5.1.1 变化率问题-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 5．1　导数的概念及其意义 5．1.1　变化率问题 知识点一　平均速度 1．一质点的位移s与时间t之间的关系是s＝4－2t2，则在时间段[1，1＋Δt]内的平均速度为(　　) A．2Δt＋4 B．－2Δt＋4 C．2Δt－4 D．－2Δt－4 答案：D 解析：平均速度＝＝＝－2Δt－4. 2．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．6 答案：B 解析：由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1.故选B. 知识点二　瞬时速度 3．已知物体做自由落体运动的位移函数为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝，当Δt无限趋近于0时，v无限趋近于9.8 m/s，则9.8 m/s是(　　) A．物体从0 s到1 s这段时间的平均速度 B．物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间的平均速度 C．物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D．物体在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度 答案：C 解析：根据瞬时速度的概念可知C正确． 4．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s(t)＝t2，当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为(　　) A．2 B．1 C． D． 答案：C 解析：当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为v＝ ＝＝.故选C. 5．物体的位移s与时间t之间的关系是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为(　　) A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4 答案：B 解析：设物体在t时刻的速度为零，则 ＝ ＝ (－8t－4Δt＋16)＝－8t＋16＝0，∴t＝2.故选B. 6．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位：m，t的单位：s)． (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度； (3)求此物体从t＝0到t＝2这段时间的平均速度． 解：(1)初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3. 即此物体的初速度为3 m/s. (2)v瞬＝ ＝ ＝ ＝ (－Δt－1)＝－1. 即此物体在t＝2时的瞬时速度为－1 m/s. (3)＝＝＝1(m/s)． 即此物体从t＝0到t＝2这段时间的平均速度为1 m/s. 知识点三　抛物线的切线斜率或切线方程 7．已知抛物线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________；抛物线在点A处的切线的斜率是________． 答案：5　4.1　4 解析：当Δx＝1时，割线AB的斜率 k1＝＝＝5. 当Δx＝0.1时，割线AB的斜率 k2＝＝4.1. 抛物线在点A处的切线的斜率 k＝ ＝ (Δx＋4)＝4. 8．已知抛物线f(x)＝x2＋2x. (1)求抛物线在点P(1，3)处的切线方程； (2)若抛物线上一点的切线与直线y＝3x＋4平行，求该点的坐标． 解：(1)因为抛物线f(x)＝x2＋2x在点P(1，3)处的切线斜率为k＝ ＝ ＝ (4＋Δx)＝4， 所以抛物线f(x)＝x2＋2x在点P(1，3)处的切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0. (2)设f(x)在点Q(x0，y0)处的切线与直线y＝3x＋4平行，则 ＝ ＝ (2x0＋Δx＋2)＝2x0＋2＝3， 解得x0＝.因为f＝＋2×＝，所以所求点的坐标为. 一、选择题 1．一质点的位移s与时间t之间的关系为s＝t2＋3，若该质点在时间段[1，m]内运动的平均速度为3，则m的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．4 答案：B 解析：由已知得＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2. 2．一物体的位移s与时间t之间的关系是s(t)＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是(　　) A．at0 B．－at0 C．at0 D．2at0 答案：A 解析：∵ ＝ ＝at0，∴该物体在t＝t0时的瞬时速度是at0.故选A. 3．汽车行驶的位移s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为(　　) A.1>2>3 B.3>2>1 C.2>1>3 D.2>3>1 答案：B 解析：1＝＝kOA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由图象知kOA<kAB<kBC.故选B. 4．已知抛物线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° 答案：B 解析：k＝ ＝1，故切线的倾斜角为45°. 5．[多选]与曲线y＝x3相切，且与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为(　　) A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3x－1 D．y＝3x＋1 答案：AB 解析：设切点坐标为P(x0，y0)，则切线的斜率k＝ ＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x.又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，所以3x×＝－1，解得x0＝±1，所以k＝3x＝3.当x0＝1时，y0＝x＝1，切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2；当x0＝－1时，y0＝x＝－1，切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即y＝3x＋2.故选AB. 二、填空题 6.甲、乙两人走过的位移s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则从0到t0这段时间内甲、乙两人的平均速度较大的是________．(填“甲”或“乙”) 答案：乙 解析：由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，则<，所以从0到t0这段时间内乙的平均速度较大． 7．抛物线y＝x2－x＋1在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标是________． 答案：－3 解析：当x＝2时，y＝3，即切点为(2，3)，切线的斜率k＝ ＝ ＝3，∴切线方程为y－3＝3(x－2)，令x＝0，则y＝－3.∴切线与y轴交点的纵坐标为－3. 8．某物体的运动方程为s(t)＝，则其在t＝1时的瞬时速度为________． 答案：－ 解析：s(1＋Δt)－s(1)＝－1＝＝，故＝.所以＝－，即物体在t＝1时的瞬时速度为－. 三、解答题 9．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度． 解：自运动开始到t s时，物体运动的平均速度(t)＝＝3t＋2＋， 故前4 s物体的平均速度为(4)＝3×4＋2＋＝15(m/s)． ∵Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2， ∴＝2＋6t＋3Δt， ＝2＋6t， 当t＝4时， ＝2＋6×4＝26， ∴4 s时物体的瞬时速度为26 m/s. 10．已知抛物线y＝x2和直线x－y－2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离． 解：根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)， 则过该切点的切线的斜率 k＝ ＝2x0＝1， 所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝， 所以抛物线上一点到直线x－y－2＝0的最短距离为. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$