4.4 数学归纳法-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 4.4*　数学归纳法 知识点一　利用数学归纳法证明恒等式 1．(2024·四川自贡高二期中)用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝2－(n∈N*)． 证明：当n＝1时，左边＝，右边＝2－＝，显然成立． 假设当n＝k时，等式也成立，即＋＋＋…＋＝2－， 当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝2－＋＝2－＝2－， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 综上可得，＋＋＋…＋＝2－(n∈N*)． 知识点二　利用数学归纳法证明不等式 2．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)． 证明：①当n＝2时，左边＝＝， 右边＝1－＝.因为<，所以不等式成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即＋＋＋…＋<1－，则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上所述，对任意n≥2，n∈N*，不等式成立． 知识点三　利用数学归纳法证明整除问题 3．用数学归纳法证明：11n＋1＋122n－1能被133整除(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，11n＋1＋122n－1＝112＋12＝133，能被133整除，所以当n＝1时结论成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，11k＋1＋122k－1能被133整除， 那么当n＝k＋1时， 11k＋2＋122k＋1＝11k＋1×11＋122k－1×122＝11k＋1×11＋122k－1×11－122k－1×11＋122k－1×122＝11×(11k＋1＋122k－1)＋133×122k－1. 由假设可知11×(11k＋1＋122k－1)＋133×122k－1能被133整除， 即11k＋2＋122k＋1能被133整除，所以当n＝k＋1时结论也成立． 综上，11n＋1＋122n－1能被133整除(n∈N*)． 知识点四　利用数学归纳法证明几何命题 4．(2024·浙江金华高二期末)用数学归纳法证明：凸n边形的内角和f(n)＝(n－2)·180°(n≥3，n∈N*)． 证明：当n＝3时，三角形的内角和为180°， 即f(3)＝180°＝(3－2)·180°，结论成立； 假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，结论成立， 即f(k)＝(k－2)·180°， 假设凸k＋1(k≥3，k∈N*)边形A1A2…AkAk＋1，如图所示， 则凸k＋1(k≥3，k∈N*)边形A1A2…AkAk＋1可以由以A1Ak为边的△A1AkAk＋1与凸k边形A1A2…Ak拼接而成， 所以f(k＋1)＝f(k)＋180°＝(k－2)·180°＋180°＝(k－1)·180°， 这说明当n＝k＋1时，结论成立， 故凸n边形的内角和f(n)＝(n－2)·180°(n≥3，n∈N*)． 知识点五　归纳—猜想—证明 5．(2024·广东佛山高二期末)已知数列{an}中，a1＝2，an＝(n≥2)． (1)求a2，a3，a4的值； (2)猜测an的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)∵数列{an}中，a1＝2，an＝(n≥2)， ∴a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝. (2)由(1)猜想an＝， 下面用数学归纳法进行证明： ①当n＝1时，a1＝＝2，成立； ②假设当n＝k时成立，即ak＝， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝＝＝，也成立， 综上所述，an＝. 6．(2024·辽宁本溪高二期末)给出下列不等式： 1>， 1＋＋>1， 1＋＋＋＋＋＋>， 1＋＋＋…＋>2. (1)根据给出的不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)根据给出的不等式的规律， 归纳猜想出不等式的一般结论为1＋＋＋＋…＋>(n∈N*)． (2)证明：①当n＝1时，则1>显然成立． ②假设当n＝k时结论成立，即1＋＋＋＋…＋>， 则当n＝k＋1时， 1＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋>＋>＋2k·＝＋>＋＝， 即当n＝k＋1时结论成立． 由①②知，对任意n∈N*，结论成立． 一、选择题 1．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，a，b的值可以为(　　) A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3 答案：D 解析：分别令n＝1，2得到关于a，b的方程组 即解得或 2．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≤n(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1不等式左边增添的项数是(　　) A．k B．2k－1 C．2k D．2k＋1 答案：C 解析：当n＝k时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k－1项；当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k＋1－1项，所以增添的项数为2k＋1－2k＝2k. 3．用数学归纳法证明“对任意正偶数n，an－bn能被a－b整除时，其第二步论证应该是(　　) A．假设当n＝k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝k＋1时命题也成立 B．假设当n＝2k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2k＋1时命题也成立 C．假设当n＝k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2k＋1时命题也成立 D．假设当n＝2k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2(k＋1)时命题也成立 答案：D 解析：因为n为正偶数，所以第二步的假设应写为：假设当n＝2k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2(k＋1)时命题也成立． 4．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n＋1)与f(n)之间的关系为(　　) A．f(n＋1)＝f(n)＋n B．f(n＋1)＝f(n)＋2n C．f(n＋1)＝f(n)＋n＋1 D．f(n＋1)＝f(n)＋n－1 答案：B 解析：依题意得，由n个圆增加到n＋1个圆，增加了2n个交点，这2n个交点将新增的圆分成2n段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域，因此f(n＋1)＝f(n)＋2n.故选B. 5．[多选]已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时，p(k)也成立，则下列判断中正确的是(　　) A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 答案：AD 解析：由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立．故选AD. 二、填空题 6．用数学归纳法证明Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N*)时，S1＝_____________. 答案：＋＋ 解析：∵当n＝1时，n＋1＝2，3n＋1＝4，∴S1＝＋＋. 7．用数学归纳法证明…>(n>1)时，从n＝k到n＝k＋1，左端增加的式子为________，这个增加的式子共有因式的个数是________． 答案：…　2k－1 解析：因为分母的公差为2，所以增加的式子的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列的通项公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1个因式． 8．(2024·江苏盐城高二期中)若正项数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝________． 答案：－ 解析：∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝，∴在正项数列{an}中，当n＝1时，a1＝，解得a1＝1，当n＝2时，1＋a2＝，解得a2＝－1，∴a3＝－，a4＝2－，…，猜想an＝－.证明：当n＝1时，显然成立；假设当n＝k时，ak＝－，则当n＝k＋1时，a1＋a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1＝＝＋ak＋1，∴－ak＋1＝2，解得ak＋1＝－，故当n＝k＋1时，结论也成立．故an＝－. 三、解答题 9．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)，用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1<a2， 所以当n＝1时，不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，ak<ak＋1成立，则当n＝k＋1时， ak＋2－ak＋1＝1＋－＝－＝>0， 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由①②可知，不等式an<an＋1(n∈N*)成立． 10．已知n为正整数，且n≥5，试猜想n2与2n的大小关系，并用数学归纳法证明． 解：当n＝5时，n2＝25，2n＝32，n2<2n； 当n＝6时，n2＝36，2n＝64，n2<2n. 猜想：当n≥5时，n2<2n. 证明如下： ①当n＝5时，由上面的探求可知猜想成立． ②假设当n＝k(k≥5)时猜想成立，即2k>k2，则2×2k>2k2， 2k2－(k＋1)2＝k2－2k－1＝(k－1)2－2， 当k≥5时，(k－1)2－2>0， 则2k2>(k＋1)2， 从而2×2k>(k＋1)2， 即2k＋1>(k＋1)2成立， 所以当n＝k＋1时，猜想也成立． 综上，对任意n≥5，n∈N*，n2<2n成立． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$