝＝a(Δx)2－3a·Δx＋3a.∴ ＝[a(Δx)2－3a·Δx＋3a]＝3a，即3a＝3，∴a＝1. 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________． 答案：2 解析：∵|AB|＝t，∴S(t)＝|OA|·|AB|＝t·t＝t2，S′(2)＝ ＝＝2.∴S(t)在t＝2时的瞬时变化率是2. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值． 解：由导数的定义，得f′(1)＝ ＝ ＝ ＝， f′(－1)＝ ＝ ＝ (Δx－2)＝－2. 所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1. 10．(2024·浙江杭州高二期中)已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f(t)＝105＋104t－103t2. (1)求f′(10)； (2)f′(10)的实际意义是什么？ 解：(1)当h≠0时，在使用杀菌剂10小时附近的时间段[10，10＋h](h>0)内， 可得细菌数量关于时间的平均变化率为＝ ＝＝－104－103h， 当h趋近于0，就得到f′(10)＝ (－104－103h)＝－104＝－10000. (2)f′(10)的实际意义是细菌数量在t＝10时的瞬时变化率，它表明在t＝10附近，细菌数量大约以每小时104的速率减少． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$